2019年上海成人高考专升本高等数学一真题及答案

学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→O时，x+x2+x3+x4为x的（）。

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小2.limx→∞�1+2x�x=（）。

A.-e2B.-eC.eD.e23.设函数y=cos2x，则y′=（）。

A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a.b)可导，f′(x)>0,f(a)f(b)<0，则在(a.b)内零点的个数为（）。

A.3B.2C.1D.05.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=（）。

A.0B.2C.x2D.x2+C6.设函数f(x)=arctan x，则∫f′(x)dx=（）。

A.−arctan x+CB.−11+x2+CC.arctan x+CD.11+x2+C7.设I1=∫x2dx10,I2=∫x3dx110,I3=∫x4dx10，则（）。

A.I1＞I2＞I3B.I2＞I3＞I1C.I3＞I2＞I1D. I1＞I3＞I28.设函数z=x2e y，则∂z∂x�(1,0)=（）。

A.0B.12第 1 页，共 6 页2/25C.1D.29.平面x +2y −3z +4=0的一个法向量为（ ）。

A.{1,−3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,−3}D.{2,−3,4}10.微分方程y ′′+(y ′)3+y 4=x 的阶数为（ ）。

A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（11-22小题，每小题4分，共40分）11.lim x→0tan 2x x = 。

2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）本卷共22道，分150分考120分第Ⅰ卷（共110分）一、填空（本大分48分）本大共有12，只需求直接填写果，每个空格填得分，否一律得零分1．函数y sinxcos(x ) cosxsin(x )的最小正周期T= .4 42．若x 是方程2cos(x ) 1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2, a4+a5+⋯+a10=4．已知定点A（0，1），点B在直x+y=0上运，当段 AB最短，点B的坐是5．在正四棱P—ABCD中，若面与底面所成二面角的大小60°，异面直PA与BC所成角的大小等于.（果用反三角函数表示）6．会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 会合{x|x∈A且x A B}= .7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,∠ABC=（.果用反三角函数表示）8．若首a1，公比q的等比数列{a n}的前n和小于个数列的各和，首a1，公比q的一取能够是（a1，q）= .9．某国科研合作目成由11个美国人、4个法国人和5此中国人成.从中随机出两位作成就布人，此两人不属于同一个国家的概率 .（果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（果精准到）111．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，n n n则limS n=.nx2y212．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距1620离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).C．y sin(x ). D．y |ctg x|.2 214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N(1,1)四点中，函数y a x的图象与其反函24数的图象的公共点只可能是点（）A．P．B．Q. C．M. D．N.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令 g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=1，0<b<2,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象对于y轴对称D．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）已知函数f(x)11x，求函数f(x)的定义域，并议论它的奇偶性和单一性. x log21x58分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.本4题结果精准到米）65分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.722．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C21a3C22,a1C30a2C31a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列{a n}的前n项和，求：S1C n0S2C n1S3C n2S4C n3(1)n S n1C n n82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π.2．4.3．－49.4．(1,1).5．arctg2.6．[1,3].3227．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1sin cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.39故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=8 3.x0,x 01x1,19．[解]x须知足1x由1得1x1x所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数f(x)的定义域对于原点对称，且对定义域内的随意x，有f(x)1log21x(1log21x)f(x)，所以f(x)是奇函数.x1x x1x研究f(x)在（0，1）内的单一性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2，则f(x1)f(x2)1log2 x1 (11)由1x1x2 10,log2(2x1x21x21x111x21x1x2log21x2[log2(21)log2(21)],1x21x11)log2(21)0,1x1得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单一递减，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单一递减.20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），椭圆方程为x2y21.a2b2将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b210因为1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S lh ab99.422当S取最小值时,有112211192 a2b2,得a2,b22此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得11221.281a2, 22a22于是b4a2a b b121a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212 Sa2,121得a112,b92.以下同解一.2|AB|2|OA|2221．[解]（1）设AB{u,v},则由|AB|,即u v100得|OA|04u3v0,u6或u6因为OB OA AB{u4,v3},v ,v. 88所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y1x.2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）对于直线OB的对称点为（x,y）则x32y1212,得x1,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10y2y3 x311（3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上对于直线OB 对称两点，则x 1x 2y 1y 20 x 1x 22222,得a ,y 1 y 252x 1x 22ax 1 x 22a 2即x 1,x 2为方程x 22x 5 2a0的两个相异实根,a2a 2于是由4 45 2a0,得a3.a 22a 22故当a 3时，抛物线y=ax 2－1上总有对于直线OB 对称的两点.212。

成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。

答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．（共三套及参考答案）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分8分)22．(本题满分8分)设y=x+arctanx，求y'．23．(本题满分8分)24．(本题满分8分)计算25．(本题满分8分)26．(本题满分10分)27．(本题满分10分)28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法1将所给表达式两端关于x求导，可得从而解法2将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法1解法2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．【解题指导】计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．【解题指导】28．【解析】所给曲线围成的图形如图8—1所示．2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4，5}， {3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ． 【解答】解：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ． 【解答】解：由2(0)y x x =>解得x =，1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【解答】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴===故答案为：6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ．【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：6(x+展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB =．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【解答】解：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，||||AQ CP +=，当且仅当a =11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【解答】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P …，2221x y ∴-+…，结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π故答案为：1[arccos 3π-，]π12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t a λ+…；当9a t =+时，t a λ…，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t a λ+…，当4a t =+时，1t a λ+…，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+…，当1a t =+时，t a λ…，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t a λ+…，当9a t =+时，4t a λ+…，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错． 故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解答】解：因为11|1|r a =-=21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=， 所以121y y =， 则12(12)(12)1a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解答】解：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==，AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴==．∴11333224P ABC V -=⨯=．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=， 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q -=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增， 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t …时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =， 抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+2122m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-==，由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合{S =，0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin10S π=，1，sin}10π-满足题意． ④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．。

上海专升本历年高等数学-真题本文档收集了上海专升本历年的高等数学真题，旨在帮助考生进行备考准备。

以下是部分真题的概述和相关考点介绍。

真题概述1. 2015年真题- 考题内容：微分方程、数列、级数、概率分布、多元函数等- 考试形式：选择题、计算题、证明题- 考试难度：适中2. 2016年真题- 考题内容：函数、极限、导数、积分、曲线、平面几何等- 考试形式：选择题、计算题、应用题- 考试难度：较难3. 2017年真题- 考题内容：三角函数、数列、级数、导数、微分、积分等- 考试形式：选择题、填空题、计算题、证明题- 考试难度：中等偏难4. 2018年真题- 考题内容：导数、微分、积分、空间解析几何、数列等- 考试形式：选择题、填空题、证明题、应用题- 考试难度：适中5. 2019年真题- 考题内容：函数、极限、微分、积分、曲线与曲面、多元函数等- 考试形式：选择题、计算题、证明题、应用题- 考试难度：较难考点介绍1. 微分方程：包括一阶微分方程、二阶线性微分方程和常系数齐次线性微分方程等。

2. 数列与级数：涉及数列的表示、求和、极限等概念与性质。

3. 函数与极限：包括函数的定义与性质、连续性、极限存在性等。

4. 导数与微分：涉及导数的定义与性质、基本导数公式、微分的概念与应用等。

5. 积分与应用：包括定积分、不定积分、面积、曲线长度等的计算与应用。

6. 曲线与曲面：涉及曲线、曲面的方程、性质、参数方程等内容。

7. 空间解析几何：涉及点、直线、平面的位置关系、投影、距离公式等。

8. 多元函数：包括多元函数的偏导数、梯度、极值、条件极值等。

注意：以上为一些主要的考点和内容概述，并不完整，考生应综合参考历年真题进行备考。

2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷(选择题.共40分)一、选择题(1-10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.的（）为时，当x x x x x x 4320+++→A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小2.（）=+∞→x x x )21(lim A.2e -B.-eC.eD.e ²3.设函数y=cos2x ， 则（）='yA.2sin2xB.-2sin2xC. sin2xD.-sin2x4.设函数()x f 在[a,b]上连续.在(a.b)可导,()()(),0,0<>'b f a f x f 则()x f 在(a,b)内零点的个数为 （ ） A.3 B.2 C.1 D.05.设2x 为f(x)的一个原函数.则f(x)=A.0B.2C.x ²D.x ²十C6.设函数(),arctan x x f =则()()='⎰dx x fA. -arctanx+CB.C x ++-211C.arctanx+CD.C x ++2117.设dx x I dx x I dx x I ⎰⎰⎰===143132121,,.则（ ）A.321I I I >>.B.132I I I >>C.123I I I >>D.231I I I >>8.设函数y e x z 2=，则()()=∂∂0,1x zA.0B.21C.1D.29.平面x 十2y-3z+4=0的一个法向量为（ ） A.{1，-3,4} B.{1,2,4}C.{1,2，-3}D.{2，-3,4}10.微分方程()x y y y y =+'+'43的阶数为（ ）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题(11-20小题，每小题4分，共40分)11.=→x xx 2tan lim 0 。

2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）本试卷共 22道题，满分 150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只需求直接填写结果，每个空格填对得分，不然一律得零分1．函数ysinxcos(xcosxsin(x)的最小正周期T=.442．若x是方程2cos(x)1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2,则a4+a5++a10=4．在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短2时，点B的极坐标是5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）6．设会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0},则会合{x|x∈A且x AB}=.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=.（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a1，公比为q的等比数列{a n}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值能够是（a1，q）=.9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5此中国人构成.现从中随机选出两位作为成就公布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精准到）11．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面n n n积，则limS n=n112．给出问题：F1、F2是双曲线x2y2=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距162 0离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|.B．y=cos(－x).C．ysin(x).D．y|ctg x|.2214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为会合M和N，那么“a1b1c1”是“M=N”的（）a2b2c2A．充足非必需条件.B．必需非充足条件.C．充要条件D．既非充足又非必需条件.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根.D．若a≥1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C12a3C22,a1C30a2C13a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明 .520．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.此题结果精准到4米）621．（此题满分16分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.7（22．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知会合M 是知足以下性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对随意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.1）函数f(x)=x能否属于会合M？说明原因；2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；3）若函数f(x)=sinkx∈M,务实数k的取值范围.82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）4.3．－49.4．(236．[1,3].1．π.2．,).5．arctg2.3247．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1s in cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，由于B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又由于直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.3故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为S ABCD·BB1=8 3.919．[解]（1）a1C20a2C21a3C22a12a1qa1q2a1(1q)2,a1C30a2C31a3C32a4C33a13a1q3a1q2a1q3a1(1q)3.2）归纳归纳的结论为：若数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，则0123(1)n n n为正整数.a1C n a2C n a3C n a4C n a n1C n a1(1q),n 证明:a1C n0a2C n1a3C n2a4C n3(1)n a n1C n na1C n0a1qC n1a1q2C n2a1q3C n3(1)n a1q n C n na1[C n0qC n1q2C n2q3C n3(1)n q n C n n]a1(1q)n20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），x2y21.椭圆方程为2b2a将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）[解一]由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b2由于1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S4lh ab99.22当S取最小值时,有11221,得a112,b92a2b222此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得1122 1.于是b281a2, a2b2a2b24a212110a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212Sa2,121得a112,b92.以下同解一.211。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4，5}， {3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ． 【解答】解：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ． 【解答】解：由2(0)y x x =>解得x =，1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【解答】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴===故答案为：6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ．【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．（5分）在6(x+的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：6(x+展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB =．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【解答】解：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，||||AQ CP +=，当且仅当a =11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【解答】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P …，2221x y ∴-+…，结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π故答案为：1[arccos 3π-，]π12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t a λ+…；当9a t =+时，t a λ…，即(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t a λ+…，当4a t =+时，1t a λ+…，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+…，当1a t =+时，t a λ…，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t a λ+…，当9a t =+时，4t a λ+…，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错． 故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．16．（5分）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解答】解：因为11|1|r a =-=21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=， 所以121y y =， 则12(12)(12)1a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解答】解：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==，AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴==．∴11333224P ABC V -=⨯=．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=， 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q -=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增， 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t …时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =， 抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+2122m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-==，由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合{S =，0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin10S π=，1，sin}10π-满足题意． ④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ． 5．（4分）设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩,当方程有无穷多解时,a 的值为 ． 7．（5分）在6(x+的展开式中,常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数12y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称,若有121F P F P …,则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[A t =,1][4t t ++,9]t +,0A ∉,存在正数λ,使得对任意a A ∈,都有A aλ∈,则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13．（5分）下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图,在正三棱锥P ABC -中,2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ；（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时,求()d P ；（2）证明：存在常数a ,使得2()||d P PF a =+；（3）1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足s i n ()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==,求集合S ；（2）若12a π=,求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = {3,5} ．【解答】解：集合{1A =,2,3,4,5}, {3B =,5,6}, {3AB ∴=,5}．故答案为：{3,5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ． 【解答】解：由|1|5x +<得515x -<+<,即64x -<< 故答案为：{6-,4)．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ． 【解答】解：由2(0)y x x =>解得x =, 1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>5．（4分）设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为【解答】解：由365z i i -=+,得366z i =+,即22z i =+, ||||z z ∴===故答案为：6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩,当方程有无穷多解时,a 的值为 2- ．【解答】解：由题意,可知： 方程有无穷多解,∴可对①2⨯,得：442x y +=-．再与②式比较,可得：2a =-． 故答案为：2-． 7．（5分）在6(x+的展开式中,常数项等于 15 ．【解答】解：6(x+展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =, 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB【解答】解：3sin 2sin A B =,∴由正弦定理可得：32BC AC =, ∴由3AC =,可得：2BC =,1cos 4C =, ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯,∴解得：AB =．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里,连续的2天,一共有4种,剩下的3人排列,故有33424A =种, 故答案为：24．10．（5分）如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数12y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a【解答】解：由题意得：P点坐标为,)a,Q点坐标为(a,||||AQ CP+=,当且仅当a=,取最小值,11．（5分）在椭圆22142x y+=上任意一点P,Q与P关于x轴对称,若有121F P F P…,则1F P与2F Q的夹角范围为1[arccos3π-,]π．【解答】解：设(,)P x y,则Q点(,)x y-,椭圆22142x y+=的焦点坐标为(,0),0),121F P F P…,2221x y∴-+…,结合22142x y+=可得：2[1y∈,2]故1F P与2F Q的夹角θ满足：222122212238cos3[122(F P F Q yy yF P F Q xθ-====-+∈-++,1]3-故1[arccos3θπ∈-,]π故答案为：1[arccos3π-,]π12．（5分）已知集合[A t=,1][4t t++,9]t+,0A∉,存在正数λ,使得对任意a A∈,都有A aλ∈,则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时,当[a t ∈,1]t +时,则[4t aλ∈+,9]t +,当[4a t ∈+,9]t +时,则[t aλ∈,1]t +,即当a t =时,9t a λ+…；当9a t =+时,t a λ…,即(9)t t λ=+；当1a t =+时,4t a λ+…,当4a t =+时,1t a λ+…,即(1)(4)t t λ=++,(9)(1)(4)t t t t ∴+=++,解得1t =．当104t t +<<+时,当[a t ∈,1]t +时,则[t aλ∈,1]t +．当[4a t ∈+,9]t +,则[4t aλ∈+,9]t +,即当a t =时,1t aλ+…,当1a t =+时,t a λ…,即(1)t t λ=+,即当4a t =+时,9t a λ+…,当9a t =+时,4t a λ+…,即(4)(9)t t λ=++,(1)(4)(9)t t t t ∴+=++,解得3t =-．当90t +<时,同理可得无解． 综上,t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13．（5分）下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ,2x y =的值域为(0,)+∞,故A 错B ,y =的定义域为[0,)+∞,值域也是[0,)+∞,故B 正确．C ,tan y x =的值域为(,)-∞+∞,故C 错D ,cos y x =的值域为[1-,1]+,故D 错． 故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：22a b >等价,22||||a b >,得“||||a b >”,∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件,故选：C ．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1,可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2,可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3,可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．16．（5分）以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解答】解：因为11|1|r a =-=则21112y a =-,同理可得22212y a =-, 又因为120lny lny +=, 所以121y y =, 则12(12)(12)1a a --=, 即12122a a a a =+, 则12112a a +=,设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2x y +=为直线,故选：A ．三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图,在正三棱锥P ABC -中,2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解答】解：（1）M ,N 分别为PB ,BC 的中点,//MN PC ∴, 则PCA ∠为AC 与MN 所成角, 在PAC ∆中,由2PA PC ==,AC ,可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==,AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线,垂直为O ,则O 为底面三角形的中心, 连接AO 并延长,交BC 于N ,则32AN =,213AO AN ==．PO ∴==．∴11333224P ABC V -=⨯=．18．（14分）已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ；（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=,4d ∴=, 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q -=-,lim n n S →∞存在,11q ∴-<<,∴lim n n S →∞存在,11q ∴-<<且0q ≠,∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--, ∴3121q <-,34q ∴<,10q ∴-<<或304q <<, ∴公比q 的取值范围为(1-,0)(0⋃,3)4．19．（14分）改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数,且 6.44200.11360t y e -=>, 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增, 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+,解得50.68t >,∴当51t …时,我国卫生总费用超过12万亿,∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时,求()d P ；（2）证明：存在常数a ,使得2()||d P PF a =+；（3）1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ,8(1,)3P --,84323PFk ==,PF 的方程为4(1)3y x =-,代入抛物线的方程,解得14Q x =, 抛物线的准线方程为1x =-,可得10||3PF ==, 15||144QF =+=,||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时,2()||2222a d P PF =-=⨯-=, 设(1,)P P y -,0P y >,:1PF x my =+,则2P my =-,联立1x my =+和24y x =,可得2440y my --=,2Q y m ==+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+ 2122m +-=-=,则存在常数a ,使得2()||d P PF a =+； （3）设11(1,)P y -,22(1,)P y -,33(1,)P y -,则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-==,由221313[()16]28y y y y -++=-,2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->,则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足s i n ()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==,求集合S ； （2）若12a π=,求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==,集合{S =． （2）12a π=,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素,如图：根据三角函数线,①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时,集合S 恰好有两个元素,此时d π=,②1a 终边落在OA 上,要使得集合S 恰好有两个元素,可以使2a ,3a 的终边关于y 轴对称,如图OB ,OC ,此时23d π=, 综上,23d π=或者d π=．（3）①当3T =时,3n n b b +=,集合1{S b =,2b ,3}b ,符合题意． ②当4T =时,4n nb b +=,sin(4)sin n na d a +=,42n n a d a k π+=+,或者42n n a d k a π+=-,等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,故42n n a d a k π+=+,2k d π=,又1k ∴=,2 当1k =时满足条件,此时{S =-,1,1}-．③当5T =时,5n n b b +=,sin(5)sin n n a d a +=,52n n a d a k π+=+,或者52n n a d k a π+=-,因为(0d ∈,]π,故1k =,2． 当1k =时,{sin10S π=,1,sin}10π-满足题意． ④当6T =时,6n n b b +=,sin(6)sin n n a d a +=,所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3．当1k =时,S =,满足题意． ⑤当7T =时,7n n b b +=,sin(7)sin sin n n n a d a a +==,所以72n n a d a k π+=+,或者72n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3当1k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,227d m n ππ==-,7m n -=,7m >,不符合条件． 当2k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,247d m n ππ==-,m n -不是整数,不符合条件． 当3k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=或者4π,267d m n ππ==-,或者467d m n ππ==-,此时,m n -均不是整数,不符合题意．综上,3T ,4,5,6．。