六年级数学试题：《最短路线》的相关练习题

PC 第08讲最短路线教学目标：1、探索标数法在最短路径中的应用，掌握求最短路线的各种方法；2、探索最短路径的求法，总结最短路线的计算规律并加以应用；3、培养学生仔细认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，并能提高解决实际问题的能力。

教学重点：理解并掌握“标数法”解最短路线问题。

教学难点：掌握“标数法”解较难的最短路线问题。

教学过程：【温故知新】1、两个数的和（差）与一个数相乘，可以把两个加数（被减数和减数）分别与这个数相乘，再把这两个积相加，所得的结果不变。

这叫做乘法分配律；2、如果用字母a、b分别表示两个加数，用字母c表示因数，乘法分配律可以写成：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a-b）×c＝a×c-b×c；3、会运用乘法分配律进行巧算。

【巩固作业1】计算：99×29+29解析部分：在计算时，可以把算式99×29+29中的加数29看成1×29,99个29加1个29，结果正好是100个29.运用了乘法分配律。

给予新学员的建议：让学员了解乘法分配律的含义；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。

参考答案：99×29+29= 99×29+1×29=（99+1）×29=100×29=2900【巩固作业2】根据乘法分配律，用两种方法进行巧算：125×88。

解析部分：把88分成8×11，然后125乘8的积再乘11，运用了乘法结合律。

或者把88分成80+8,125分别去乘80和8，最后把所得积相加。

运用了乘法分配律。

给予新学员的建议：让学员熟练使用乘法分配律巧算；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。

参考答案：125×88 125×88=125×（8×11）=125×（80+8）=（125×8）×11 =125×80+125×8=1000×11 =10000+1000=11000 =11000【预习】一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想沿着格子线走到B点玩，但是不知走哪条路最近。

最短路径经典练习题一、基础理论题1. 请简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本原理。

2. 什么是贝尔曼福特（BellmanFord）算法？它适用于哪些类型的图？3. 请解释A搜索算法中启发式函数的作用。

4. 如何判断一个图中是否存在负权环？5. 简述弗洛伊德（Floyd）算法的基本步骤。

二、单选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 初始化距离表B. 选择当前距离最小的顶点C. 更新相邻顶点的距离D. 重复步骤B和C，直到所有顶点都被访问A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 弗洛伊德算法D. A搜索算法A. 启发式函数B. 起始节点C. 目标节点D. 图的规模三、多选题A. 迪杰斯特拉算法B. 贝尔曼福特算法C. 深度优先搜索算法D. 广度优先搜索算法A. 初始化距离矩阵B. 更新距离矩阵C. 查找负权环D. 输出最短路径A. 图的存储结构B. 顶点的数量C. 边的数量D. 起始顶点四、计算题A (3)>B (2)> D\ | ^ \ | | \(2)\ | (1)/C \|(4)A (1)>B (2)> D\ ^ |\(2)\ | (3)/C \ |(1)A (2)>B (3)> D\ | ^\(3)\ | (1)/C \ |(2)五、应用题1. 假设你是一名地图软件的开发者，请简述如何利用最短路径算法为用户提供导航服务。

2. 在一个网络游戏中，玩家需要从起点到达终点，途中会遇到各种障碍。

请设计一种算法，帮助玩家找到最佳路径。

六、判断题1. 迪杰斯特拉算法只能用于无向图的最短路径问题。

（）2. 贝尔曼福特算法可以检测图中是否存在负权环。

（）3. 在A搜索算法中，如果启发式函数h(n)始终为0，则算法退化为Dijkstra算法。

（）4. 弗洛伊德算法的时间复杂度与图中顶点的数量无关。

（）七、填空题1. 迪杰斯特拉算法中，用来存储顶点到源点最短距离的数组称为______。

29、实践与实际操作【最短路线】例1 一只蚂蚁要从A处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图5.74）的表面爬到B处。

请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条就画几条。

（1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上面展开，前面—右面展开，左面—后面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长方形（如图5.75所示）。

根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共有四条，如图5.76所示。

例2 请你在图5.77（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，使它们折起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。

（第四届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与虚线，然后思考它们是按什么方式展开的。

不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。

【切分图形】例1 请将图5.78分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块图形。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种（如图5.79）。

根据图中汉字的具体位置，可发现图5.79中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、图（4）也不能分成。

于是只剩下图（5）。

进一步搜索，便可得到答案。

答案如图5.80所示。

例2 在一张正方形纸上画两个三角形，最多可以把这个正方形分成________块，画三个三角形，最多可以把这个正方形分成________块；画四个三角形，最多可以把这个正方形分成_________块。

（1990年无锡市小学数学竞赛试题）讲析：可先找出规律。

在正方形纸上，画一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，最多可把它分成4块；画二个三角形，依次画三条边时，增加了（3＋3＋3）块，共13块；画三个三角形，依次画三条边时，增加了（5＋5＋5）块，共28块，如图5.81所示。

最短路线练习题在我们日常的生活中，经常会面临着需要找到最短路线的情况。

无论是出行、送货还是旅游，找到最短路线可以节省时间和精力。

为了提升解决这类问题的能力，下面我们来做一些最短路线的练习题。

练习题一：假如你正在一个陌生的城市旅游，你想从你所在的地方（点A）前往一个景点（点B）。

给定地图上的道路信息，以及各点之间的直线距离，请你找出从点A到点B的最短路线。

这道题目需要我们运用最短路算法来解决。

最常见的算法之一是迪杰斯特拉算法。

迪杰斯特拉算法的基本思想是：从起点开始，不断扩展已经找到的最短路线，直到找到终点为止。

具体步骤如下：1. 初始化：将起点到所有其他点的距离设置为无穷大，将起点到自身的距离设置为0。

2. 将起点标记为已访问。

3. 从起点开始，找到与起点直接相连且未被访问过的点中，距离最短的一个点。

4. 更新与该点相连的所有点的距离，如果通过该点到某个点的距离更短，则更新该点的距离。

5. 标记该点为已访问。

6. 重复步骤3到步骤5，直到找到终点或者所有点都被标记为已访问。

7. 如果找到终点，则回溯路径，即可得到最短路线。

练习题二：现在来做一个稍微复杂一些的练习题。

假设你是一名送货员，需要驾驶卡车从仓库（点A）出发，依次前往多个客户的位置（点B、点C、点D...）。

你希望按照最短距离完成任务。

为了解决这个问题，我们可以运用另一种常见的最短路算法，即弗洛伊德算法。

弗洛伊德算法的基本思想是：逐一考虑所有点作为中转点，计算出任意两点之间的最短距离。

具体步骤如下：1. 初始化：将各个点之间的距离初始化为无穷大。

2. 设置直接相连的两个点之间的距离为实际距离。

3. 逐一考虑每个点作为中转点，计算出通过该点的路径是否更短，若更短，则更新距离。

4. 重复步骤3，直到所有点都作为中转点计算过。

通过弗洛伊德算法，我们可以得到任意两点之间的最短距离。

然后，我们可以利用这些距离信息，进行路径规划，找出从仓库出发，依次前往各个客户位置的最短路线。

小学数学《最短路线》练习题【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？【例3】如图是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程。

【例4】如下图，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A 点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？【例5】一个邮递员投送信件的街道如图，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问走什么样的路线最合理，全程要走多少千米？【例6】下图是一个城市道路图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F 的最短路程。

【例7】仍取上面拓展训练的图中八个行政村的位置和线路图，乡政府要在全乡沿村与村之间的道路挖渠修道，建立排灌系统．全乡的地势是西高东低，即A村最高，依次为B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，问沿什么路线修道最合理？【例8】有八栋居民楼A1、A2、…、A8分布在公路的两侧，如下图，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？【例9】有两条通讯路线A和B，如下图，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？【例10】要在两条街道（如下图）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？【作1】如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点．假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？【作2】一个小虫从圆柱体（如下图）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线。

六年级数学路程问题应用题试题答案及解析1.（3分）一辆货车从甲地开往乙地，平均每小时行55千米．当这辆货车行了全程的20%时，如果再行79.2千米，那么已行的路程与全程的比正好是3：5．这辆货车从甲地到乙地要行多少时间？【答案】3.6小时．【解析】当这辆货车行了全程的20%时，如果再行79.2千米，那么已行的路程与全程的比正好是3：5，也就是已行的路程是全程的，79.2千米占全程的﹣20%，用除法得出甲乙两地的路程，再除以货车的速度即可得这辆货车从甲地到乙地要行的时间．解：79.2÷（﹣20%）=79.2÷40%=198（千米），198÷55=3.6（小时），答：这辆货车从甲地到乙地要行3.6小时．点评：本题考查了简单的行程问题﹣比的应用．得出79.2千米占全程的﹣20%．2.（5分）快、慢两车同时从相距480千米的两地相向而行，3小时后还相距全程的﹣，照这样的速度，两车还要经过几小时才能相遇？【答案】6小时【解析】3小时后还相距全程的，即两车三小时共行了全程的1﹣，根据分数除法的意义，两车共行全程即相遇需要3÷（1﹣）小时，所以照这样的速度，两车还要经过3÷（1﹣）﹣3小时才能相遇．解：3÷（1﹣）﹣3=3﹣3=9﹣3=6（小时）答：两车还需要6小时相遇．点评：完成本题根据分数除法的意义求出共需多少时间较简便，不需要计算具体速度．3.有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【答案】经过分钟，时针与分针第一次重合；经过时针与分针第二次重合。

【解析】在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“”，于是需要时间：。

所以，再过分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过分钟，时针与分针第二次重合。

小学数学《最短路线》练习题（含答案）【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。

所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。

解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。

【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。

答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。

为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短。

最短路径问题Description:平面上有n个点（n＜＝100），每个点的坐标均在-10000到10000之间．其中的一些点之间有连线．若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离．现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径．Input：共n+m+3行第一行为整数n．第２行到第n＋行，每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标（以一个空格分开）第n＋２行为一个整数m，表示图中连线的个数．以后的m行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线．最后一行；两个整数s和t，分别表示源点和目标点．Output:仅一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度Sample Input50 02 02 20 23 151 21 31 42 53 51 5Sample Output:3.41最小花费【问题描述】:在n个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。

这些人之间转账的手续费各不相同。

给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问A 最少需要多少钱使得转账后B收到100元。

【输入数据】:第一行输入两个正整数n,m，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。

以下m行每行输入三个正整数x,y,z，表示标号为x的人和标号为y的人之间互相转账需要扣除z%的手续费 (z<100)。

最后一行输入两个正整数A,B。

数据保证A与B之间可以直接或间接地转账。

【输出数据】:输出A使得B到账100元最少需要的总费用。

精确到小数点后8位。

【输入样例】:3 31 2 12 3 21 3 31 3【输出样例】:103.07153164【数据规模】: 1<=n<=2000公园漫步(park.pas)【问题描述】小M 和小Z 饭后在公园散步，走着走着小Z 忽然想起来家中的水龙头没有关，于是他们要在最快的时间内走出公园赶到家中。

六年级下册数学试题-⼩升初⾏程问题应⽤题及答案64-⼈教版-⼩升初⾏程问题应⽤题及答案-⼈教版⼀、解答题（题型注释）A、B两点相距100⽶．甲、⼄两⼈分别从A、B两点同时出发，按逆时针⽅向跑步，甲每秒跑10⽶，⼄每秒跑9⽶，每⼈每跑100⽶都要停10秒．那么甲追上⼄需要多少秒？2.甲、⼄两列⽕车从相距450千⽶的两地同时相向开出，经过3⼩时正好相遇．已知甲、⼄两列⽕车的速度之⽐是2﹕3，两列⽕车每⼩时各⾏多少千⽶？3.甲⼄两城相距720千⽶，⼀辆客车和⼀辆货车同时从两地相对开出，4⼩时后，两车共⾏驶的路程与剩下路程的⽐是3：2，客车每⼩时⾏60千⽶，货车每⼩时⾏多少千⽶？4.甲、⼄两辆汽车从A、B两地同时相对开出，当甲车⾏了全程的14时，⼄车⾏了全程的1，当甲车到达B地时，⼄车距离A地还有48千⽶，A、B两地相距多少千⽶？5.⼀列⽕车的⾏驶速度是140千⽶/时，从甲地开往⼄地需要5⼩时．（1）140×5=700表⽰：．（2）700÷5=140表⽰：．（3）700÷140=5表⽰：．6.甲、⼄两班同学到42千⽶外的少年宫参加活动，但只有⼀辆汽车，且⼀次只能坐⼀个班的同学，已知学⽣步⾏速度相同为5千⽶／⼩时，汽车载⼈速度是45千⽶／⼩时，空车速度是75千⽶/⼩时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？7.A.B两地相距1080⽶，甲⼄两⼈同时从两地相对出发，10分钟后相遇，已知甲⼄两⼈的速度⽐是5:4，求甲⼄两⼈每分钟各⾏多少⽶？8.甲⼄两地相距770千⽶，⼀列客车和⼀列货车同时从甲⼄两地相对开出，货车每⼩时⾏50千⽶，客车的速度是货车的1.2倍，两车开出后⼏⼩时相遇。

9.甲⼄两艘船分别从两个码头同时相向⽽⾏。

甲船每⼩时⾏驶40千⽶，⼄船每⼩时⾏驶28千⽶，两船⾏驶4⼩时后相遇。

甲、⼄两个码头相距多少千⽶？10.乐昌到⼴州的距离是280千⽶。

最短路径问题专项练习题最短路径问题专项练，包括蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题以及线段最短问题。

原理是两点之间，线段最短；垂线段最短，可以通过构建“对称模型”实现转化。

最短路径问题指的是在给定的图中，找到从一个起点到达一个终点的最短路径。

其中，线段最短问题可以分为同侧和异侧两种情况。

对于异侧的情况，只需要连接这两点，与直线的交点即为所求；对于同侧的情况，需要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求。

证明时可以利用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。

解决最值问题时，利用轴对称的性质和三角形的三边关系是常用的方法。

但在应用中，要注意审题，不要只关注图形，而忽略题意要求，以免答非所问。

选址问题的关键是将各条线段转化为一条线段。

根据三角形的三边关系，如果两点在一条直线的同侧，则过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一条直线的异侧，则过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小。

根据最大值或最小值的情况，可以选择其中一个点的对称点来解决问题。

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。

因此，在解决最短路径问题时，可以利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化为一条直线上，从而解决问题。

例2中，要使厂部到A、B两点距离相等，可以作AB的垂直平分线与EF的交点。

要使厂部到A、B两村的水管最短，可以作A（或B）点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求。

例3中，要使从A到B的路程最短，只要AM＋BN最短。

因此，可以将MN平移至AC，使两线段在同一平行方向上，连接BC的线段即为最短的，此时点N即为建桥位置，XXX即为所建的桥。

精品资料整理范文范例研究参考1.桥的建造如图2所示，建造一座桥，过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河宽。

1. 准确运用“标数法”解决题目.2. 培养学生的实际操作能力．知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．【例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？BA11613321BA IHG F E DC【解析】 （方法一）从A 点走到B 点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是例题精讲知识精讲教学目标8-8最短路线最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：→→→→→→→→、A E F G B→→→→、A C F G BA C D G B→→→→→→→→、A E H I BA C F I B→→→→、A E F I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C D E H、、、这四个点上．②看F点：从A点出发到F，可以是A C F→→，也可以是→→，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“2”（2=11+）．③A E F看G点：从A G→→→、A C F G→→→、→有三种走法，即：A C D G→→→．在G点标上数字“3”（3=12+）．④看I点：共有三种走A E F G法，即：A C F I→→→，在I点标上“3”→→→、A E H I→→→、A E F I（3=12+）．⑤看B点：从上向下走是G B→，那么从→，从左向右走是I B 出发点A B→→→→、→→→→、A C F G B→有六种走法，即：A C D G B→→→→、A E H I B→→→→、A E F I B→→→→，→→→→、A C F I BA E F G B在B点标上“6”（633=+），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．【巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？AB【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从A 到B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线A →C →D →E →F →B 来走，这条路线共有5条线段，每次走一步或两步，要求从A 走到B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得在A →C →D →E →F →B 这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从A 到B 的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法． 进一步：从A 到B 共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有81080⨯=种．1032463111111B A BF ED CA BA【巩固】 从A 到B 的最短路线有几条呢？BA【解析】 图中从A 到B 的最短路线都为6条．【巩固】 有一只蜗牛从A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C 点,中间不许爬回A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？ODC BA【解析】 共有9种，即：A O C →→、 A O D C A O B C →→→→→→、 、 A B C →→A B O C →→→、 A B O D C →→→→、 A D C →→、 A D O C →→→ A D O B C →→→→,最短的路是:A O C →→．【例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？少年宫学校J I HGF EDC B A 410633211111少年宫学校【解析】 从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看A 点：从学校到A 点最短路线只有1种走法，我们在A 点标上1．B 、E 、F 、G 点同理．再看J 点：最短路线可以是A J →、E J →共2条，我们在J 点标上2．我们发现211=+正好是对角线A 点和E 点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有10种走法．【巩固】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？BA【解析】 根据“标号法”可知共有10种，如图．【巩固】 如图，从F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？GF【分析】 共有115种．【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！南村北村【分析】 根据“对角线法”知共有126种，如图．12656703535216152015105541111南村北村410633211111【例 3】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？黄山北京2黄山北京211410331111722【解析】 采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有10条．【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条？乙甲【解析】 有11条．【例 4】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？乙地甲地河流【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况甲地逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．【例 5】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？李家村学校81461025李家村学校235216151051114106331111【解析】 我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．［拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从A 到B 共有几条最短路线呢？BA【解析】 此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有41条．【例 6】阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫学校904214482814少年宫学校2651143111114952052【解析】 采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有90种走法．［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？小猪家游乐场149小猪家游乐场2551114321【解析】 “对角线”法（如图），共14 条．【例 7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？【解析】仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第三天（必须不经过公园）共有8条．【巩固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！【解析】（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共126条．必经过市中心的60 条，所以可行的路有：1266066-=（条）．养老院（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有66条．664026111010养老院学校2526155111463311115155411【例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？【分析】 如图，共有716种．71637434217017220285511536212815218364115878536492836211515101077666554432YX1111111111111【例 9】如图，从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条？A C DE FB【解析】 由于不能经过线段CD 和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除CD 和EF ，然后再在拆除了CD 和EF 以后的网络图中进行标数(如下图所示)．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78条．【巩固】 下图为某城市的街道示意图，C 处正在挖下水道，不能通车，从A 到B 处的最短路线共有多少条？【解析】 从A 到B 的最短路线有431条.CBA174551999558325743117411030552518121211C BA836410776543211111111【例 10】 按图中箭头所指的方向行走，从A 到I共有多少条不同的路线？CF H DIGE B A【解析】 本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．通过标数法我们可以得出从A 到I 共有29条不同的路径．【例 11】 按图中箭头方向所指行走，从A 到G 有多少种不同的路线？GF E DC B A【解析】 运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图2181AB CD EF G 2351313532GF ED CB A1881AB CDE F G2355332GF E D CB A11AB CDE F G22GF E DC B A11AB C DE F G从A 到G 共有21条不同的路线．【巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从X到Y 有多少种不同的路线？⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？［分析］⑴利用标数法求得X到Y有34种不同的路线，如下图左所示．⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路径共有10条．出口1【例 12】⑴如下图左，如果只允许向下移动，从A点到B点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从A点到B点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？ABBA【解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22种不同的走法，如下图右．2622166111201010644143468341444332111111A BB A 42622166111B A【巩固】 图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？10987654321【分析】 图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．【例 13】 一只密蜂从A 处出发，A 回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？BA864297531【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【例 14】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［分析］ 要想拼出英语“APPLE ”的单词，必须按照“A P P L E →→→→”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标数法原理标数不难得出共有31种不同的路径．131127211224154112283184411AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［铺垫］ 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．望杯望杯希杯爱望希杯杯望希爱我 杯杯杯杯杯望望望希希希爱爱我644332111111111［分析］ 从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1464116++++=(种)．［拓展］ 如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein ”.i111111i［分析］ 因为“Einstein ”的拼读顺序为“E i n s t e i n →→→→→→→”，每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有30条，所以共有303060+=(种)不同拼法.注意图中的三个字母“i ”，左、右的两个字母“i ”只能由一个字母“e ”去到达．。

最短路径问题练习题最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要研究在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。

这个问题在实际生活中有广泛的应用，比如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。

以下是一些关于最短路径问题的练习题，供同学们练习和思考。

练习题1：Dijkstra算法的应用给定一个包含6个顶点的图，顶点编号为1到6，边的权重如下所示：- 1-2: 7- 1-3: 9- 2-3: 14- 2-4: 10- 3-4: 15- 3-5: 6- 4-5: 11- 5-6: 2- 3-6: 20请使用Dijkstra算法找出从顶点1到顶点6的最短路径。

练习题2：Bellman-Ford算法的应用考虑一个包含5个顶点的图，顶点编号为A、B、C、D、E，边的权重如下所示：- A-B: 5- A-C: 3- B-C: 1- B-D: 2- C-E: 8使用Bellman-Ford算法计算从顶点A到顶点E的最短路径。

练习题3：Floyd-Warshall算法的应用给定一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 4- 1-3: 5- 2-3: 3- 2-4: 7- 3-4: 2使用Floyd-Warshall算法计算所有顶点对之间的最短路径。

练习题4：有向图中的最短路径问题在一个有向图中，有5个顶点，编号为1到5，边的权重如下所示：- 1->2: 2- 1->3: 3- 2->3: 1- 2->4: 4- 3->4: 5- 3->5: 2- 4->5: 1找出从顶点1到顶点5的最短路径。

练习题5：负权重边的最短路径问题考虑一个包含4个顶点的图，顶点编号为1、2、3、4，边的权重如下所示：- 1-2: 10- 2-3: -3- 3-4: 1在这种情况下，使用Bellman-Ford算法找出从顶点1到顶点4的最短路径，并讨论负权重边对最短路径算法的影响。

六年级下册数学-小升初行程问题应用题及答案-人教版一、解答题4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。

为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？2.小红早晨7时从家步行到学校去，出发2分钟后，因事又立即返回家，然后又立即从家里赶往学校，到校门口时一看钟表正好是7时20分．如果小红每分钟走60米，她家到学校有多少米？3.双休日小明全家乘汽车到湿地公园游玩，车速是54千米/时，全程162千米，要求在11：00到达目的地．小明全家应该什么时候出发？4.一辆汽车4.5小时行驶382.5千米,以同样的速度行驶6.5小时,可以行驶多少千米?5.一辆汽车每小时行驶75千米，从桐梓到贵阳225千米，需要多少小时？6.小明去爬山，从山脚到山顶的路程是910米，明明先爬了449米后，又爬了367米，这时小明爬到山顶了吗？如果还没有爬到山顶，那离山顶大约还有多少米？7.一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时36千米，用了3小时到达乙地．返回时用了4小时回到甲地，返回时每小时多少千米？8.两艘轮船同时从一个港口向相反的方向开出，客轮每小时航行60千米，货轮每小时航行48千米，4小时后，两船相距多少千米？（先画图，再解答）9.客车和货车同时从甲城开往乙城，客车每小时行90千米，货车每小时行75千米。

当客车到达乙城时，货车离乙城还有30千米。

甲、乙两城相距多少千米？10.大连、烟台两个港口相距87海里。

甲、乙两船分别从两个港口同时出发，相向而行，3小时后相遇。

乙船每小时行15海里，甲船每小时行多少海里？（用方程解）11.一辆长途客车5小时行400千米，照这样的速度，这辆客车行完1600千米的路程需要几小时？12.小林和小红在一个直径是40米的圆周上的同一地点同时向相反的方向行走。

小林每分钟走30.8米，小红每分钟走32米，两人几分钟后相遇？13.某市旅行社准备组团到北京旅游。

六年级下册数学-小升初行程问题应用题及答案-人教版评卷人得分一、解答题1.甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。

为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？2.小红早晨7时从家步行到学校去，出发2分钟后，因事又立即返回家，然后又立即从家里赶往学校，到校门口时一看钟表正好是7时20分．如果小红每分钟走60米，她家到学校有多少米？3.双休日小明全家乘汽车到湿地公园游玩，车速是54千米/时，全程162千米，要求在11：00到达目的地．小明全家应该什么时候出发？4.一辆汽车4.5小时行驶382.5千米,以同样的速度行驶6.5小时,可以行驶多少千米?5.一辆汽车每小时行驶75千米，从桐梓到贵阳225千米，需要多少小时？6.小明去爬山，从山脚到山顶的路程是910米，明明先爬了449米后，又爬了367米，这时小明爬到山顶了吗？如果还没有爬到山顶，那离山顶大约还有多少米？7.一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时36千米，用了3小时到达乙地．返回时用了4小时回到甲地，返回时每小时多少千米？8.两艘轮船同时从一个港口向相反的方向开出，客轮每小时航行60千米，货轮每小时航行48千米，4小时后，两船相距多少千米？（先画图，再解答）9.客车和货车同时从甲城开往乙城，客车每小时行90千米，货车每小时行75千米。

当客车到达乙城时，货车离乙城还有30千米。

甲、乙两城相距多少千米？10.大连、烟台两个港口相距87海里。

甲、乙两船分别从两个港口同时出发，相向而行，3小时后相遇。

乙船每小时行15海里，甲船每小时行多少海里？（用方程解）11.一辆长途客车5小时行400千米，照这样的速度，这辆客车行完1600千米的路程需要几小时？12.小林和小红在一个直径是40米的圆周上的同一地点同时向相反的方向行走。

平面图形上的最短路径问题知识点：1.两点之间，线段最短2.垂线段最短3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短题型一两点在直线同侧（将军饮马）题型二相交直线之间一点或两点题型四费马点（二）根据垂线段最短题型五和最小（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六差最小（四）根据三角形任意两边之差小于第三边题型七差最大题型一两点在直线同侧例题1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．3B．6解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B关于直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’即BM+MN B．巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，R t△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为____ _____．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小．∵DP=P A，∴P A+PC=PD+PC=CD．∵B（3，∴AB OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB OA×AB OB×AM，∴AM AD．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°．∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°．∴AN由勾股定理得：DN C（1，0），∴CN=3-1在R t△DNC中，由勾股定理得：DC∴P A+PC题型二相交直线之间一或两点例题2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30 解：设∠POA =θ，则∠POB =30°﹣θ，作PM ⊥OA 与OA 相交于M ，并将PM 延长一倍到E ，即ME =PM ． 作PN ⊥OB 与OB 相交于N ，并将PN 延长一倍到F ，即NF =PN ． 连接EF 与OA 相交于Q ，与OB 相交于R ，再连接PQ ，PR ， 则△PQR 即为周长最短的三角形．∵OA 是PE 的垂直平分线， ∴EQ =QP ；同理，OB 是PF 的垂直平分线， ∴FR =RP ， ∴△PQR 的周长=EF ． ∵OE =OF =OP =10，且∠EOF =∠EOP +∠POF =2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF 是正三角形，∴EF =10，即在保持OP =10的条件下△PQR 的最小周长为10，故选A ．巩固练习：如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =5，ON =12，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是 ．解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M’N’，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM’=OM =5，ON’=ON =12， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M ON ''中，''13M N = 故答案为：13．题型三 造桥选址例题3：荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B点路径最短？解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作B G⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=G E’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短巩固练习：如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.解：①如图所示，AA’=1km，则MN为架桥位置A B===②过点B作BE⊥AA’，交其延长线于点E。

最短路径问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A1B 12C ．1D ．12【答案】B【解析】【分析】 如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则∵ABO 为等腰直角三角形，N 为AB 的中点，∵ON=12AB = 又∵M 为AC 的中点，∵MN 为∵ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =，12，∵OM 12【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．2．如图，在∵ABC中，AB＝2，∵ABC＝60°，∵ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE∵l，BF∵l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A【答案】A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK∵l于点K，过点A作AH∵BC于点H，在Rt∵AHB中，∵BH ＝1，AH在Rt∵AHC 中，∵ACB ＝45°，∵AC=∵点D 为BC 中点，∵BD ＝CD ，在∵BFD 与∵CKD 中，90BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BFD∵∵CKD （AAS ），∵BF ＝CK ，延长AE ，过点C 作CN∵AE 于点N ，可得AE+BF ＝AE+CK ＝AE+EN ＝AN ，在Rt∵ACN 中，AN ＜AC ，当直线l∵AC，综上所述，AE+BF．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．3．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，PCD 周长最小时，α，β之间的关系是（ ）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．90αβ=︒-【答案】C连接AP ，根据线段垂直垂直平分线的性质可知P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．由PCD L DP PC CD =++，即得出PCD LDP PA CD =++，由此可知当A 、P 、D 在同一直线上时，PCD L 最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD 为BAC ∠的平分线，即1122PAC A α∠=∠=．最后根据三角形外角性质即得出PAC PCA β=∠+∠，由此即可判断αβ=．【详解】如图，连接AP ，∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线，且P 在线段MN 上，∵P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．∵PCD LDP PC CD =++, ∵PCDL DP PA CD =++． 由图可知CD 为定值，当A 、P 、D 在同一直线上时，DP PA +最小，即为AD 的长， ∵此时PCD L 最小．∵D 是边BC 的中点，AB =AC ，∵AD 为BAC ∠的平分线， ∵1122PAC A α∠=∠=． ∵CPD PAC PCA ∠=∠+∠，即PAC PCA β=∠+∠，∵αβ=．本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L 最小是解题关键． 4．如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，AB AC ⊥，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP △周长的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．128【答案】B【解析】【分析】 根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点E 重合时，AP BP +的最小值，求出AC 长度即可得到结论．【详解】解：设AC 交EF 于点E ，连接CP ，EF 垂直平分BC ，B ∴、C 关于EF 对称，∵CP BP =，∵CP AP AC +≥∵BP AP AC +≥，∴当P 和E 重合时，AP BP +的值最小，最小值等于AC 的长，ABP ∴∆周长的最小值是437AC AB +=+=．故选：B ．【点睛】题的关键是找出P的位置．5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）cmA B．13cm C．D．【答案】B【解析】【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∵A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∵A′B13cm．故选：B．【点睛】和勾股定理进行求解是解题的关键．6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD∵BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵MC+MD的最小值为8．故选：B．【点睛】7．如图，在ABC 中，10AB AC BC ==，，60ABC S =△，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的面积公式得到6AD =，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长度PB PD =+的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB AC =，10BC =，60ABC S =△，AD BC ⊥， ∵1=602BC AD ⨯， ∵12AD =，∵EF 垂直平分AB ，∵点A ，B 关于直线EF 对称，∵EF 与AD 的交点即为P 的，此时PA PB =，AD 的长度PB PD =+的最小值， 即PB PD +的最小值为12，故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD 的长度PB PD =+的最小值是解题的关键．分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】【分析】根据题意，点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值AD+DC，利用三角形面积公式计算AD即可．【详解】∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，∵点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值是AD+DC，∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，DC=2，11416 22BC AD AD=⨯⨯=，解得AD=8，∵△CDM周长的最小值为：AD+DC=8+2=10，故选C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，将军饮马河原理，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为___．【答案】【解析】【分析】如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．说明P A=PC，再根据垂线段最短，解决问题即可．【详解】解：如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∵A、C关于BD对称，∵P A=PC，∵PE+PC=AP+PE，∵AP+PE≥AH，∵S菱形ABCD=BC•AH，∵AH ，∵PE+PC∵PE+PC的最小值为故答案为：．垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，已知点A （0，4）．以AB 为直角边在AB 左侧作等腰直角△ABC ，∵CAB ＝90°．(1)当点B 在x 轴正半轴上，且AB ＝8时∵求AB 解析式；∵求C 点坐标；(2)当点B 在x 轴上运动时，连接OC ，求AC +OC 的最小值及此时B 点坐标．【答案】(1)∵4y =+；∵C (4,4--(2)(2,0)B【解析】【分析】（1）∵根据(0,4)A ，8AB =，推出OB B ，0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，将A 、B 坐标代入即可求出AB 解析式；∵过点A 作x 轴的平行线，分别过点C 、B 作y 轴的平行线，交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆，所以4AG HB ==，CG AH ==C (4,4--； （2）由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，所以AC OC AC O C '+=+，AC OC +的最小值为AO '的长度，此时2OB AH CG ===，即可求出B 坐标．(1)解：∵(0,4)A ，8AB =，OB ∴B ∴0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，04∴=+，k =AB ∴解析式：4y x =+； ∵过点A 作x 轴的平行线，与分别过点C 、B 作y 轴的平行线交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆()AAS4AG HB ∴==，CG AH ==C ∴(4,4--；(2)由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，(B 在x 轴负半轴同理可说明）点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，4OC O C '∴==，448OO '=+=，AC OC AC O C '∴+=+．AC OC +的最小值为AO '=此时2OB AH CG ===，(2,0)B ∴．【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．。

六年级下册数学-小升初应用题专项练习题及答案-人教版一、解答题（题型注释）2.哪一队人多？3.如图所示，哪种小动物多？哪种小动物少？把多的圈起来，并且回答多的小动物比少的小动物多几个？4.从可乐瓶中能倒出3杯可乐，从啤酒瓶中能倒出5杯啤酒，哪种瓶子装水多？5.求3432009的尾两位数字．6.学校举办运动会，共54人参加，每人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？7.有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项？8.加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉．除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其它运算，并给出特定的运算规则，这样的运算形式我们一般称之为定义新运算．它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙等，这与四则运算中的“+、﹣、×、÷”表示的意义是不同的，其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同，解题的关键是通过表达式寻找到运算规则．（1）如果2*3=2+3+4=9，5*4=5+6+7+8=26，那么：7*5= ，8*2= ．（2）求：1*（4*2）（3）解方程：x*3=15．9.为一本字典编上页码需要用5041个数字，问这本字典总共有多少页﹖10.一本书有216页，把27页至33页的彩图剪去，再把5页到第13页彩图剪去，还剩下多少页？11.一套书从1，2，3，4开始编页，一共用了324个字，这套书共有多少页？12.比一比，哪种珠子多？画“√”13.对于两个数a与b规定a#b=a×b+a+b 如果5#x=29，求x．14.如图所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列，如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出现在第几列?参数答案1.①【解析】1.将三条线拉直后，③ 最长， ②其次， ①最短2.第一队有4人，第二队有3人，4比3大，所以第一队人多。

小学六年级关于路程的奥数练习题及解答篇一1、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？解：路程差=36×2=72千米速度差=48-36=12千米/小时乙车需要72/12=6小时追上甲2、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的终点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度?解：甲在相遇时实际走了36×1/2+1×2=20千米乙走了36×1/2=18千米那么甲比乙多走20-18=2千米那么相遇时用的时间=2/0.5=4小时所以甲的速度=20/4=5千米/小时乙的速度=5-0.5=4.5千米/小时9、两列火车同时从相距400千米两地相向而行,客车每小时行60千米，货车小时行40千米，两列火车行驶几小时后，相遇有相距100千米？解：速度和=60+40=100千米/小时分两种情况，没有相遇那么需要时间=（400-100）/100=3小时已经相遇那么需要时间=（400+100）/100=5小时3、甲每小时行驶9千米，乙每小时行驶7千米。

两者在相距6千米的两地同时向背而行，几小时后相距150千米?解：速度和=9+7=16千米/小时那么经过（150-6）/16=144/16=9小时相距150千米4、甲乙两汽车同时从相距325千米的两地相向而行,甲车每小时行52千米,乙车的速度是甲车的1.5倍,车开出几时相遇?解：乙的速度=52×1.5=78千米/小时开出325/（52+78）=325/130=2.5相遇5、甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程的百分之十，当乙行到全程的5/8时，甲再行全程的1/6可到达B地。

AB最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）*1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．|因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M..(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．*(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂 (2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方分析：(1)到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短'思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短]图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l 交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．~解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一B CD。