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佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。
5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。
7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。
四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。
Matlab插值法实验⽬的：1.Matlab中多项式的表⽰及多项式运算2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法3.⽤多项式插值法拟合数据实验要求：1.掌握多项式的表⽰和运算2.拉格朗⽇插值法的实现（参见吕同富版教材）3.⽜顿插值法的实现（参见吕同富版教材）实验内容：1.多项式的表达式和创建；多项式的四则运算、导数与积分。
2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法。
3.⽤多项式插值法拟合数据。
实验步骤： 1.多项式的表达式，MATLAB中使⽤以为向量来表⽰多项式，将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。
多项式P(x)的具体表⽰⽅法：的系数构成向量为：。
⽰例如下： 将向量表⽰的多项式⽤字符串输出的通⽤函数⽰例： 例⼦运⾏⽰例： 多项式的加法： 结果是 多项式乘法： 结果是 多项式除法： 多项式导数： 2.⽤Matlab实现拉格朗⽇，拉格朗⽇代码：1 function yi=Lagrange(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);p=length(xi);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 s=0;7for k=1:n8 t=ones(1,p);9for j=1:n10if j~=k11 t=t.*(xi-x(j))./(x(k)-x(j));12 end13 end14 s=s+t.*y(k);15 end16 yi=s;17 endLagrange 运⾏⽰例： ⽜顿插值法代码：1 function yi=newtonint(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 %根据差商表,求对应的⽜顿插值多项式在x=xi处的值yi14 N(1)=A(1,1);15for j=2:n16 T=1;17for i=1:j-118 T=T*(xi-x(i));19 end20 N(j)=A(1,j)*T;21 end22 yi=sum(N); %将x=xi带⼊⽜顿插值多项式，得到的yi的值23 %A 输出差商表24 endnewtonint 运⾏实例： 等距节点的⽜顿向后插值代码：1 function yi=newtonint1(x,y,xi)2 h=x(2)-x(1);t=(xi-x(1))/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[diff(y',k);zeros(k,1)];6 end7 yi=Y(1,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(1,i+1)*z/prod([1:i]);14 endnewtonint1 运⾏实例： 等距节点的⽜顿向前插值代码：1 function yi=newtonint2(x,y,xi)2 n=length(x);h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[zeros(k,1);diff(y',k)];6 end7 h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;yi=Y(n,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(n,i+1)*(-1)^i*z/prod([1:i]);14 endnewtonint2 运⾏⽰例： 3.使⽤4次⽜顿插值多项式插值，并作图： 解：由4次⽜顿插值多项式， 求上述多项式的系数：（修改newtonint.m代码，得到差商表），代码如下：1 function B=newtonint4(x,y)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 B=A;14 endnewtonint4 代⼊数据得到差商表：0.98-0.3-0.625-0.2083-0.52080.92-0.55-0.75-0.62500.81-0.85-1.125000.64-1.30000.380000 已知，第⼀⾏的便是插值多项式的系数，代⼊插值多项式： 并作出图像：1 x0=[0.20.40.60.81.0];2 y0=[0.980.920.810.640.38];3 plot(x0,y0,'b-o')4 hold on5 k=0:1:10;6 x=0.2+0.08*k;7for i=1:1:118 y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.2083333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.520833333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8);9 end10 plot(x,y,'r-o');11 legend('原图像','4次插值图像');plot3⼩结： 在编写⽜顿插值的代码时，我遇到了超出元组索引的问题。
实验二插值法实验2.1（多项式插值的振荡现象） (3)实验要求1： (3)程序： .................................................................................................................................................. 3 主函数： .............................................................................................................................................. 3 实验结果： .......................................................................................................................................... 5 实验要求2： .. (6)（1）对：4()1xh x x=+ .................................................................................................................... 6 程序： .................................................................................................................................................. 6 主函数： .............................................................................................................................................. 6 实验结果： .......................................................................................................................................... 8 实验分析 .............................................................................................................................................. 8 （2）对g （x ）=arctan x .................................................................................................................... 8 程序： .................................................................................................................................................. 8 实验结果： ........................................................................................................................................ 10 实验分析 .............................................................................................................................................11 实验要求3： . (11)程序： .................................................................................................................................................11 实验结果： ........................................................................................................................................ 13 实验分析： . (14)实验2.2（样条插值的收敛性） (15)实验要求（一） (15)程序： ................................................................................................................................................ 15 数值实验结果 .................................................................................................................................... 15 实验分析 ............................................................................................................................................ 17 实验要求（二）： .. (17)程序： ................................................................................................................................................ 17 实验总结： . (19)实验2.3 (20)程序： ................................................................................................................................................ 20 运行结果： . (20)实验2.1（多项式插值的振荡现象）实验要求1：程序：M文件：lagrange.mtest1p1.mLagrange函数：%lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end主函数：x1=[-1:1:1];y1=1./(1+25*x1.^2);x2=[-1:0.5:1];y2=1./(1+25*x2.^2);x3=[-1:0.4:1];y3=1./(1+25*x3.^2);x4=[-1:0.25:1];y4=1./(1+25*x4.^2); x5=[-1:0.2:1];y5=1./(1+25*x5.^2); x6=[-1:0.1:1];y6=1./(1+25*x6.^2); x0=[-1:0.01:1];subplot(4,2,1)y7=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y7,'-b')y0=lagrange(x1,y1,x0);y1=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,2)plot(x0,y0,'--b')y0=lagrange(x2,y2,x0);y2=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,3)plot(x0,y0,'-g')y0=lagrange(x3,y3,x0);y3=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,4)plot(x0,y0,'--g')y0=lagrange(x4,y4,x0);y4=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,5)plot(x0,y0,'-r')y0=lagrange(x5,y5,x0);y5=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,6)plot(x0,y0,'--r')y0=lagrange(x6,y6,x0);y6=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,7)plot(x0,y0,'-y')数值实验结果及分析：图一为原函数曲线。
Matlab插值实验一、实验目的1.熟悉MATLAB的运行环境.2.学会使用MATLAB作图.3.学会使用MATLAB编程.二、实验内容实验一：几何物理中的插值问题1. 轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。
2. 物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如下表求 (1) 物体从位移为0到0.4所做的功；(2) 位移为0.4时的速度是多少？3．火车行驶的距离(路程)﹑速度数据如下，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
4. 确定地球与金星之间的距离天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？实验二1.山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800） （0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表4.12所示，试作出该山区的地貌图和等高线图。
三、实验环境Windows 操作系统; MATLAB 7.0.四、实验过程 实验一：1. 因为插值点越多，划分越细则，又因为等间距则，当0x ∆→时，我们视插值点的矩形面积为i y x ⨯∆，则总面积为1ni i S y x ==∆∑，8.534x n∆=，则 x=linspace(0,8.534,11);y=[0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073]; plot(x,y)123456789012345678910cx=linspace(0,8.534,100); s=0;cy=interp1(x,y,cx, 'spline'); for i=1:100s=s+8.534./100.*cy(i);endz =sz =64.74762.x=linspace(0,0.4,5);y=[20 21 21 20 19];plot(x,y)cx=linspace(0,0.4,20);s=0;for i=1:20cy(i)=interp1(x,y,cx(i));s=s+0.4.*cy(i)./20;endz=sz =8.1316(2)假设初始速度为0，则0.4时刻的速度为v=（2*z/m）.^(1./2)（其中m为物体的质量）。
