考点19 等比数列(讲解)(解析版)

第3节 等比数列一、教材概念·结论·性质重现 1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q ，那么数列{a n }就称为等比数列，其中q 称为等比数列的公比，定义的递推公式为a n ＋1a n＝q (常数)．(2)等比中项：如果x ，G ，y 是等比数列，那么称G 为x 与y 的等比中项．因此G 2＝xy .(1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0；②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数．(2)“G 2＝xy ”是“x ，G ，y 成等比数列”的必要不充分条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.(1)等比数列通项公式与指数函数的关系等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1还可以改写为a n ＝a 1q ·q n，当q ≠1且a 1≠0时，y ＝q x 是指数函数，y ＝a 1q ·q x 是指数型函数，因此数列{a n }的图像是函数y ＝a 1q ·q x的图像上一些孤立的点．(2)求等比数列前n 项和时要对公比q 是否等于1进行分类讨论． 3．等比数列的有关性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{ba n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n ，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 仍然是等比数列(其中b ，p ，q 是非零常数)．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k .(5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n ，…成等比数列．4．等比数列{a n }的单调性5．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m ⇔q n＝S n ＋m －S nS m (q 为公比)．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)任意两个实数都有等比中项．( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4C 解析：因为a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，所以a 5＝±4. 又因为a 5＝a 3q 2＞0，所以a 5＝4.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 解析：根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．27,81 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)39 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n ，则2n ＝8×210＝213，所以n ＝13. 即病毒共复制了13次． 所以所需时间为13×3＝39(秒).考点1 等比数列基本量的运算——基础性1．已知公比大于0的等比数列{a n }满足a 1＝3，前三项和S 3＝21，则a 2＋a 3＋a 4＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84B 解析：S 3＝21＝a 1(1－q 3)1－q ＝3(1＋q ＋q 2)，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍)，所以a 2＋a 3＋a 4＝qS 3＝2×21＝42.2．在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 4或－4 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)， 则⎩⎨⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 所以⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.3．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.1213解析：由a 24＝a 6，得(a 1q 3)2＝a 1q 5， 整理得q ＝1a 1＝3，所以S 5＝13(1－35)1－3＝1213.4．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________.－3或32 解析：(方法一：直接法)因为数列{a n }是等比数列， 所以当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，显然S 3＝3a 3＝92. 当q ≠1时，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝92，a 1q 2＝32，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．所以a 2＝a 3q ＝32×(－2)＝－3. 综上可知a 2＝－3或32.(方法二：优解法)由a 3＝32得a 1＋a 2＝3. 所以a 3q 2＋a 3q ＝3， 即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1. 所以a 2＝a 3q ＝－3或32.等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．考点2 等比数列的性质及应用——应用性(1)(2020·宝鸡二模)等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．15C ．8D ．2＋log 35B 解析：因为等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，所以a 5a 6＝a 3a 8＝27，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1×a 2×a 3×…×a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 327＝15.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.－12 解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.1．本例(1)条件不变， 则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.30 解析：因为等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，所以a 5a 6＝a 3a 8＝27,所以a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝ (a 1·a 2·…·a 10)＝ (a 1a 10)5＝(a 5a 6)5＝315＝2log 3315＝30.2．本例(1)把条件变为“在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 017－a 22 018＋2a 2019＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 018＝a 2 018”，试求log 2(b 2 017·b 2 019)的值．解：因为等差数列{a n }中a 2 017＋a 2 019＝2a 2 018，所以2a 2 017－a 22 018＋2a 2 019＝4a 2 018－a 22 018＝0.因为各项不为零，所以a 2 018＝4. 因为数列{b n }是等比数列，所以b 2 017·b 2 019＝a 22 018＝16，所以log 2(b 2 017·b 2 019)＝log 216＝4.等比数列性质应用的要点(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 5＝8，S 10＝7，求a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15的值．解：因为a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝S 15－S 10，且S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等比数列，即8，－1，S 15－S 10成等比数列，所以8(S 15－S 10)＝1，即S 15－S 10＝18，所以a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝18.考点3 等比数列的判定和证明——综合性考向1 用等比数列的定义证明已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋3n －1，b n ＝a n ＋n . (1)证明：数列{b n }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明：因为b n ＝a n ＋n ，所以b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1. 又因为a n ＋1＝4a n ＋3n －1， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝(4a n ＋3n －1)＋n ＋1a n ＋n＝4(a n ＋n )a n ＋n＝4.又因为b 1＝a 1＋1＝1＋1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列． (2)解：由(1)求解知，b n ＝2×4n －1， 所以a n ＝b n －n ＝2×4n －1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(1＋4＋42＋…＋4n －1)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－4n )1－4－n (n ＋1)2＝23(4n －1)－12n 2－12n .判断或证明一个数列为等比数列时应注意的问题(1)判断或者证明数列为等比数列最基本的方法是用定义判断，其他方法最后都要回到定义．(2)判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n 项和公式法，但在解答题中不作为证明方法．(3)若要判断一个数列不是等比数列，只需判断存在连续三项不成等比数列． 考向2 用等比中项法证明等比数列在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：因为a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1. 因为a 1＝2，a 2＝5，所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝6， 所以a 2＋1a 1＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1， 所以S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.证明等比数列问题的注意点(1)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明q ≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．1．设{a n }为等比数列，给出四个数列：①{2a n }；②{a 2n }；③{2a n }；④{log 2|a n |}，其中一定为等比数列的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④A 解析：{a n }为等比数列，设其公比为q ，则通项公式为a 1q n －1， 所以对于①，数列{2a n }是以2a 1为首项，以q 为公比的等比数列； 对于②，a 2na 2n －1＝q 2为常数，又因为a 21≠0，故②为等比数列； 对于③，2a n2a n －1＝2a n －(a n －1)，不一定为常数； 对于④，log 2|a n |log 2|a n －1|＝log 2|a 1q n －1|log 2|a 1q n －2|，不一定为常数．2．(2021·八省联考)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n 可得a n ＋2＋a n ＋1＝3a n ＋1＋3a n ＝3(a n ＋1＋a n )． 因为各项都为正数，所以a 1＋a 2>0.所以{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)构造a n ＋2－3a n ＋1＝k (a n ＋1－3a n )，整理得a n ＋2＝(k ＋3)a n ＋1－3ka n . 所以k ＝－1，即a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )．所以a n ＋1－3a n ＝－(a n －3a n －1)＝(－1)2×(a n －1－3a n －2)＝…＝(a 2－3a 1)×(－1)n －1＝0.所以a n ＋1＝3a n .所以{a n }是以a 1＝12为首项，3为公比的等比数列．所以a n ＝3n －12(n ∈N ＋)．3．在数列{a n }中，已知a n ＋1a n ＝2a n －a n ＋1，且a 1＝2(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列；(2)设b n ＝a 2n －a n ，且S n 为{b n }的前n 项和，试证：2≤S n ＜3. 证明：(1)由a n ＋1a n ＝2a n －a n ＋1，得2a n ＋1－1a n ＝1，即1a n ＋1－12a n ＝12，所以1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.因为a 1＝2，所以1a 1－1＝12－1＝－12≠0， 所以1a n ＋1－11a n －1＝12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列．(2)因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，且首项为－12，公比为12， 所以1a n －1＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＝2n2n －1.所以b n ＝a 2n －a n ＝a n (a n －1)＝2n 2n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2n －1－1＝2n (2n －1)2.因为b 1＝2，b n ＝2n(2n －1)2>0，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ≥2.又b n ＝2n (2n －1)2＝2n 22n －2·2n ＋1<2n 22n －2·2n ＝12n －2≤12n －1(n ≥2)，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <2＋12＋122＋…＋12n －1＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝3－12n －1<3.所以2≤S n ＜3.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝60，则S 30＝________.[四字程序] 读想算思求S 301.求和公式；2．如何确定首项与公比？等比数列的基本运算转化与化归等比数列， S 10＝20， S 20＝601.基本量法； 2．性质法1.列方程组求基本量；2．利用性质直接求解1.求和公式； 2．通项公式； 3．和的性质思路参考：用a 1，q 表示S 10，S 20，求q 10.140 解析：设数列{a n }的公比为q ，因为S 20≠2S 10，故q ≠1. 又S 10＝20，S 20＝60，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝20，a 1(1－q 20)1－q ＝60.两式相比得q 10＝2，所以S 30＝S 10＋q 10S 20＝20＋2×60＝140.思路参考：利用性质S 2n S n＝1－q 2n 1－q n .140 解析：由S 10＝20，S 20＝60，易得公比q ≠±1，根据等比数列前n 项和的性质，可得S 20S 10＝1－q 201－q 10，即6020＝1－q 201－q 10＝1＋q 10，解得q 10＝2.又S 30S 10＝1－q 301－q10，所以S 3020＝1－231－2＝7，S 30＝140.思路参考：利用性质S n ＋m ＝S n ＋q n S m .140 解析：根据等比数列前n 项和的性质，可得S 20＝S 10＋q 10S 10，即60＝20＋20q 10，解得q 10＝2，所以S 30＝S 10＋q 10S 20＝20＋2×60＝140.思路参考：利用性质S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比．140 解析：根据等比数列前n 项和的性质，可知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，则(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(60－20)2＝20(S 30－60)，解得S 30＝140.1．本题考查等比数列的求和问题，解法灵活多变，要注意认真计算或转化． 2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握运算求解能力、推理能力和转化能力．3．本题可以从不同的角度解答，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．3 解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1， 得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， 所以a 4＝3a 3，所以q ＝a 4a 3＝3.。

等比数列知识点总结与典型例题1、 等比数列的定义：-n_2,且n N * , q 称为公比a n J2、 通项公式：a ^a 1qn ±-aiq ^A B n 印 q = 0, A B = 0，首项：a i ;公比：qqn _mn _m anan推厂：a n =a m q uq = —— a m V a m3、 等比中项：(1 )如果a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 = ab 或A = . ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个( (2)数列也匚是等比数列二a n 2二a n 」a n 1 4、 等比数列的前n 项和S n 公式：(1)当 q =1 时，S n =na 1勺= A-A B n = A'B n -A' ( A, B,A',B'为常数)1-q 1-q5、等比数列的判定方法: n ，都有a . 1—qa n 或 也，=q(q 为常数,a n等比数列(2)等比中项： a n 2=a n Qn/a n 局厂0) = ©｝为等比数列 (3)通项公式： a n = A B n A B = 0二｛a n ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:a*依据定义：若一丄二qq=O n_2,且n N 或a n d ^qa ^ ｛a n ｝为等比数列 an _1 7、等比数列的性质：(2)当 q =1 时, a1—q n s n匚1 -qq ~a n q1-q(1)用定义：对任意的a n =0)二｛a n ｝为(2)对任何m, n・N*，在等比数列®｝中，有a^a m q^^。

(3)若m • n 二s t(m,n, s,t • N*)，则a n a m= a s a t。

特别的，当m • n = 2k 时,2得a n a m = a k注：玄！色=a?色」=838* _2…等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1 .等比数列｛a n｝中，ai日9 = 64, a3 a^ 20，求.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于印和q的二元方程组，解出印和q，可得an ;或注意到下标1^3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求an.解析：■ 8法一：设此数列公比为q，则a13印嘗=64⑴卫3十87=64 +a1q =20 (2)由⑵得：ae1 2 3(1 q4)=20 ........ ⑶由(1) 得: (ae4)2 =64,.・£24=8 (4)1• ••2q4-5q2",解得q-2或q^-当q =2 时，a^i = 2，印1 = a1 q =64 ；当q2冷时，…，印宀q10"-a〔a?二a3 87 二64, ^又a3 a^ = 20 ,2 _________________________a7为方程x -20x • 64 =0的两实数根,2 a2-a3 a11 =a7，…a^1 或 an = 64 . a 3总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;20 5 ⑶亠⑷得 q 28 2'法二:--a3、 a 7:或」 a 7=16②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 多变形要用除法（除式不为零）• 举一反三：【变式1】｛a n ｝为等比数列，a i =3，a 9=768，求a 6。

考向19 等差数列及其前n 项和1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d = ．【答案】2【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题） 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式； （2）证明：121112+++<na a a ． 【解析】（1）111==S a ，所以111=S a ， 所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列， 所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ， 所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）； 累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式， 所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ． （2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+n a a a n n111112(1)2231=-+-++-+n n 12(1)21=-<+n ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证． （2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=， 因为1500m ，故1221000k -，解得210k故集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值. 【答案】（1）略；（2）78- 【解析】（1）由于221nn S n a n+=+，变形为222n n S na n n =+-，记为①式， 又21122(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，记为②式， ①-②可得*1(22)(22)22,2,n n n a n a n n n ----=-∈N 即*11,2,n n a a n n --=∈N ，所以{}n a 是等差数列；（2）由题意可知2749a a a =，即2111(6)(3)(8)a a a +=++，解得112a =-，所以12(1)113n a n n =-+-⨯=-，其中1212...0a a a <<<<，130a =则n S 的最小值为121378S S ==-.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列}{n a 的各项为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列}{n a 为等差数列；②数列}{n S 为等差数列；③123a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③已知}{n a 为等差数列，122a a =，设公差为d ，则d a a a +==1123，即12a d = 因为1212)1(a n d n n na S n =-+=，则n a S n ⋅=1)0(1>a 所以数列}{n S 为等差数列 二、选择条件①②已知}{n a 为等差数列，数列}{n S 为等差数列，设公差为d 则dn a a n )1(1-+=，n da d n d n n na S n )2(212)1(121-+=-+= 若数列}{n S 为等差数列，则21da =，所以1123a d a a =+=三、选择条件②③已知数列}{n S 为等差数列，123a a =设公差为d 则d S S =-12，即d a a =-114 则21da =nd d n S S n =-+=)1(1则d n S n 2=，d dn S S a n n n -=-=-21所以}{n a 为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积.已知212n nS b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.【解析】（1）当1n =时，11b S =，易得132b =. 当2n ≥时，1n n n b S b -=，代入212n n S b +=消去n S 得，1212n n n b b b -+=，化简得112n n b b --=， {}n b ∴是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）易得11132a S b ===.由（1）可得22n n b +=，由212n n S b +=可得21n n S n +=+. 当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式； 31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.8.（2021年新高考2卷第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）=26n a n -；（2）min 7n =．【解析】（1）由题意知：35244,a S a a S =⎧⎨=⎩()()1111154+252,43342a d a d a d a d a d ⨯⎧=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+⋅+=+⎪⎩即：121+20,46a d d a d =⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 故14,2a d =-⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为26n a n =-． （2）由（1）知()21(4)25,2n n n S n n n +=⋅-+⋅=-又,26n n n S a a n >=-2526n n n ∴->-即2760n n -+>16n n ∴<>或+n N ∈min 7n ∴=1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{a n }为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{a n }对任意的正整数n 都满足2a n+1=a n +a n+2，那么可以判断{a n }为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{a n }的通项公式满足a n =p n +q （p ，q 为常数）的形式，那么可以得出{a n }是首项为p+q ，公差为p 的等差数列;（4）前n 项和公式法:如果一个数列{a n }的前n 项和公式满足S n =An 2+Bn （A ，B 为常数）的形式，那么可以得出数列{a n }是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( )A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.n n 13n A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12n n 267A ．13 B ．49 C ．35 D ．63n n n －1n ＋126n n A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1 【答案】B【解析】数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6， 所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3. 所以a n ＝－6＋3(n －2)＝3n －12，所以S 1＝a 1＝－9，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－9－6－3＝－18， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－9－6－3＋0＝－18， 所以S 4＜S 1，S 3＝S 4.6.在等差数列{a n }中，a 2，a 14是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8a 2a 14＝( )A ．－32 B ．－3 C ．－6 D ．2n A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 【答案】A【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.8.已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40n n 56678是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 【答案】ABD【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.则a 7＋a 8＜0，所以S 9＝S 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 5＋2(a 7＋a 8)＜S 5，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．10．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0n ＋n 25898值是________． 【答案】16【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.12．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．n n ＋1n n ＋2324(1)求a 1＋a 3a 2的值； (2)求证：数列{a n }为等差数列．14. 已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据：51010 1.58,10 1.26≈≈）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63【答案】D【解析】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为10110， 因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为2105111()0.631010⨯=≈. 故选：D数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ）A ．184B ．186C ．187D ．188．（上海杨浦二模）数列n 为等差数列，1且公差，若1，3，6也是等差数列，则其公差为（ ） A ．1g d B ．1g2d C ．lg 23D ．1g 324．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“221n F =+（n ∈N ）”是素数，我们称n F 为“费马数”．设()2log 1n n a F =-，22log n n b a =，n *∈N ，数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．n n a b < B ．n n a b > C ．n n S T ≤ D ．n n S T ≥【答案】D【解析】因为221nn F =+（n ∈N ），所以()222log 1log (211)2nn n n a F =-=+-=，n *∈N所以222log 2log 22nn n b a n ===，n *∈N ，当2n =时，22224,224a b ===⨯=，两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A ．第23天 B ．第24天 C ．第25天 D ．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列n a 为等差数列，数列n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ） A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列()()()2222amb a m n b a m n b ⎡⎤⎡⎤-=--⋅+-⎣⎦⎣⎦，整理可得()222220an an am b --=，当20an ≠，且0b ≠时，由22220an am b --≠得2212n m b b a a-=，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D 错误. 故选：C.8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（ ）A ．189B ．252C ．324D ．405【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩，所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设n *∈N ，正项数列{}n x 满足11(0,1),ln 1n n n n x x x x x +∈-=，下列说法正确的有（ ） A ． 1x 为{}n x 中的最小项B ．2x 为{}n x 中的最大项C ．存在1(0,1)x ∈，使得123,,x x x 成等差数列D ．存在1(0,1),x n *∈∈N ，使得12,,n n n x x x ++成等差数列 1,()x f x '>1,()x f x '<(1)1ln1f =+)1x131,(0,1),1,1,n x x f x f +∈∴>==所以A 正确 令()(ln ,1g x f x x x x =- 21()0,x g x x +-='-<()g x ∴)0,x ∴320x x -<x x 是最大的项，所以B 是最大的项，则不可能使得()n g x <，则，所以不存在,x x 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列n a 满足：当为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（ ）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立选项，2n 为偶数，则}2n 是以4为首项，以)14414n -=-三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n nT n =-，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4nS S ≤【答案】②④11n d a ⎛++⎝3612n n-，12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列{}n a 满足：①10a <，22a >；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了⨯幻方的每一行上整数之和为______.⨯的幻方，那么5555【答案】65【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 故答案为：65.九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确故答案为：①②③四、解答题15．（2022·上海崇明·二模）已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【解析】(1)由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..(2)假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3， 此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 综上所述，{}n a 不可能是等差数列 (3)由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符； 当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=， 且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ， 所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k =-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．础工资收入总量()1024000 1.0511********.051S ⨯-=⨯=-元（2）()37003001n a n =+-，14000 1.05n n b -=⨯134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，设11300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块 【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-， 若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-， 即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则()A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T } （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．10．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d+=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+． 故答案为：278． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．12．（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和．若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ．【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．13．（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，，则5a = ________ ． n S 的最小值为_______． 【答案】0，-10【解析】由题意得，2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5140a a d =+=．因为{}n a 是一个递增数列，且50a =，所以n S 的最小值为4S 或5S ，()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-． 14．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． 【答案】14【解析】解法一 设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．15．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ， 则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =，72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==． 故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

专题19 常见数列通项公式的求解一,题型选讲 题型一, 公式法若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求,即可.例1,已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,且2344026a a S ⋅==，． 则数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】31n a n =-．【解析】 因为数列{}n a 是正项等差数列,设首项为1a ,公差为(0)d d >,所以111()(2)40,4(41)426,20.a d a d d a d ++=⎧⎪-⎪+=⎨⎪>⎪⎩ 解得123a d =⎧⎨=⎩,所以31n a n =-．题型二,之间的关系与s a nn用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2,将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题,则考虑转化为仅含有S n 的关系式,特别注意当n≥2时,S n －S n －1＝a n ,.例2,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)题型二,累加法若已知连续两项差的形式,形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2).则运用累加法进行求数列的通项.即：n ≥2时,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1．例3,(2019南京学情调研)在数列{a n }中,已知a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *),则a 10的值为________．【答案】1910【解析】 由a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）得a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1,故a 2－a 1＝1－12,a 3－a 2＝12－13,a 4－a 3＝13－14,…,a 10－a 9＝19－110,所以a 10＝1910.例4, 已知数列{}n a 满足11a =,21a =-,当3n ≥,n N *∈时,1312(1)(2)n n a a n n n n --=----． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【解析】 ∵当3n ≥,n N *∈时,13113()12(1)(2)21n n a a n n n n n n --==-------, ∴3213(1)212a a -=-,34113()3223a a -=-,…,1113()1221n n a a n n n n --=-----． 把上面1n -个等式左右两边分别相加,得1213(1)11n a a n n --=---,整理,得25n a n =-． 当2n =时,满足．∴ 2.1,1,25,n n a n n =⎧=⎨-⎩≥题型三,叠乘法若已知连续两项的商的形式,形如a na n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2),则运用叠乘法进行求数列的通项.即 ：n ≥2时,a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1．例5,(2018徐州期末)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝2n a n －1(n ∈N *且n ≥2),则a n ＝ ． 【答案】a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．解析由题意,a na n －1＝2n ,a n －1a n －2＝2n －1, …, a 2a 1＝22, 叠乘得a n a 1＝2n ·2n －1·…·22＝2(n －1)(n ＋2)2, 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2(n ≥2),a 1＝1也符合． 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．题型四,构造法若一个数列既不是等差数列页不是等比数列,则考虑次数列加减一个实数或者变量,或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列.形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N*且n ≥2,p ≠1) 化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋qp －1)形式．令b n ＝a n＋qp －1,即得b n ＝pb n －1,转化成{b n }为等比数列,从而求数列{a n }的通项公式． 例6,设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 【解析】2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. ∴ 321112(1)(2)2333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- . ①∴当2n ≥时,1(1)(1)2(1)3n n n n n S n a =-+=--. ②由①—②,得 1122(1)(1)n n n n S S na n a n n -+-=---+.1222n n n a S S -=-,12(1)(1)n n n a na n a n n +∴=---+.111n n a a n n +∴-=+,∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()21112nn a n n a n n n，∴=+⨯-=∴=≥ . 当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈. 例7,已知数列{a n }中,a 1＝1,且a n ＋1＋3a n ＋4＝0,n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列？若存在,求满足条件的项；若不存在,说明理由．规范解答 (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1),n ∈N *.(2分) 其中a 1＝1,所以a 1＋1＝2≠0,可得a n ＋1≠0,n ∈N *.(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3,n ∈N *,所以{a n ＋1}是以2为首项,－3为公比的等比数列．(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1,即a n ＝2(－3)n －1－1,则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1－1,n ∈N *.(8分) (2)若数列{a n }中存在三项a m ,a n ,a k (m <n <k )符合题意,其中k －n ,k －m ,n －m 都是正整数．(9分) 分以下三种情形：①a m 位于中间,则2a m ＝a n ＋a k ,即2＝2(－3)n －1－1＋2(－3)k －1－1, 所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2＝(－3)n －m ＋(－3)k －m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；②a n 位于中间,则2a n ＝a m ＋a k ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)k －1－1,所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2(－3)n －m ＝1＋(－3)k －m,即1＝2(－3)n －m －(－3)k－m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；③a k 位于中间,则2a k ＝a m ＋a n ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)n －1－1, 所以2(－3)k ＝(－3)m ＋(－3)n ,两边同时除以(－3)m ,得2(－3)k －m＝1＋(－3)n －m ,即1＝2(－3)k－m－(－3)n －m ,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去．(15分)综上可得,数列{a n }中不存在三项满足题意．(16分)题型五,总体代入形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n ) 列出⎩⎨⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作差得a n ＝f (n )－f (n －1)n(n ∈N *且n ≥2),或者列出⎩⎨⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作商得a n ＝f (n )f (n －1) (n ∈N *且n ≥2),例8,(2019镇江期末)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1＝2,a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n,都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. (1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．. 规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0),因为a 1＝2,a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64,解得q ＝2,则a n ＝2n .(1分) 当n ＝1时,a 1b 1＝2,则b 1＝1；(2分)当n≥2时,a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2 ①, a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②, ①－②得a n b n ＝n·2n ,则b n ＝n. 综上,b n ＝n.(4分)题型六,通项公式中奇偶性的讨论形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1),两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n ),即找到隔项间的关系．例9, 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11(1)(1)6()n n n a a a a S n ，+=++=+,*∈N n ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对于n *∀∈N ,都有(31)n S n n +≤成立,求实数a 取值范围． 解 (1)当1n时,121(1)(1)6(1)a a S ,故25a ；当2n ≥时,11(1)(1)6(1)n nn a a S n ,所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n nnnna a a a S n S n ）,即11(1)()6(1)n nn na a a a ,又0na ,所以116nna a , 所以216(1)66k a a k ka,25+6(1)61ka k k ,*kN ,故**33, ,,31, ,.nn a n n a n n n N N 为奇数为偶数二,达标训练1,(2018盐城三模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a =▲ ．【答案】：12n-【解析】：因为2n n S a n=+,当1n =时,11121a S a ==+,即11a =-；当2n ≥时,()()111221221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ,即121n n a a -=- ,所以()1121n n a a --=- ,即1121n n a a --=- ,所以数列{}1n a -为首项112a -=- ,公比2q =的等比数列,所以1122n n a --=-⨯,即12n n a =-.2,(2019无锡期末)设等比数列{a n }的公比为q(q>0,q≠1),前n 项和为Sn,且2a 1a 3＝a 4,数列{b n }的前n 项和Tn 满足2Tn ＝n(bn －1),n ∈N *,b 2＝ 1.(1) 求数列 {a n },{b n }的通项公式； 解：(1) 因为2a 1a 3＝a 4,所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3, 所以a 1＝q 2,所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n (b n －1),n ∈N * ① 所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1),n ∈N ②②－①,得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ,n ∈N *. 所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n . 所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1,n ∈N *, ③(4分) 所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1,n ∈N , ④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ,n ∈N * 所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1,n ∈N *,所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1, 所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ,所以{b n }为等差数列． 因为n ＝1时b 1＝－1,又b 2＝1. 所以公差为2,所以b n ＝2n －3.(6分)3,(2018南京学情调研)已知数列{a n }的各项均为正数,记数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n}的前n 项和为T n ,且3T n ＝S 2n ＋2S n,n ∈N *. (1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 由3T 1＝S 21＋2S 1,得3a 21＝a 21＋2a 1,即a 21－a 1＝0.因为a 1＞0,所以a 1＝1.(2分)(2) 因为3T n ＝S 2n ＋2S n , ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②②－①,得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )a n ＋1＋2a n ＋1,因为a n ＋1＞0,所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2, ③(5分) 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2, ④④－③,得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1,即a n ＋2＝2a n ＋1, 所以当n≥2时,a n ＋1a n＝2.(8分)又由3T 2＝S 22＋2S 2,得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2),即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0,所以a 2＝2,所以a 2a 1＝2,所以对n ∈N *,都有a n ＋1a n＝2成立,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1,n ∈N *.(10分)4,(2018扬州期末)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n ＝a 2n ＋a n ,数列{b n }满足b 1＝12,2b n ＋1＝b n ＋b na n.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式； 规范解答 (1) 2S n ＝a 2n ＋a n ①,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1 ②,②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.因为{a n }是正数数列,所以a n ＋1－a n －1＝0,即a n ＋1－a n ＝1,所以{a n }是等差数列,其中公差为1. 在2S n ＝a 2n ＋a n 中,令n ＝1,得a 1＝1, 所以a n ＝n.(2分)由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列,其中首项为12,公比为12,所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ,即b n ＝n2n .(5分)5,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)6, 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a = ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-= (n ∈N *)．(1)求证：1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项n a ．解 (1)因为111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-=,所以1111112n n n n n n S S a a a a +++-+-=, 即111112n n n n S S a a ++++-=, 所以数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项,12为公差的等差数列．(2)由(1)可知112(1)2n n S n a +=+-⋅,即,31()22n n n S a +=+ ． ① 当n ≥2时, 111(1)2n n nS a --+=+． ②①－②得,13222n n n n n a a a -++=-． 即1(1)(2)n n n a n a -+=+,所以121n n a an n -=++ (n ≥2),所以2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列,且为13,所以1(2)3n a n =+．。

第19练等比数列及其求和学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{n a }的前n 项和为n S .若2121204a a S S -=-=，，则2022S =（）A ．202222-B ．202221-C ．202322-D ．202321-【答案】C 【详解】因为214S S -=，所以24a =，因为2120a a -=，所以12a =，所以公比212a q a ==，所以()20221202320221221a q S q-==--故选：C2．（2022·安徽马鞍山·三模（文））等比数列{}n a 中，已知149a a +=，2518a a +=，则5S =（）A ．31B ．32C ．63D ．127【答案】A 【详解】解：因为等比数列{}n a 中，已知149a a +=，2518a a +=，设等比数列{}n a 公比为q ，所以()2514918a a q a a q +=+==，解得2q =，所以11331129a a a a q +=+=⨯，解得11a =，所以()551123112S ⨯-==-，故选：A.3．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，1S ，3S ，9S 成等比数列，则12a =（）A ．11B ．13C ．23D ．24【答案】C【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，因为1S ，3S ，9S 成等比数列，所以()()211133936a d a a d +=+，化简得0d =（舍去）或122d a ==，所以1211123a a d =+=.故选：C4．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（）A．B．-C．±D ．3π【答案】C 【详解】解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a =所以33575a a a a ==±.故选：C.5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若12a +，23a +，3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q ，由121144a a a a q +=⇒+=，因为12a +，23a +，3a 成等差数列，所以22(3)a +=12a ++3a ，于是有21112(3)2a q a a q +=++，即2111112(3)234a q a a q q a a q ⎧+=++⇒=⎨+=⎩，或0q =舍去，故选：B6．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，已知31a =，456a a +=，则公比q =（）A ．3-或2B ．2C ．2-或3D ．3【答案】B 【详解】设等比数列的首项为1a ，由题意，得10a >，0q >，因为31a =，456a a +=，所以21341116a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，所以26q q +=，解得2q =或3q =-（舍）.故选：B.7．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知等比数列{}n a 满足，且0n a >，1n =，2，…，且()2525e 3nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，242ln ln ln n a a a +++=L （）．A ．()1n n +B ．()21n n -C ．2n D ．()21n -【答案】A 【详解】由()2525e 3n n a a n -⋅=≥得22e nn a =0n a >，则e nn a =，()242ln ln ln 2421n a a a n n n +++=+++=+L L ．故选：A ．8．（2022·江西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S4226S S -=，则6S =（）A ．36B ．39C ．40D ．44【答案】B 【详解】由题可得()224226442,S S S S S SS -=-=-，由4226S S -=，得222226S S S +-=，解得23S =，所以412S =，所以642939S S S =+=.故选：B ．9．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,,a S S -成等差数列．若存在两项*,(,N )m n a a m n ∈18a =，则19m n+的最小值是（）A ．16B ．2C ．103D ．83【答案】B 【详解】由题设2312S S a =-，即1223122()()a a a a q a a +=+=+，又{}n a 为正项等比数列，所以2q =，0n a >，18a =，则2221164m n a qa +-=，即2264m n +-=，所以8m n +=，则19119191()()(10(102888m m n m n m n n n m +=⨯++=⨯++≥⨯+=，当且仅当36n m ==时等号成立，满足*,N m n ∈，所以19m n+的最小值为2.故选：B10．（2022·河南·模拟预测（文））北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；L ．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（）（参考数据lg 30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C 【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫⎪⎝⎭，L ，“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫⎪⎝⎭，所以要得到一个长度不小于40的分形图，只需满足4403n⎛⎫⎪⎝≥⎭，则4lg 12lg23n ≥+，即()2lg2lg312lg2n -≥+，解得12lg210.60212.82lg2lg30.6020.477n ++≥≈≈--，所以至少需要13次分形．故选：C.二、多选题11．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列{}n a 是等比数列，则（）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．数列{}n ka 是等比数列C ．数列{}1n n a a ++是等比数列D ．数列{}2n a 是等比数列【答案】AD 【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，11111n n n na a a q a ++==，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列，A 对；0k =时，0n ka =，则{}n ka 不是等比数列，B 错；()11n n n n n a a a a q a q ++=+=+，1q =-时，10n n a a ++=，此时{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；2212n na q a +=，所以，{}2n a 是公比为2q 的等比数列，D 对.故选：AD ．12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =-，22a =，()2211nn n a a +-=--，则（）A ．{}21n a -是等比数列B ．()5211210i i a -=+=-∑C ．{}2n a 是等比数列D ．10152i i a ==∑【答案】ACD 【详解】对选项A ，当n 是奇数时，222n n a a +-=，所以()2222n n a a ++=+，又因为12a =-，所以120a +=，所以当n 是奇数时，20n a +=，即2n a =-.即数列{}21n a -是以首项为2-，公比为1的等比数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：当n 是奇数时，20n a +=，所以()521120i i a -=+=∑，故B 错误.对选项C ，n 为偶数时，220n n a a +-=，即22n n a a +=，又因为20a ≠，所以0n a ≠，即22n na a +=，所以{}2n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，故C 正确.()()()510135792468101212105212ii a a aa a a a a a a a =-=+++++++++=-+=-∑，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））正项等比数列{}n a ，若59a =，241a a =，则2a 的值为_________．【答案】13【详解】由题4513242411191a a q a a a q a q a q ⎧==⎨=⋅==⎩，因为0n a >，可得11,39a q ==，则2113a a q ==.故答案为：13.14．（2022·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．【答案】192【详解】解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为12，设第一天走了1a 里，则616112378112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，解得1192=，即则该人第一天走的路程为192里.故答案为：192.四、解答题15．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，12n n S a +=+．(1)证明：数列{}2n S -为等比数列；(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．【解析】(1)）因为()1122n n n n S a S S ++=+=+-，所以122n n S S +=+，所以()1222n n S S +-=-，因为120S -≠，所以10n S -≠，1222n n S S +-=-，故数列{}2n S -为等比数列，首项为121S -=，公比为2；(2)由（1）可知122n n S --=，所以11111222n n n S --=<+，所以21111111212121222212n n n nT -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==-< ⎪⎝⎭-．16．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①1a ，2a ，4a 成等比数列，②()6531S a =-，③342.1S S S +=-中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．设n S 为各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和，已知___．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()121nn nna b S -+=，求数列{}nb 的前n 项和nT．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】(1)若选①②作为条件，设{}n a |的公差为d ，由124,,a a a 成等比数列可知2214a a a =，所以()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =．由()6531S a =-得()11510351a d a d +=+-，整理得1253a d =-，当0d =时，132=-a 不合题意，所以0d ≠，则1d a =，解得11d a ==，故1(1)n a n n =+-=．若选①③作为条件．设{}n a 的公差为d ，由124,,a a a 成等比数列可知2214a a a =，所以()()21113a d a a d +=+整理得21d a d =．由2341S S S +=-得111233461a d a d a d +++=+-，整理得121a d =-，所以2(21)d d d =-，解得0d =或1d =，当0d =时，11a =-，不合题意，所以1d =，则11a =，故()11n a n n =+-=；若选②③作为条件．设{}n a 的公差为d ，由()6531S a =-得()11510351a d a d +=+-，整理得1253a d =-，由2341S S S +=-得111233461a d a d a d +++=+-，整理得121a d =-，由两式联立得11,1a d ==，故()11n a n n =+-=；(2)由（1）得()12n n n S +=，所以()()121nn n n a b S -+=()()()12211nn n n -+=+()11211n n n ⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦()()1112111n n n n +⎡⎤=-⋅--⋅⎢⎥+⎣⎦，故数列{}n b 的前n 项和()()11111121112231n n n T n n +⎡⎤=--++-+-⋅--+⎢⎥+⎣⎦ 1121(1)1n n +⎡⎤=---⋅⎢⎥+⎣⎦()2121nn ⋅-=-++．。

4．3.1 第二课时 等比数列的性质及应用(习题课)[A 级 基础巩固]1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6,…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24详细解析:选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6),即x 2＋4x ＋3＝0,解得x ＝－3或x ＝－1(舍去),所以等比数列的前3项是－3,－6,－12,则第四项为－24.2．在正项等比数列{a n }中,a n ＋1<a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,则a 5a 7等于( )A.56 D ．65C.23D ．32详细解析:选D 法一:设公比为q ,则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1,由a 2·a 8＝6,得a 25＝6. ∴a 5＝6,a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26,∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32. 法二:设公比为q ,由a n ＞0,且a n ＋1＜a n 知0＜q ＜1. ∵a 2·a 8＝a 4·a 6＝6,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)． ∴q 2＝a 6a 4＝23,∴a 5a 7＝1q 2＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)＝6,则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000详细解析:选C ∵a 3a 8a 13＝a 38,∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000,故选C.4．在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5＝1,则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1详细解析:选B 由题意,可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1,即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1,又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23,所以a 53＝1,得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中,a 3a 11＝4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7＝a 7,则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16详细解析:选C 等比数列{a n }中,a 3a 11＝a 27＝4a 7,解得a 7＝4,等差数列{b n }中,b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________．详细解析:设此三数为3,a ,b ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案:3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列,若a 4,a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根,则a 6＋a 7＝________. 详细解析:由题意得a 4＝12,a 5＝32,∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案:188．画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米．详细解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10,n ∈N *),则第10个正方形的面积S ＝a 210＝⎝⎛⎭⎫21122＝211＝2 048. 答案:2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中,a 3＋a 7＋a 11＝28,a 2·a 7·a 12＝512,求q . 解:法一:由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512,即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2,即q ＝±142或q ＝±42.法二:∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27, ∴a 37＝512,即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根,解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8,∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中,a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36,a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100,求数列{a n }的通项公式．解:∵a 1a 5＝a 23,a 3a 7＝a 25,∴由题意,得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36,同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .[B 级 综合运用]11．设各项为正数的等比数列{a n }中,公比q ＝2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( ) A ．230 B ．210 C ．220D ．215详细解析:选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230, ∴a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230, ∴a 1＝2－272,∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102 ＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 12．各项均为正数的等比数列{a n }满足:a 1＞1,a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,记数列{a n }的前n 项积为T n ,则满足T n ＞1的最大正整数n 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14详细解析:选B ∵a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6a 7＞1，(a 6－1)(a 7－1)＜0， ∵a 1＞1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞1，a 7＜1，由a 6a 7＞1得a 1a 12＝a 2a 11＝…＝a 6a 7＞1,∴T 12＞1, ∵a 7＜1,∴a 1a 13＝a 2a 12＝…＝a 27＜1,∴T 13＜1, ∴n 的最大值为12,故选B.13．若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,则a 3a 18＝________,ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.详细解析:因为{a n }为等比数列,所以a 1a 20＝a 2a 19＝…＝a 9a 12＝a 10a 11.又a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,所以a 3a 18＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5,所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50. 答案:e 5 5014．已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列ab 1,ab 2,…,ab n ,…为等比数列,其中b 1＝1,b 2＝5,b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解:依题意a 25＝a 1a 17,即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d ),所以a 1d ＝2d 2,因为d ≠0,所以a 1＝2d ,数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3, 所以ab n ＝a 13n －1,① 又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1,② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0,所以b n ＝2×3n －1－1.[C 级 拓展探究]15．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L,容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L,A ,B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b ),先将A 中农药的14倒入B 中,混合均匀后,再由B 倒入一部分到A 中,恰好使A 中保持m L,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n 次操作后,A 中农药的浓度为a n ,B 中农药的浓度为b n ,则a 0＝a %,b 0＝b %. b 1＝15(a 0＋4b 0),a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0);b 2＝15(a 1＋4b 1),a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1);…;b n ＝15(a n －1＋4b n －1),a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15,∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n<1%,n ∈N *,解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.。

等比数列的定义（一）一．知识梳理1.等比数列的定义（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.3.等比中项（1） 如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=⋅+-11n n a a _________.4.等比数列的性质：若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：（1）数列{}n a c ⋅是以公比为______的等比数列..（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.（3）数列{}n n b a ⋅是以公比为______的等比数列.二．预习自测1.下面四个数列：（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a （3）常数列;,,,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a （4）在数列{}n a 中，)0(1≠=+q q a a nn 其中一定是等比数列的是________.2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.33.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=⋅a a ，则=5a _________.A.1B.2C.8D.44.在等比数列⋅⋅⋅++,66,33,x x x 的第四项为__________.A.24-B.0C.12D.245.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n nD.2)1(-n n 6.82是等比数列⋅⋅⋅,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.137.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a（1）求n a ； （2）若,21=n a 求n .三．典例解析例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例二：若数列{}n a 为等比数列：（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ； （2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a。

4.3.1等比数列的概念一、等比数列的定义及通项公式1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示()0q ≠．2、对等比数列概念的理解（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n 无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第()3,n n n N *>∈项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比0q ≠；（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。

3、等比数列的通项公式（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则通项公式为：11n n a a q -=.（2）通项公式的变形：n m n m a a q -=或n m nma q a -=二、等比中项1、定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列2G ab ⇒=2、对等比中项概念的理解（1）G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．此时，G =，即等比中项有两个，且互为相反数．（2）2G ab =时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；（3）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，2nn k n k a a a -+=⋅3、等差中项与等比中项区别（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。

等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。

等比数列的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•丰台区期末）已知0a >，0b >．若2是2a 与2b 的等比中项，则22a b +的最小值为( ) ABC ．2D ．42．（2018秋•西城区期末）在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7(a = ) A ．10B ．16C ．24D ．323．（2019春•海淀区校级月考）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的( ) A ．若50a >，则20190S < B ．若50a >，则20190S >C ．若60a >，则20180S <D ．若60a >，则20180S >4．（2019秋•西城区校级期中）在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于( ) A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -5．（2019春•西城区校级期中）正项等比数列{}n a 中，2510a a =，则34(lga lga += ) A ．1-B ．1C ．2D ．06．（2018秋•海淀区校级期中）已知等比数列{}n a ，则下面对任意非零自然数k 都成立的是( ) A ．10k k a a +> B ．20k k a a +> C ．120k k k a a a ++>D ．240k k k a a a ++>7．（2018秋•西城区校级期中）若数列{}n a 是公比为q 的递增等比数列，则( ) A ．10a >，1q >B ．1(1)0a q ->C ．1(1)0a q ->D ．1(1)0a q -<二．填空题（共8小题）8．（2020•密云区一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为 ，第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院． 9．（2020•西城区校级模拟）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，236a a +=，则63S S = ． 10．（2020•东城区校级模拟）若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 ．11．（2019秋•丰台区期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，能够说明“若1q >，则{}n a 为递增数列”是假命题的一组1a ，2a ，3a 的值为 ．12．（2019•海淀区二模）若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1n =，2，3，⋯，则满足0n a >的n 的最小值为 13．（2018秋•西城区校级期中）能够说明“若等比数列{}n a 是递增数列，则公比1q >”是假命题的首项1a 的一个取值可以是 ．14．（2018秋•海淀区校级期中）已知等比数列{}n a 中11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S = ．15．（2017春•海淀区校级期中）{}n a 是等差数列，28a =，10185S =，从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，⋯，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，则n b 等于 ．等比数列的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•丰台区期末）已知0a >，0b >．若2是2a 与2b 的等比中项，则22a b +的最小值为( ) ABC ．2D ．4【分析】结合基本不等式222()22a b a b ++即可求解最小值． 【解答】解：由题意可得，224a b =，即2a b +=，由222()22a b a b ++可得，222a b +， 当且仅当a b =时取得等号，此时最小值2． 故选：C ．【点评】本题主要考查 了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．2．（2018秋•西城区期末）在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7(a = ) A ．10B ．16C ．24D ．32【分析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则257364322a a a ===， 故选：D ．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题3．（2019春•海淀区校级月考）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的( ) A ．若50a >，则20190S < B ．若50a >，则20190S >C ．若60a >，则20180S <D ．若60a >，则20180S >【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：我们考虑公比(0)q q ≠的正负，若0q >，若56()0a a >时， 显然*0()n a n N >∈，从而*0()n S n N >∈排除A ，C ；若0q <，60a >时，取12q =-，则2122210k k k k a a a a --->⇔+<，即20180S <，排除D 从而选B ，对于B 选项， 我们可以如下证明：①0q >时命题成立；②10q -<<时，212k k a a ->-即2120k k a a -+>，从而201912201720182019()()0S S S S S S =++⋯+++>； ③1q -时，2212210k k k k a a a a ++-<⇔+>，从而201912320182019()()0S S S S S S =+++⋯++>， 故选：B ．【点评】本题考查等比数列的通项公式及其前n 项和公式，注意分析公比的情况，属于中档题．4．（2019秋•西城区校级期中）在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于( ) A ．2nB ．3nC ．121n +-D ．31n -【分析】根据数列{}n a 为等比可设出n a 的通项公式，因数列{1}n a +也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出n s ． 【解答】解：因数列{}n a 为等比，则13n n a q -=， 因数列{1}n a +也是等比数列， 则212(1)(1)(1)n n n a a a +++=++211222n n n n n n a a a a a a ++++∴+=++212n n n a a a ++∴+=2(12)0n a q q ∴+-= 1q ∴=即3n a =， 所以3n s n =， 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．5．（2019春•西城区校级期中）正项等比数列{}n a 中，2510a a =，则34(lga lga += ) A ．1-B ．1C ．2D ．0【分析】等比数列的定义和性质，得到3410a a =，故有3434101lga lga lga a lg +===．【解答】解：正项等比数列{}n a 中，2510a a =，3410a a ∴=，3434101lga lga lga a lg ∴+===， 故选：B ．【点评】本题考查等比数列的定义和性质，得到3410a a =，是解题的关键．6．（2018秋•海淀区校级期中）已知等比数列{}n a ，则下面对任意非零自然数k 都成立的是( ) A ．10k k a a +> B ．20k k a a +> C ．120k k k a a a ++>D ．240k k k a a a ++>【分析】根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当0q <时，k a 与1k a +异号，则10k k a a +<，A 错误； 对于B ，222()0k k k k k a a a a q a q +==>，B 正确；对于C ，3121()k k k k a a a a +++=，则120k k k a a a ++>不一定成立，C 错误； 对于D ，3242()k k k k a a a a +++=，则240k k k a a a ++>不一定成立，D 错误； 故选：B ．【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题． 7．（2018秋•西城区校级期中）若数列{}n a 是公比为q 的递增等比数列，则( ) A ．10a >，1q >B ．1(1)0a q ->C ．1(1)0a q ->D ．1(1)0a q -<【分析】分类讨论，分1a 的符号进行讨论，最后整理成答案中的形式即可．【解答】解：因为数列{}n a 是公比为q 的递增等比数列，故①当10a <时，(0,1)q ∈， ②当10a >时，1q >， 故1(1)0a q ->， 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的单调性，属基础题． 二．填空题（共8小题）8．（2020•密云区一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为 8 ，第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院． 【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果． 【解答】解：某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为34128a =⨯=，1(12)12712n n S ⨯-==-，解得7n =，∴第71522+=天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：8，22．【点评】本题考查出院人数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2020•西城区校级模拟）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，236a a +=，则63S S = 9 ． 【分析】由题意利用等比数列的定义、性质、通项公式，前n 项和公式，得出结论． 【解答】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，2236a a q q +==+，∴公比2q =，122112nn n S -∴==--．则636397S S ==， 故答案为：9．【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，前n 项和公式，属于基础题． 10．（2020•东城区校级模拟）若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是． 【分析】设三边：a 、qa 、2q a 、0q >则由三边关系：两短边和大于第三边a b c +>，把a 、qa 、2q a 、代入，分1q 和1q <两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．【解答】解：设三边：a 、qa 、2q a 、0q >则由三边关系：两短边和大于第三边a b c +>，即 （1）当1q 时2a qa q a +>，等价于解二次不等式：210q q --<，由于方程210q q --=，q <1q ， 即11q +<（2）当1q <时，a 为最大边，2qa q a a +>即得210q q +->，解之得qq <且0q >即q >综合（1）（2），得：q ∈故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．11．（2019秋•丰台区期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，能够说明“若1q >，则{}n a 为递增数列”是假命题的一组1a ，2a ，3a 的值为 1-，2-，4-（答案不唯一） ． 【分析】等比数列的单调性，可以分1a 和q 的情况讨论处理，【解答】解：由等比数列的通项公式可知，通项n a 为关于n 的指数型函数， 若1q >，则1n q -随着n 的增大而增大，当10a >时，{}n a 为递增数列，当10a <时，{}n a 为递减数列．故当11a =-，2q =时，可以说明“若1q >，则{}n a 为递增数列”是假命题． 例如：1-，2-，4-．故答案为：1-，2-，4-（答案不唯一）．【点评】本题考查等比数列的单调性，属于基础题．12．（2019•海淀区二模）若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1n =，2，3，⋯，则满足0n a >的n 的最小值为 5 【分析】利用28n S n n =-，求出数列{}n a 的通项，根据通项公式判断即可． 【解答】解：依题意，当1n =时，117a S ==-， 当2n 时，129n n n a S S n -=-=-． 而12197a =⨯-=-， 综上29n a n =-． 由290n ->，得92n >，又因为*n N ∈． 故满足0n a >的n 的最小值为5． 故填：5．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和，数列的通项与前n 项和的关系，属于基础题．13．（2018秋•西城区校级期中）能够说明“若等比数列{}n a 是递增数列，则公比1q >”是假命题的首项1a 的一个取值可以是 1- ．【分析】等比数列的单调性，可以分两种种情况处理， 【解答】解：等比数列{}n a 是递增数列①10a >，1q >， ②10a <，01q <<，所以能够说明“若等比数列{}n a 是递增数列，则公比1q >”是假命题的首项1a 的一个取值可以是任何负数， 故填：1-．（其它负数均可）【点评】本题考查等比数列的单调性，属于基础题．14．（2018秋•海淀区校级期中）已知等比数列{}n a 中11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S = 31 ．【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可． 【解答】解：设公比为q ，11a =，且且4581258a a a a a a ++=++，∴3473481q q q q q q++==++， 2q ∴=，551(12)3112S ⨯-∴==-，故答案为：31【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和，属于基础题．15．（2017春•海淀区校级期中）{}n a 是等差数列，28a =，10185S =，从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，⋯，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，则n b 等于 132n ++ ．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由28a =，10185S =，可得18a d +=，1109101852a d ⨯+=，联立解得1a ，d ．可得n a ，进而得出n b ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，28a =，10185S =， 18a d ∴+=，1109101852a d ⨯+=， 联立解得15a =，3d =． 53(1)32n a n n ∴=+-=+．从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，⋯，第3n 项，按原来的顺序排成一个新数列{}n b ， 则1333232n n n n b a +==⨯+=+． 故答案为：132n ++．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。