刚体的平面运动1
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4-6 刚体平面平行运动
2
4-6 刚体的平面平行运动
2. 刚体绕质心轴的转动
在质心系中刚体作定轴转动.
选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定平面的 轴。 在质心系中
M外i'
M惯
dLz' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩,
又 M惯= 0
M惯 — 惯性力对质心的力矩.
M外i'
dL'z dt
d(Izcz )
二 作用于刚体上的力
1. 作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
BF
力作质心轴的力矩使刚体产 生角加速度.
第四章 刚体的转动
8
4-6 刚体的平面平行运动
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
4-6 刚体的平面平行运动
一 刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定 的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫 刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个， 两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对 于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
dt
I zc z
第四章 刚体的转动
3
4-6 刚体的平面平行运动
M外i' Izcz'
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律.
Fi mac
刚体平面运动的基本
动力学方程.
M外i' Izcz'
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
刚体的平面运动
• 当f=0°时,vA与vBA 均垂直于OB连 • 线，vA与vBA也垂直于vB，按速度平行四 • 边形合成法则，应有 • vB＝0。
•当f=90°时，vA与vB方向一致， •vBA垂直于AB，其速度平行四边形应为一直线， •显然有 vB＝vA＝rw •而 vBA＝0。 •则此时杆AB的角速度wAB为零，
•
例1 曲柄连杆机构如图所示，OA=r，AB=1.73r。 如曲柄OA以匀角速度w转动，求当f=60°、0°和 90°时点B的速度。 • 解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的 速度为 • vB＝vA＋vBA
• 点B的速度为 vB＝vA＋vBA • 其中 vA＝rw， 方向与OA垂直， • vB 沿OB方向， vBA与AB垂直。 • 可以作出其速度平行四边形。 当f=60°时，由于AB=1.73OA，OA恰好与AB垂 直，其速度平行四边形如图所示， 解出 : vB＝vA/cos30°＝1.15rw
• • • •
单独轮子作平面运动时，可在轮心O′处固 连一个平动坐标系x′o′y′，同样可把轮 子这种较为复杂的平面运动分解为平动和 转动两种简单运动。
一、研究平面运动的方法
• 1、动坐标系 • 对于任意的平面图形，可在图形上任取一点 O′为基点作为动系原点，建立跟随基点平动的坐 标系x′o′y′。 • 于是平面图形S的绝对运动可看成是： • 跟随基点的平动和绕基点的转动的合成。
若图形上某点I vI＝0 ，选此点
为基点，则其它各点的速度
vB＝vI＋vBI＝vBI
• 2、瞬时速度中心 • ①定义：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上 • 都唯一地 存在一个速度为零的点。此点称为瞬 时速度中心。
②证明：如果点M在vA的垂线AN上 （由vA到AN的转向与图形的转向 一致），由图中看出，vA和vMA 在同一直线，而方向相反，故vM 的大小为 vM=vA－w·AM
刚体的平面运动习题答案
刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动是力学中的一个重要课题，它涉及到物体在平面上的运动规律和力的作用方式。
在学习这一课题时，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些关于刚体平面运动的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 习题一：一个质量为m的刚体在水平地面上受到一个水平力F的作用，求刚体受力情况下的加速度。
解答：根据牛顿第二定律，刚体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与刚体的质量成反比。
因此，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
2. 习题二：一个质量为m的刚体以速度v沿x轴正方向运动，受到一个大小为F的力沿y轴正方向作用，求刚体的加速度和运动轨迹。
解答：由于刚体受到的力只有在y轴上的F，所以刚体在x轴方向上不受力，即不会有加速度。
而在y轴方向上，刚体受到的力F会引起加速度的产生。
根据牛顿第二定律，我们可以得到刚体在y轴方向上的加速度为a = F/m。
至于刚体的运动轨迹，由于在x轴方向上没有加速度，刚体将以匀速直线运动，而在y轴方向上有加速度，刚体将在y轴上做匀加速运动。
3. 习题三：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相同，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相同，所以刚体受到的力将会增加其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
4. 习题四：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相反，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相反，所以刚体受到的力将会减小其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = -F/m。
5. 习题五：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向成一定的夹角θ，求刚体在力作用下的加速度。
解答：对于这个习题，我们可以将力F分解为两个分力F1和F2，其中F1与刚体的速度方向相同，F2与刚体的速度方向垂直。
刚体的平面运动
O1O2 0.05 + O1 A = + 0.1 D tan 30 tan 30D
ω ABD =
0.2 = 1.072 rad / s 0.1866
ω ABD
P
vD = PD ⋅ ω ABD = ( PA + AD ) ⋅ ω = (0.1866 + 0.05) ⋅1.072 = 0.254 m / s
O1 B 与连杆间成 30° 角．如 OA = r , AB = 2 3r , O1 B = 2r ,求在该瞬时，滑块 B 的切向和法
向加速度。 解: AB 杆作平面运动,速度分析如图
vB cos 60D = v A , vB = 2v A = 2rωO
n 2 2 故 B 点的法向加速度： aB = vB / O1 B = 2rωO
刚体的平面运动(一)
一、填空题 1、刚体的平面运动可分解为 随基点的平移 和 绕基点的转动 ； 平移的速度和加速度 与基 点的选择有关，_转动的角速度和角加速度_与基点的选择无关。
2、若已知刚体上任一点的速度 v 和刚体的角速度 ω ，那么速度瞬心的位置应在_过该点与 v 垂 直的直线上_，距该点的距离_____ v / ω _____；若瞬心在无穷远，则此时角速度为__零___， 刚体作___瞬时平移__。 3、刚体定轴转动时，轴上各点的速度__为零___，加速度__为零__；而绕速度瞬心转动时，速 度瞬心的速度__为零__，加速度 二、判断题 (× ) 1、刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨迹都在同一平面内。 (× ) 2、平面图形上任意两点的速度在固定坐标轴上的投影相等。 (√) 3、平面图形的角速度不等于零，则图形上不可能存在两个或两个以上速度为零的点。 (√) 4、作平面运动的平面图形上(瞬时平动除外)，每一瞬时都存在一个速度瞬心。 三、选择题 1、一圆盘作平面运动,如图所示的速度分布情况中,可能出现的是 A.图(a) B.图(b) C.图(c) A 。 D.图(d) 不一定为零 。
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第9章 刚体的平面运动
例9-1 AB长l ,其两端在直角墙面上滑动。已知 v A 、 ，AM=b 。 求B点和M点的速度、AB的角速度。
解：以A为基点，研究 B点的速度。
v B v A v BA
B
v BA v A cos θ v B v A tan
vBA
vA
v BA l v A
l cos
vA A
A
vA
vB
B
例9-2 曲柄OA的角速度为 ，AB=BC=BD= l ，OA= r 求滑块C的速度。 vA 解： 杆AB、BC为平面运动
v A r
AB杆：
v A cos v B cos
vB cos v A cos
O
A D C
h
对 速 度 瞬 心 的 说 明
刚体作平面运动时，在每一瞬时，图形内（或与图形固结的 扩展平面内）必有一点 成为速度瞬心；但在不同的 瞬时， 速度瞬心的位置是不同的 。——速度瞬心的瞬时性
每一瞬时，平面图形的运动都可看成为绕速度瞬心的瞬时转动
n=6 600
t T 6
n=12 300
t T 12
平面图形相对于任意基点处的平动参考系，其转动运动都是一 样的，角速度、角加速度都是共同的，无须标明绕哪一点转动 或选哪一点为基点。因此，绕任意点转动的角速度、角加速度 就是平面图形的角速度、角加速度。
§9-2 求平面图形上各点速度的基点法
v M (v a )
一、基点法
动点: M结构中的平面运动
例如：基础的沉降造成了结构的移动
C’
C
A
B (B’)
A’
二 、刚体平面运动的简化
第四章 刚体的平面运动
vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
例2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解：1 、 BD作平面运动
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
2、速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。
例5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm， 以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖 动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置 时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
由速度投影定理得
vB sin β = vC cos β
vC = vB tan β = rω0 tan β
圆轮瞬心在E 圆轮瞬心在E点
vA = vB = rω0
vC rω0 ωC = = tan β R R
§4-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点
Ax ' y '
：平移坐标系
r r rt rn aB = ae + ar + ar r r rt rn aB = aA + aBA + aBA
va= vB
ve= vA
vr= vAB
r r r v =v +v
B A
BA
第九章刚体的平面运动
1
第九章 刚体的平面运动
§9–1 刚体平面运动的概述
§9–2 平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程 §9–3 平面图形内各点的速度 §9–4 平面图形内各点的加速度 习题课
§9-1 刚体平面运动的概述
一．刚体平面运动的定义:
若刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定 平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点 都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种
而 ac 的方向是沿AC的， a 。瞬时平动与平动不同，它 aB c 只是刚体作平面运动的某一瞬时的特殊运动状态，而非平动。
⒋ 速度瞬心法： 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。
综上所述：平面图形在任一瞬时的运动，都可以视为绕速度 瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度
AP，指向由 转向确定。 ⒌ 注意：
vA AP 方向
⑴ 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间
不断变化的。它可以在平面图形内也可以在平面图形外（平面 图形的扩展部分）； ⑵ 速度瞬心处的速度为零, 但加速度一定不为零。 ⑶ 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加 速度一定不相同。 0 ,
⒈ 公式的导出： 已知：图形 S 内一点 A 的速度 v A， 图形角速度 。 求：v B 取 A 为基点, 将动系固结于A 点,
动系作平动。取 B 为动点, 则 B 点
的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。
va vB ; ve vA ; vr vBA , vBA AB , 方向 AB ,指向
由 转向确定。
根据速度合成定理
vB vA vBA
第九章 刚体的平面运动
§9–1 刚体平面运动的概述
§9–2 平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程 §9–3 平面图形内各点的速度 §9–4 平面图形内各点的加速度 习题课
§9-1 刚体平面运动的概述
一．刚体平面运动的定义:
若刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定 平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点 都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种
而 ac 的方向是沿AC的， a 。瞬时平动与平动不同，它 aB c 只是刚体作平面运动的某一瞬时的特殊运动状态，而非平动。
⒋ 速度瞬心法： 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。
综上所述：平面图形在任一瞬时的运动，都可以视为绕速度 瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度
AP，指向由 转向确定。 ⒌ 注意：
vA AP 方向
⑴ 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间
不断变化的。它可以在平面图形内也可以在平面图形外（平面 图形的扩展部分）； ⑵ 速度瞬心处的速度为零, 但加速度一定不为零。 ⑶ 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加 速度一定不相同。 0 ,
⒈ 公式的导出： 已知：图形 S 内一点 A 的速度 v A， 图形角速度 。 求：v B 取 A 为基点, 将动系固结于A 点,
动系作平动。取 B 为动点, 则 B 点
的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。
va vB ; ve vA ; vr vBA , vBA AB , 方向 AB ,指向
由 转向确定。
根据速度合成定理
vB vA vBA
刚体平面运动
第十章刚体的平面运动一、内容提要1、基本概念（1）刚体的平面运动的定义刚体运动时，若其上任一点至某个固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。
（2）刚体的平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形在自身平面内的运动。
（3）刚体平面运动方程为x o'=f1(t) , y o'=f2(t) , ϕ=f3(t) ,（4）刚体平面运动的分解平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
2、平面图形上各点的速度（1）基点法（速度合成法）V M= V O+V MO（2）速度投影法（V M）MO=（V O）MO（3）速度瞬心法V M=MC∙ω（C点为速度瞬心）3、平面图形上各点的加速度加速度分析主要用基点法（加速度合成法）a M= a O+aτMO+a n MOaτMO =MO∙ε方向垂直于MO，并与ε的转向一致。
a n MO =MO∙ω2 方向由点M指向基点O。
二、基本要求1、熟练掌握平面图形上各点的速度的求解。
2、熟练掌握平面图形上各点的加速度的求解。
三、典型例题例如图所示平面机构，由四杆依次铰接而成。
已知AB=BC=2R，C D=DE=R，AB杆和DE杆分别以匀角速度ω1与ω2绕A、E轴转动。
在图示瞬时，AB与CD铅直，BC与DE水平。
4142 试求该瞬时BC 杆转动的角速度和C 点加速度的大小。
解 AB 杆和DE 杆作定轴转动，BC 杆CD 杆均作平面运动。
（1）求BC 杆的角速度ωBC 因为V B =2R ω1 ， V D =R ω2 分别以B 点和D 点为基点，分析C 点速度，有V C = V B + V CB （1）V C = V D + V CD （2） 所以 V B + V CB = V D + V CD （3） 沿BC 方向投影式（3）得V B = V CD则CD 杆的角速度ωCD = V CD /CD=V B /R=2ω1 （逆时针） 沿DC 方向投影式（3）得V CB = V D则BC 杆的角速度ωBC = V CB /BC=V D /2R=0.5ω2 （逆时针）（2）求C 点的加速度a C 因为a B =a B n =2R ω12 ，a D =a D n =R ω22分别以B 点和D 点为基点，分析C 点加速度，有 a C = a B + a CB τ + a CB n （4）a C =a D +a CD τ+a CD n （5）所以 a B + a CB τ + a CB n =a D +a CD τ+a CD n （6） 沿CD 方向投影式（6）得a B n - a CB τ = a CD na CB τ=a B n - a CD n =2R ω12-R(2ω1)2=-2R ω12又将式（4）分别沿x 、y 轴投影式得a Cx =-a CD n =-2R ωBC 2= -0.5R ω22a Cy =-a B n + a CB τ = -2R ω12-2R ω12= - 4R ω12故C 点加速度大小a C =22cy cx a a +=4241642ωω+R43。
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
《刚体的平面运动 》课件
评估控制系统的性能。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
刚体的平面运动
O′, O′
9.1 刚 体 平 面 运 动 的 简 化 及 其 分 解
如图所示，由图可知： 如图所示，由图可知：
∆ϕ = ∆ϕ ′
∆ϕ ∆ϕ ′ ω ′ = lim 而 ω = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
B A
B′′
∆ϕ ∆ϕ ′
B′
A′
A′′
所以
ω = ω′
类似地
α = α′
即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角 在任一瞬时， 速度和角加速度都相同。亦即： 速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 运动的角速度和角加速度
第八章 刚体的平面运动
1、刚体平面运动的概述和运动分 、 2、平面图形内各点的速度分析 、 3、平面图形上各点的加速度分析 、
一、刚体平面运动的定义 8.1 刚 体 平 面 运 动 的 概 述 和 运 动 分 解
ω
B
O
O
r vO
O
ω
A
O1
观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程 观察上述刚体的运动发现， 中有一个共同的特征， 当刚体运动时， 中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动 刚体的平面运动， 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动， 简称平面运动 平面运动。 简称平面运动。
r r r vB = v A + vBA
o
B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影 坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得
0 = −v A + vBA sin 30
9.1 刚 体 平 面 运 动 的 简 化 及 其 分 解
如图所示，由图可知： 如图所示，由图可知：
∆ϕ = ∆ϕ ′
∆ϕ ∆ϕ ′ ω ′ = lim 而 ω = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
B A
B′′
∆ϕ ∆ϕ ′
B′
A′
A′′
所以
ω = ω′
类似地
α = α′
即：在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角 在任一瞬时， 速度和角加速度都相同。亦即： 速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 与基点的位置的选择无关。于是可以直接称为平面 运动的角速度和角加速度
第八章 刚体的平面运动
1、刚体平面运动的概述和运动分 、 2、平面图形内各点的速度分析 、 3、平面图形上各点的加速度分析 、
一、刚体平面运动的定义 8.1 刚 体 平 面 运 动 的 概 述 和 运 动 分 解
ω
B
O
O
r vO
O
ω
A
O1
观察上述刚体的运动发现，它们在运动的过程 观察上述刚体的运动发现， 中有一个共同的特征， 当刚体运动时， 中有一个共同的特征，即：当刚体运动时，刚体内 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。 任一点至某一固定平面的距离始终保持不变。具备 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动 刚体的平面运动， 这样一个特征的刚体的运动称为刚体的平面运动， 简称平面运动 平面运动。 简称平面运动。
r r r vB = v A + vBA
o
B点的速度合成矢量图如图所示。建立如图的投影 坐标，由速度合成矢量式，将各矢量投影到轴上得
0 = −v A + vBA sin 30
第九章刚体的平面运动_理论力学
刚体作平面运动时，任意瞬时，平面图形上存在 且仅存在一个点，在此瞬时该点的绝对速度为零，称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心， 或 称速度瞬心（简称瞬心） ，此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体 的角速度 绕 瞬 心 作 定 轴 转 动 时 的 速 度 分 布 一 样 。 如 图 9-11 （ b ） 所 示 。
例 9-1 图 9-18 所示曲柄连杆机构。 已知
，
。 ① 求图示位置连杆 AB 之瞬心；
② 求 OA 在铅垂位置时连杆 AB 之运动特点。
解：① 分析各构件运动， OA 绕 O 作定轴转动， ，方向如图示；AB 杆作平面运动；B 点作直线运动。VB 沿 OB 方向，属于已知 两点速度方位，过 A、B 两点分别作 vA 和 vB 的垂线,其交点 C 即为图示瞬时之瞬心 C 。 ② 当 OA 位于铅垂位置时的情形。如图 9-19 所示。此时 vA∥vB ，但与 AB 不垂直，
由定义不难推出， 在刚体运动过程中， 由此推出以下结论。
的运动 （见§7-1.2） 。
结。
刚体平面运动方程式 现在来描述平面图形 在空间的位置。 （1）在图形上作直线 （2）运动方程式 ，只需确定 的位置就可以确定 的位置。见图 9-6
（9-1） §9-2 平面运动分解为平动和转动
因此式（9-2）改写成： (9-3) 其中：vM 为动点 的绝对速度
vA 为基点的速度（相对于定系） vMA 为动点 见图 9-9，则 (9-4) 2. 速 度 投 影 定 理 -- 速 度 分 析 的 第 二 种 方 法 （ 亦 称 " 基 点 法 的 推 论 " ） 相对于基点 的速度 （相对速度） ,若在平面运动刚体上另取一点 B ，
这样，平面运动分解成跟随基点的平动和相对于基点的转动。这种分解方法称为基点法。 2. 基点法的特点 （1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。读者试用作图方法验证之。 （3）相对于动系转动的角速度 形的角速度，与基点选择无关。 §9-3 平面运动刚体上各点的速度分析 。由于是平动动系，所以 。称为图
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
理论力学—刚体平面运动
在图示位置 60 时，曲柄角速度为， OA AB，且AB与槽在B点的法线夹角 30 。
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
刚体平面运动的概念和简化
目录
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
1.2 刚体平面运动的简化
由刚体平面运动的定义，可将平面运动 进行简化。设平面Ⅰ为某一固定平面，作平 面Ⅱ与平面Ⅰ平行，平面Ⅱ与刚体相交成一 平面图形S，如图所示。当刚体作平面运动 时，平面图形S始终在平面Ⅱ内运动。若在 刚体内任取一条与平面图形S垂直的直线A1A2， 显然该直线作平移，因此直线上各点都具有 相同的运动，这样直线A1A2与平面图形S的交 点A的运动即可代表直线上各点的运动。由 于A1A2是任取的，所以刚体内所有点的运动 都可以由平面图形S上相应点的运动来代表。 于是，平面图形S的运动就可代表整个刚体 的运动，即刚体的平面力学
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
刚体平面运动的概念和简化
1.1 刚体平面运动的概念
刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动复杂的运动，在 工程实际中会经常遇到，例如车轮沿直线轨道的滚动，曲柄连杆机 构中连杆（蓝色杆）的运动。这些刚体的运动既不是平移也不是定 轴转动，但是这些刚体的运动有一个共同的特征，那就是当刚体运 动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变，即刚体 内的任一点都在平行于某一固定平面的平面内运动。刚体的这种运 动称为平面运动。
目录
理论力学
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
1.2 刚体平面运动的简化
由刚体平面运动的定义，可将平面运动 进行简化。设平面Ⅰ为某一固定平面，作平 面Ⅱ与平面Ⅰ平行，平面Ⅱ与刚体相交成一 平面图形S，如图所示。当刚体作平面运动 时，平面图形S始终在平面Ⅱ内运动。若在 刚体内任取一条与平面图形S垂直的直线A1A2， 显然该直线作平移，因此直线上各点都具有 相同的运动，这样直线A1A2与平面图形S的交 点A的运动即可代表直线上各点的运动。由 于A1A2是任取的，所以刚体内所有点的运动 都可以由平面图形S上相应点的运动来代表。 于是，平面图形S的运动就可代表整个刚体 的运动，即刚体的平面力学
刚体的运动\刚体平面运动的概念和简化
刚体平面运动的概念和简化
1.1 刚体平面运动的概念
刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动复杂的运动，在 工程实际中会经常遇到，例如车轮沿直线轨道的滚动，曲柄连杆机 构中连杆（蓝色杆）的运动。这些刚体的运动既不是平移也不是定 轴转动，但是这些刚体的运动有一个共同的特征，那就是当刚体运 动时，刚体内任一点至某一固定平面的距离始终保持不变，即刚体 内的任一点都在平行于某一固定平面的平面内运动。刚体的这种运 动称为平面运动。
目录
理论力学
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刚 体 的 平 面 运 动
1 附图所示为一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ， ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。
解：BD 杆与AC 杆角速度一样(AC BD ωω=),确定ωAC,问题即可解决。
AC 杆作平面运动，确定其速度瞬心I 如图1示。
图中v B ´为AC杆上此瞬时与铰B重合的B ´的速度。
A
B
mm
32500
500
500300=⇒=
===AI AI
AI AB AB OA cos α
mm/s 600=⋅=O A OA v ω
BD A
AC .AI
v ωω===
rad/s 720 mm/s 216=⋅=∴BD v BD D ω
解毕。
2 附图为一机构的简图，已知轮的转速为一常量ｎ＝６０ｒ／ｍｉｎ，在图示位置ＯＡ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ，求齿板最下一点Ｄ的速度和加速度。
解：第一问：求v D 。
由图1可知该瞬时AB 杆瞬时平动，则：
ω⋅==OA v v A B
πωω2===
∴BC
v B
CD
m/s 6124.CD v CD D ==⋅=πω
第二问：求a D 。
以A 为基点，分析B 点加速度如图示。
n BA BA A n
B
B B a a a a a a ++=+=τ
τ
(其中＝0)
n
BA a
向x 轴上投影，得：
ααατsin a sin a cos a A n
B B =−
()CD A n
B A n B B B
C .tan a a cos sin a sin a a απαα
αατ
⋅=⋅=+=+=
21423
02
.CD πα=
⇒
C
C
CD D a ατ2=
则：2
2
2
m/s 103=+=n D
D D a a a τ
解毕。