(曾芳)向心力实例分析之汽车转弯

一、转弯时的向心力实例分析1、汽车、自行车转弯问题汽车在水平路面上转弯，靠的是轮胎与路面间的静摩擦力。

设汽车以速率v 转弯，要转的弯的半径为R ，则需要的侧向静摩擦力Rv m F 2=。

如该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为F max ，有R v m F 2max =得，转弯的最大速率mRF v max max =，超过这个速率，汽车就会侧向滑动。

2、火车转弯问题火车在转弯处，外侧的轨道高于内侧轨道，火车的受力分析如图所示，其转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。

Rv M Mg 2tan =θ解得：v ＝θtan gR 拓展：①当火车行驶速率v 等于v 规定时，即v ＝θtan gR 时，支持力和重力的合力恰好充当所需的向心力，则内、外轨都不受挤压（此时为临界条件）．②当火车行驶速率v 大于v 规定时，即v ＞θtan gR 时，支持力和重力的合力不足以提供所需向心力，则此时需要外轨提供一部分向心力，即此时外轨受挤压．③当火车行驶速率小于v 规定时，即v ＜θtan gR 时，支持力和重力的合力大于所需的向心力，二、竖直平面内的圆周运动实例分析1、汽车过拱桥问题在汽车过拱桥时，汽车的向心力是由汽车的重力和路面的支持力来提供的。

当路面对汽车的支持力为零时，汽车将脱离路面，因此，必须保证支持力N ＞0，即汽车在最高点时速度的最大值是刚好重力提供向心力，即mg＝m rυ2，即该圆周运动的最大速度为v ＝gr，当速度为该值时，汽车将由沿桥面切线方向上的速度（水平速度）和只受重力作用，而做平抛运动。

因此，汽车过拱桥时，速度应小于gr 。

2、汽车过凹型桥3、小球在绳和杆的作用下通过最高点问题（1）在最低点，不论是线拉物体还是杆连物体，线或杆的弹力指向圆心（竖直向上），物体的重力竖直向下，二者的合力提供向心力，则有mg ＋T ＝mr ω2＝m rυ2；（2）在最高点时，线拉物体的临界状态是T ＝0，重力提供向心力mg ＝m rυ2，即v ＝gr 。

竖直平面内的圆周运动
3、如下图，一辆汽车以 4、如下图，一辆汽车以
速率v在凹凸不平的路面 速率v在凹凸不平的路面
上行驶，汽车的质量为m， 上行驶，汽车的质量为m，
如果把汽车过最低点的运 如果把汽车过最高点的运
动看做圆周运动，且半径 动看做圆周运动，且半径
为r，求此时汽车对地面 为r，求此时汽车对地面
2、如果 v = gR则和轻绳一样， 杆对小球没有力的作用。 所以当 v gR 时，轻杆对小球 有支持力的作用。
3、如果v > gR，轻杆对小球有拉力作用。
思考题
体操运动员在做单 杆“大回环”动作 时，在最高点的最 小速度又是多少？ 受力情况怎样呢？ 与水流星相比有什 么不同的地方吗？
解圆周运动问题的基本步骤
车处于超重状态，容易引发爆胎。 车处于失重状态，不易控制。
思考与讨论
由上可知，汽车通过凸处的最高点，当汽车的速率不断 增大时，路面受到的压力如何变化？
根据牛顿第三定律：N压=N
即:最高点 N压 N支 G
支

m
v2 r
v增大时，N压减小。
当 v gr 时，N压=0；这是车辆恰好能在拱桥上做圆
第3节 向心力的实例分析
皮带传动
常见传动从动装置
齿轮传动
摩擦传动
AB
c
皮带传动，由于相等时间里转过的弧长 相等，所以线速度相等。 在同一转动轴上，物体由于相等时间里 转过的角度相等，所以角速度相等。
1、你坐在车座上不扶不靠， N 当车子转弯时，你的身体会
怎样？受哪些力？
f
身体会有向外的运动趋势， G
1、确定做圆周运动的物体为研究对象 2、确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 3、受力分析找出向心力 4、选择规律列方程求解

N
F
f静
G
11
若v gr tan
N
f静
F
G
12
同类模型还有：
F
F合
G
13
鸟 飞 行 转 弯
飞 机 转 弯
F F合
G
14
小 结
1、分析圆周运动的基本思路。 2、实例分析：汽车转弯。 3、圆周运动问题的解题步骤。
15
16
思考：火车转弯时，什么力提供向心力？
17
18
4
向心力的来源
“供”
m rw2 m v2 r
向心力的表达式
“需”
F向
做圆周 运动
=5Βιβλιοθήκη 解决圆周运动问题的一般步骤：
1.确定圆轨道，圆心和半径。
2.受力分析，找到向心力。
3.列出向心力表达式方程。
6
汽车转弯（水平面内的圆周运动）
7
汽车转弯
N F牵
俯视图:
F牵
f静
v
f静
G
f切
f切
汽车在水平路面上转弯的向心力由哪个力提供？
8
汽车转弯
例1：在一段半径为r的圆形水平轨道上，已知路面对汽
车轮胎的最大静摩擦力是车重的μ倍（μ＜1），求汽
车拐弯时的最大安全速度？
f max
v
v m g m r
v2 f max m r 2
v gr
9
N
v m g tan m r
F
2
v gr tan

G
10
若v gr tan
重庆市黔江中学校 QianJiang Middle School of ChongQing

4.3向心力的实例分析
金太阳教育
1、水平面内的圆周运动 （1）汽车转弯
N
mv f m mg f r
2
f
G
v gr
1、水平面内的圆周运动 （1）汽车转弯
若汽车速度过大，所需要 的向心力过大，最大静摩擦 力不足以提供向心力，汽车 的轨道半径将变大，汽车离 原来的轨道圆心越来越远。 v f
汽车
gr
——离心运动
1、水平面内的圆周运动 （2）火车转弯
N FN G
向心力由外侧轨道 对车轮轮缘的挤压 力提供.
v FN m r
2
1、水平面内的圆周运动 （2）火车转弯 向心力由重力G和
N F G
支持力N的合力提 供.
F m g tan 2 v m r v gr tan
2、竖直面内的圆周运动 （2）水流星
v F mg N m r 2 v N m mg r
2
N
mg
F O
v gr
2、竖直面内的圆周运动 （2）水流星
v F N mg m r 2 v N m mg r
2
O N F mg
例与练 6、把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使这水 桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高 点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该 是（ ）
A.
2gl
B.
gl / 2 C.
gl D.
0
例与练 7、如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长 的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求： （1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线 的拉力是多少？ （2）当小球在圆下最低点速度为10m/s时，细线 的拉力是多少？（g=10m/s2）

v2 F向 T mg m r
15
三、竖直面轨道圆周运动——线模型
(1)临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg ＝m v
2
临界 ⇒v R
＝ 临界
gR。
(2)能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力或轨道对球产生压力。
(3)不能过最高点的条件：v<v 临界(实际上球还没到最 高点时就脱离了轨道)。
那么当汽车的速度为多少时汽车对桥毫无附着力，会完全失控？Fra bibliotekv gR
10
三、竖直面轨道圆周运动——汽车过桥（凹底问题）
若是凹形圆桥面汽车对桥的压力等于多少？
N
mg
v2 m
N
R
N mg m v2 mg R
G
由牛顿第三定律可知，汽车对桥及轮胎的压力都大于重力， 汽车有爆胎的危险！
对比上面的研究可以看出来，不同圆桥能够
在最高点处对过山车受力分析： 重力G与压力N为过山车提供向心力
mg N m v2 R
思考：当车速度为多少时，对轨道无挤 压？
Nv
G
R
N’
G
13
三、竖直面轨道圆周运动——过山车
过山车：(在最高点和最低点) (1)向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提 供向心力。
(2)向心力方程：
在最高点：
行驶 v gr ，否则将发生事故。
思考
在现实生活中，公路和铁路的弯道通 常是外高内低，为什么这样设计呢？
6
二、倾斜轨道圆周运动——赛车拐弯
拐弯情景： N
受力分析：
h
G 可得：F mg tan m v2
r
N
若倾角θ很小时，可

如果 v gr ，轻绳对 小球存在拉力。 如果 v gr ，小球无法 到达圆周的最高点
例：如图，在“水流星”表演中，绳长为1m， 水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的速度 为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
v r
2、轻杆作用下的竖直面的圆周运动（杆的模型）
如图所示轻杆栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度需要多大?
问题情境：
汽车过拱桥
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆 弧半径为r，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高 点时对桥面的压力？
a：选汽车为研究对象 b：对汽车进行受力分析：受到重力和桥 对车的支持力
c：上述两个力的合力提供向心力、 且向心力 方向向下
d：建立关系式：
2 v F向 mg N 即mg N m r
1、轻绳作用下的竖直面的圆周运动（绳的模型）
如图所示轻绳栓一小球,在竖直面做圆周运动。求： 经过最高点的线速度至少需要多大?
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r T=mv2/r-mg≥0 小球经过最高点的速度：
线或绳
v0 ≥ gr
线或绳
当 v gr时，细绳对 小球没有拉力作用。向心 力只由小球所受重力提供。
e:又根据牛顿第三定律，所以
2 v N N mg m r
且
N mg
v N mg m r
2
失重现象
试讨论上面情况中，汽车行驶的速度越大，汽车对桥的压力 如何变化；当汽车对桥的压力刚好减为零时，汽车的速度有 多大．当汽车的速度大于这个速度时，会发生什么现象?
2、请你根据上面分析汽车通过凸形桥的思路，分析 一下汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力（如图）。 这时的压力比汽车的重力大还是小？

①绳子拉小球或小球沿轨道内侧运动，恰能经过最高点时，如图4-3-8(a)和 (b)所示，满足T=0或N=0，此时完全由小球重力提供向心力，即mg=mv2/R得v临界 = Rg 。 能过最高点的条件：v≥ Rg ，当v> Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生 压力。 不能过最高点的条件：v≤v临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)
1.0x105 N
应用向心力公式解 题的一般步骤是怎样的？
【我的见解】
(1)明确研究对象：解题时要明确研究的是哪一 个圆周运动的物体。 (2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆 心和半径。 (3)确定研究对象在某个位置所处的状态，分析 物体的受力情况，判断哪些力提供向心力。 (4)以向心力方向为正方向，根据向心力公式列 方程求解。
又因为F合=Mv20/R，所以车速v0= (2)当火车行驶速率v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力。 (3)向心力是水平的。
注意：(1)当火车行驶速率v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力。
同理，飞行中的鸟和飞机改变飞行方向时，鸟的身体或飞机的 机身也要倾斜，转弯所需向心力由重力和空气对它们的作用的合力 提供。
图4-3-6
本题考查利用圆周运动知识解决实际问题的能力。
1 高速公路转弯处，若路面向着圆心处是倾斜的，要 求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋 势。在车速v=15 m/s的情况下，路面的倾角应多大？ (已知弯道半径R=100 m)
【答案】 13°
学点2 竖直平面内的圆周运动实例分析
(1)汽车过弧形桥 以汽车为研究对象，汽车的受力情况如图4-3-7所示。
2
如图4-3-12所示，汽车质量为 1.5×104 kg，以不变的速率先后驶 过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧 图4-3-12 半径为15 m，如果桥面承受的最大 压力不得超过2.0×105 N，汽车允许的最大速率是 多少？汽车以此速度驶过桥面的最小压力是多少？ (取g=10 m/s2)

光滑的圆轨道AB部分平直，BC部分是处于 竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径 r<<R,有一质量为m，半径比r略小的光滑 小球以水平初速度v0射入圆管。（1）若要 小球能从C端出来，初速度v0 是多少？（2） 小球从C端从来瞬间，对管壁压力有哪几种 典型情况，初速度v0应各满足什么条件
生活中的圆周运动：
N+mg=mv2/r
∵N≥0
①当
∴v≥
gr
v gr 时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流出
gr 时，Ｎ>０
② 当v
③
当
v gr 时，Ｎ<０，此时水将会流出杯子。
实例6:轻杆与球：如图所示，一 质量为m的小球，用长为L轻杆固 定住，使其在竖直面内作圆周运 动。 (1)小球做的是什么运动？
(2)小球在运动过程中，受到哪 些力？有哪些力对物体做功？ 小球的运动过程有什么特点？ (3)小球能在竖直平面内作圆周 运动，必须满足的条件是什么？
gr
汽车飞出去了。
汽车质量为1.5x104kg, 以不变的速率驶过 凹形路面和凸行路面，路面圆弧半径为15m 如果路面承受的最大压力不得超过2x105N， 汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率 驶过路面的最小压力是多少？
实例3:细绳与球：如图所示，一质量为 m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖 直面内作圆周运动。 (1)小球做的是什么运动？ mg
(2)小球在运动过程中，受到哪 些力？有哪些力对物体做功？ 小球的运动过程有什么特点？
O
(3)小球能在竖直平面内作圆周 运动，必须满足的条件是什么？
如图所示，一质量为m的小球，用长 为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运 动。
(1)若过小球恰好能通过最高点， 则小球在最高点和最低点的速度 分别是多少？小球的受力情况分 别如何？

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2．轻杆模型
结束
如图 4-3-10 所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内
运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小
球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或
等于零，小球的受力情况为：
图 4-3-10
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结束
(1)v＝0 时，小球受向上的支持力 N＝mg。 (2)0<v< gr时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小。 (3)v＝ gr时，小球只受重力。 (4)v> gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大 而增大。 即杆类的最高点的临界速度为 v 临＝0。
转弯时有 mgtan α＝mRv02
①
当火车以实际速率 v 转弯时，车轮对外轨的侧压力与外轨
对车轮的侧压力是一对相互作用力，此时有
Nsin α＋Fcos α＝mRv2
②
Ncos α－Fsin α＝mg
③
联立①②③式，解得 F＝vv2－04＋v0g22mRg2 。
[答案]
v2－v02mg v04＋g2R2
结束
(2)如图 4-3-4 所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内 侧倾斜身体？
图 4-3-4 提示：倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦 力，从而获得做圆周运动所需要的向心力。
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结束
(3)过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图 4-3-5 所示， 过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车 与乘客不会掉下来？
图 4-3-3
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高中物理汽车转弯时向心力的分析一、题目及解析汽车沿半径为R的圆跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的最大静摩擦力是车重的0。

10倍，要使汽车不至于冲出圆跑道，车速最大不能超过多少？解析：汽车在圆跑道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力F（方向指向圆心）提供向心力。

车速越大，所需向心力也越大，则静摩擦力F也越大，向心力不可能超过路面与车间的最大静摩擦力F m，设车速的最大值为，则得：汽车沿半径为R的圆跑道匀速行驶时的速率不能超过，不然会冲出圆跑道，因为这时最大静摩擦力不足以提供汽车做圆周运动所需的向心力，汽车就脱离原来的圆跑道做离心运动了。

二、问题的提出在书本上和资料上有很多类似题，解题依据都是最大静摩擦力提供向心力。

最大静摩擦力只提供向心力吗？三、问题的分析1．汽车在平直路面运动受力情况分析一般情况下汽车的后轮是驱动轮或称主动轮，前轮是导向轮或称被动轮。

后轮在发动机驱动力矩作用下发生转动，在轮缘与路面接触处，轮将对地面施加一个作用力，方向与运动方向相反，同时路面对轮产生一个向前的反作用力，在反作用力的作用下使得汽车向前运动，而前轮在轮轴推动下将作平动，同样道理路面对前轮产生一个反作用力，方向向后，在反作用力力矩的作用下，前轮发生转动。

两对作用力与反作用力都是静摩擦力，施加在后轮的驱动力矩随着汽车发动机输出功率的改变而相应地改变。

后轮的静摩擦力是由路面作用产生的，在给定的硬路面和汽车的情况下，路面所提供的最大静摩擦力是一定的，因此汽车的输出功率的大小将受到限制，即存在着临界状态。

沿路面自由滚动的车轮，具有不断变化的瞬时转动中心，车轮和路面的各个接触点在它们接触的瞬间是没有相对运动的，轮胎与公路之间的纵向水平作用力就是物理学所说的静摩擦力。

静摩擦力最大值被定义为“最大静摩擦力”，是一个与运动状态无关的常量，它等于路面对车轮的垂直支持力与静摩擦系数的乘积。

可能实现的牵引力最大值约为轮胎与公路间的最大静摩擦力。

生活中的圆周运动： 生活中的圆周运动：水平面内的圆周运动 汽 车 转 弯
பைடு நூலகம்
火 车 转 弯
生活中的圆周运动---竖直面内的圆周运动 生活中的圆周运动 竖直面内的圆周运动
汽车过拱形桥 汽车过拱形桥
一。水平面内的圆周运动 1.汽车转弯 汽车转弯
想一想： 想一想：
若一辆汽车以速度V=50m/s转弯，此 转弯， 若一辆汽车以速度 转弯 过程可以看作匀速圆周运动。已知此处路面与轮 过程可以看作匀速圆周运动。 胎之间的动摩擦因数为0.5，这个人转弯的半径R 胎之间的动摩擦因数为 ，这个人转弯的半径 最小是多大？ 最小是多大？ 最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力） （最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）
v F = mg tan θ = m r ∴ v = gr tan θ 又tanθ ≈ sin θ = h / l = 0.1
∴ v = 30m / s
h θ l
2
FN
F
mg
生活中的圆周运动---竖直面内的圆周运动 生活中的圆周运动 竖直面内的圆周运动
汽车过拱形桥 汽车过拱形桥
可见如果在平直路面上， 可见如果在平直路面上，高速转弯动摩擦因数一 定的前提下，需要很大的转弯半径。 定的前提下，需要很大的转弯半径。
Ｆ１赛车转弯
赛道的设计
你观察过高速公路 转弯处的路面情况 吗?
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高速公路转弯处也 是外高内底 （并且超车道比主 车道更加倾斜） 车道更加倾斜）
一。水平面内的圆周运动 1.汽车转弯 汽车转弯
2.火车转弯 火车转弯
火车转弯：
m转弯 转弯， 2、火车以半径r= 900 m转弯，火车质量为 轨道宽为l=1.4m 1.4m， 8×105kg ，轨道宽为 1.4m，外轨比内轨高 h=14cm，为了使铁轨不受轮缘的挤压， h=14cm，为了使铁轨不受轮缘的挤压，火车的 速度应为多大？ 很小时， 速度应为多大？ 很小时，可认为 tan θ ≈ sin θ θ

汽车转弯时的向心力【学习目标】1.理解汽车、自行车转弯时向心力的来源2.会应用向心力公式进行分析和计算【学习重点】汽车、自行车转弯时向心力的分析和计算【自主学习】向心力的公式是什么？向心力的作用效果是什么？【合作探究】一.汽车在水平路面上转弯：什么力提供向心力？转弯时不发生侧滑的最大速度是多大？（已知m、R、μ）二.汽车在倾斜路面上转弯：什么力提供向心力？转弯时的安全速度是多大？（已知θ、R）三.自行车在水平路面上转弯：什么力提供向心力？倾斜的角度与哪些因素有关？【课堂训练】1.高速公路转弯处弯道半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝。

最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生侧滑为多大？ (g＝9.8 m/s2)所允许的最大速率vm2.在匀速转动的水平圆盘边缘处放着一个质量为0.1kg的小金属块，圆盘的半径为20cm，金属块和圆盘间的动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，为不使金属块从圆盘上掉下来，圆盘转动的最大角速度为多少?3.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。

汽车的运动可看成是做半径为R的圆周运动。

设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，已知重力加速度为g。

要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于多少？4.公路急转弯处通常是交通事故多发地带，如图某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )A．路面外侧高内侧低 B．车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v的值变小c5.滑冰运动员以10m/s的速度在水平冰面上沿着半径为50m的圆周滑行，他的身体必须跟冰面成多大的角度才能保持平衡？6.针对训练：118页 3题、5题，121页 7题。

其他转弯问题
一、人骑车转弯
人骑自行车在平直的公路上行驶时，受四个力：重力、地面的作用力、牵引力、阻力。

当遇到弯道转弯时，人将设法使车和自已偏离竖直方向而朝弯道内侧倾斜一些。

地面对车的作用力也就偏离竖直方向，在水平方向产生了分力，正是这个分力充当了自行车转弯时所需要的向心力。

根据mgtgθ=mv2/r,得tgθ=v2/rg，由此可知：人偏离竖直方向的夹角由车速和转弯半径决定。

二、汽车转弯
汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。

它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的摩擦力。

根据μmg=mvm2/r，得vm=√μgr。

由于受轮胎和路面材料性质、表面状况等因素的限制，因而汽车在转弯时速率要受到制约。

如果转弯速度过大，摩擦力作为向心力显得不足时，汽车便会发生离心运动而滑向道路的外侧，这是很危险的。

为避免上述危险，人们在修铺公路时，常将公路的弯道部分做成外侧较高的倾斜路面。

路面对车的支持力便不在竖直方向上了，它在水平方向的分力便可提供向心力。

若选择合适的转弯速度满足mgtgθ=mv2/r,得v=√grtgθ。

那么就不再需要由摩擦力来提供向心力了。

如果转弯速度
v>√grtgθ,这时支持力的分力提供向心力不足，汽车有沿路面外滑的趋势，于是从路面获得摩擦力来补偿向心力的不足，这样就安全多了。

三、飞机转弯
飞机在空中水平面上盘旋转弯时，机身也要向圆周内侧倾斜，。

此时空气对飞机的升力与重力的合力指向圆心充当向心力，实现转弯。

根据mgtgθ=mv2/r,得tgθ=v2/rg，由此可以看出机身倾斜的角度也由转弯速度和转弯半径决定。