四边形中的基本图形(一)

利用平行四边形性质解决问题平行四边形是几何学中的基本图形之一，具有独特的性质和特点。

在实际生活中，我们可以利用平行四边形的性质解决各种问题，如计算面积、求解角度等。

本文将探讨平行四边形的性质以及如何利用这些性质解决问题。

首先，平行四边形的定义是指具有两对相对平行边的四边形。

根据这个定义，我们可以知道平行四边形有如下性质：1. 相对边平行性质：平行四边形的两对相对边是平行的。

这个性质可以用来确定平行四边形的其他边是否平行，或者验证给定的四边形是否是平行四边形。

2. 相对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。

利用这个性质，我们可以求解平行四边形的未知边长，或者计算其周长。

3. 对角线性质：平行四边形的对角线相交于它们的交点，并且交点将对角线分成两等分。

这个性质可以用来证明平行四边形的平行边长度相等，或者求解对角线长度等问题。

4. 内角性质：平行四边形的内角和为180度。

根据这个性质，我们可以计算平行四边形的内角度数，或者验证给定的角度是否是平行四边形的内角。

我们可以通过一个具体的例子来说明如何利用平行四边形的性质解决问题。

假设有一块土地，其形状是一个平行四边形，已知其中一对对边长度分别为6米和8米，对角线之间的夹角为60度。

我们需要计算这块土地的面积。

根据上述已知条件，我们可以得出如下结论：1. 对边平行性质：由于对边长度分别为6米和8米，可以得出这两条边是平行的。

2. 对角线性质：对角线之间的夹角为60度，那么平行四边形的另外两条对边夹角也为60度。

3. 内角性质：根据对角线性质和已知夹角60度，可以得出平行四边形的内角为120度。

根据上述结论，我们可以继续解决这个问题。

首先，我们可以根据对边长度和两对对角线夹角计算出平行四边形的两条对角线长度。

根据三角形的三角函数，我们可以得到：sin(60度) = (6米/2) / 对角线1长度cos(60度) = (8米/2) / 对角线2长度将上述公式代入计算，我们可以得到对角线1的长度为6√3米，对角线2的长度为8米。

平行四边形的认识平行四边形是基本几何图形之一，由于其独特的性质和广泛的应用，对于平行四边形的认识具有重要意义。

本文将从定义、性质、判定条件以及相关应用等方面对平行四边形进行详细介绍。

定义平行四边形是指具有两组相对平行的边的四边形。

具体来说，平行四边形的定义如下：定义1：如果一个四边形的对边互相平行，则该四边形被称为平行四边形。

在平行四边形中，相邻的两条边和对角线都具有特殊的关系和性质。

性质平行四边形具有一些独特的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用平行四边形。

1. 边与角性质•对边性质：平行四边形的对边长度相等。

•相邻边性质：平行四边形的相邻边互余角（对应两个相邻边的内角和为180度）。

•同位角性质：平行四边形的同位角相等（指同位于两组平行边的对应角）。

2. 对角线性质•对角线性质1：平行四边形的对角线互相平分。

•对角线性质2：平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。

3. 面积性质•面积性质：平行四边形的面积等于底边长度乘以高（即平行四边形的底边高）。

•面积计算公式：若平行四边形的底边长为b，高为h，则平行四边形的面积S = b * h。

4. 判定条件平行四边形的存在和判定有一些特殊的条件，其中常用的包括：•条件1：两组对边分别平行。

•条件2：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的长度相等。

•条件3：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的夹角相等。

•条件4：从一组对边的任意一点作平行于两边的线段，该线段与另一组对边交点的连线平分该线段。

相关应用平行四边形的特殊性质和性质的应用广泛存在于各种数学问题和实际生活中。

以下是一些常见的应用场景：1.建筑工程中：平行四边形的应用在建筑工程中非常常见，例如砖块的摆放、墙壁的装饰等。

2.几何证明中：平行四边形作为几何证明的基础形状，常常被用来证明一些定理和性质。

3.向量运算中：平行四边形的性质和向量之间有密切的联系，在向量运算中经常会用到平行四边形的概念。

四年级数学奥数培优练习第11讲：四边形中的基本图形〈一〉通用版〈含答案〉x一．夯实基础：1.在平行四边形ABCD 中, E 为BC 上的任意点,且S AED 〈10 ,求平行四边形的面积是多少？2.在平行四边形ABCD 中, E 为BC 上的任意点,且S AEB 〈S CED 〈15 ,求平行四边形的面积是多少？BD C3.在平行四边形中,阴影部分的面积和是12,求平行四边形的面积是多少？1 / 10平方厘米,小正方形的面积为9 平方厘米,求图中一个长方形的面积是多少？4.如图,ABFE 和CDEF 都是长方形,AB 的长是4 厘米,BC 的长是3 厘米．那么图中阴影部分的面积是多少？5.如图,小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放,边长分别是3、7、9。

图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？2 / 106.如图是一块长方形草坪,中间有两条道路,路宽是2 米,求有草部分的面积．二．拓展提高：7.如图,矩形DEFG 的宽DE 〈 4 厘米,长DG 〈 4DE , 则正方形ABCD 的边长是多少厘米?3 / 108.如图是一块正方形草坪,中间有三条道路,路宽是2 米,求有草部分的面积．9.如图,在平行四边形ABCD 中,三角形BCE 的面积是42 平方厘米,BC 的长度为14 厘米,AE 的长度为9 厘米,那么平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？三角形ECD 的面积又是多少平方厘米？4 / 1010.四年级数学奥数培优练习第11讲：四边形中的基本图形〈一〉通用版〈含答案〉xA BD E C11.如图,正方形被分成9个小长方形,其中5 个小长方形的面积如图所示,求其它4 个小长方形的面积.12.如图,校园中间有个正方形花坛,花坛的四周铺了1 米宽的水泥路。

如果水泥路的总面积是24 平方米,那么花坛的面积是多少平方米？5 / 1013.如图,正方形ABCD 的边长是4 厘米,矩形DEFG 的长DG 〈 5 厘米,求它的宽DE 〈 ?EA DFB G C14.如图, ABCD 是一个长方形, E 点在CD 延长线上．已知AB 〈 5 ,BC 〈12 ,且三角形AFE 的面积等于20,那么三角形CFE 的面积等于多少？EA DB C15.如图,边长为10 的正方形中有一等宽的十字,其面积〈阴影部分〉为36 ,则十字中央的小正方形面积为．6 / 1019.〈迎春杯〉右图中平行四边形的面积是1080m2,则平行四边形的周长为m。

第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质（1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ．（2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线．注意：①四边形共有两条对角线．②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．（3）四边形的不稳定性：三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用．（4）四边形的内角和等于 360．（5）四边形的外角和等于 360．注意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．二．多边形的概念和性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．（2）任意多边形的外角和等于 360．（3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线．（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。

（5）正多边形的每个内角等于n n 180).2(-三、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线互相平分．（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．4．平行四边形的面积S=底边长×高=ah(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对（1）、平行四边形边的距离)．（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．四．矩形、1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。

四年级“一日一练”大汇总1、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第一个是 ，第六个数是 ．【答案】1540;【对应讲次】等差数列进阶【分析】中间项也就是第4项是2107=30÷，所以这7个数依次是15202530354045、、、、、、．2、甲、乙、丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖．甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，那么他们每人 块果汁糖．【答案】36【对应讲次】列方程解应用题【分析】设甲用x 天将糖吃完，根据三位同学有相同数目的糖建立方程，得：3(1)4(2)x x +=-3348x x +=-11x =由：3(111)36⨯+=或4(112)36⨯-=得他们每人得到36块果汁糖．3、用0，1，2，3，4可以组成 个没有重复数字的三位偶数．【答案】30【对应讲次】加法原理和乘法原理【分析】个位为0时：百位、十位从另外四个数中任选2个，共43=12⨯（个）． 个位为2时：百位不能是0，十位任选，共33=9⨯（个）．个位为4时：百位不能是0，十位任选，共33=9⨯（个）．因此共能组成30个没有重复数字的三位偶数．4、解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，那么再过 小时后，通讯员能赶上先遣队．【答案】1【对应讲次】相遇和追及（二）【分析】通讯员出发时距离先遣队61272⨯=（千米），追及时间()727861÷-=(小时) ．5、A 、B 、C 、D 四个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．所有比赛结束后，各队得分由高到低恰好是四个连续的自然数，那么这次比赛中共有 场平局．【答案】4【对应讲次】体育比赛中的数学问题【分析】由于每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以每场比赛两队的得分之和为2分或者3分，五支球队进行单循环赛，共进行4326⨯÷=场比赛，所以比赛完成之后各队总得分至少为6212⨯=分，最多为6318⨯=分，又各队得分是四个连续的自然数，而123410+++=，234514+++=，345618+++=．如四队得分为3,4,5,6，那么总得分为18分，则每场比赛两队的得分之和都为3分，即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分是一样的或者两只队的得分都是3的倍数（3分或0分），那么每支队的总得分应该一样或者都是3的倍数，而不可能出现不相等或者说有球队得4分或5分的情况，矛盾，所以四队得分不能为3,4,5,6，只能是2,3,4,5,又因为每平一局，所有队的总分减少1分，所以平局为18144-=（场）．6、（2013年数学解题能力展示四年级初赛第4题）定义A@B B B A A =⨯-⨯，则 12345699100@@@@++++= ．【答案】5050【对应讲次】定义新运算【分析】12345699100@@@@++++()()()()()()()()()()()()()()()()2211443366551001009999212143436565100991009921436510099123456991005050=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=+⨯-++⨯-++⨯-+++⨯-=++++++++=++++++++=7、（2013年数学解题能力展示四年级初赛第8题）小张早晨8点整从甲地出发去乙地，速度是每小时60千米．小王早晨9点整从乙地出发去甲地．小张到达乙地后立即沿原路返回，恰好在12点整与小王同时到达甲地．那么两人相遇时距离甲地 千米．【答案】96【对应讲次】相遇和追及（一）【分析】小张用4小时从甲地到乙地再回到甲地，所以甲乙两地距离6042120⨯÷=（千米）．小王用3小时从乙地到甲地，所以小王的速度为120340÷=（千米/时）．小王出发时，小张已经走了1小时，也就是已经走了60千米，所以两人再和走60千米就能相遇，其中小张走了()6060406036÷+⨯=（千米），所以相遇地点离甲地603696+=（千米）．8、（2013年第18届华杯赛中年级组初赛第3题）小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师，老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对，他们之中只有一个人说对了，这个人是（）．（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北【答案】C【对应讲次】逻辑推理之列表法、假设法【分析】小南说小东说的不对，小北说小南说的也不对，说明小北认为小东说的是对的，那么小北和小东一定是都对或都错，但只有一个人说对，那么小北和小东一定都错了，所以说对的人是小南．9、（2012年第13届上海中环杯四年级初赛第5题）一列火车经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座520米长的铁桥用了35秒．这列火车长米．【答案】180【对应讲次】火车过桥（一）（二）-=倍；【分析】火车的车长是其速度的9倍；故520米是其速度的35926所以火车速度为20米/秒；所以火车车长为180米.10、（2013年第11届希望杯四年级初赛第11题）如图，在一大一小两个正方形拼成的图形中，阴影部分的面积是50平方厘米，则小正方形的面积是平方厘米．【答案】100【对应讲次】四边形中的基本图形（一）（二）【分析】根据平行线间的等积变形，阴影部分的面积等于下图中蓝色阴影的面积，也就是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是100平方厘米．。

解析几何中的平行四边形特性平行四边形是解析几何中的一种基本图形，它具有许多特性和性质。

在本文中，我将详细解析几何中平行四边形的特性，包括定义、性质和相关定理。

一、定义平行四边形是指一种具有四条边都平行的四边形。

在平行四边形中，相邻边两两平行，相对边两两相等。

平行四边形的特点使得它在解析几何中具有重要的应用价值。

二、特性和性质1. 对角线等分平行四边形的对角线互相等分。

即对角线将平行四边形分成两个相等的三角形。

这一性质可以通过应用平行线的性质进行证明。

2. 对边相等平行四边形的对边互相相等。

这一性质可以通过使用平行线的性质以及等边三角形的性质进行证明。

3. 内角和为360度平行四边形的内角和等于360度。

这是因为平行四边形可以分割成两个相等的三角形，而三角形的内角和为180度，所以两个三角形的内角和加起来为360度。

4. 对角线的交点平行四边形的对角线交点将对角线平分，并且对角线和对角线之间的线段成比例。

这一特性十分有用，在解析几何的证明中经常被应用。

三、相关定理1. 平行四边形的定理平行四边形的定理包括：如果一个四边形的对边互相平行并且相等，则它是一个平行四边形。

这一定理是判定一个四边形是否为平行四边形的重要准则。

2. 平行四边形的约定定理平行四边形的约定定理包括：对于一个四边形，如果一对对边互相平行且相等，则该四边形是一个平行四边形。

这一定理是在已知对边平行且相等的情况下，判定四边形为平行四边形的准则。

3. 平行四边形的对角线定理平行四边形的对角线定理包括：在平行四边形中，对角线互相平分并且对角线之间线段成比例。

这一定理在解析几何的证明中经常被使用，帮助推导其他几何图形的性质。

四、应用举例平行四边形的特性和定理在解析几何中有许多具体的应用。

其中一些应用包括：1. 确定平行四边形通过判断四边形的对边是否平行且相等，可以确定一个四边形是否为平行四边形。

这对于解决几何问题和证明几何定理十分重要。

2. 求解平行四边形的性质通过运用平行四边形的特性和定理，可以求解平行四边形的内角、对角线长度等性质。

第十九章四边形19.1.1 平行四边形及其性质(一)一、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析例1是教材P84的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P84例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是3602．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质(二)一、教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P85的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还︒和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P85的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P85）．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，①已知一边长12，求各边的长②已知AB=2BC，求各边的长③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm7的两条线段，则ABCD的周长是__5，cm___cm．七、课后练习1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．19.1.2 平行四边形的判定（一）一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点3．重点：平行四边形的判定方法及应用．4．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P87的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

初中数学基本图形大全基本图形分析归类：类型一：圆中基本图形D⊥AB；弧BD；⑤弧AC=弧BCAB非直径。

、C、D四点共圆·2R(钝角△也适用)=（不能直接用，可构造R2）8、（弧AC=弧EC ） ⇒AM=CM=FM ;AC=EC;AE CD 21=; ABAD AE AM AC ⋅=⋅=2;BF OM 21=9∽CDE, △ABD ∽△AEC ∽BED,·AC=AD ·AE,AE ·DE=BE ·CEBAD ∠cos 2 关注∠BAC 为特殊角时图形的 10 AC 、AB 的对称点在⊙O 上，11DC 切⊙O 于C 点 知二推一12 ,BO ⊥DE , ∠DEF=90°-21∠A 13 14CE 切⊙O 于点E,知二推一15⇒C △PDE=PA+PB ∠DOE=)180(21P ∠-16 ①EA 切⊙O 于点A AE ∥CF ③AP=EP 知二推一17、 △ABD 、△ACE 为等边△⇒ BE=CD,BE 、CD 相交所成锐角为60° 18、正方形ABDE 、正方形ACFG ⇒EC=BG ,BG ⊥CE注：条件可为等腰Rt △19、①AD 平分∠CAB, ②DE ∥AC,③AE=DE 知二推一20、 △ABC 为等腰Rt △，AE 平分∠CAB ，BD ⊥AD⇒AE=2BD21、⇒C △ADE=AB+ACA B C DEA B C D E F G A B CD E A B C D E A B C D E M22、 △ACD 、△BCE 为等边△，A 、C 、B 三点共线⇒ △ACE ≌△DCB , △ACM ≌△DCN , △MCE ≌△NCB AE=BD,AM=DN,EM=BN,CM=CN,AE 、BD 相交所成锐角为60° AO=DO+CO,BO=EO+CO,OM+ON=OC,OC 平分∠AOB 注：△BCE 旋转时，结论有变化。

平行四边形底和高的长度关系一、概述平行四边形是一种基本的几何图形，其底和高的长度关系是几何学中的一个重要知识点。

本文将从定义、性质和应用三个方面，全面阐述平行四边形底和高的长度关系。

二、定义平行四边形是指有两对对边分别平行的四边形。

在平行四边形中，底是指两个相邻且平行的边中的任意一个，高则是指从该底所在点到与另一条底垂直且在同一水平线上的线段长度。

三、性质1. 平行四边形底和高互相垂直。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

又因为AD∥BC，所以∠EAF=∠EDC（同旁内角），而∠EAF+∠EDF=180°（EF为直线），因此∠EDF=90°，即EF与DC垂直。

因此，在任意一个平行四边形中，底和高互相垂直。

2. 平行四边形底和高之间存在等比例关系。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

设EF=x，AD=h，则由三角形相似可得：EF/AD=AB/DC即x/h=AB/DC因此，平行四边形底和高之间存在等比例关系。

3. 平行四边形底和高的长度关系为：面积=底×高。

证明：设ABCD为平行四边形，以AB为底，EF为高，则由定义可知EF与AB垂直。

设AB=a，AD=b，则平行四边形的面积为：S=EF×AB=(a×h)/2又因为h=2S/b，所以：S=(a×h)/2=(a×2S/b)/2=aS/b因此，平行四边形底和高的长度关系为：面积=底×高。

四、应用1. 计算平行四边形的面积。

根据性质3可知，在已知平行四边形的底和高的长度时，可以直接用公式S=底×高计算其面积。

例如，在一个平行四边形中，底长为8cm，高长为5cm，则其面积为40cm²。

2. 判断图形是否是平行四边形。

根据定义可知，在一个图形中如果有两对对边分别平行，则该图形是一个平行四边形。

四边形面积为对角线乘积的一半的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：本文将探讨四边形的一个特殊条件，即四边形的面积等于其对角线乘积的一半。

我们将分析这个条件的背景和提出的目的，以便更好地理解这一规律的重要性和应用价值。

四边形作为几何学中的基本图形之一，其性质和特征一直受到广泛关注和研究。

其中一个引人注目的问题是，四边形的面积与其对角线之间是否存在某种关系。

一些经验发现和数学推导表明，当四边形的面积等于其对角线乘积的一半时，将出现一些有趣的性质和结论。

因此，我们有必要进一步探究这个条件，以揭示其背后的数学原理。

本文的目的是通过系统的阐述和推导，使读者对四边形面积为对角线乘积一半的条件有一个全面且深入的理解。

我们将分别对条件一和条件二进行详细的背景介绍和解释，以便读者能够理解它们的相关性和确切含义。

最后，我们将总结这两个条件，并对四边形面积为对角线乘积一半的意义展开讨论。

通过阅读本文，读者将能够更好地理解四边形的性质和特征，以及在实际生活和学术研究中的应用。

这将为进一步扩展和应用这一条件提供基础，并促进几何学领域的进一步发展。

让我们开始深入研究这个引人瞩目的课题吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：1. 引言：介绍本文的研究目标和重要性，概述四边形面积为对角线乘积的一半的条件，并简要说明文章的结构。

2. 正文：2.1 条件一：2.1.1 背景介绍：介绍四边形的基本概念和性质，包括四边形的定义、特征以及其与对角线乘积之间的关系。

2.1.2 条件解释：详细论述四边形面积为对角线乘积的一半的条件，包括条件的数学表达式和几何意义。

解释为什么这个条件成立，可能涉及到一些证明过程或推导过程。

2.2 条件二：2.2.1 背景介绍：介绍条件二所涉及的相关概念和定理，可能包括平行四边形、垂直对角线等。

2.2.2 条件解释：详细论述四边形面积为对角线乘积的一半的条件，包括条件的数学表达式和几何意义。

中考数学考点复习---专题六《四边形》●中考点击考点分析：内容要求1、四边形和多边形的有关概念，四边形及多边形的内角和、外角和定理Ⅰ2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，运用相关知识进Ⅱ行证明及计算3、中心对称和中心对称图形的概念、性质及判定Ⅱ4、梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形的性质和判定，运用相Ⅱ关知识进行证明和计算；5、三角形、梯形中位线定理及其运用Ⅱ6、割补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积Ⅰ命题预测：四边形知识是中考的重点内容，纵观近几年的中考试题，四边形以其独特的魅力占据了一席之地，试题从拼图剪切分割、到阅读理解、科学探究发现应有尽有，题型涉及填空、选择、解答题等各种形式，尤其值得重视的是与四边形相关的开放探索性问题，以及与相似形、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。

在2004-2006 年的中考中，四边形知识的题量大约占全卷试题总量的14%-16%，平均分值一般占到12%左右，有些地区比例更高。

估计2007 年有关四边形试题将保持综合性，加大开放性，增强探索性，体现应用性。

●难点透视例1 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是.【考点要求】本题考查多边形内角公式与外角知识。

【思路点拨】设此凸多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于360°”的推论，列方程，得(n - 2) 180︒= 360︒,解得n=4.【答案】填 4.【方法点拨】部分学生因未能记住多边形内角和公式，导致无法求解。

突破方法：利用图形推导，理解记忆多边形内角和公式计算公式为：(n - 2) 180︒。

例2（2005 年荆门）下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（）A. B. C. D.【考点要求】本题考查轴对称与中心对称知识。

【思路点拨】一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形。

平行四边形的面积计算几何形中的实际应用在几何学中，平行四边形是一个常见的基本图形，它的应用十分广泛。

本文将介绍平行四边形的定义及其面积计算方法，并探讨其在实际应用中的具体运用。

1. 平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。

它有许多特性，例如：对角线相互平分、相邻角互补等等。

然而，在实际应用中，人们最常关注的是平行四边形的面积计算。

2. 平行四边形的面积计算要计算平行四边形的面积，我们需要知道它的基本形状参数，包括底边长和高度。

假设平行四边形的底边长为a，高度为h，则它的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 底边长 ×高度这个公式非常基础，它以底边长和高度为变量，可以灵活地适用于不同形状和大小的平行四边形。

3. 实际应用举例：建筑设计平行四边形的面积计算在建筑设计中有着重要的应用。

例如，在设计房屋的窗户时，设计师需要考虑窗户的尺寸和方位。

如果窗户采用平行四边形形状，设计师可以通过计算其面积，来确定所需玻璃的数量和成本。

这样的计算可以帮助设计师更好地控制项目预算，确保所用材料的准确量化。

4. 实际应用举例：地理测量平行四边形的面积计算也在地理测量中得到广泛应用。

通过扫描地表图像，测量地理区域的面积是一项重要的任务。

在这种情况下，平行四边形常被用于近似不规则区域的面积计算。

通过将不规则区域分割为多个平行四边形，然后分别计算每个平行四边形的面积，最终可以得到整个区域的近似面积。

5. 实际应用举例：航空航天平行四边形的面积计算在航空航天领域也有应用。

例如，当计算飞机和航天器的机翼面积时，平行四边形是一种常用的形状。

通过计算机翼平行四边形的面积，工程师可以评估飞机的升力和阻力，并为飞行控制和设计优化提供依据。

6. 结论平行四边形作为几何学中的基本图形之一，在实际应用中扮演着重要的角色。

通过计算其面积，我们可以解决许多与面积相关的问题，例如建筑设计、地理测量和航空航天等领域。

平行四边形的面积计算方法简单灵活，具有广泛的适用性，为实际问题的解决提供了有力的工具和理论依据。

几何图形的属性——四边形的判断与分类几何图形是数学中非常重要的一个概念，它们有着独特的属性和特点。

其中，四边形作为一种常见的几何图形，具有许多有趣的特性。

在本文中，我们将探讨四边形的判断与分类。

四边形是由四条线段组成的闭合图形。

根据四边形的性质，我们可以通过不同的方法来判断一个图形是否为四边形。

其中，最简单的方法是检查图形是否有四条边。

如果一个图形有且仅有四条边，并且这四条边都是线段，那么我们可以确定它是一个四边形。

然而，这只是一个最基本的判断方法。

除了边的数量外，四边形还有其他一些特殊的属性。

例如，四边形的内角和等于360度。

这意味着四边形的四个内角之和总是等于360度。

如果我们测量一个图形的四个内角，并将它们的度数相加，如果结果等于360度，那么我们可以确定这个图形是一个四边形。

根据四边形的边和角的特性，我们可以将四边形分为不同的类型。

最常见的四边形类型是矩形、正方形、平行四边形和菱形。

这些四边形具有不同的性质和特点。

矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度）。

此外，矩形的对边相等且平行。

这意味着矩形的两条相对边的长度相等，并且它们之间的夹角是直角。

矩形是一种非常常见的四边形，我们可以在日常生活中的许多物体中找到矩形的身影。

正方形是一种特殊的矩形，它的四个边长都相等。

正方形的四个内角也都是直角。

正方形具有独特的对称性和均匀性，因此在建筑、设计和艺术中被广泛应用。

平行四边形是一种四边形，它的对边是平行的。

平行四边形的对边长度相等，但它的内角不一定是直角。

平行四边形的特点是具有平行的对边，这使得它在几何学中有着重要的地位。

菱形是一种特殊的平行四边形，它的四个边长都相等。

菱形的对角线相互垂直且相等。

菱形具有对称性和均匀性，它在珠宝设计和纹身艺术中经常被使用。

除了这些常见的四边形类型外，还有其他一些特殊的四边形，如梯形、矩形和正方形。

梯形是一种至少有一对对边平行的四边形。

矩形和正方形是特殊的梯形，它们的两对对边都是平行的。

四边形全章回顾与思考教学目标1．利用基本图形结构使本章内容系统化．2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．3．总结常用添加辅助线的方法．4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．重点平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．难点提高数学思维能力．教学过程备注教学设计与师生互动第一步：全章知识线索说明：（1）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（2）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（3）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；第二步：全章基本方法1.基本方法.(1)利用基本图形结构使知识系统化；(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：(1)“特殊——一般——特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.第三步、随堂练习1.已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD 于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.3.已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).总结名称定义性质判定面积平行四边形两组对边平行的四边形叫平行四边形。

①对边平行②对边相等③对角相等④对角线互相平分⑤邻角互补⑥是中心对称图形①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。

一组对边平行的四边形四边形是平面几何中的一种基本图形，它有许多不同的类型，其中一种类型是指四边形的对边是平行的。

在本文中，我将介绍一组对边平行的四边形，并讨论它们的特点和性质。

第一种四边形是矩形。

矩形是一种特殊的平行四边形，它有两对对边是平行的，并且所有角都是直角。

矩形具有许多特点，如相邻角互补、对角线相等、面积等于长度乘以宽度等。

矩形在日常生活中经常出现，比如书桌、门窗等都是矩形的形状。

第二种四边形是平行四边形。

平行四边形有两对对边是平行的，但它的角没有特殊要求。

平行四边形的特点包括：对边相等、对角线平分、相邻角互补等。

平行四边形也广泛应用于生活中，比如电视机、画框等都是平行四边形的形状。

第三种四边形是菱形。

菱形是一种特殊的平行四边形，它有两对对边是平行的，并且所有边都相等。

菱形具有许多特点，如对角线互相垂直、对角线平分、面积等于对角线乘积的一半等。

菱形在建筑和装饰中经常出现，比如菱形格栅、菱形地砖等。

第四种四边形是梯形。

梯形有两对对边是平行的，但它的两对对边长度不一定相等。

梯形的特点包括：底角相等、对角线比例相等、中位线平行等。

梯形在工程设计中常常用于设计坡道、水坝等。

在这组对边平行的四边形中，它们有许多共同的特点和性质。

首先，它们都有两对对边是平行的，这使得它们的形状具有一定的规律性。

其次，它们的对边长度和角度有一定的关系，如矩形的对角线相等、平行四边形的对边相等等。

此外，它们在面积计算和几何推理中都有重要的应用。

总结起来，这组对边平行的四边形包括矩形、平行四边形、菱形和梯形。

它们的特点和性质各不相同，但都具有一定的规律性和应用价值。

通过研究和了解这些四边形，我们可以更好地理解平面几何中的基本图形，并应用于实际生活和工作中。