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2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．(1)求线段AB的长；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.(1)求直线AC的解析式；(2)求△PQD周长的最大值；(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．第2题图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．第3题图4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋163.(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋34NB )的最小值．第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－33x 2－3x ＋433交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．第5题图6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G .(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋45QB 最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝152，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．第6题图答案1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3，∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32＋32＝32， ∴线段AB 长为3 2.(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m ，∴PG ＝FG ＝22PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2－3m )＝－(2＋1)(m ＋32)2＋9（2＋1）4， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）4.2. 解：(1)令y ＝0，x 2－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝13PD ，设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)，C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝5＋2＋33，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第2题解图① 第2题解图②3. 解：(1)y ＝x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，则A (－1，0)，B (3，0)；(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，故PQ BQ ＝BC CD ＝322＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2－2x －3.∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2＋2x ＋3＝3(3－x )，整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．第3题解图①(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝12DG ＝2＋3，∴线段DF 的长的最小值为2＋3.第3题解图②4. 解：(1)在y ＝89x ＋163中，令x ＝0，则y ＝163，令y ＝0，则x ＝－6，∴B (0，163)，A (－6，0)，把B (0，163)，A (－6，0)代入y ＝ax 2＋bx －a －b 得⎩⎪⎨⎪⎧36a －6b －a －b ＝0－a －b ＝163，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－89b ＝－409，∴抛物线的函数关系式为y ＝－89x 2－409x ＋163，令y ＝0，则－89x 2－409x ＋163＝0，∴x 1＝－6，x 2＝1， ∴C (1，0)；(2)∵点M (m ，0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，如解图①，∴D (m ，89m ＋163)，当DE 为等腰三角形的底时，作BG ⊥DE 于G ，则EG ＝GD ＝12ED ，GM ＝OB ＝163，∵DM ＋DG ＝GM ＝OB ，∴89m ＋163＋12(－89m 2－409m ＋163－89m －163)＝163， 解得：m 1＝－4，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴当m ＝－4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；第4题解图①ⅰ：存在，∵ON ＝OM ′＝4，OB ＝163，∵∠NOP ＝∠BON ，∴当△NOP ∽△BON 时，OP ON ＝NP NB ＝ON OB ＝34，∴NPNB不变， 即OP ＝34ON ＝34×4＝3，∴P (0，3)ⅱ：如解图②，N 在以O 为圆心，4为半径的半圆上，由(ⅰ)知，NP NB ＝OP ON ＝34，∴NP ＝34NB ，∴(NA ＋34NB )的最小值＝NA ＋NP ，∴此时N ，A ，P 三点共线，∴(NA ＋34NB )的最小值＝32＋62＝35.第4题解图②5. 解：(1)令y ＝0，则－33x 2－3x ＋433＝0，解得x ＝－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)， 令x ＝0，则y ＝433，∴C (0，433)，当x ＝－5时，y ＝－2533＋53＋433＝－23，∴点D 坐标(－5，－23)，设直线BD 解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧－5k ＋b ＝－23k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝－33，∴直线BD 的解析式为y ＝33x －33. (2)如解图①中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F (m ，－33m 2－3m ＋433)，第5题解图①∴tan ∠ABD ＝33， ∴∠ABD ＝30°，∴EF ＋EB ＝－33m 2－3m ＋433－(33m －33)＋2(33－33m )＝－33(m ＋3)2＋1633， ∴m ＝－3时，EF ＋EB 的值最大，此时点E 坐标(－3，－433)，如解图②，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，第5题解图②∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP ＝PM ，E 、N 关于y 轴对称，∴QE ＝QN ，∴OP ＋PQ ＋QE ＝PM ＋PQ ＋QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP ＋PQ ＋QE 最小，最小值为MN 的长，在Rt △MNE 中，MN ＝EM 2＋EN 2＝（433）2＋62＝2933.∴OP ＋PQ ＋QE 的最小值为2933.(3)如解图③中，作O ′M ⊥BD 于M ，BD ＝（1＋5）2＋（23）2＝43，设O ′B ＝a ，则O ′M ＝12a ，BM ＝32a ，DM ＝BD －BM ＝43－32a ，第5题解图③∵∠O ′DM ＝∠C ″BO ′，∠O ′MD ＝∠BO ′C ″＝90°， ∴△O ′MD ∽△C ″O ′B ， ∴O ′M O ′C ″＝DM BO ′， ∴12a 433＝43－32aa ，∴a 2＋4a －32＝0，解得a ＝4或－8(舍去)， ∴C ″坐标为(－3，－433)．6. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43的对称轴－b 2a ＝ 3 ①，点E (23，0)在抛物线上，则(33)2a ＋33b ＋43＝0 ②， 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－439b ＝83，则抛物线的解析式为y ＝－439x 2＋83x ＋43， 又点C (0，43)，E (23，0)， 设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎨⎧0＋b ＝43，23k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝－2x ＋4 3. (2)由抛物线y ＝－439x 2＋83x ＋43知，当x ＝23时，y ＝43， 则点P 的坐标为(23，43)， 根据对称性得A (－3，0)， 由y ＝－2x ＋43知，当x ＝3时，y ＝23，F (3，23)， 直线AF 的解析式为：y ＝x ＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－439x 2＋83x ＋43y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝934y ＝1334，点G 的坐标为(934，1334)．由sin ∠OBC ＝OC BC ＝4353＝45，∴当QG ⊥x 轴时，QG ＋45QB 最小，∵直线BC 的解析式为y ＝－43x ＋43，∴当x ＝934时，y ＝3，∴点Q (934，3)．如解图，过点P 作PK ∥MN ，取PK ＝MN ＝152， 则四边形PMNK 是平行四边形，∴四边形PQNM 的周长＝PM ＋MN ＋NQ ＋PQ ＝NK ＋MN ＋NQ ＋PQ ，由于MN 、PQ 的值不变，所以只需NK ＋NQ 最短，所以作K 关于直线CE 的对称点K ′，连接K ′Q ，交CE 于N ，即当K ′、N 、Q 三点共线时，四边形PQNM 的周长最短．∵P 的坐标为(23，43)，PK ＝152，PK ∥CE ， ∴K 点横坐标x k ＝23＋152cos ∠CEO ＝23＋32＝532， K 点纵坐标为y k ＝43－152sin ∠CEO ＝43－152×255＝33，∴K (532，33)，∵直线KK ′与直线CE 垂直， ∴设直线KK ′的解析式为y ＝12x ＋b ，则12×532＋b ＝33，解得b ＝734， ∴直线KK ′为：y ＝12x ＋734，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋734y ＝－2x ＋43，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9103y ＝1153，则KK ′与CE 交点坐标为(9310，1135)，由对称特点可得K ′的横坐标为9310×2－532＝－7310，K ′的纵坐标为1135×2－33＝735， ∴K ′(－7310，735)，由Q (934，3)，设直线K ′Q 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－7310k ＋b ＝735934k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－859b ＝77359，∴直线K ′Q 的解析式为y ＝－859x ＋77359，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋43y ＝－859x ＋77359 ，解得x ＝1593110，则N 点的横坐标为1593110.第6题解图。
中考数学总复习《线段周长问题（二次函数综合）》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上3OA OB ==．经过点O ，A 的抛物线L ：2y ax bx =+交AB 于点C ，点C 的横坐标为1．点P 在线段AB 上，当点P 与点C 不重合时，过点P 作PQ y ∥轴，与抛物线交于点Q .以PQ 为边向右侧作矩形PQMN ，且1PN =．设点P 的横坐标为m 时，解答下列问题．(1)求此抛物线L 的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边PN 上时，求m 的值； (3)矩形PQMN 为正方形时，直接写出m 的值． 2．已知二次函数23y x bx c =++（b ，c 是常数）．(1)当()3,2A -是二次函数23y x bx c =++图象上的点时，求代数式24381b c -的值；(2)若二次函数23y x bx c =++的表达式可以写成()232y x h =--（h 是常数）的形式，求b c -的最大值； (3)若二次函数23y x bx c =++的表达式可以写成()()31y x x m =--（m 是常数，且10m -<<）的形式，该函数图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），已知点D 、点E 都是该抛物线对称轴上的点，点D 位于第一象限，且90ODC ∠=︒，点F 是点O 关于该抛物线的对称轴对称的点，连接FD 并延长交y 轴于点G ，连接BG ．当BEG 的周长的最小值等于94时，求此时m 的值．3．如图，直线2y x =-与抛物线()220y ax bx a =++≠相交于()1,1A -和(),2B m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 是线段AB 上的动点，过点C 作CD x ⊥轴，交抛物线于点D ．是否存在这样的C 点，使线段CD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)x 轴上是否存在点M ，使得ABM 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线()240y ax bx a =+-≠经过A ，B ，C 三点．已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OB =．(1)求A ，C 两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的值． 5．【问题背景】如图，抛物线²4y ax bx =++交x 轴于(20)A -，，(40)B ，两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的解析式； 【构建联系】（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ，设M 点的坐标为()0M m ，①请用含m 的代数式表示线段PN 的长；①连接PB PC ，求出当m 为何值时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值是多少？ 【深入探究】（3）若点G 是对称轴上一动点，将线段GA 绕点G 顺时针旋转90︒，当点A 的对应点为A '刚好落在抛物线上时，求出点G 的坐标．6．如图，抛物线2y x bx c =-++与直线2y x =+相交于()()2,03,A B m -，两点，与x 轴相交于另一点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与A B ，重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ，当2PE ED =时，求P 点坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？(4)抛物线上是否存在点M 使ABM 的面积等于ABC 面积的一半？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ．已知抛物线的对称轴为2x =，点D 的坐标为()0,5，点B 的坐标为()5,0．(1)求二次函数的解析式．(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x 的的取值范围．(3)P 是线段BD 上的一个动点，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限内时，求线段PM 长度的最大值．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点是()1,4--，且与x 轴交于A 、()10B ，两点，交y 轴于点C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)①当x 的取值范围满足条件 时3y <-；①若()1D m y ，，()22E y ，是抛物线上两点，且12y y >，求实数的取值范围；(3)直线x t =平行于y 轴，分别交线段AC 于点M 、交抛物线于点N ，求线段MN 的长度的最大值； (4)若以抛物线上的点P 为圆心作圆与x 轴相切时，正好也与y 轴相切，求点P 的坐标． 9．如图1，已知抛物线1C ：214y x bx c =++经过y 轴正半轴上一点()0,2C ，和x 轴负半轴上一点A ，且2OCOA=．(1)求抛物线解析式：(2)将抛物线1C 平移至其顶点与()0,1B 重合得到抛物线2C ，如图2所示，设抛物线2C 上有任意一点P ，过P 作PM x ⊥轴于点M ，则y 轴正半轴上是否存在一定点N 使得线段PM PN =恒成立？若存在，请求出N 点坐标；若不存在，则说明理由；(3)在（2）的基础上，设过点N 的直线l 分别交抛物线2C 于D E 、两点，如图3所示，请求出3DN EN +的最小值．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2()30y ax bx a =++≠交x 轴于点A B 、，交y 轴于点C ，其中3OA =抛物线的对称轴是直线3x =(1)求抛物线的表达式；(2)CD 平分OCB ∠交x 轴于D ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE CB ⊥交直线CB 于点E ，交直线CD 于点F ，点G 是线段BC 上一动点，连接PG ，当线段PF 取最大值时，求12PG BG +的最小值；(3)如图2，连接AC ，将该抛物线沿射线BC 方向平移，使得新抛物线经过点C ，且与直线BC 相交于另一点H ，点Q 为新抛物线上的一个动点当QCH ACO ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于()1,0A -，B 两点，AB=4，C 为抛物线顶点．(1)求b ，c 的值；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，交AC 于点M ，是否存在3QM PM =？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以B 为圆心，2为半径作圆，N 为圆B 上任一点，求12CN AN +的最小值． 12．如图，抛物线25y ax ax b =++经过点()1,5D --，且交x 轴于()6,0A -，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，点P 在直线AD 下方抛物线上运动，过点P 作PE AD ⊥PF DM ⊥ 求PE 的最大值，以及此时点P 的坐标．(3)将原抛物线沿射线CA 5G ，使得45CAG ∠=︒，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过程．13．如图，抛物线2y ax bx c =++交轴于点()1,0A -和()3,0B ，交y 轴于点C 60CAB ∠=︒ 点E 是线段AB 上一动点，作//EF AC 交线段BC 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，延长线段EF 交抛物线于点G ，点D 是AC 边中点，当四边形ADGF 为平行四边形时，求出G 点坐标；(3)如图2，M 为射线EF 上一点，且EM EB =，将射线EF 绕点E 逆时针旋转60︒，交直线AC 于点N ，连接MN ，P 为MN 的中点，连接AP ，BP ，问：AP BP +是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，二次函数239344y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．点P是y 轴左侧抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点D ，交抛物线于另一点E ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)如图2，当点P 在第二象限时，连接BC ，交直线PE 于点F ．当PF EF =时，求m 的值．(3)当点P 在第三象限时，以BD 为边作正方形DBMN ，当点C 在正方形DBMN 的边上时，直接写出点D 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知22OB OC OA ==．连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE BC ⊥，垂足为点E ，作PF BC ∥交y 轴于F 55PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线AC 的方向平移221y ，点Q 为新抛物线1y 上一动点，连接BQ 并延长交AC 所在的直线于D 点，是否存在点Q 满足条件ADB ABC CAB ∠+∠=∠，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由参考答案：1．(1)抛物线L 的解析式为23y x x =-+ (2)34m =(3)m 的值为222 2．(1)2025 (2)5 (3)7m = 3．(1)242y x x =-+ (2)存在，当52n =时，线段PC 有最大值且为94(3)存在，)171,0或()171,0或()144,0或()144,0或()3,04．(1)()4,0A ()0,4C - (2)234y x x =--(3)PD 最大值为22 此时点()2,6P -5．（1）2142y x x =-++；（2）①()22204PN m m =≤≤；①当2m =时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值是16；（3）()1,1G 或()1,3G - 6．(1)228y x x =-++ (2)()1,9P (3)12m =(4)存在 1113111322M ⎛ ⎝⎭， 21131113M --⎝⎭ 313713722M ⎛- ⎝⎭4137137M ---⎝⎭7．(1)245y x x =-++ (2)0x <或5x > (3)2548．(1)223y x x =+-(2)①20x -<<；①4m <-或2m > (3)94(4)113113⎝--+⎭+，或113113----⎝⎭，或321321-+-⎝⎭，或321321--+⎝⎭， 9．(1)219244y x x =++； (2)存在，()0,2 (3)34 10．(1)212333y x =-+ (2)12PG BG +的最小值74(3)点Q 的坐标为()3,6或()43,3- 11．(1)2b =- 3c =-.(2)存在 132,39⎛⎫- ⎪⎝⎭17 12．(1)215322y x x =+- (2)PE =25216 745,28P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)132917329-+--⎝⎭或1946917469-++⎝⎭13．(1)23233=y x ； (2)43G ⎛ ⎝⎭或(3G ； (3)存在 2714．(1)()1,0A - ()4,0B ()0,3C 315-(3)()02-,或160,3⎛⎫- ⎪⎝⎭15．(1)211242y x x =-++55PE 有最大值94，此时53,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)Q 点横坐标为252-或141-141-25+。
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
重庆市中考数学实现试题研究二次函数综合题题库类型一 线段、周长最值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－x －2的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过直线BC 的下方抛物线上一动点P 作PQ ∥AC 交线段BC 于点Q ，再过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点D . （1）求直线AC 的解析式；（2）求△PQD 周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图②，当△PQD 的周长最大值时，在y 轴上有两个动点M 、N (M 在N 的上方)，连接AM ，PN ，若MN ＝1，求PN ＋MN ＋AM 的最小值．第1题图解：（1）令y ＝0，即x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，则y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎨⎧-=+-=2b b k 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x －2； （2）∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠EPQ ＝tan ∠ACO ＝12，如解图①，过点Q 作QH ⊥PE ，垂足为H .设QH ＝a ，则PH ＝2a ，DH ＝a ，PD =PH +DH =3a ，a ＝13PD ，∵B （2,0），C （0，-2）， ∴直线BC 的解析式为y =x -2， 设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)， ∴PD =m -2-（m 2-m -2）=-m 2+2m ， ∴C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，△PQD 的周长最大，且最大值为5＋2＋33，此时P (1，－2)； （3）把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)，如解图②，连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 的最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第1题解图① 第1题解图②类型二 与面积有关的问题2.在平面直角坐标系中，抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC .(1)求直线BC 的解析式；(2)如图①,点P 是抛物线上位于第一象限内的一点,连接PC ,PB ,当△PBC 面积最大时,一动点Q 从点P 出发,沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H处,最后到达线段BC 的中点F 处停止.求当△PBC 面积最大时,点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；(3)如图②,在(2)的条件下,当△PBC 面积最大时,把抛物线 3221y 2++-=x x 向右平移使它的图象经过点P ,得到新抛物线y ',在新抛物线y '上是否存在点E ,使△ECB 的面积等于△PBC 的面积？若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.第2题图解:（1）∵抛物线3221y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C , ∴令x =0, 得y =3， ∴C （0,3）， 令y =0， 得0=3221y 2++-=x x ， 解得x =-2或x =32， ∴B （32，0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ， ∴⎩⎨⎧==+3b 0b k 23，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b 22k ，∴直线BC 的解析式为y =-22x +3； (2)如解图①,设P （m ，3m 2m 212++-） （0＜m ＜32）， 过点P 作PM ∥y 轴交BC 于点M ,第2题解图①∵直线BC 的解析式为y =-22x +3， ∴M （m ，-22m +3）， ∴PM =-21m 2+2m +3-（-22m +3）=-21m 2+223m =-21（m -223）2+49， ∴S △PBC =21PM·x B =21[-21（m -223）2+49]×32=-423（m -223）2+8227，∴当m =223时，S △PBC 最大，最大值为8227， ∴点P （223，415），M （223，23）， ∵ B （23，0），C （0,3），∴F （223，23）， ∴点M 和点F 重合, 作点P （223，415）关于y 轴的对称点P '（-223，415）， 再作点F （223，23）关于x 的对称点F '（223，-23）， 连接F P ''交y 轴于点G ,交x 轴于点H ,连接PG ,FH ， 此时PG +GH +HF 最小,最小值为F P ''=427；(3) 如解图②,在抛物线3221y 2++-=x x =-21（x -2）2+4中, 令y =415，即415=32212++-x x ， 解得x =22或x =223， 由平移知,抛物线y 向右平移到y ',则平移了223-22=2个单位，∴y '=-21（x -22）2+4=-21x 2+22x ， 设点E （n ，-21n 2+22n ），过点E 作EQ ∥y 轴交BC 于点Q , ∵直线BC 的解析式为y =-22x +3， ∴Q （n ，-22n +3）， ∴EQ =3-n 22n 22n 212++-=21625n 2+-， ∵△ECB 的面积等于△PCB 的面积, ∴21EQ ·x B =21PM ·x B , 由(2)知,PM =-21（m -223）2+49， ∴PM 最大=49， ∴EQ =PM 最大, ∴216n 25n 2+-=49， 解得n =211225+或n=211225-或n =227或223（舍），∴E （42229211225+-+，）或（211225-，422189--）或（227，47）.第2题解图②3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝21x 2-21x +m 的图象交x 轴于B 、C 两点，一次函数y =a x +b 的图象过点B ，与抛物线相交于另一点A （4，3）. （1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）如图②，若点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过P 作PQ ∥x 轴，且PQ ＝4（点Q 在点P 右侧）．以PQ 为一边作矩形PQEF ，且点E 在直线AB 上．点M 是抛物线上另一个动点，且4S △BCM = 5S 矩形PQEF，当矩形PQEF 的周长最大时，求出此时点P 和点M的坐标；（3）如图②，在（2）的结论下，连接AP 、BP ，设QE 交x 轴于点D ，现将矩形PQEF 沿射线DB 以每秒1个单位长度的速度平移，当点D 到达点D '时停止，记平移时间为t ，平移后的矩形PQEF 为P 'Q 'E 'F '，且Q 'E '分别交直线AB 、x 轴于点N 、D '，设矩形P 'Q 'E 'F '与△ABP 的重叠部分面积为S ，当NA ＝85N D '时，求S 的值．图① 图② 第3题图解：(1)∵点A （4，3）在二次函数y ＝21x 2-21x +m 的图象上， ∴21×16-21×4+m =3， 解得m =-3，则二次函数的解析式为y =21x 2-21x -3， 令y =0，得21x 2-21x -3=0， 解得x 1=-2，x 2=3，则点B 的坐标为（-2,0），点C 的坐标为（3,0）. ∵A （4,3），B （-2,0）在一次函数y =ax +b 的图象上，∴⎩⎨⎧=+-=+0b a 23b a 4，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==1b 21a ， ∴一次函数的解析式为y =21x +1； （2）∵矩形PQEF 的周长=2（PQ +EQ ）=8+2EQ ，要使周长最大，EQ 边长最大即可.设P （a ，21a 2﹣21a ﹣3），-2＜a ＜4， ∴Q （a +4，21a 2﹣21a ﹣3），E （a +4，21a +3），∴EQ ＝21a +3﹣（21a 2﹣21a ﹣3）＝﹣21（a ﹣1）2+213， ∴当a ＝1时，EQ 最大，且最大值为213，∴P （1，﹣3），此时矩形PQEF 的面积为4×213=26，设在△BCM 中，BC 边上对应的高为h ，由4S △BCM =5S 矩形PQEF ， 得4×21·BC ·h =5×26， ∵BC =5， ∴h =13.设M 点的横坐标为x ，依题意得3x 21x 212--=13， 解得x =21291±，则点M 的坐标为（21291-，13）或（21291+，13）； （3）①当点N 在线段AE 上时，如解图，有DD ′＝t ，OD ′＝5﹣t ，D ′（5﹣t ，0），N （5﹣t ，﹣21t +27），过点A 作AH ⊥ND ′，垂足为H ，第3题解图∴AH ∥x 轴， ∴NH ＝﹣21t +27﹣3＝﹣21t +21， ∴M （0，1）， ∴OM ＝1， ∴BM ＝5， ∴sin ∠MBO ＝51， ∵AH ∥x 轴， ∴∠NAH ＝∠MBO ， ∴sin ∠NAH ＝51， ∴NA NH51， ∴NA ＝5（﹣21t +21）， ∵NA ＝85ND ′， ∴5（﹣21t +21）＝85（﹣21t +27），解得t ＝71，∵BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣2，∴x J ＝76，y J ＝﹣720， ∴J （76，﹣720），∵M （76，-710），∴MJ ＝730，同理：IP ＝29，∴S ＝S 梯形+S △IPA ＝21（MJ +IP ）×|x P ﹣x M |+21IP ×|x A ﹣x M |＝21×（730+29）×（1﹣76）+21×29×（4﹣1）＝98723， ②当点N 在AB 上时， 同理可得 S ＝21×（2+29）×35+21×（1+29）×（310﹣1）＝671． ∴综上所述，S 的值为98723或671.类型三 与特殊三角形有关的问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22x 2+x +22与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C.（1）求线段AC 的长度；（2）P 为线段BC 上方抛物线上的任意一点，点E 为（0，﹣1），一动点Q 从点P 出发运动到y 轴上的点G ，再沿y 轴运动到点E ．当四边形ABPC 的面积最大时，求PG +22GE 的最小值； （3）将线段AB 沿x 轴向右平移，设平移后的线段为A 'B '，直至A 'P 平行于y 轴（点P 为第（2）问中符合题意的P 点），连接直线CB '．将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，设旋转后A 、C 的对应点分别为A ''、C '，在旋转过程中直线A ''C '与y 轴交于点M ，与线段CB '交于点N ．当△CMN 是以MN 为腰的等腰三角形时，求CM 的长度．图① 图② 第4题图解：（1）令y ＝0，得x ＝22或-2，令x ＝0，得y ＝22， ∴A （﹣2，0），B （22，0），C （0，22）， ∴AC ＝10，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +22；（2）如解图①，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，第4题解图①设点P 的横坐标为m ，则P （m ，﹣22m 2+m +22），H （m ，﹣m +22）， ∴PH =﹣22m 2+m +22-（﹣m +22）=﹣22m 2+2m . ∵S 四边形ABPC ＝S △ABC +S △PBC ，S △ABC 是个常量，∴四边形ABPC 的面积最大时，只需S △PBC 最大即可，S △PBC ＝21PH •x B ＝-m 2+22m =-（m -2）2+2， 当m ＝2时，S △PBC 取得最大值2，此时P （2，22），过点E 作RE ⊥GR ，使RE 与y 轴夹角为45°，则GR ＝22GE ， 则PG +22GE ＝PG +GR ， 当P 、G 、R 三点共线时，PG +22GE 有最小值， 易得直线ER 的方程为y ＝﹣x ﹣1， 则直线PR 的解析式为y ＝x +2，联立⎩⎨⎧+=--=2x y 1x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=212y 212x ， ∴R （﹣212+，212-），则PR ＝226+， 即PG +22GE 的最小值为226+；（3）①当MN ＝CM 时，如解图②，过点C 作CH ⊥MN 于点H ，第4题解图②设MN ＝CM ＝a ，CH ＝x ，tan ∠MCN ＝CA B A '''＝2，由勾股定理得，a 2＝x 2+（a ﹣21x ）2，解得x ＝54a ， 则tan ∠CMH ＝MH CH ＝34＝tan ∠A ''M A '， 在△A ''M A '中，A 'M ＝CO ﹣CM ＝22﹣a ，A ''A '＝2， tan ∠A A C ''''＝2，过点O 作A 'K ⊥A ''C ′，则A 'K ＝A 'A ''· sin A ″＝5102，AM ＝5， 则CM ＝22﹣5；②当MN ＝CN 时，如解图③，过点N 作NS ⊥CM 于点S ，第4题解图③设点N 的横坐标为n ， ∵tan ∠MCN ＝C A B A '''=CS NS ＝2，∴CS ＝21n ，CM ＝n ， ∵∠M A A '''＝∠MCC ′＝∠CMC ′＝∠A 'MA ″， ∴A A '''＝A 'M ＝22﹣n ＝2， ∴CM ＝n ＝2；综上所述，CM 的长度为22﹣5或2．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－93x 2＋9311x ＋3与y 轴交于点A ，点B 在第一象限抛物线上，直线y ＝－33x ＋b 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，点D 在x 轴上，BD ＝6，∠ODB ＝120°，连接OB 、CB .（1）求点A 、C 两点的坐标；（2）如图①，设点E 是第一象限OB 上方抛线线上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交OB 于点F ，过点E在EF的右侧作∠FEG＝∠BOD，交OB于点G，求△EFG周长的最大值；（3）如图②，将直线AC沿x轴向右平移，平移过程中直线AC交直线BC于点H，交x轴于点K，在平移过程中，是否存在某一时刻，使△KDH为等腰三角形？若存在，求出平移后点C的对应点K的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图备用图解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A(0，3)，将A(0，3)代入y＝－33x＋b中，得b＝3，∴y＝－33x＋3，当y＝0时，x＝3，∴C(3，0)；（2）如解图①，延长EF交x轴于点M，过点B作BQ⊥x轴于点Q，第5题解图①∵∠ODB＝120°，∴∠BDQ＝60°，∵BD＝6，∴BQ＝33，DQ＝3，∴B点的纵坐标为33，代入抛物线解析式可求得B点的横坐标为9，∴B(9，33)，∴直线OB的解析式为y＝33x，∴∠BOD ＝30°， ∵EF ∥y 轴， ∴EM ⊥x 轴， ∵∠FEG ＝∠BOD ， ∴△EFG ∽△OFM ， ∴EG ＝32EF ，FG ＝12EF ， ∴C△EFG ＝EF ＋EG ＋FG ＝3＋32EF ，设E (m ，－39m 2＋1139m ＋3)，F (m ，33m )， ∴EF ＝y E －y F ＝－39m 2＋1139m ＋3－33m ＝－39(m －4)2＋2539， ∴当m ＝4时，C △EFG 最大＝2539×(3＋32)＝25（1＋3）6;（3）存在， 设DK ＝a ，∵AO ＝3，OC ＝3， ∴∠ACO ＝∠HKO ＝30°.①当DH ＝DK ＝a 时，如解图②，过点H 作HN ⊥CD 于点N ，第5题解图②∠DHK ＝∠DKH ＝30°， ∴∠HDN ＝60°，∴ND ＝12a ，HN ＝32a ，CN ＝3－12a ，∴CR HN ＝32a 3－a 2＝336，解得a ＝2， ∴K (8，0)；②当KH ＝KD ＝a 时，如解图③，过点H 作HR ⊥DK 于点R ，则HR ＝12a ，KR ＝32a ，DR ＝a －32a ，∴CRHN ＝12a 3＋a －32a ＝336，解得a ＝36＋30313，∴K (114＋30313，0)； 当点K 在点D 左边时，设DK ＝KH ＝a ，同理可得2a 3－a －3a ＝336，解得a ＝213－946，K (1053－4546，0)，第5题解图③③∵∠HDK ＞∠HKD ， ∴HD ＝HK 不存在．综上所述，满足要求的K 点坐标为(8，0)、(114＋30313，0)或（46453105-，0）．6. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝63x 2﹣411x +33与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，且交抛物线于点D ，连接AD ，交y 轴于点E ，连接AC ． （1）求S △ABD 的值；（2）如图②，若点P 是直线AD 下方抛物线上一动点，过点P 作PF ∥y 轴交直线AD 于点F ，作PG ∥AC 交直线AD 于点G ，当△PGF 的周长最大时，在线段DE 上取一点Q ，当PQ +53QE 的值最小时，求此时PQ +53QE 的值； （3）如图③，M 是BC 的中点，以CM 为斜边作直角△CMN ，使CN ∥x 轴，MN ∥y 轴，将△CMN 沿CB 平移，记平移后的三角形为△N M C '''，当点N ′落在x 轴上即停止运动，将此时的△N M C '''绕点C '逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线N M ''与直线CA 交于点S ，与y 轴交于点T ，与x 轴交于点W ，请问△CST 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的W N 的长度；若不能，请说明理由．图① 图② 图③ 第6题图解：（1）令y ＝0，则23x 2﹣33x +363＝0，解得x ＝233或43． ∴A （233，0），B （43，0），C （0，33）， ∵CD ∥AB ， ∴S △ABD ＝S △ABC ＝21•AB •OC ＝21×235×33＝445;（2）如解图①中，第6题解图①设P （m ，63m 2﹣411m +33）． ∵A （233，0），D （2311，33），∴直线AD 的解析式为y ＝43x ﹣839，∵PF ∥y 轴， ∴F （m ，43m ﹣839），∵PG ∥AC ，∴△PGF 的形状不变，∴PF 的值最大时，△PFG 的周长最大， ∵PF ＝43m ﹣839﹣（63m 2﹣411m +33）＝﹣63m 2+27m ﹣8333， ∴当m ＝﹣a 2b ＝273时，PF 的值最大，此时P （273，﹣213），作P 关于直线DE 的对称点P '，连接P 'Q ，PQ ，作EN ∥x 轴，QM ⊥EN 于M ， ∵△QEM ∽△EAO ， ∴QE QM ＝AE OE ＝53， ∴QM ＝53QE ， ∴PQ +53EQ ＝PQ +QM ＝Q P '+QM ，∴当P ′、Q 、M 共线时，PQ +53EQ 的值最小，易知直线PP ′的解析式为y ＝﹣34x +6325，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=839x 43y 6325x 34y ，可得G （501273，50393）， ∵PG ＝GP ′，∴P ′（50793，501033）， ∴P ′M ＝501033+893＝2006373，∴PQ +53EQ 的最小值为2006373．（3）①如解图②中，当CS ＝CT 时，作CK 平分∠OCA ，作KG ⊥AC 于G ．第6题解图②易知KO ＝KG ， ∵KA OK S S CAK COK =△△＝AC OC ＝52，∴OK ＝522+•233＝315﹣63， 易证∠BW N '＝∠OCK ， ∴tan ∠BW N '＝tan ∠OCK ＝N W N B ''＝3336153-， ∵B N '＝23， ∴W N '＝215+43． ②如解图③中，当TC ＝TS 时，第6题解图③易证∠BW N '＝∠OAC ，∴tan ∠BWN ′＝tan ∠OAC ＝N W N B ''＝23333， ∴W N '＝3，③如解图④中，当TS ＝TC 时，延长N 'B 交直线AC 于Q ，作BG ⊥AQ 于G ，QR ⊥AB 于R ．第6题解图④∵TS ＝TC ，∴∠TSC ＝∠TCS ＝∠ACO ，∵∠TSC +∠SQ N '＝90°，∠ACO +∠OAC ＝90°， ∴∠BQA ＝∠OAC ＝∠BAQ ， ∴BA ＝BQ ，∴AG ＝GQ ，设AQ ＝a ，则易知BG ＝a ，BQ ＝AB ＝25a ， ∵21·AQ •BG ＝21•AB •QR ， ∴QR ＝552a ，BR ＝1053a ， ∴tan ∠WB N '＝tan ∠QBR ＝34＝NW N B ''，∴W N '＝338． ④如解图⑤中，当CS ＝CT 时，第6题解图⑤由①可知，在Rt △BN ′W 中，tan ∠N ′BW ＝N B W N ''＝3336153-， ∴W N '＝215﹣43．综上所述，满足条件的WN ′的长为215+43或3或338或215﹣43． 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-33x 2+332x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求直线BC 的解析式；（2）如图②，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．当 △PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E （不与B 、C 重合），使PE +21BE 的值最小，求点P 的坐标和PE +21BE 的最小值； （3）如图③，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y ＝﹣33x 2+ 332x +3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ，y '的顶点为F ．在抛物线y '的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图 ① 图② 图③第7题图解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣33x 2+332x+3＝3， ∴点C 的坐标为（0，3），当y ＝0时，有﹣33x 2+332x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴点B 的坐标为（3，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将B （3，0）、C （0，3）代入y ＝kx +b ，得：⎩⎨⎧==+3b 0b k 3，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=3b 33k ， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣33x +3； （2）如解图①中，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点F ．作EN ⊥x 轴，第7题解图①设P （a ，﹣33a 2+332a +3），则F （a ，﹣33a +3）， ∴PF ＝﹣33a 2+3a , ∴S △PBC ＝21×PF ×3＝﹣23a 2+233a ,∴当a ＝23时，S △PBC 最大 , ∴P （23，435），∵直线BC 的解析式为y ＝﹣33x +3． ∴∠CBO ＝30°，EN ⊥x 轴，∴EN ＝21BE ， ∴PE +21BE ＝PE +EN ，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE +21BE 值最小． ∴PE +21BE ＝PE +EN ＝PM ＝435；（3）存在，点Q 坐标为(3,23),(3,-532),∵D 是对称轴x ＝1与x 轴的交点，G 是BC 的中点， ∴D （1，0），G （23，23），∴直线DG 解析式y ＝3x ﹣3，∵抛物线y ＝﹣33x 2+332x +3＝﹣33（x ﹣1）2+334沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ,∴y '=﹣33（x ﹣3）2+3343，∴F （3，334）， ∴对称轴为x ＝3, ∵△FGQ 为直角三角形,∴∠FGQ ＝90°或∠FQG ＝90°，∠GFQ ＝90°（不合题意，舍去） 当∠FQG ＝90°，则QG ∥x 轴； ∴Q （3，23）； 当∠FGQ ＝90°，设点Q 坐标（3，y ）, ∵FQ 2＝FG 2+GQ 2,∴（334﹣y ）2＝（3﹣23）2+（334﹣23）2+（3﹣23）2+（23﹣y ）2． ∴y ＝﹣532， ∴Q （3，﹣532）， 综上所述：Q 的坐标可能为（3，23）或（3，﹣532）. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-32x 2+34x +22与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点．（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥BD 于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM ⊥EP ，点G 为射线EM 上一动点（点G不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点B '，D '，y 轴上有一动点M ，连接MB '，MD '，△MB 'D '是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M点的坐标；若不能，请说明理由．图① 图② 图③第8题图解：（1）对于抛物线y＝﹣32x2+34x+22，令y＝0，得﹣32x2+34x+22＝0，解得x＝﹣2或32，∴A（﹣2，0），B（32，0），∵y＝﹣32x2+34x+22＝﹣32（x﹣2）2+328．∴D（2，328），设直线BD的解析式为y＝kx+b (k≠0)，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+bk23328bk2，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2434bk，∴直线BD的解析式为y＝﹣34x+42；（2）如解图①中，设P（m，﹣32m2+34m+22），连接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．第8题解图①要求PF 的最大值，易知当△PBD 面积最大时，PF 的值最大，S △PBD ＝S △PDE +S △PEB ﹣S △EDB ，＝21×328×（m ﹣2）+21×22×（﹣32m 2+34m +22）﹣21×22×328＝﹣32（m ﹣22）2+34， ∵﹣32＜0，∴m ＝22时，△PBD 的面积最大，PF 的值最大， ∴此时P （22，22），易知点H 的运动轨迹是线段PE 的垂直平分线， ∴当AH 垂直PE 的垂直平分线时，AH 的值最小， 设AH 交EM 于K ，在Rt △EPQ 中，PE ＝22PQ EQ +＝()()22222+＝10，由△AKE ∽△EQP ， 得到PE AEEQ AK =， ∴AK ＝5102， 易知HK ＝NE ＝21PE ＝210，∴AH ＝AK +KH ＝10109； （3）如解图②中，作MN ⊥BD 于N ．第8题解图②∵B （32，0），D （2，328）， ∴BD ＝()2232822⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝3210， 当MN ＝BD 时，存在△MB 'D '为等腰直角三角形（只要D ′或B ′与N 重合即可）， ∵直线BD 的解析式为y ＝﹣34x +42，直线BD 与y 轴的交点H （0，42）， ∵△HMN ∽△DBE ， ∴BE MN ＝BD HM， ∴223210＝3210HM ， ∴HM ＝9502，∴OM ＝HM ﹣OH ＝9502﹣42＝9142，∴M （0，﹣9142），点M 关于H 的对称点M ′也满足条件，此时M ′（0，9286）， 当M ″是HM 的中点时，M ″是等腰三角形△M ″B ′D ′的直角顶点， 此时M ″（0，9211），综上所述，满足条件的点M 的坐标为（0，﹣9142）或（0，9211）或（0，9286）． 类型四 与特殊四边形有关的问题9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝83x 2﹣43x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线交y 轴于点D ，且tan ∠DAO ＝43．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图①，若点P 是抛物线上第四象限的一个动点，过点P 作直线PF ⊥x 轴于点P ，直线PF 交AD 于E ；过点P 作PG ⊥AD 于G ，PG 交x 轴于点H ，当△PGE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标及四边形GEFH 的面积；（3）如图②，在（2）的条件下，当△PGE 的周长取得最大值时P 停止运动，连接PA 交直线CB 于Q ，将直线AD 绕点Q 旋转，旋转后的直线l 与直线AD 相交于点M ，与直线CB 相交于点N ，当四边形QDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标．图① 图② 备用图 第9题图 解：（1）令y ＝0，则83x 2﹣43x ﹣3＝0，解得x ＝﹣2或4， ∴A （﹣2，0），B （4，0）， ∴OA ＝2， ∵tan ∠DAO ＝43＝AODO ， ∴OD ＝23， ∴点D 坐标（0，23）， 设直线AD 解析式为y ＝kx +b ，代入A 、D 点坐标则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=b k223b ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23b 43k ， ∴直线AD 解析式为y ＝43x +23； （2）如解图①中，第9题解图①∵在点P 移动过程中，∠PEG 的大小不变， ∴PE 最长时，△PEG 的周长最大，设P （m ，83m 2﹣43m ﹣3），则E （m ，43m +23）， ∴PE ＝43m +23-（83m 2﹣43m ﹣3）＝﹣83m 2+23m +29＝﹣83（m ﹣2）2+6，∵﹣83＜0，∴m ＝2时，PE 最长，△PEG 的周长最长， 此时P （2，﹣3），E （2，3），F （2，0）， ∵OD ∥PE ， ∴∠ADO ＝∠PEG ， ∵∠AOD ＝∠PGE ， ∴△AOD ∽△PGE ，∴PEADEG DO PG AO ==， ∵OA ＝2，OD ＝23，AD ＝25，PE ＝6，∴PG ＝524，EG ＝518， ∵∠HPF＝∠EPG ，∠PFH ＝∠PGE ， ∴△PFH ∽△PGE ，∴PE PH ＝PG PF ＝GEFH ， ∴PF ＝3，FH ＝49，∴S 四边形GEFH ＝S △PGE ﹣S △PFH ＝21×524×518﹣21×3×49＝2001053； （3）如解图②中，作QH ⊥AD 于H ，旋转后H 的对应点为H ′．设M 点坐标（m ，43m +23）．第9题解图②∵四边形QDMN 是平行四边形， ∴DQ ∥MN ，DM ∥QN ， ∴∠QDH ＝∠DMN ＝∠QN H '，∵∠QHD ＝∠Q H 'N ＝90°，QH ＝Q H '， ∴△QHD ≌△Q H 'N ， ∴DQ ＝QN ，∴四边形QDMN 是菱形，∴DQ ＝DM ， ∵直线AP 解析式为y ＝﹣43x ﹣23，直线CN 的解析式为y ＝43x ﹣3， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3x 43y 23x 43y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==49y 1x ，∴点Q 坐标（1，﹣49）， ∵DQ ＝DM ，∴12+（23+49）2＝m 2+（43m ）2， 解得m ＝±5241， ∴点M 的坐标为（5241，202413+23）或（﹣5241，﹣202413+23）． 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝-21x 2-x 27-3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ． （1）求直线AC 的解析式；（2）①点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点（不与点A ，点C 重合），过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值；②当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒一个单位的速度沿适当的路径运动到y 轴上的点M 处，再沿MC 以每秒10个单位的速度运动到点C 停止．当点Q 在整个运动中用时最少时，求点M 的坐标；（3）将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B '，点O 平移后的对应点为点O '，点C 平移后的对应点为点C '，点S 是坐标平面内一点，若以A 、C 、O '、S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S 的坐标．图① 图② 备用图 第10题图 解：（1）对于抛物线y ＝-21x 2-27x -3，令x ＝0，得y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3），令y ＝0，得x 2+7x +6＝0，解得x ＝﹣6或﹣1， ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （﹣6，0），B （﹣1，0），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，则有⎩⎨⎧=+--=0b k 63b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3b21k ，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣21x ﹣3； （2）①如解图①中，设P （m ，-21m 2-27m -3），连接PA 、PC ，作PK ∥y 轴交AC 于K ，则K （m ，﹣21m ﹣3）．第10题解图①∵PD ⊥AC ，AC ＝35，∴PD 最大时，△PAC 的面积最大，∵S △PAC ＝21×（﹣21m 2﹣27m -3+21m +3）×6＝﹣23（m +3）2+227， 又∵﹣23＜0， ∴m ＝﹣3时，△PAC 的面积最大，最大值为227， 此时P （﹣3，3），21×AC ·PD ＝227， ∴PD ＝559； ②如解图②中，在x 轴上取一点N （1，0），作直线CN ，作PK ⊥直线CN 于K 交y 轴于M ．第10题解图②∵OC ＝3，ON ＝1，∴CN ＝10， ∴sin ∠OCN ＝CN ON ＝CM MK ＝101， ∴MK ＝10CM ， ∵点Q 在整个运动的时间＝PM +10CM ＝PM +MK ＝PK ， 根据垂线段最短可知，点M 即为所求的点，∵直线CN 的解析式为y ＝3x ﹣3，PK ⊥CN ，∴直线PK 的解析式为y ＝﹣31x +2， ∴M （0，2）；（3）①如解图③和④中，当四边形ACSO '是菱形时，设AS 交C O '于K ，AC ＝A O '＝35，第10题解图③ 第10 题解图④∵点O ′在直线y ＝﹣3x 上，A （﹣6，0），设O ′（m ，﹣3m ），∴26m ）（++2m 3）（-＝（35）2， 解得m ＝101436±-， ∴O ′（101436--，1014918+）或（101436+-，1014918-），又∵C （0，-3），根据中点坐标公式可得K （201436--，2014912+-）或（201436+-，2014912--），∵AK ＝KS ，∴S （1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）；②如解图⑤和⑥中，当四边形AC O 'S 是菱形时，设CS 交A O '于K ，AC ＝C O '＝35，第10题解图⑤ 第10题解图⑥∵点O ′在直线y ＝﹣3x 上，C （0，﹣3），设O ′（m ，﹣3m ），∴m 2+（﹣3m +3）2＝253）（，解得m ＝3或﹣56，∴O '（3，﹣9）或（﹣56，518），∴K （﹣23，﹣29）或（﹣518，59）， ∵CK ＝KS ，∴S （﹣3，﹣6）或（﹣59 ，533）； ③如解图⑦中，当四边形ASC O '是菱形时，S O '垂直平分线段AC ，第10题解图⑦直线S O '的解析式为y ＝2x +29， 由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x 3y 29x 2y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1027y 109x ， ∴O '（﹣109，1027）， ∵KS ＝K O '，K (-3，-23）， ∴S （﹣1051，﹣1057）， 综上所述，满足条件的点S 坐标为S （1014354-，1014912+-）或（1014354+，1014912--）或（﹣3，﹣6）或（﹣59，533）或（﹣1051，﹣1057）；。
二次函数综合型问题第一讲线段、周长、面积最值问题例1、如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A点、C点（点A在C的左边），抛物线交y轴于B 点，点D是抛物线的顶点。
（1）求线段AB的值。
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PGꓕAB于点G。
求出∆PFG周长的最大值；（3）在抛物线y=-x2-2x+3上是否存在除点D以外的点M,使得∆ABM与∆ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由。
例2、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）B（1，0）,C（0，-3）(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上一点，设∆PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P 的坐标；(3)设抛物线的顶点为D，DEꓕX轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得∆ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
达标训练1、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.（1）求点B的坐标；（2）若a=1，设抛物线与y轴的交点为C。
①若点P在抛物线上，且S∆POC=4S∆BOC。
求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QDꓕx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
2、如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B。
己知M（0，1）E（a,0）F(a+1,0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点。
（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若∆PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由。
3、如图（1），已知抛物线Y=X2-2X+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（-1，0）.（1）求点D的坐标；（2）若M为直线BC下方抛物线上一动点，当∆MCB面积最大时，求点M的坐标；并求出面积的最大值；（3）如图（2），连接AC、BD并处延长交于点E，求tan∠E的值。
题型八 二次函数综合题类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作y 轴的平行线，分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问是否存在这样的点E ，使DE ＝2DF ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. (2017原创)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3. (2016重庆南开阶段测试一)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交x 轴于A (4，0)、B (－1，0)，交y 轴于点C (0，－3)，过点A 的直线y ＝－34x ＋3交抛物线于另一点D .(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)若点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在线段AC 上，且Q 点到x 轴的距离为95，连接PC 、PQ ，当△PCQ 周长最小时，求出点P 的坐标；(3)如图②，在(2)的结论下，连接PD ，在平面内是否存在△A 1P 1D 1，使△A 1P 1D 1≌△APD (点A 1、P 1、D 1的对应点分别是A 、P 、D ，A 1P 1平行于y 轴，点P 1在点A 1上方)，且△A 1P 1D 1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A 1的横坐标m ；若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．5. 如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB＝60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P 到达终点时停止运动，运动时间为t秒，直线PQ交边AD于点E.(1)求经过A、D、C三点的抛物线解析式；(2)是否存在时刻t使得PQ⊥DB？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)若F、G为DC边上两点，且DF＝FG＝1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小，并求出周长最小值．6. (2016资阳)已知抛物线与x 轴交于A (6，0)、B (－54，0)两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M (1，3)作MN ⊥x 轴于点N ，连接OM . (1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位(0≤t ≤5)到△O ′M ′N ′的位置,M ′N ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F .①当点F 为M ′O ′的中点时，求t 的值；②如图②，若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值．若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．答案类型一与线段、周长有关的问题针对演练1. 解：(1)∵抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象经过点A(4，0)，B(－4，－4)，∴,44164141641⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯-=++⨯-cbcb解得,221⎪⎩⎪⎨⎧==cb∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋12x＋2.(2)由抛物线y＝－14x2＋12x＋2可得其对称轴为直线x＝－122×（－14）＝1，点C的坐标为(0，2)，如解图，作点C关于对称轴x＝1的对称点C′，则点C′的坐标为(2，2)，连接BC′，即BC′＝（2＋4）2＋（2＋4）2＝62，BC′与对称轴的交点即为所求点P，连接CP，此时△PBC的周长最小．第1题解图设直线BC′的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，∵B(－4，－4)，C′(2，2)，∴,4422⎩⎨⎧-=+-=+mkmk解得,1⎩⎨⎧==mk∴直线BC′的解析式为y ＝x ， 将x ＝1代入y ＝x ，得y ＝1， ∴点P 坐标为(1，1)． ∵B (－4，－4)，C (0，2)， ∴BC ＝42＋（2＋4）2＝213.∵△PBC 的周长＝CP ＋BC ＋PB ＝BC ＋BC′， ∴△PBC 周长的最小值为213＋6 2.(3)由点A (4，0)，B (－4，－4)可得直线AB 的解析式为y ＝12x －2，设点E 坐标为(x ，12x－2)，其中－4<x <4，则点F (x ，－14x 2＋12x ＋2)，DE ＝|12x －2|＝2－12x ，DF ＝|－14x 2＋12x ＋2|，∵DE ＝2DF ，当2－12x ＝－12x 2＋x ＋4，即点F 位于x 轴上方，解得：x 1＝－1，x 2＝4(舍去)，将x ＝－1代入y ＝12x －2，得到y ＝－52，∴E (－1，－52)；当2－12x ＝12x 2－x －4，即点F 位于x 轴下方，解得：x 1＝－3，x 2＝4(舍去)，将x ＝－3代入y ＝12x －2，得y ＝－72，∴E (－3，－72)．综上所述，点E 的坐标为(－1，－52)，(－3，－72)．2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，∴,01039⎩⎨⎧=++=++c b c b解得,34⎩⎨⎧=-=c b∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)将x ＝0代入抛物线的解析式，则y ＝3， ∴点C (0，3)，则直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3， 设点P (x ，x 2－4x ＋3)， ∵PD ∥y 轴， ∴点D (x ，－x ＋3)，∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94，∵a ＝－1<0，∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值94.(3)由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分线段AB ， ∴MA ＝MB ，由三角形的三边关系，|MA －MC |<BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA －MC |最大，即为BC 的长度， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入B (1，0)和C (0，3)，则,30⎩⎨⎧==+m m k 解得,33⎩⎨⎧=-=m k ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴为直线x ＝2， ∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴点M (2，－3)，即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使 |MA －MC |最大．3. 解：(1)由题意得,004163⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=c b a c b a c解得.34943⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==c b a∴抛物线的解析式为y ＝34x 2－94x －3.联立,343349432⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=x y x x y 解得⎩⎨⎧==04y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=292y x ，∴点D 坐标为(－2，92)．(2)∵A (4，0)，C (0，－3)，∴直线AC 的解析式为y ＝34x －3，∵y Q ＝－95，∴点Q 坐标为(85，－95)，点Q 关于x 轴的对称点Q′(85，95)，连接CQ′交x 轴于点P ，此时△PCQ 周长最小，如解图①，第3题解图①∵由C (0，－3)和Q′(85，95)求出直线CQ′的解析式为y ＝3x －3，∴直线CQ ′与x 轴的交点P 的坐标为(1，0)． ∴△PCQ 周长最小时，点P 的坐标为(1，0)．(3)(i)过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1. 当A 1与P 1在抛物线上时，∵A 1P 1∥y 轴， ∴此情况不存在；(ii)当P 1与D 1在抛物线上时，∵A 1的横坐标为m ， ∴P 1(m ，34m 2－94m －3)．此时分两种情况讨论：①当点D 1在直线A 1P 1的左侧时，过点D 1作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图②，第3题解图②此时点D 1的横坐标为m －92，将x D 1＝m －92代入y ＝34x 2－94x －3，∴D 1(m －92，34m 2－9m ＋35716)，∴F 1(m ，34m 2－9m ＋35716)，∴P 1F 1＝(34m 2－9m ＋35716)－(34m 2－94m －3)＝－274m ＋40516，又P 1F 1＝PF ＝3， ∴m ＝11936；②当点D 1在直线A 1P 1的右侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图③，第3题解图③此时点D 1的横坐标为m ＋92，得x D 1＝m ＋92代入y ＝34x 2－94x －3，∴D 1(m ＋92，34m 2＋92m ＋3316)，∴F 1(m ，34m 2＋92m ＋3316)，∴P 1F 1＝(34m 2＋92m ＋3316)－(34m 2－94m －3)＝274m ＋8116， 又P 1F 1＝3， ∴m ＝－1136；(iii)当A 1与D 1在抛物线上时，点A 1的横坐标为m ， ∴A 1坐标为(m ，34m 2－94m －3)，此时也分两种情况讨论：①当点D 1在直线A 1P 1的左侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图④，第3题解图④此时点D 1的横坐标为m －92，代入y ＝34x 2－94x －3中，∴D 1(m －92，34m 2－9m ＋35716)，∴F 1(m ，34m 2－9m ＋35716)，∴A 1F 1＝(34m 2－9m ＋35716)－(34m 2－94m －3)＝－274m ＋40516，又A 1F 1＝AF ＝6， ∴m ＝10336；②当点D 1在直线A 1P 1的右侧时，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，过点D 1作D 1F 1⊥A 1P 1交A 1P 1延长线于F 1.如解图⑤，第3题解图⑤此时点D 1的横坐标为m ＋92，代入y ＝34x 2－94x －3中，∴D 1(m ＋92，34m 2＋92m ＋3316)．∴F 1(m ，34m 2＋92m ＋3316)，∴A 1F 1＝(34m 2＋92m ＋3316)－(34m 2－94m －3)＝274m ＋8116， 又A 1F 1＝AF ＝6， ∴m ＝536.综上所述，m 的值可以是11936，－1136，10336，536.4. 解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， ∴C 点坐标为(0，3)，E 点坐标为(2，3)，将C 、E 点坐标代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 得：,3243⎩⎨⎧=++-=c b c 解得,32⎩⎨⎧==c b∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如解图①，连接AC ，第4题解图①由(1)得抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴A (－1，0)，B (3，0)， ∴AO ＝1，CO ＝3， ∴AC ＝10， ∵CO ＝BO ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°， ∴FM ＝BF ＝1， ∵RO ∥MF ， ∴△ARO ∽△A MF ，∴RO MF ＝AO AF，∴1RO ＝13， 解得RO ＝13，∴CR ＝3－13＝83，AR ＝12＋（13）2＝103，∴△ACR 的周长为AC ＋CR ＋AR ＝10＋83＋103＝8＋4103.(3)如解图②，取点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′G 交直线EF 的延长线于点H ，过点H 作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP ′，则A ′(1，0)，P ′H ∥x 轴，第4题解图②∴AA ′＝2，P ′H ＝OF ＝2， ∴四边形P ′HA ′A 为平行四边形， ∴AP ′＝A′H ，∴AP ′＋HG ＝A′H ＋HG ＝A′G ，∴当点P 在点P′处时，使AP ＋PH ＋HG 最小， 设直线A′G 的解析式为y ＝kx ＋a ，将A′(1，0)，G (4，－5)代入得,045⎩⎨⎧+=+=-a k ak解得,3535⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=a k ∴直线A′G 的解析式为y ＝－53x ＋53.令x ＝2，得y ＝－103＋53＝－53，∴点H 的坐标为(2，－53)，∴符合题意的点P 的坐标为(0，－53)．5. 解：(1)在△DAB 中，∠DAB ＝60°，DA ＝AB ＝6， ∴△DAB 是等边三角形，∴D 到y 轴的距离为12AB ＝3，到x 轴的距离为DA ·sin60°＝33，∴D (3，33)，∵DC ∥x 轴，且DC ＝AB ＝6，将点D 向右平移6个单位后可得点C ，即C (9，33)， 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，代入C 、D 两点坐标则,339813339⎪⎩⎪⎨⎧=+=+b a b a 解得,33493⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－39x 2＋433x . (2)如解图①，连接AC 可知AC ⊥BD ，若PQ ⊥DB ，则PQ ∥AC ，所以P 在线段BC 上时不存在符合要求的t 值．第5题解图①当P 在DC 上时，由于PC ∥AQ ，且PQ ∥AC ， ∴四边形PCAQ 是平行四边形，∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t ，解得t ＝2，即当t ＝2时，PQ ⊥DB .(3)如解图②，作点F 关于直线DB 的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA 上，且DF′＝DF ＝1，作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG′＝4，连接F ′G′交DB 于点M 、交对称轴于点N ，点M ，N 即为所求的两点．过F ′作F′H ⊥DG ′交CD 的延长线于点H ，第5题解图②在Rt △F ′HD 中，∠F ′DH ＝180°－∠ADC ＝60°，F ′D ＝1，∴F ′H ＝F′D ·sin60°＝32，HD ＝F′D ·cos60°＝12，HG ′＝HD ＋DG′＝92， 根据勾股定理得F′G′＝F ′H 2＋HG′2＝21， ∴四边形FMNG 周长最小为F′G′＋FG ＝21＋1. 6. 解：(1)∵A (6，0)，B (－54，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a (x －6)(x ＋54)，又∵抛物线经过点M (1，3)，代入得，3＝a (1－6)(1＋54)，解得a ＝－415，∴y ＝－415x 2＋1915x ＋2.(2)①由y ＝－415x 2＋1915x ＋2可知，C (0，2)，∵A (6，0)， ∴OA ＝6，OC ＝2，在Rt △AOC 中，AC ＝OA 2＋OC 2＝62＋22＝210， ∵M 点的坐标为(1，3)， ∴ON ＝1，MN ＝3，MO ＝10，∴ON OC ＝12，MN OA ＝36＝12，OM AC ＝10210＝12， ∴ON OC ＝MN OA ＝OM AC，∴△ONM ∽△COA ， ∴∠OMN ＝∠OAC ， ∵∠OMN ＝∠O′M′N′， ∴∠OAC ＝∠O′M′N′， ∴∠M ′FE ＝∠EN′A ＝90°， ∴∠O ′FA ＝90°，∵∠COA ＝∠O′FA ＝90°，∠O ′AF ＝∠CAO ， ∴△O ′FA ∽△COA ，∴O ′F CO ＝AO ′AC， ∵OM ＝O′M′＝10，F 是O′M′的中点， ∴O ′F ＝12O ′M ′＝102，OO ′＝t ，AO ′＝6－t ，∴1022＝1026t ，∴t ＝1.②设向右平移t 个单位时，EH 有最大值，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵A (6，0)，C (0，2)，∴⎩⎨⎧==+206b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=231b k ， ∴直线AC 的解析式为y AC ＝－13x ＋2，∴N ′(t ＋1，0)，G (t ＋1，－415(t ＋1)2＋1915(t ＋1)＋2)，GN ′＝－415(t ＋1)2＋1915(t ＋1)＋2，EN ′＝－13(t ＋1)＋2，∴GE ＝GN′－EN′＝－415(t －2)2＋125，∵GH ⊥AC ，GN ′⊥x 轴，M ′O ′∥GH ， ∴可证得：Rt △GHE ∽Rt △M ′N ′O ′，∴EH O′N′＝GEM′O′， ∴EH ＝110512)2(1542⨯+--t ＝－21075(t －2)2＋61025， ∵a ＝－21075<0，∴当t ＝2时，EH 有最大值， ∵0≤t ≤5，2<5，符合题意，∴线段EH 存在最大值，它的最大值为61025，此时t 的值为2.类型二与面积有关的问题针对演练1. (2016大渡口区诊断性检测)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，过点A的直线y＝x＋2交抛物线于点D，且D的横坐标为4.(1)求抛物线的解析式；(2)点E为抛物线在第一象限的图象上一点，若△ADE的面积等于12，求直线AE的解析式；(3)在(2)的条件下，点P为线段AE上的一点，过点P作PH⊥AB，将△PAH沿PH翻折，点A落在x轴上点Q处，若∠PDQ＝45°，求P点坐标．第1题图2. 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于A(－1，0)、B(3，0)、C 三点．(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD、CD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图②，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′.在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠部分的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点D(2，4)，且与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于C点，连接AC，CD，BC.(2)如图②，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l ，l 分别交x 轴于点E ，交直线AC 于点M .设点P 的横坐标为m .当0<m ≤2时，过点M 作MG ∥BC ，MG 交x 轴于点G ，连接GC ，则m 为何值时，△GMC 的面积取得最大值，并求出这个最大值；(3)如图③，在Rt △A 1B 1C 1中，∠A 1C 1B 1＝90°，A 1C 1＝1，B 1C 1＝2，直角边A 1C 1在x 轴上，且A 1与A 重合，当Rt △A 1B 1C 1沿x 轴从右向左以每秒1个单位长度的速度移动时，设△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分的面积为S ，求当S ＝45时，△A 1B 1C 1移动的时间t .第3题图4. (2016重庆八中二模)如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D ，C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . (1)求直线AD 的解析式；(2)如图①，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；(3)如图②，点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一动点，点Q 是坐标平面内一点，四边形APQM 是以PM 为对角线的平行四边形，点Q ′与点Q 关于直线AM 对称，连接MQ ，PQ .当△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14时，求▱APQM 的面积．第4题图5. (2016湘西州)如图，长方形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点B (1，4)和点E (3，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在线段OC 上，且BD ⊥DE ，BD ＝DE ，求D 点的坐标；(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得△BDM 的周长为最小，并求出△BDM 周长的最小值及此时点M 的坐标；(4)在条件(2)下，从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2015重庆A卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－34x2＋3x＋3 3 交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.(1)求直线BC的解析式；(2)点E(m，0)，F(m＋2，0)为x轴上两点，其中2＜m＜4.EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N.当ME′＋NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′－RE′|的值最大．请求出R点的坐标及|RF′－RE′|的最大值；(3)如图②，已知x 轴上一点P (92，0)，现以P 为顶点，2 3 为边长在x 轴上方作等边三角形QPG ，使GP ⊥x 轴．现将△QPG 沿PA 方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P 到达点A 时停止．记平移后的△QPG 为△Q ′P ′G ′，设△Q ′P ′G ′与△ADC 的重叠部分面积为S .当点Q ′到x 轴的距离与点Q ′到直线AW 的距离相等时，求S 的值．第6题图答案类型二与面积有关的问题针对演练1.解：(1)在直线y＝x＋2中，当y＝0时，x＝－2，∴A(－2，0)，当x＝4时，y＝6，∴D(4，6)．∵点A、D均在抛物线上，∴,44166424⎩⎨⎧++=+-=baba解得：,2341⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ba∴抛物线解析式为y＝－14x2＋32x＋4.(2)过点E作y轴的平行线交直线AD的延长线于F，如解图①，第1题解图①则S△ADE＝S△AEF－S△DEF＝12EF·(x D－x A)＝3EF＝12，∴EF＝4.设E点横坐标为m，则E(m，－14m2＋32m＋4)，F(m，m＋2)，∴(m ＋2)－(－14m 2＋32m ＋4)＝4，∴m 2－2m －24＝0，解得m ＝6或m ＝－4(舍去)， ∴点E 为(6，4)，故直线AE 的解析式是y ＝12x ＋1.(3)如解图②，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，则K (4，0)，延长DE 交x 轴于点G ，可求G (10，0)，第1题解图②∴DK ＝GK ＝6，DG ＝62，∠KDG ＝∠PDQ ＝45°， ∴∠PDK ＝∠QDG .设P (m ，12m ＋1)，则H (m ，0)，AH ＝m ＋2，∴Q (2m ＋2，0)， ∴GQ ＝8－2m ，过点P 作PN ⊥DK 于点N ，则PN ＝4－m ，DN ＝6－(12m ＋1)＝5－12m ，过点Q 作QM ⊥DG 于点M ，则QM ＝GM ＝2(4－m )，DM ＝2(m ＋2)， ∵tan ∠PDK ＝tan ∠QDG ，∴PN DN ＝QMDM，∴)2(2)4(22154+-=--m m mm，解得m ＝2或m ＝4， ∴P (2，2)或P (4，3)．2. 解：(1)将点A (－1，0)、B (3，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，得,30339⎩⎨⎧=+-=++b a b a 解得： ⎩⎨⎧=-=21b a .∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在．将点D (2，m )代入抛物线解析式，解得m ＝3， ∴D (2，3)， 当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)， ∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠CBO ＝45°， 如解图①，设BP 交y 轴于点G ，第2题解图①∵CD ∥x 轴，∴∠DCB ＝∠CBO ＝45°， 在△DCB 和△GCB 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠=∠GBC DBC BCBC GCB CBO DCB ∴△DCB ≌△GCB (ASA)， ∴CG ＝CD ＝2， ∴OG ＝1， ∴点G (0，1)，设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 则将点B (3，0)代入解析式，解得k ＝－13，∴直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋1，联立直线BP 和二次函数的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=131322x y x x y 解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=9113211y x 或⎩⎨⎧==0322y x (舍)， ∴P (－23，119)．(3)由点B (3，0)，C (0，3)，D (2，3)，易求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－3x ＋9，当0≤t ≤2时，如解图②，设直线O′C ′与BC 相交于点E ，直线B ′C ′与BD 相交于点F ， 设直线C′B ′的解析式为y ＝－(x －t )＋3，联立直线BD 和直线C′B′的解析式，得,3)(93⎩⎨⎧+--=+-=t x y x y第2题解图②解得F (26t ， 23t)， ∴S ＝S △BCD －S △CC ′E －S △C ′DF＝12×2×3－12×t ×t －12×(2－t )×(3－23t)， 整理得：S ＝－54t 2＋3t (0≤t ≤2)；当2<t ≤3时，如解图③，设直线O′C′与BC ，BD 分别相交于点I ，H ，可得点H (t ，－3t ＋9)，I (t ，－t ＋3)，第2题解图③∴S ＝S △HIB ＝S △HO ′B －S △IO ′B＝12[(－3t ＋9)－(－t ＋3)]×(3－t )， 整理得：S ＝t 2－6t ＋9(2<t ≤3)；当t >3时，△B ′O ′C ′与△BCD 无重叠面积，∴S ＝0.综上所述：.)3(0)32(96)20(34522⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<+-≤≤+-=t t t t t t t S3. 解：(1)将A (3，0)，D (2，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋4得，,44240439⎩⎨⎧=++=++b a b a 解得,3834⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋83x ＋4.(2)由y ＝－43x 2＋83x ＋4，则当x ＝0时，y ＝4， ∴C (0，4)，当y ＝0时，－43x 2＋83x ＋4＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1， 又∵A (3，0)，∴B (－1，0)．易求出直线AC 的解析式为y ＝－43x ＋4，设P 点坐标为(m ，－43m 2＋83m ＋4)，则E (m ，0)，M (m ，－43m ＋4)，∵MG ∥BC ，l ∥y 轴，∴△COB ∽△MEG ， ∴OB OC ＝EG ME，即434+-m EG＝14， ∴GE ＝－13m ＋1，∴OG ＝OE －EG ＝m －(－13m ＋1)＝43m －1，∴AG ＝OA －OG ＝3－(43m －1)＝－43m ＋4，∴S △GMC ＝S △CGA －S △MGA＝12×4×(－43m ＋4)－12×(－43m ＋4)2＝－89(m －32)2＋2，∵0<m ≤2，∴当m ＝32时，S △GMC 有最大值为2.(3)①如解图①，设A 1B 1与AC 交于点P ，B 1C 1与AC 交于点M ， 作PQ ⊥x 轴于点Q ，第3题解图①设PQ ＝x ，则A 1Q ＝2x，A Q ＝34x .∴AA 1＝54x ＝t ，AC 1＝t －1，∴x ＝45t ，MC 1＝43(t －1)，∴S ＝11AMC PAA S S ∆∆-＝12t ×45t －12×43(t －1)2＝45，解得t ＝5±32.∵0<t <52，∴t ＝5－32；②如解图②，设A 1B 1与BC 交于点P ，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则A 1B ＝t －4，设PQ ＝x ，第3题解图②∵PQ ∥OC ，∴PQ OC ＝BQ OB ，即4x ＝1BQ，∴BQ ＝4x ，∵PQ ∥B 1C 1，∴PQ B 1C 1＝A 1Q A 1C 1， 即2x ＝11Q A ＝A 1B ＋BQ ， ∴2x ＝t －4＋4x ， ∴x ＝4t －16，∴S ＝B PA C B A S S 1111∆∆-＝1－12×(t －4)×(4t －16)＝45，解得t ＝4±1010， ∵t >4，∴t ＝4＋1010， 综上，当t ＝5－32或t ＝4＋1010时，S ＝45.4. 解：(1)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)， 令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，∵点D ，C 关于抛物线的对称轴x ＝1对称，∴D (2，3)， 设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b . 将点A (－1，0)，D (2，3)代入，得,320⎩⎨⎧=+=+-b k b k解得,11⎩⎨⎧==b k ∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. (2)设点F (x ，－x 2＋2x ＋3)，∵FH ∥x 轴，∴H (－x 2＋2x ＋2，－x 2＋2x ＋3)， ∴FH ＝－x 2＋2x ＋2－x ＝－(x －12)2＋94，∵－1<x <2，∴当x ＝12时，FH 取最大值94，由直线AD ：y ＝x ＋1，易知∠DAO ＝45°. 又FH ∥x 轴， ∴∠FHG ＝45°，∴△FHG 为等腰直角三角形， ∴△FGH 周长的最大值为9＋924.(3)①当P 点在AM 下方时，如解图①，设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )，第4题解图①∵△PMQ ′与平行四边形APQM 重合部分的面积是平行四边形APQM 面积的14，∴PQ ′必过AM 的中点N (0，2)，∴可知Q′在y 轴上，易知QQ′的中点T 的横坐标为1，又点T 必在直线AM 上，故T (1，4)，从而T 、M 重合，故平行四边形APQM 是矩形， ∵易求得直线AM 的解析式为y ＝2x ＋2，而MQ ⊥AM ， ∴可求得直线Q Q′的解析式为y ＝－12x ＋92，∴4＋p ＝－12×2＋92，∴p ＝－12，∴PN ＝52，∴S ▱APQM ＝2S △AM P ＝4S △ANP ＝4×12×PN ×AO ＝4×12×52×1＝5；②当P 点在AM 上方时，如解图②，设P (0，p )，易知M (1，4)，从而Q (2，4＋p )，第4题解图②∵△PMQ ′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14，∴PQ ′必过QM 的中点R (32，4＋2p)，易求得直线QQ′的解析式为y ＝－12x ＋p ＋5，联立⎪⎩⎪⎨⎧++-=+=52122p x y x y ，解得x ＝526p +，y ＝5422p +， ∴H (526p +，5422p+)， ∵H 为QQ′中点，故易得Q′(542p +， 5324p+)， 由点P (0，p)、R(32，4＋p2)易得直线PR 的解析式为y ＝(83－3p)x ＋p ， 将Q′(542p +，5324p+)代入到y ＝(83－3p )x ＋p 得5324p +＝(83－3p )×542p+＋p ， 整理得：p 2－9p ＋14＝0，解得p 1＝7，p 2＝2(与AM 中点N 重合，舍去)， ∴P (0，7)，∴PN ＝5，∴S ▱APQM ＝2S △AMP ＝2×12×PN ×∣x M －x A ∣＝2×12×5×2＝10.综上所述，▱APQM 面积为5或10.5. 解：(1)将点B (1，4)，E (3，0)分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx 得， ,0394⎩⎨⎧=+=+b a b a解得,62⎩⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋6x . (2)∵四边形OABC 是矩形，B (1，4)， ∴∠BCO ＝90°，BC ＝1， ∴∠CBD ＋∠BDC ＝90°， ∵BD ⊥DE ，∴∠BDC ＋∠ODE ＝90°， ∴∠CBD ＝∠ODE ，又∵∠BCD ＝∠DOE ＝90°，BD ＝DE ， ∴△BCD ≌△DOE (AAS)， ∴OD ＝BC ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)．(3)由抛物线解析式y ＝－2x 2＋6x 可知其对称轴为x ＝32，∴点B (1，4)关于直线x ＝32的对称点B′的坐标为(2，4)，如解图①，连接DB′，交抛物线对称轴于点M ，则点M 即为所求．设直线DB′的解析式为y ＝kx ＋m ， 代入点D (0，1)，B ′(2，4)，得,142⎩⎨⎧==+m m k解得,123⎪⎩⎪⎨⎧==m k∴直线DB′的解析式为y ＝32x ＋1，当x ＝32时，y ＝32×32＋1＝134，∴点M 的坐标为(32，134)，此时△BDM 周长的最小值为BD ＋DB′＝2231+＋22＋32＝10＋13.(4)存在．设点P 的坐标为(a ，－2a 2＋6a )，如解图②，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则OG ＝a ，PG ＝－2a 2＋6a ，则S △PAD ＝S 四边形DOGP －S △AOD －S △APG ＝12(PG ＋OD )·OG －12OD ·OA －12AG ·PG ＝12(－2a 2＋6a ＋1)×a －12×1×1－12(a －1)(－2a 2＋6a ) ＝－a 2＋72a －12＝－(a －74)2＋4116，∵点P 在抛物线上BE 段， ∴1≤a ≤3，当a ＝74时，S △PAD 有最大值为4116，此时点P 的坐标为(74，358)．6. 解：(1)∵y ＝－34x 2＋3x ＋33＝－34(x －2)2＋43， ∴C (2，43)．当y ＝0时，即－34x 2＋3x ＋33＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2， ∴B (6，0)，A (－2，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (6，0)，C (2，43)，得,23460⎩⎨⎧+=+=b k bk ∴,363⎪⎩⎪⎨⎧=-=b k ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋6 3. (2)∵E (m ，0)，∴M (m ，－3m ＋63)，E ′(m ，－34m 2＋3m ＋33)， ∴E′M ＝(－34m 2＋3m ＋33)－(－3m ＋63)＝－34m 2＋23m －3 3. ∵F (m ＋2，0)，∴N (m ＋2，－3(m ＋2)＋63)，F ′(m ＋2，－34(m ＋2)2＋3(m ＋2)＋33)， ∴F ′N ＝[－34(m ＋2)2＋3(m ＋2)＋33]－[－3(m ＋2)＋63] ＝－34(m ＋2)2＋23(m ＋2)－33＝－34m 2＋3m ， ∴E ′M ＋F′N ＝(－34m 2＋23m －33)＋(－34m 2＋3m )＝－32(m －3)2＋323. ∵2<m <4，∴当m ＝3时，ME ′＋NF′的值最大． 此时E′(3，1543)，F ′(5，743)．延长F′E′交y 轴于R 点，如解图①，则R 满足|RF′－RE′|最大，即在y 轴上取异于R 的任一点R′，连接R′F′、R′E′，则|R′F′－R ′E ′|＜E′F ′＝|RF′－RE′|，即R 使|RF ′－RE′|最大．设直线E′F′的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，第6题解图①代入E′(3，1543)，F ′(5，743)，得,534733415⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a b a 解得,34273⎪⎩⎪⎨⎧=-=b a∴直线E′F ′的解析式为y ＝－3x ＋2743.当x ＝0时，y ＝2743，∴R (0，2743)．作F′K ⊥EM 于点K ，如解图①， 则F′K ＝2，E ′K ＝1543－743＝23，∴E ′F ′＝22＋（23）2＝4，∴|RF ′－RE ′|的最大值为4，此时点R (0，2734)．(3)∵对y ＝－34x 2＋3x ＋33，当x ＝0时，y ＝33， ∴W (0，33)．∵点Q′到x 轴、AW 的距离相等，∴点Q′在∠WAB 的平分线上或在∠WAB 补角的平分线上．(ⅰ)当点Q′在∠WAB 的平分线上时，如解图②，作∠WAB 的平分线AL .过Q 点作x 轴的平行线交AW 于点S ，交AL 于点T ，交PG 于点V.当点Q′与点T 重合时，点Q ′为符合题意的点．第6题解图②∵PG ⊥x 轴， ∴SV ⊥PG ， ∴在等边△PGQ 中，PV ＝12PG ＝3，∴S 、T 点的纵坐标都为3， V (92，3)．设直线AW 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，代入(－2，0)，(0，33)，得,3320⎩⎨⎧=+-=n n m ∴,33233⎪⎩⎪⎨⎧==n m ∴直线AW 的解析式为y ＝323x ＋3 3.当y ＝3时，即3＝323x ＋33，得x ＝－43， ∴S (－43，3)，SV ＝92＋43＝356.作SZ ⊥x 轴于点Z ，如解图②，则AZ ＝2－43＝23，SZ ＝3，∴AS ＝（3）2＋（23）2＝313.∵AL 平分∠WAB ， ∴∠WAL ＝∠LAB . ∵SV ∥x 轴， ∴∠STA ＝∠LAB ， ∴∠WAT ＝∠STA ，∴ST ＝SA ＝313， ∴点T 到CD 的距离为SV －ST －DP ＝356－313－(92－2)＝10－313.显然点Q′与点T 重合时，点Q′为符合题意的点，此时△Q′P′G′与△ADC 重合部分是一个等边三角形，10－313为这个等边三角形的高线．这个等边三角形的边长为10－313×233，∴S ＝12×10－313×233×10－313＝1313－209327.(ⅱ)当点Q′在∠WAB 的补角的平分线上时，如解图③，作∠WAB 的补角的平分线AL .过点Q 作x 轴的平行线交AW 于点S ，交AL 于点T ，交PG 于点V .当点Q′与点T 重合时，点Q′为符合题意的点．第6题解图③同(ⅰ)，SV ＝356，SA ＝ST ＝313，∴TV ＝356＋313，在Rt △PQV 中，∠VPQ ＝60°，PV ＝3， ∴QV ＝3PV ＝3.∴△PGQ 向左平移的距离为TQ ＝TV －QV ＝356＋313－3＝176＋313，∴AP ′＝AP －PP′＝2＋92－(176＋313)＝113－313，点P′的横坐标为－2＋(113－313)＝53－313.可以求得直线AC 的解析式为y ＝3x ＋23，且∠CAB ＝60°，则直线P′G′与直线AC 交点的纵坐标为3(53－313)＋23＝3(2＋53－313)＜23＝PG ，∴点G′在直线AC 之上． ∵∠CAB ＝60°，∠AP ′T ＝30°， ∴AC ⊥P ′T ，∴重叠部分是一个含有60°角的直角三角形． ∵AP ′＝113－313，∴阴影部分直角三角形的两直角边为32AP ′、32AP ′， ∴S ＝338AP ′2＝338(113－313)2＝763－119312.类型三与特殊三角形有关的问题针对演练1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．第1题图2. (2016重庆巴蜀九下入学考试)如图，抛物线y＝－45x2＋245x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．(1)求点A，B的坐标；(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．第2题图。
2016年重庆市中考二次函数周长与线段最值专题训练一1、如图，抛物线y=-x^+bx+c 与x 轴交于A （1，0），B （-3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，直线121+=x y 与抛物线32-+=bx ax y 交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD ⊥AB 于点D （1）求a 、b 及ACP ∠sin 的值 （2）设点P 的横坐标为m①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把△DPB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由.3、如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E. （1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标.xxx26题备用图226题备用图126题图1解：⑴AD ：1yx =+⑵由（1）知△FGH为等腰直角三角形，由题意可设222(,23),(22,23)F a a a H a a a a -++-++-++2222,(1192(1(12)(1)24FH a a FG GH C FGH FH FG GH FH FH a a a ∴=-++===++=++∴=-++=-+-+∴△FGH ⑶①若AP 为对角线如图，由△PMS ∽△MAR 可得9(0,)2P 由点的平移可知1(2)2Q -，故Q 点关于直线AM 的对称点T 为1(0,)2-②若AQ 为对角线如图，同理可知P 1(0,)2-由点的平移可知Q 7(2,)2故Q 点关于直线AM 的对称点T 为9(0,)24、 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =+交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D 。
二次函数的综合运用此题主要针对中考26题压轴题此题分为三问（1）求函数解析式（二次函数解析式、一次函数解析式、反比例函数解析式）；（2）求二次函数中的一些线段长度或某个四边形的面积；（3）求二次函数中某些动点坐标或轨迹。
解答题1、 (2013·重庆A卷25题) 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2、(2013·重庆B卷25题)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积S1与四边形OABD 的面积S 满足：S1=S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2008•重庆）已知：如图，抛物线（a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2322y ax ax c =-+4、（2011•丹东）己知：二次函数（a≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根． （1）请直接写出点A 、点B 的坐标．（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段0B 上一个动点（点Q 不与点0、B 重合）．过点Q 作QD ∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标（m ，0），当△CDQ 面积S 最大时，求m 的值．26y ax bx =++5、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．7、（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点为A ，与y轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD=AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．（1）当m=2时，求点B 的坐标； （2）求DE 的长？（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以，A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？()221144y x m m m =--+。
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图，抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点M(m ，0)为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；(3)当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G(点G 在点F 的上方)．若FG ＝2，求点F 的坐标．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【详解】(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y＝kx+b，∴303k bb-+=⎧⎨=⎩解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S ＝12AM×EM ＝12． (4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x ＝﹣l ，∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，∴DQ ＝DC ，把x ＝﹣1代入y ＝﹣x 2﹣2x+3，解得y ＝4，∴D(﹣1，4)，∴DQ ＝DC∵FG ＝，∴FG ＝4．设F(n ，﹣n 2﹣2n+3)，则G(n ，n+3)，∵点G 在点F 的上方且FG ＝4，∴(n+3)﹣(﹣n 2﹣2n+3)＝4．解得n ＝﹣4或n ＝1，∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m 表示出矩形PMNQ 的周长．3．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得：y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．4．函数()2110,>02y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值；（Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值；（Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】【分析】（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可；【详解】解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2=（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令2m 112-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点 ∴203m y 1922≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴32≤4m-99≤，解得94m 2<≤. 综上所述，91m 2≤≤即为所求. 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x +a ﹣3，当a ＝0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y ＝a 上方的部分沿直线y ＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）﹣3＜a ≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A ，根据平移点的特点求B ；（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y ＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）当函数经过点A 时，a ＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．7．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．9．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.10．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx 2﹣8mx+4m+2（m ＞2）与y 轴的交点为A ，与x 轴的交点分别为B （x 1，0），C （x 2，0），且x 2﹣x 1=4，直线AD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E （t ，0）过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P 、Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC 面积的最大值；（3）当t ＞2时，是否存在点P ，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B ，C 的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t ＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t ＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x 1、x 2是方程mx 2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x 1+x 2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．。
中考数学专题复习：二次函数综合题（线段周长问题）1．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为222422y x mx m =-+-+，直线l ：y =－x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)如图1，当抛物线经过点A 且与x 轴的两个交点都在y 轴右侧时，求抛物线的解析式．(2)在（1）的条件下，若点P 为直线l 上方的抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，求PQ 的最大值．2．如图1，抛物线25y ax ax c =++经过()3,0A ，()0,4C -，点B 在x 轴上，且AC BC =，过点B 作BD x ⊥轴交抛物线于点D ，点E ，F 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CE BF =，连接EF ．(1)求抛物线的表达式及点D 的坐标； (2)当CEF △是直角三角形时，求点F 的坐标；(3)如图2，连接AE ，AF ，直接写出AE AF +的最小值为：______．3．在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过A ，B 两点，并与x 轴的正半轴交于点C ．(1)求a ，b 满足的关系式及c 的值；(2)当a ＝14时，若点P 是抛物线对称轴上的一个动点，求△P AB 周长的最小值；(3)当a ＝1时，若点Q 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，当QD 的值最大时，求此时点Q 的坐标及QD 的最大值．4．若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N ． ⊥若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；⊥以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．5．如图，二次函数211344y x x =--的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求直线BC 的函数解析式；(2)如图2，点D 在直线BC 下方的抛物线上运动，过点D 作DMy 轴交BC 于点M ，作DN BC ⊥于点N ，当DMN 的周长最大时，求点D 的坐标及DMN 周长的最大值；(3)以BC 为边作CBE BAC ∠=∠交y 轴于点E ，借助图1探究，并直接写出点E 的坐标．6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标； (3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．7．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，C 的坐标分别为（2，0），（0，3），点D 与点C 关于x 轴对称，P 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接PD 、交AC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式及点A 的坐标； (2)在点P 运动的过程中，求PQ ：DQ 的最大值；(3)在y 轴上是否存在点M ，使⊥AMB ＝45°？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数()230y ax bx a =+-≠的图象交x 轴于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，且OB ＝OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点D 是y 轴右侧抛物线上一点（D 不与B 重合），过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，交直线BC 于点F ，若DF ＝2EF ，求点D 的坐标；(3)在（1）的条件下，平面内是否存在点G ，使得以点B ，C ，D ，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x 轴的直线与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的对称轴交于点H ，若点H 到x 轴的距离是线段MN 长的12，求线段MN 的长；(3)若经过C ，D 两点的直线与x 轴相交于点E ，F 是y 轴上一点，且AF ∥CD ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理．10．已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)如图1，点D 在抛物线上，过点D 作DF x ⊥轴，交直线BC 于点E ，交x 轴于点F ，设点D 的横坐标为m ，且03m <<，求线段DE 长度的最大值．(3)如图2，设M 为抛物线的顶点，()3,2G -，在y 轴上是否存在点Q ，使得45GQM ∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （10-，），B （4，0），过点A 的直线1y x =--与该抛物线交于点C ，点P 是该抛物线上不与A ，B 重合的动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线AC 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线AC 的下方，且2PE DE =时，求点P 的坐标；(3)当直线PD 为1x =时，在直线PD 上是否存在点Q ，使⊥ECQ 与⊥EDA 相似？若存在，请求出点Q 坐标；若不存在，请说明你的理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4x +c 经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，其对称轴与x 轴交于点C ．(1)求该抛物线和直线BC 的解析式；(2)设抛物线与直线BC 相交于点D ，求△ABD 的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAB 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C ，直线y =k （x +3）经过A 、C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P (m ，n )是x 轴上方抛物线上的一动点，设l =P A 2+2PC 2， ⊥求l 关于n 的函数关系式； ⊥当n 为何值时，l 的值最小；14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象交y 轴于点D ，直线AB 与之相交，且91,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线212y x bx c =++的顶点．(1)b ＝______，c ＝______；(2)如图1，点P 是第四象限抛物线上一点，且满足BP AD ∥，抛物线交x 轴于点C ，连接PC ． ⊥求直线PB 的解析式； ⊥求PC 的长；(3)如图2，点Q 是抛物线第三象限上一点（不与点B 、D 重合），连接BQ ，以BQ 为边作正方形BEFQ ，当顶点E 或F 恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q 点的坐标．15．如图，边长为 5 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 M （0，4）为顶点的抛物线经过点 N （4，0），点 P 是抛物线 MN 段上一动点，过点 P 作 PF ⊥BC于点 F ，点 E （0，3），连接 PE 、EF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当60EPF ∠=︒，求点P 的坐标； (3)求PEF 周长的取值范围．16．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？ (3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -、()10B ,，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB MC +的最小值；(3)若点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ，线段PQ 是否存在最大值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，二次函数2123y x bx =-++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 的坐标为()4,0-，P 是抛物线上一点（点P 与点A 、B 、C 都不重合）．(1)求抛物线解析式； (2)求点B 的坐标；(3)设直线PB 与直线AC 相交于点M ，且存在这样的点P ，使得:1:2PM MB =，试确定点P 的横坐标．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，点D 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD ，交BC 于点E ，求DEAE的最大值； (3)如图2，点P 为抛物线上一动点，是否存在点P ，使得2⊥PCB ＝⊥OCB ，若存在，请直接．．写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，OB ＝2OC ＝4OA ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 是抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设点D 的横坐标为m ．⊥请用含m 的代数式表示线段DF 的长；⊥已知DG ⊥AC ，交BC 于点G ，请直接写出当35DG AC =时点D 的坐标．答案1．(1)2286y x x =-+-2．(1)215466y x x =+-，点D （-3，-5）； (2)516(,)39-或4(,)3209-3．(1)2a =b +1，c =-2；(2)△P AB 的周长最小值是(3)此时Q （-1，-2），DQ4．(1)2142y x x =-- (2)⊥836,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；⊥1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭5．(1)334y x =- (2)点D 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，DMN 周长的最大值是125 (3)4(0,28),0,7⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）7．(1)211322y x x =--+；（－3，0） (2)316(3)存在，M （0，6）或M （0，－6）8．(1)223y x x =--(2)23（，）-(3)存在，16--（，）或10（，）或50（，）9．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分10．(1)223y x x =--； (2)94；(3)存在点Q ，点Q 的坐标为（0，2-0，2-11．(1)234y x x =--(2)(1，-6)(3)存在，点Q 的坐标为（1，-4）或（1，-6）12．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）13．(1)抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)⊥l =3n 2-15n +36（0＜n ≤4）；⊥当n =52时，l 的值最小．14．(1)-1；4(2)⊥y ＝−12x −1；(3)（211−3）15．(1)抛物线的解析式为2144y x =-+；(2)点P 的坐标为(1)(3)PEF 周长C 的取值范围为4<C ≤10+16．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在，74m =17．(1)22y x x =+-(2)(3)线段PQ 存在最大值，此时点P 坐标为()1,2-- 18．(1)215236y x x =--+ (2)3(,0)219．(1)239344y x x =-++ (2)DE AE 的最大值为45 (3)存在，1725,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或107875,33363⎛⎫ ⎪⎝⎭20．(1)213442y x x =-- (2)⊥2124DF m m =-+；⊥点D 的坐标为（2，-6）或（6，-4）。
二次函数综合题类型一线段、周长、面积问题1.如图，直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．3.已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A（2，0）、B（-4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．类型二存在性问题5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．7.如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．类型三角相等问题8.如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）∵直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（-1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，-t2+t+），则D（t，-t+），∴DM=-t2+t+-（-t+）=-t2+t=-（t-）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2.【答案】解：（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5∴C（0，5）y=-5x+5=0时，解得：x=1∴A（1，0）∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，∴解得：，∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B（5，0）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB=5-1=4，OC=5∴S△ABC=AB•OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5∴S△ABM=AB•MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18∴当m=3，即M（3，-4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD，∴BD=5-4=1∵AB=4，BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为.【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值．（1）由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD=1，进而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD=AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．3.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx-4经过点A（2，0），B（-4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中-4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，-4），∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=+，=4-2x-x2-2x+8，=-x2-4x+12，=-（x+2）2+16．∵-1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y=-4，即P（-2，-4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（-2，-4）．（3），∴顶点M（-1，-）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A（2，0），M（-1，-），∴，∴直线AM的解析式为y=-3．在Rt△AOC中，=2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE=5，∴OE=AE-AO=5-2=3，∴E（-3，0），由图可知D（1，-2）设直线DE的函数解析式为y=mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y=--．∴，解得：，∴G（）．【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；（2）连接OP，由S=S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．4.【答案】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2-3ax-4a得：-4a=2．解得a=-．则该抛物线解析式为y=-x2+x+2．由于y=-x2+x+2=-（x+1）（x-4）．故A（-1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴=．∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD=2-1=1．∴=EG．设BC所在直线的解析式为y=mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y=-x+2．设E（t，-t2+t+2），则G（t，-t+2），其中＜t＜4．∴EG=（-t2+t+2）-（-t+2）=-（t-2）2+2．∴=-（t-2）2+2．∵＜0，∴当t=2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．【解析】（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．5.【答案】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即：-8a=-2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，设点D（x，0），则点P（x，x2+x-2），点E（x，x-2），∵PE=OD，∴PE=（x2+x-2+x+2）=（-x），解得：x=0或-5（舍去x=0），即点D（-5，0）S△PBE=×PE×BD=（x2+x-2+x+2）（-4-x）=；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM的情况，BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，则x M=，故点M（，-）．【解析】（1）点A（2，0）、点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a （x2+2x-8），即可求解；（2）PE=OD，则PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：点D（-5，0），利用S△PBE= PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；（3）BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6.【答案】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（-2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（-2，6），把A（-2，6）和B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；（2）①∵A（-2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=-2x+2，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），∵PE=DE，∴-x2-3x+4-（-2x+2）=（-2x+2），x=1（舍）或-1，∴P（-1，6）；②∵M在直线PD上，且P（-1，6），设M（-1，y），∴AM2=（-1+2）2+（y-6）2=1+（y-6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y-6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（-1，3+）或（-1，3-）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y-6）2，y=-1，∴M（-1，-1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y-6）2+45=4+y2，y=，∴M（-1，）；综上所述，点M的坐标为：∴M（-1，3+）或（-1，3-）或（-1，-1）或（-1，）．【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．7.【答案】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；（2）如图1，连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=-x+4，设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[-x2+3x+4-（-x+4）]=-2x2+8x=-2（x-2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，-x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴-x2+3x+4=±4，当-x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当-x2+3x+4=-4时，解得：x3=，x4=，∴P3（，-4），P4（，-4）；②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，-4），P4（，-4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解，即可求得答案.结合平行四边形的情况分析即可得到矩形的情况.8.【答案】解：（1）将点A（-1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y=mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y=mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+，∴点D的坐标为：（，），将x=代入y=-x+4，即y=-+4=，∴点E的坐标为：（，），∴DE=-=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，由DE=PF得：-t2+4t=，解得：t1=（不合题意舍去），t2=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED=∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴=，∵C（0，4）、E（，），∴CE==，由（2）得：DE=，PF=-t2+4t，F的坐标为：（t，-t+4），∴CF==t，∴=，∵t≠0，∴（-t+4）=3，解得：t=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为：（，）．【解析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED=∠CFP，当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则=，得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入得-3a=1，解得：a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=-，∴直线BC的解析式为y=-x+1．设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1）∴PD=（-x2+x+1）-（-x+1）=-x2+x，∴S△PBC=OB•DP=×3×（-x2+x）=-x2+x．又∵S△PBC=1，∴-x2+x=1，整理得：x2-3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．如图：∵A（-1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=-x与x=1的交点，即M（1，-1），∴Q的坐标为（1，-1-）.【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=-x+1，设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=-x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．10.【答案】解：（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，，解得∴y=-x+3，设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1，M（a，-a+3），DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴=，∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=DM∴DE=-a2+a=-（（a-2）2+，当a=2时，DE取最大值，最大值是，（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，∵点F为AB的中点，∴OF=，tan∠CFO==2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2，①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE==2，∴BG=10，∵△GBH∽BCO，∴==，∴GH=8，BH=6，∴G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，∴，解得∴直线CG的解析式为y=x+3，∴，解得x=，或x=0（舍）．②若∠CDE=∠CFO，同理可得BG=，GH=2，BH=，∴G（，2），同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，∴，解得x=或x=0（舍），综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．。
类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．(1)求线段AB的长；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.(1)求直线AC的解析式；(2)求△PQD周长的最大值；(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．第2题图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．第3题图4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋163.(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋34NB )的最小值．第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－33x 2－3x ＋433交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．第5题图6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G .(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋45QB 最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝152，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．第6题图答案1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3，∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32＋32＝32， ∴线段AB 长为3 2.(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m ，∴PG ＝FG ＝22PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2－3m )＝－(2＋1)(m ＋32)2＋9（2＋1）4， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）4.2. 解：(1)令y ＝0，x 2－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝13PD ，设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)，C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝5＋2＋33，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第2题解图① 第2题解图②3. 解：(1)y ＝x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，则A (－1，0)，B (3，0)；(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，故PQ BQ ＝BC CD ＝322＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2－2x －3.∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2＋2x ＋3＝3(3－x )，整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．第3题解图①(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝12DG ＝2＋3，∴线段DF 的长的最小值为2＋ 3.第3题解图②4. 解：(1)在y ＝89x ＋163中，令x ＝0，则y ＝163，令y ＝0，则x ＝－6，∴B (0，163)，A (－6，0)，把B (0，163)，A (－6，0)代入y ＝ax 2＋bx －a －b 得⎩⎪⎨⎪⎧36a －6b －a －b ＝0－a －b ＝163，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－89b ＝－409，∴抛物线的函数关系式为y ＝－89x 2－409x ＋163，令y ＝0，则－89x 2－409x ＋163＝0，∴x 1＝－6，x 2＝1， ∴C (1，0)；(2)∵点M (m ，0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，如解图①，∴D (m ，89m ＋163)，当DE 为等腰三角形的底时，作BG ⊥DE 于G ，则EG ＝GD ＝12ED ，GM ＝OB ＝163，∵DM ＋DG ＝GM ＝OB ，∴89m ＋163＋12(－89m 2－409m ＋163－89m －163)＝163， 解得：m 1＝－4，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴当m ＝－4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；第4题解图①ⅰ：存在，∵ON ＝OM ′＝4，OB ＝163，∵∠NOP ＝∠BON ，∴当△NOP ∽△BON 时，OP ON ＝NP NB ＝ON OB ＝34，∴NPNB不变， 即OP ＝34ON ＝34×4＝3，∴P (0，3)ⅱ：如解图②，N 在以O 为圆心，4为半径的半圆上，由(ⅰ)知，NP NB ＝OP ON ＝34，∴NP ＝34NB ，∴(NA ＋34NB )的最小值＝NA ＋NP ，∴此时N ，A ，P 三点共线，∴(NA ＋34NB )的最小值＝32＋62＝3 5.第4题解图②5. 解：(1)令y ＝0，则－33x 2－3x ＋433＝0，解得x ＝－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)， 令x ＝0，则y ＝433，∴C (0，433)，当x ＝－5时，y ＝－2533＋53＋433＝－23，∴点D 坐标(－5，－23)，设直线BD 解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧－5k ＋b ＝－23k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝－33，∴直线BD 的解析式为y ＝33x －33. (2)如解图①中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F (m ，－33m 2－3m ＋433)，第5题解图①∴tan ∠ABD ＝33， ∴∠ABD ＝30°，∴EF ＋EB ＝－33m 2－3m ＋433－(33m －33)＋2(33－33m )＝－33(m ＋3)2＋1633， ∴m ＝－3时，EF ＋EB 的值最大，此时点E 坐标(－3，－433)，如解图②，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，第5题解图②∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP ＝PM ，E 、N 关于y 轴对称，∴QE ＝QN ，∴OP ＋PQ ＋QE ＝PM ＋PQ ＋QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP ＋PQ ＋QE 最小，最小值为MN 的长，在Rt △MNE 中，MN ＝EM 2＋EN 2＝（433）2＋62＝2933.∴OP ＋PQ ＋QE 的最小值为2933.(3)如解图③中，作O ′M ⊥BD 于M ，BD ＝（1＋5）2＋（23）2＝43，设O ′B ＝a ，则O ′M ＝12a ，BM ＝32a ，DM ＝BD －BM ＝43－32a ，第5题解图③∵∠O ′DM ＝∠C ″BO ′，∠O ′MD ＝∠BO ′C ″＝90°， ∴△O ′MD ∽△C ″O ′B ， ∴O ′M O ′C ″＝DM BO ′， ∴12a 433＝43－32aa ，∴a 2＋4a －32＝0，解得a ＝4或－8(舍去)， ∴C ″坐标为(－3，－433)．6. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43的对称轴－b 2a ＝ 3 ①，点E (23，0)在抛物线上，则(33)2a ＋33b ＋43＝0 ②， 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－439b ＝83，则抛物线的解析式为y ＝－439x 2＋83x ＋43， 又点C (0，43)，E (23，0)， 设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎨⎧0＋b ＝43，23k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝－2x ＋4 3. (2)由抛物线y ＝－439x 2＋83x ＋43知，当x ＝23时，y ＝43， 则点P 的坐标为(23，43)， 根据对称性得A (－3，0)， 由y ＝－2x ＋43知，当x ＝3时，y ＝23，F (3，23)， 直线AF 的解析式为：y ＝x ＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－439x 2＋83x ＋43y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝934y ＝1334，点G 的坐标为(934，1334)．由sin ∠OBC ＝OC BC ＝4353＝45，∴当QG ⊥x 轴时，QG ＋45QB 最小，∵直线BC 的解析式为y ＝－43x ＋43，∴当x ＝934时，y ＝3，∴点Q (934，3)．如解图，过点P 作PK ∥MN ，取PK ＝MN ＝152， 则四边形PMNK 是平行四边形，∴四边形PQNM 的周长＝PM ＋MN ＋NQ ＋PQ ＝NK ＋MN ＋NQ ＋PQ ，由于MN 、PQ 的值不变，所以只需NK ＋NQ 最短，所以作K 关于直线CE 的对称点K ′，连接K ′Q ，交CE 于N ，即当K ′、N 、Q 三点共线时，四边形PQNM 的周长最短．∵P 的坐标为(23，43)，PK ＝152，PK ∥CE ， ∴K 点横坐标x k ＝23＋152cos ∠CEO ＝23＋32＝532， K 点纵坐标为y k ＝43－152sin ∠CEO ＝43－152×255＝33，∴K (532，33)，∵直线KK ′与直线CE 垂直， ∴设直线KK ′的解析式为y ＝12x ＋b ，则12×532＋b ＝33，解得b ＝734， ∴直线KK ′为：y ＝12x ＋734，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋734y ＝－2x ＋43，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9103y ＝1153，则KK ′与CE 交点坐标为(9310，1135)，由对称特点可得K ′的横坐标为9310×2－532＝－7310，K ′的纵坐标为1135×2－33＝735， ∴K ′(－7310，735)，由Q (934，3)，设直线K ′Q 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－7310k ＋b ＝735934k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－859b ＝77359，∴直线K ′Q 的解析式为y ＝－859x ＋77359，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋43y ＝－859x ＋77359 ，解得x ＝1593110，则N 点的横坐标为1593110.第6题解图。
