201X年中考数学总复习 第一部分 基础知识复习 第6章 圆 第1讲 圆的有关概念及性质课件

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

几何部分第六章：圆知识点：一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。

心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

中考圆知识点总结复习圆是数学中重要的基本概念之一，也是我们日常生活中经常遇到的形状。

在中考数学中，圆的知识点是不可避免的，掌握好圆的相关知识对于中考数学的考试至关重要。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结复习，希望对同学们的复习有所帮助。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：在平面上的所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定的点叫作圆心，这个相等的距离叫作圆的半径。

2. 直径、半径和周长的关系：圆的直径是通过圆心的两个相对的点之间的线段，它等于半径的两倍，周长等于直径的π倍或者半径的两倍π。

二、圆的性质1. 圆心角的性质：圆内切于同一弧上的两条弦所对圆心的两个角是相等的，当圆心角的度数是180°时，这两条弦构成的角是直角。

2. 圆周角的性质：位于圆的同一弧上的两条弦所对的圆周角相等。

3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和等于180°。

4. 弦长定理：圆内一条弦和它所对的两个圆周角的性质。

5. 弦切定理和切割定理：切割定理：切线与过切点作直径的两个弧所对的圆周角等于90°。

三、圆的相关计算1. 圆的周长和面积的计算公式：周长C=2πr面积S=πr²2. 圆的内、外接正多边形的周长和面积的计算四、圆的位置关系1. 圆的位置关系的判定：“点和圆的位置关系”、“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”。

五、圆的几何变换1. 圆的平移、旋转、对称的基本概念。

2. 圆的平移、旋转、对称的性质。

六、圆的应用.1. 圆的应用在实际生活和工作中运用。

2. 圆在建筑、设计、制图中的应用。

3. 圆的运动的应用。

七、典型例题解析1. 利用圆的数学知识解决问题的方法。

2. 典型例题的解题思路和方法。

3. 典型例题的解题技巧和技巧。

八、练习题1. 适当安排时间，每天复习一定的题目，加深对知识点的理解和掌握。

2. 定期进行模拟考试，检测自己对圆的知识点的掌握情况。

3. 及时总结巩固，弥补知识点的不足。

中考圆形知识点总结归纳圆形是中学数学中一个重要的几何概念，在中考中也是一个常见的考点。

本文将对中考中涉及到的圆形知识进行总结和归纳，帮助考生复习和掌握这一部分内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上任意一点到另一点的距离都相等的点的集合。

其中，距离相等的这个固定值称为圆的半径，用字母r表示。

圆心是圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。

二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离都等于圆的半径。

2. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，且圆心角所对的弧长等于圆的半径乘以圆心角的弧度值。

3. 相等弧所对的圆心角是相等的。

4. 圆的内切正多边形的中心与圆心重合。

三、弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边是相交于圆上的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数。

2. 弦：圆内部连接两点的线段称为弦。

弦分割出的两条弧叫做弦所对的弧。

3. 弧长：指圆上的一段弧所对应的圆周长度。

弧长等于圆心角的弧度值乘以圆的半径。

四、相交弦与切线的性质1. 相交弦定理：相交弦所对的弧相等，或者说两个相交弦所对应的圆心角相等。

2. 切线的性质：切线与半径的垂直分割线。

切线于半径的交点处所对应的圆心角为直角。

五、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C为圆的周长。

六、圆的应用1. 圆的切线与圆的性质：切线与切点间的弦相等，切线切割出的小圆与大圆相似。

2. 弧长与扇形面积：扇形面积等于扇形所对的圆心角的弧长所占整个圆的比例乘以圆的面积。

总结：通过对中考圆形知识点的总结和归纳，我们可以看到，圆形在中考中的考点比较多，涉及到圆的基本概念、性质、弧、相交弦与切线的性质、面积和周长以及应用等方面的内容。

对于考生而言，要牢固掌握圆的基本概念和性质，熟练运用相关公式和定理，灵活应用于解题过程中。

只有通过不断的实践和练习，才能在考试中熟练运用所学的圆形知识，取得好的成绩。

中考圆知识点总结复习圆是初中数学中重要的一章，所以复习圆的知识点是中考复习的重点之一、下面是关于圆的相关知识点的总结复习。

1.圆的定义与要素圆是指平面上到一点距离等于固定的一点的所有点的集合。

在一个圆中，距离固定点（圆心）的距离叫做半径，而连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径。

圆上的任意一段弧称为弦，弦的中点称为弦的中点。

2.圆的性质(1)圆上的任意一条弦都小于等于圆的直径。

(2)如果两条弦等长，则它们所对应的弧相等。

(3)圆上的两个相邻的弧所对应的圆心角相等。

(4)圆上任意两条弦所对应的圆心角一定小于等于180°，当且仅当两条弦所对应的圆心角相等时，这两条弦等长。

(5)在同一个圆或等圆上，圆心角相等的弧相等，弦长相等的圆心角相等。

3.圆的证明(1)两个平行弦所对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个圆心与平行弦的中点，用平行线性质证明两个等腰三角形的两个底角相等。

(2)相等弧的圆心角相等。

证明方法：用反证法，假设相等的弧对应的圆心角不相等，然后利用圆周角的性质推导出矛盾。

(3)等腰三角形的底角对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个顶点与圆心，利用等腰三角形的性质证明两个三角形的两个底角相等。

(4)正三角形的顶角对应的圆心角为120°。

4.圆周角和弧度制(1)圆周角：一个圆周角等于360°，半圆角等于180°，直角等于90°。

(2)弧度制：角度制中一个圆周角等于360°，而弧度制中一个圆周角等于2π（即360°=2π）。

5.弧长和扇形面积(1)弧长：一个圆的弧长等于它的圆周角所对应的弧x半径。

弧长公式：弧长=圆周角/360°x2πr(2)扇形面积：一个圆的扇形面积等于它的圆周角所对应的扇形面积。

扇形面积公式：扇形面积=圆周角/360°xπr²6.圆的切线和切点(1)切线：圆上的一条切线与圆的切点只有一个。

中考圆知识点归纳总结中考圆是初中数学中非常重要的一个知识点，也是数学的基础。

掌握了中考圆的相关知识，不仅对于进一步学习数学有很大的帮助，也对于解决实际问题有很大的应用价值。

下面将对中考圆的知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分内容。

1. 圆的基本概念圆是平面上距离一个固定点一定距离的点的集合，这个固定点叫做圆心，这个固定距离叫做半径。

圆通常用字母 O 表示圆心，用字母 r 表示圆的半径。

圆上的任一点到圆心的距离都等于半径，这一点是圆的重要性质之一。

2. 圆的相关线段在圆周上取两点 A、B，连接这两点和圆心 O，得到三条线段，分别是弧 AB、弦 AB 和半径 OB。

弧 AB 是连通 A、B 两点的曲线部分，弦 AB 是圆上连接 A、B 两点的线段，半径OB 是以 O 为端点的一段线段。

圆有很多重要的线段长度关系定理，比如：弦长定理、弦切定理、弦心定理等。

3. 圆的面积和周长圆的周长和面积是圆的重要特征。

圆的周长又叫做圆周长或者圆的周长，通常用字母 C 或者 P 表示，圆周长的计算公式是C=2πr，其中 r 表示圆的半径，π 是一个数学常数，约等于3.14。

圆的面积通常用 S 表示，圆的面积计算公式是S=πr²。

4. 圆中角的度量圆上的角分为圆心角、弧对应角和弦对应角。

圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，弧对应角和弦对应角的度数相等。

圆心角、弧对应角和弦对应角之间有很多重要的关系，比如角度的计算，叠加与相交的等。

5. 圆的切线和切点在圆上一个点处的切线是与这个点的切线有且只有一个交点的直线。

圆上的切线长相等。

切点是与切线有且只有一个公共点的圆上的点。

圆的切线和切点有很多重要的定理，比如切线与半径垂直定理等。

中考圆的知识点比较基础但非常重要，掌握了这些知识对于学生进一步学习数学有很大的帮助。

希望同学们多加练习和实践，加强对中考圆知识点的理解和掌握，提高数学的应用能力。

初三数学圆知识点总结归纳数学是一门重要的学科，其中圆是初三阶段的重点内容之一。

为了帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，本文将对初三数学圆的知识点进行总结和归纳。

下面将从圆的基本性质、圆的相关定理以及圆的应用三个方面进行详细介绍。

一、圆的基本性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，了解圆的基本性质对于理解和解题都非常重要。

1.圆的定义：圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，常用字母O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示；直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。

3.弧与弦：圆上两点之间的线段叫做弦，圆上两点之间的弧是圆上除去弦包含的部分所剩下的弯曲部分。

4.圆周角：以圆心为顶点的角叫做圆周角，圆周角的度数是弧长所对应的圆心角的度数。

二、圆的相关定理熟练掌握圆的相关定理对于解题非常有帮助，下面将介绍常用的圆的定理。

1. 半径相等定理：同一个圆内，所有的半径相等。

2. 弦长定理：在同一个圆上，相等弧所对的弦相等，或者说弦相等所对的弧相等。

3. 切线定理：切线与半径垂直，半径与切线的交点恰好在切点上。

4. 弧度制与角度制转换：1 弧度＝180°/π，1 度＝π/180 弧度。

三、圆的应用圆的知识不仅仅用于理论中，还有很多实际应用场景。

下面将介绍几个常见的应用。

1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S表示面积，r表示半径。

2. 扇形面积：扇形是由圆心、弧和两条半径组成的区域，计算扇形的面积可以使用扇形面积公式S = (θ/360°) × πr^2。

3. 弧长公式：弧长公式为L = rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

4. 圆与三角形的关系：在三角形中，圆的内切圆是三角形内接圆，三角形的外接圆是三角形外接圆。

通过以上对圆的基本性质、相关定理和应用的总结归纳，我们可以更好地理解和掌握圆的知识点。

中考数学圆知识点总结5篇第1篇示例：数学是中考考试的必考科目，而关于圆的知识点在数学中占有非常重要的地位。

掌握了圆的相关知识，不仅能够在中考中取得更好的成绩，也有助于我们理解和运用数学知识。

下面我们来总结一下关于中考数学圆知识点的内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上距离给定点（圆心）的所有点构成的集合，圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆内不经过圆心的线段称为弦，圆内的一段是弦分成的弧，半径的两端和圆上的一点共线，相交于该点的两条切线长度相等等。

二、圆的性质1. 同圆的弦长相等，异圆的弦长不等。

2. 相等圆的半径相等，而且圆周相等。

3. 圆内角、弦的角平分线和半径三者相交于一点。

4. 圆的外接角是对半的，即半径与切线相交于90度，弦与弦的夹角、切线与切线的夹角相等。

5. 内角落在圆弧内的叫做圆心角。

三、圆的相关定理1. 存在唯一的过三点的圆定理（就是圆的唯一性）。

2. 切、割定理（切线与切线、弦、割线各自乘积相等）。

3. 平行/相似判定定理（有什么情况判断两个圆是否平行或相似）。

4. 余弦定理（三角形当中，直角三角形含有的一种特殊情况）。

5. 弦切角定理（描述弦在圆内部与对应的两平行切线的关系）。

6. 余切定理（指两个切线、或一条切线和半径之间的倍率关系）。

7. 切线定理（圆外一点到圆的切线与切点连线的长度之积）。

四、圆的应用1. 圆的相关计算问题：包括求圆周长、面积等。

2. 圆与三角形、正方形/矩形的结合题：针对圆与其他几何形状的相互作用问题。

3. 圆与证明题：利用圆的性质，进行证明题目。

圆的知识点在中考数学中具有非常重要的地位，掌握了圆的相关知识，可以更好地完成相关题目。

在复习中，我们需要通过大量的练习，加深对圆的概念和性质的理解，提高解题的能力和速度。

希望同学们能够认真学习和练习，取得优异的成绩，顺利通过中考。

第2篇示例：中考数学圆知识点总结圆是我们日常生活中常见的几何图形之一，具有许多特殊性质和规律。

第六章圆6.1圆的基本概念与性质1.(2022·辽宁营口)如图,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为 (A)A.4√3B.8C.4√2D.42.(2021·合肥庐江期末)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC.若AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(A)A.5√3B.5√2C.5D.523.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD.连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(C)A.92°B.108°C.112°D.124°4.如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为(A)A.12B.15C.16D.18【解析】∵OD⊥AB,∴AC=BC=12AB=4.设半径OA=OD=x,则OC=x-2.在Rt△AOC中,根据勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AE=10.∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴BE=6,∴S△BCE=12BC·BE=12×4×6=12.5.(2021·四川自贡)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E.若OE=3,OB=5,则CD的长度是(A)A.9.6B.4√5C.5√3D.10【解析】∵OE⊥AC,∴AE=EC.∵OE=3,OA=OB=5,∴AE=√OA2−OE2=4,∴AC=8.∵∠A=∠A,∠AEO=∠AFC,∴△AEO∽△AFC,∴AOAC =EOFC,即58=3FC,∴FC=4.8.∵CD⊥AB,∴CD=2CF=9.6.6.(2022·合肥四十五中一模)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BAC=35°,∠CBD=70°,则∠BCD的度数为75°.【解析】由题得∠BDC=∠BAC=35°,在△BCD中,∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=75°.7.[HK版教材九下P31练习第1题改编]如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OA,OC,OD.若四边形OABC是平行四边形,∠AOD=90°,则∠OCD的度数为15°.【解析】连接OB.∵四边形OABC是平行四边形,OA=OC,∴四边形OABC是菱形,∴OA=AB=BC=OC=OB,∴∠OAB=∠OCB=60°.∵∠AOD=90°,OD=OA,∴∠OAD=∠ODA=45°,∴∠DAB=∠OAD+∠OAB=105°,∴∠BCD=180°-∠DAB=75°,∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=15°.8.(2022·芜湖二模)如图,C,D为☉O的直径AB同侧的两个点,连接AD,BC交于点F,E为直径AB上一点,连接DE交BC于点G,且∠DGF=∠CAB.(1)求证:DE⊥AB;(2)若AD平分∠CAB,求证:BC=2DE.解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠DGF=∠CAB,∠DGF=∠BGE,∴∠BGE+∠CBA=90°,∴∠GEB=90°,∴DE⊥AB.(2)解法1:延长DE交☉O于点H.∵DE⊥AB,∴DH=2DE,BD=BH.∵AD平分∠CAB,∴CD=BD,∴BC=DH,∴BC=DH,∴BC=2DE.解法2:连接OD,交BC于点P.由AD平分∠CAB,OA=OD知OD∥AC.∵AC⊥BC,∴OD⊥BC,∴BC=2BP.易证得△ODE≌△OBP,∴DE=BP,∴BC=2DE.9.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,D为AB的中点,过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E.(1)求证:△ADC∽△DEC;(2)若☉O的半径为3,求CA·CE的最大值.解:(1)∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEC.∵∠ADC=∠ABC,∴∠ADC=∠DEC.∵D为AB的中点,∴∠ACD=∠DCE, ∴△ADC∽△DEC.(2)由(1)知△ADC∽△DEC,∴CACD =CDCE,即CD2=CA·CE.∵☉O的半径为3,∴当CD为直径时,CD最大为6,∴CA·CE=CD2≤62=36,即CA·CE的最大值为36.10.如图,在☉O中,C为弦AB的中点,连接OC,OB,∠COB=56°,D是劣弧AB上任意一点,则∠ADB的度数为(B)A.112°B.124°C.122°D.134°【解析】如图,在优弧AB上取一点P,连接AP,BP,OA.∵AC=BC,∴OC⊥AB,∴OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC=56°,∴∠APB=12∠AOB=56°.∵∠APB+∠ADB=180°,∴∠ADB=180°-56°=124°.11.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则☉O的直径为(B)A.√3B.2√3C.1D.2【解析】过点D作DT⊥AB于点T.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴DC⊥BC.∵DB平分∠ABC,∴DT=CD=1.∵AC=3,∴AD=AC-CD=2,∴AD=2DT,∴∠A=30°,∴AB=2√3.12.[一题多解]如图,点A,B,C在☉O上,CA⊥BD,BA⊥CE,垂足分别为点D,E,延长BD,CE交于点F.若∠BFC=50°,则∠BOC的度数为100°.【解析】由题意,得∠DAE=360°-90°-90°-50°=130°,∴∠BAC=∠DAE=130°.解法1:在优弧BC上取一点M,连接BM,CM,∴∠BMC=180°-∠BAC=50°,∴∠BOC=2∠BMC=100°.解法2:连接OA.∵OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=130°,∴∠BOC=360°-130°-130°=100°.解法1:在优弧BC上取一点M,连接BM,CM,利用圆内接四边形的性质即可求解;解法2:连接OA,利用△AOB,△AOC均为等腰三角形以及四边形内角和为360°即可求解.13.(2021·蚌埠经开区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,过点B 作BF⊥AB交AC的延长线于点F.(1)求证:∠BAC=2∠CBF;(2)若AB=3,CF=2,求tan ∠CBF.解:(1)如图,连接AE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠1=90°-∠2.∵AB=AC,∴∠BAC=2∠1.∵AB⊥BF,∴∠CBF=90°-∠2,∴∠1=∠CBF,∴∠BAC=2∠CBF.(2)过点C作CH⊥BF于点H.∵AB=AC=3,CF=2,∴AF=AC+CF=5.∵AB⊥BF,∴BF=4.∵CH∥AB,∴△FCH∽△FAB,∴CHAB =CFAF=HFBF,即CH3=25=HF4,∴CH=65,HF=85,BH=BF-HF=125,∴tan ∠CBF=CHBH=12.14.(2022·武汉)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;(2)若AB=10,BE=2√10,求BC的长.解:(1)△BDE为等腰直角三角形.证明:∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠EBC,∴∠BED=∠DBE,∴BD=ED.∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴△BDE是等腰直角三角形.(2)连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.∵∠CBD=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴BD=DC.又∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.∵BE=2√10,∴BD=2√5.∵AB=10,∴OB=OD=5.设OF=t,则DF=5-t.在Rt△BOF和Rt△BDF中,52-t2=(2√5)2-(5-t)2,解得t=3,∴BF=4,∴BC=8.。