2.4BP算法推导

bp算法原理BP算法原理。

BP神经网络算法是一种常见的人工神经网络训练算法，它是由Rumelhart和McCelland等人提出的，也是目前应用最为广泛的一种神经网络学习算法。

BP算法的全称是“误差反向传播算法”，它主要用于训练多层前馈神经网络，通过不断调整网络中的权值和阈值，使得网络的输出结果与期望结果尽可能接近。

在本文中，我们将详细介绍BP算法的原理及其实现过程。

首先，我们需要了解BP算法的基本原理。

BP算法的核心思想是通过计算输出值和期望值之间的误差，然后将误差反向传播到网络中的各个神经元，根据误差大小来调整各个神经元之间的连接权值和阈值，从而不断优化网络的性能。

具体而言，BP算法包括两个主要的过程，即前向传播和反向传播。

在前向传播过程中，输入样本通过网络的输入层，经过隐藏层的处理，最终得到输出层的输出结果。

然后，将输出结果与期望输出进行比较，计算误差值。

接着，在反向传播过程中，将误差值从输出层开始逐层向前传播，根据误差值调整连接权值和阈值。

这样，通过不断迭代训练，网络的输出结果将逐渐接近期望输出，从而实现对神经网络的训练。

BP算法的实现过程可以分为以下几个步骤：1. 初始化网络，确定网络的结构，包括输入层、隐藏层和输出层的神经元数量，以及他们之间的连接权值和阈值。

2. 输入样本，将训练样本输入到网络中，通过前向传播计算得到输出结果。

3. 计算误差，将网络输出结果与期望输出进行比较，计算误差值。

4. 反向传播，根据误差值，从输出层开始逐层向前传播，调整连接权值和阈值。

5. 更新权值和阈值，根据误差值的大小，利用梯度下降法更新连接权值和阈值，使得误差逐渐减小。

6. 重复迭代，重复以上步骤，直到网络的输出结果与期望输出尽可能接近，或者达到预定的训练次数。

需要注意的是，BP算法的训练过程可能会受到一些因素的影响，比如局部最小值、过拟合等问题。

为了解决这些问题，可以采用一些改进的BP算法，比如动量法、学习率衰减等方法，来提高网络的训练效果。

BP算法推导过程与讨论BP（Backpropagation）算法是一种用于训练神经网络的优化算法。

它通过将网络得到的输出与期望的输出进行比较，计算网络的误差，并通过误差反向传播来更新网络的权重，以达到优化网络性能的目的。

下面是BP算法的推导过程与讨论。

首先，假设我们有一个三层的前馈神经网络，包括输入层、隐藏层和输出层。

网络的输入向量为x，对应的权重矩阵为W，输出向量为y，对应的权重矩阵为V。

我们的目标是通过调整权重矩阵W和V，使得网络的输出y与期望的输出y^尽可能接近。

为了衡量网络输出的误差，一种常用的方法是均方误差（MSE），即误差函数定义为E=1/2*(y-y^)²。

BP算法的核心思想是通过梯度下降法来最小化误差函数。

梯度下降法的基本思路是沿着误差函数的负梯度方向更新权重，以减小误差函数的值。

为了推导BP算法的更新规则，我们需要计算误差函数对权重矩阵W和V的偏导数，即∂E/∂W和∂E/∂V。

然后根据链式法则，我们可以得到误差函数对输入向量x的偏导数∂E/∂x。

首先，计算误差函数对输出向量y的偏导数∂E/∂y。

根据链式法则，我们有∂E/∂y = ∂E/∂o ∙∂o/∂y，其中o表示输出函数，可以是线性函数或非线性函数，关键在于选择合适的激活函数。

对于线性函数，∂o/∂y = 1；对于Sigmoid函数，则有∂o/∂y = o ∙ (1 - o)。

然后，计算误差函数对权重矩阵V的偏导数∂E/∂V。

根据链式法则，我们有∂E/∂V=∂E/∂y∙∂y/∂V。

再次应用链式法则，可以得到∂E/∂y=∂E/∂o∙∂o/∂y=∂E/∂o∙∂o/∂y∙∂y/∂V。

根据定义，∂E/∂o=(y-y^)，∂y/∂V=h，其中h表示隐藏层的输出向量。

接下来，我们来计算误差函数对权重矩阵W的偏导数∂E/∂W。

同样地，根据链式法则，我们有∂E/∂W=∂E/∂y∙∂y/∂W。

再次应用链式法则，可以得到∂E/∂y=∂E/∂o∙∂o/∂y=∂E/∂o∙∂o/∂y∙∂y/∂h∙∂h/∂W。

BP算法BP算法可以描述如下（分两步）：（1）工作信号的正向传播：输入信号从输入层经隐层，传向输出层，在输出端产生输出信号，这是工作信号的正向传播。

在信号的正向传播过程中权值和阈值是固定不变的，每一层神经元的状态只能影响下一层神经元的状态。

如果在输出层不能得到期望的输出，则转入误差信号的反向传播。

（2）误差信号的反向传播：网络的期望输出与实际输出即为误差信号，误差信号由输出端开始逐层向前传播，这是误差信号的反向传播。

在误差信号的反向传播过程中，网络的权值和阈值由误差反馈进行调节，通过不断修改权值和阈值使网络的输出更接近期望输出。

下面以含有两个隐层的BP网络为例，推导BP算法。

设输入层为M个输入信号，任一输入信号用m表示。

第1隐层为I，表示有I个神经元，任一神经元用i表示。

第2隐层为J，表示有J 个神经元，任一神经元用j 表示。

输出层为P ，表示有P 个神经元，任一神经元用p 表示。

约定：神经元的输入用u 表示，输出用v 表示，u 和v 的上标表示层，下标表示某个神经元。

如I i u 表示第I 层（第1隐层）的第i 个神经元的输入。

Ii θ表示第I 层（第1隐层）第i 个神经元的阈值。

IMim w 表示第M 层（前一层）的第m 个输出（?神经元）到第I 层的第i 个神经元的权值。

所有神经元的激励函数均用logsig 函数。

设训练样本集为12{,,...,}N X X X X =，对应任一训练样本:12[,,...,],(1,2,...,)T k k k kM X X X X k N ==的实际输出为：12[,,...,]T k k k kP Y y y y =，期望输出为12[,,...,]T k k k kP d d d d =。

设n 为迭代次数，权值、阈值和实际输出是n 的函数。

网络输入训练样本X k ，由工作信号的正向传播过程可得：1122...I IM IM IM I i i k i k iM kM i u w x w x w x θ=++++ ()I I i i v f u =1MIMIimkm i m w x θ==+∑1()MIMI im km i m f w x θ==+∑1122...J JI I JI I JI I Jj j j jI I ju w v w v w v θ=++++()J Jj j v f u =1IJI IJji ij i w v θ==+∑1()IJI I Jji i j i f w v θ==+∑1122...P PJ J PJ J PJ J P p p p pJ J p u w v w v w v θ=++++ ()P Pkp p p y v f u ==1JPJJ P pjjpj w v θ==+∑1()JPJ J Ppj j p j f w v θ==+∑输出层第p 个神经元的误差信号为()()()kp kp kp e n d n y n =-，定义神经元p 的误差为21()2kp e n ，则输出层所有神经元的误差为222212111()(()()...())()22P k k kP kp p E n e n e n e n e n ==+++=∑。

bp算法公式
BP算法是一种常用的人工神经网络训练算法。

其全称为“反向传播算法”，其基本思想是利用链式求导法则，通过计算输出误差对每个权重的偏导数来更新网络中各层之间的连接权重，从而不断调整网络参数直到达到预定的训练目标。

BP算法的公式如下：
1. 前向传播
对于输入样本x，在神经网络中进行前向传播，计算出每个神经元的输出值，并将这些值作为输入传递到下一层神经元中，直至输出层。

2. 计算误差项
对于输出层每个神经元j，计算其误差项δj = yj - tj，其中yj为神经元j的输出值，tj为样本对应的真实标签值。

3. 反向传播
从输出层开始，计算每个神经元的误差项，然后根据误差项计算每个权重的偏导数，最后根据偏导数调整权重。

对于隐藏层每个神经元h，其误差项δh可由以下公式计算：
δh = f"(netH) * Σ(δj * wjh)
其中f"为h的激活函数的导数，netH表示神经元h的净输入，wjh为从神经元h到神经元j的权重，Σ表示对输出层每个神经元j 求和。

对于连接h->j的权重wjh，其偏导数可以使用以下公式计算： E/wjh = δj * ah
其中ah为连接h->j的输入值。

4. 更新权重
根据计算出来的各个权重的偏导数，利用梯度下降法更新权重。

具体地，对于权重wjh，更新方式为：
wjh = wjh - η * E/wjh
其中η为学习率，即权重的调整步长。

bp算法原理BP算法原理BP算法是神经网络中应用最广泛的一种学习算法，它的全称是“反向传播算法”，用于训练多层前馈神经网络。

BP算法基于误差反向传播原理，即先通过前向传播计算网络输出值，再通过反向传播来调整各个神经元的权重，使误差函数最小化。

BP算法的步骤如下：1. 初始化：随机初始化网络每个神经元的权重，包括输入层、隐藏层和输出层的神经元的权重。

2. 前向传播：将训练样本输送到输入层，通过乘积和运算得到每个隐藏层神经元的输出，再通过激活函数得到隐藏层神经元的实际输出值。

然后，将隐藏层的输出值输送到输出层，按照同样的方法计算输出层神经元的输出值。

3. 反向传播：通过误差函数计算输出层神经元的误差值，然后反向传播计算隐藏层神经元的误差值。

4. 权值调整：按照梯度下降法，计算误差对每个神经元的权重的偏导数，根据偏导数的大小来调整各个神经元的权重，使误差逐渐减小。

5. 重复步骤2~4，直到误差小到一定程度或者训练次数达到预定值。

其中，误差函数可以选择MSE（Mean Squared Error）函数，也可以选择交叉熵函数等其他函数，不同的函数对应不同的优化目标。

BP算法原理的理解需要理解以下几个方面：1. 神经元的输入和输出：神经元的输入是由上一层神经元的输出和它们之间的权重乘积的和，加上神经元的偏置值（常数）。

神经元的输出是通过激活函数把输入值转化为输出值。

2. 前向传播和反向传播：前向传播是按照输入层到输出层的顺序计算神经元的输出值。

反向传播是一种误差反向传播的过程，它把误差从输出层往回传递，计算出每个神经元的误差，然后调整各个神经元的权重来使误差逐渐减小。

3. 梯度下降法：梯度下降法是一种优化算法，根据误差函数的梯度方向来寻找误差最小的点。

BP算法就是基于梯度下降法来优化误差函数的值，使神经网络的输出结果逼近实际值。

综上所述，BP算法是一种常用的神经网络学习算法，它利用前向传播和反向传播的过程来调整神经元的权重，不断优化误差函数的值，从而使神经网络的输出结果更加准确。

BP算法链式法则1. 引言BP算法（Backpropagation algorithm）是一种常用的神经网络训练算法，用于调整神经网络中的权值，以使得网络输出与期望输出之间的误差最小化。

BP算法的核心思想是通过使用链式法则，将误差逐层反向传播，从而计算每个神经元的权值更新量。

在本文中，我们将详细介绍BP算法的链式法则，并解释其原理和应用。

我们将首先介绍BP算法的基本思想，然后详细讨论链式法则的推导过程，最后给出一个具体的示例来帮助理解。

2. BP算法的基本思想BP算法是一种监督学习算法，其目标是通过调整神经网络的权值，使得网络的输出尽可能接近期望输出。

BP算法的基本思想是通过反向传播误差信号，逐层调整权值。

BP算法的训练过程可以分为两个阶段：前向传播和反向传播。

在前向传播阶段，输入样本经过网络的每一层计算，直到得到输出层的输出。

在反向传播阶段，根据输出层的误差，逐层计算每个神经元的权值更新量。

3. 链式法则的推导过程链式法则是BP算法中的关键步骤，它允许我们计算每个神经元的权值更新量。

下面我们将详细推导链式法则的数学公式。

设神经网络的输出为y，期望输出为d，则输出层的误差可以表示为：E=12(y−d)2我们的目标是最小化误差E，因此需要计算误差对权值的偏导数。

根据链式法则，我们可以将误差的偏导数表示为：∂E ∂w ij =∂E∂y⋅∂y∂net j⋅∂net j∂w ij其中，w ij表示连接第i个神经元和第j个神经元的权值，net j表示第j个神经元的输入。

我们可以将上述式子展开，得到：∂E ∂w ij=(y −d )⋅f′(net j )⋅x i 其中，f′(net j )表示第j 个神经元的激活函数的导数，x i 表示连接输入层和第i 个神经元的输入。

通过上述公式，我们可以计算出输出层每个神经元的权值更新量。

然后，我们可以利用类似的方法计算隐藏层和输入层的权值更新量。

假设神经网络有L 个隐藏层，n l 表示第l 个隐藏层的神经元数目，w ij (l )表示连接第l 个隐藏层的第i 个神经元和第l +1个隐藏层的第j 个神经元的权值。

BP反向传播算法原理及公式推导反向传播算法（Backpropagation，BP）是神经网络中常用的一种训练算法，通过基于梯度下降的方式来调整神经网络的权重和偏差，以最小化网络的损失函数。

本文将对BP算法的原理及公式推导进行详细介绍。

1.BP算法原理BP算法的原理是基于反向误差传播，即通过将误差从输出层逐层向前传播，更新每一层的权重和偏差。

它的基本思想是先将输入样本通过前向传播得到输出值，然后计算输出值与真实值之间的误差，最后通过反向传播调整网络参数。

2.BP算法过程BP算法的过程可以分为三部分：前向传播、计算误差、反向传播。

（1）前向传播：从输入层开始，将输入样本通过网络的每一层逐层计算得到输出值。

具体步骤如下：-将输入样本赋值给输入层。

- 对于每一层，计算该层的输出值：$o_j = f(\sumw_{ij}x_i+b_j)$，其中$o_j$为第j个神经元的输出值，$w_{ij}$为第i 个输入与第j个神经元的连接权重，$x_i$为第i个输入值，$b_j$为第j 个神经元的偏差，$f$为激活函数。

-将每一层的输出作为下一层的输入，逐层进行计算，直至得到输出层的输出值。

（2）计算误差：计算输出值与真实值之间的误差，用于评估网络的性能。

- 根据网络的输出值和真实值，计算输出层的误差项：$E_j=\frac{1}{2}(y_j-o_j)^2$，其中$E_j$为第j个输出神经元的误差项，$y_j$为真实值，$o_j$为网络的输出值。

-对于其他层，计算误差项：$E_j=f'(net_j)\sum E_kw_{kj}$其中$E_j$为第j个神经元的误差项，$f'(net_j)$为激活函数的导数，$net_j$为输入值，E为下一层的误差项，$w_{kj}$为第j个神经元与下一层的第k个神经元的连接权重。

（3）反向传播：根据误差项通过梯度下降法更新权重和偏差。

- 根据参数的更新率和误差项计算权重的更新量：$\Delta w_{ij}=-\eta\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$，其中$\eta$为学习率，$\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$为损失函数对权重$w_{ij}$的偏导数。

BP算法的基本原理BP算法（反向传播算法）是一种神经网络训练算法，用于更新神经网络的权重和偏置，以使之能够适应所需任务的输入输出关系。

BP算法基于梯度下降优化方法，通过求解损失函数关于权重和偏置的偏导数来进行参数更新。

其基本原理涉及到神经网络的前向传播和反向传播两个过程。

以下将详细介绍BP算法的基本原理。

1.前向传播：在神经网络的前向传播过程中，输入数据通过网络的各个层，通过各个神经元的激活函数，最终得到网络的输出。

在前向传播过程中，每个神经元接收到上一层的信号，并通过权重和偏置进行加权求和，然后经过激活函数处理后输出。

具体而言，假设神经网络有L层，第l层的神经元为h(l)，输入为x，激活函数为f(l)，权重为w(l)，偏置为b(l)。

其中，输入层为第1层，隐藏层和输出层分别为第2层到第L层。

对于第l层的神经元h(l)，其输入信号为：z(l)=w(l)*h(l-1)+b(l)其中，h(l-1)表示第(l-1)层的神经元的输出。

然后，通过激活函数f(l)处理输入信号z(l)得到第l层的输出信号：h(l)=f(l)(z(l))。

依次类推，通过前向传播过程，神经网络可以将输入信号转化为输出信号。

2.反向传播：在神经网络的反向传播过程中，根据网络的输出和真实值之间的差异，通过链式法则来计算损失函数对于各层权重和偏置的偏导数，然后根据梯度下降法则对权重和偏置进行更新。

具体而言，假设网络的输出为y，损失函数为L，权重和偏置为w和b，求解L对w和b的偏导数的过程为反向传播。

首先，计算L对于网络输出y的偏导数：δ(L)/δy = dL(y)/dy。

然后，根据链式法则，计算L对于第L层的输入信号z(L)的偏导数：δ(L)/δz(L)=δ(L)/δy*δy/δz(L)。

接着，计算L对于第(L-1)层的输入信号z(L-1)的偏导数：δ(L)/δz(L-1) = δ(L)/δz(L) * dz(L)/dz(L-1)。

依次类推，通过链式法则得到L对于各层输入信号z(l)的偏导数。

BP算法的基本原理BP算法，全称为反向传播算法（Back Propagation），是一种用于训练人工神经网络的常用算法。

它基于梯度下降的思想，通过不断地调整网络中的权值和偏置来最小化预测值与实际值之间的误差。

在前向传播阶段，输入数据通过网络的各个层，产生输出结果。

首先，每个输入特征通过输入层的神经元传递，并在隐藏层中进行加权求和。

在隐藏层中，每个神经元根据激活函数的结果计算输出值，然后传递给下一层的神经元。

最后，输出层的神经元根据激活函数的结果计算输出结果，并与实际值进行比较。

在反向传播阶段，误差被反向传播回网络中的每个神经元，从而计算每个权值和偏置的梯度，以便调整它们的值。

首先，计算输出层误差，即预测值与实际值之间的差异。

然后，将输出层误差反向传播到隐藏层和输入层，计算每个神经元的误差。

最后，根据误差和激活函数的导数，计算每个权值和偏置的梯度。

通过计算梯度，可以根据梯度下降的思想，按照一定的学习率调整每个权值和偏置的值。

学习率决定了每次调整的幅度，通常设置为一个小的正数。

在调整过程中，权值和偏置会根据梯度的方向逐渐减小误差，直到达到最小化误差的目标。

总结起来，BP算法的基本原理可以归纳为以下几个步骤：1.初始化网络的权值和偏置。

2.前向传播：输入数据通过网络的各个层，产生输出结果。

3.计算输出层误差：根据预测值和实际值之间的差异，计算输出层的误差。

4.反向传播：将输出层误差反向传播到隐藏层和输入层，并计算每个神经元的误差。

5.计算梯度：根据误差和激活函数的导数，计算每个权值和偏置的梯度。

6.根据梯度下降的思想，按照一定的学习率调整每个权值和偏置的值。

7.重复步骤2~6，直到达到最小化误差的目标。

需要注意的是，BP算法可能会面临一些问题，例如局部极小值和过拟合等。

为了解决这些问题，可以采用一些改进的技术，例如随机梯度下降、正则化等方法。

总之，BP算法是一种通过调整权值和偏置来训练人工神经网络的常用算法。