对勾函数单调性与最值 课件

函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。

3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 (_－___5_，__－__2_)_∪__(2_，____5_)____．
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )

x
很难得出准确图象，因此我们采取路径二进行研究.
分析函数 解析式特征
得出函数 部分性质
利用性质 描点作图
利用信息技 术验证图象
根据图象猜 想其它性质
利用代数方 法论证性质
利用图象和性 质解决问题
三.小组合作，自主探究
问题2.已知函数 f x x 1 请完成以下探究：
x
（1）函数 f x的定义域是什么？ （2）函数 f x的值域是什么？ （3）判断函数 f x的奇偶性. （4）函数 f x 的单调性如何？ （5）根据以上性质，利用描点法作出函数 f x的图象.
六.探究延伸，深化思想
如果把函数 y x 1 改成 y x 9 ，是否会有类似性质？改成函
数
y
x
a
a
x
x
0，又有哪些性质？
x
三.小组合作，自主探究
（1）函数 f x x 1 的定义域是什么？
x
易知 f x x 1 的定义域为 ,0 0, .
x
（2）函数f
x
x
1 x
的值域是什么？
由基本不等式可知，当
x
0时，f
x
x
1 x
2
x1 2，
x
当且仅当 x 1 时等号成立；
当
x
0
时，f
x
x
1 x
x
1 x
2
(x) ( 1 ) 2 ，
问题1：在初中，我们知道
y
x
是正比例函数，y
1 x
是反比
例函数，学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数，不同
的函数通过四则运算可以构成新的函数，那么将这两个函数相
加构成的函数y x 1有什么性质？这些性质与这两个函数的性

ab
值域
在- ，-
b a
和
b a
，
单调递减
在 -
b a
，0 和 0
，
b a
单调递增
y / y 2 ab 或 y 2 ab
12
4、当a 0 , b 0时，
定义域
(-∞,0) ∪(0 ,+∞)
奇偶性
b a
, 0
b a
, 0
奇函数
单调性 在- ，0 , 0， 单调递减
减函数
如果对于定义域内某个区间D上， 任意两个自变量 x1、x2，当 x1<x2 都 有 f(x1)>f(x2) ，就称函数f(x) 在区 间D上是减函数.
(6).用定义法（作差法）证明函数在定义域 区间D上是单调函数时,过程为:
任取自变量 x1、x2 D ,令 x1<x2；作差 f(x2)-f(x1)； 分解因式；判断正负；下结论.
9
探究函数 f (x) ax bx的图像和性质.
1、当a 0 , b 0时，
定义域
(-∞,0) ∪(0 ,+∞)
b a
,2
ab
b a
,2
ab
奇偶性 单调性
值域
奇函数
在 - ,
b a
和
b a
，
单调递增
在 -
b a
，0
和
0
，
b a
单调递减
y / y 2 ab 或 y 2 ab
x
4
7
3. 值 域 , 4 3 (4 3 , )
4. 单调性
在
0
，
3 4
上
单调递减
f (x) 4x 3 x

第三章
函数的概念与性质
探究与发现
探究函数 +
1
的图象与性质

在初中，我们知道 = 是正比例函数， =

是反比例函数.

学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数.不同的函数通过
加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数
相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有
联系吗？

解析式以及图象的特征. 要研究一个新的函数，通常转化到已
经学过的函数上来，体现了把未知转化为已知的化归思想.回
顾探究过程，先从解析式出发，研究了函数 =

+ 的定义

域和奇偶性，再结合定义域和奇偶性去画函数的图象，在图
象画出来后，我们借助函数的图象猜想出函数的单调性、值
域和最值，根据基本不等式或者单调性定义给出了严谨的证
下面请同学们带着问题探究一下函数 = +

.

1、你认为可以从哪些方面研究这个函数？
定义域、值域、单调性，最值、奇偶性、图象等
2、你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
①从函数解析式出发， 分析出函数的定义域
②由函数 = 和 =

都为奇函数，先猜想函数

=+

为

奇函数，然后利用定义证明
③结合定义域和奇偶性，通过描点法画出函数的草图
④通过图象猜想出函数的单调性，并利用定义法证明单调性
⑤猜想函数的值域和观察函数最值情况
3、按照你构建的路径研究你想到的问题.
①函数的定义域为 ≠ 0
② 函 数 =
− (− +
③

+

性质简介
1.对号函数是双曲线.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
图像一
图象二
图像三
对勾函数的性质
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
性质一
函数y=ax+b/x的性质 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑴定义域：x≠0 ⑵值 域：（-∞，-2 根号ab）∪（2根号ab ，
+∞） ⑶奇偶性：奇函数 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：（根号b/a ,2根号ab ）、 （-根号b/a ，-2根号ab ） ⑻渐 近线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时

不等式证明
在证明某些不等式时，可以利用对勾函数的单调性、奇偶性等性质进行推导。例如，在证明与根号相关的不等 式时，通过构造函数并利用对勾函数的性质，可以更加简洁地证明不等式。
数列求和与极限计算
数列求和
对勾函数在数列求和中也有广泛应用。例如，在某些含有根 号的数列求和问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转化 为等比数列或等差数列求和，从而简化计算过程。
极限计算
在求解某些极限问题时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以利用对勾函数的连续性、可导 性等性质进行推导。通过构造函数并利用洛必达法则等工具 ，可以更加便捷地求解极限问题。
积分变换与微分方程求解
积分变换
对勾函数在积分变换中也有重要作用。例如，在某些含有根号的积分问题中，可以通过对勾函数的变换将问题转 化为更易于求解的形式。此外，对勾函数还可以用于构建某些特殊的积分公式，为积分计算提供便利。
对勾函数拟合
利用对勾函数对需求数据 进行拟合，得到需求曲线 方程。
预测未来需求
基于拟合得到的需求曲线 方程，预测未来不同价格 水平下的需求量。
供给曲线建模与预测
供给分析
收集历史数据，分析生产 者在不同价格水平下愿意 提供的商品或服务的数量 。
对勾函数拟合
利用对勾函数对供给数据 进行拟合，得到供给曲线 方程。
单调性与增减性
单调性
对勾函数在其定义域内不是单调函数。它在某些区间内是增函数，而在另一些区 间内是减函数。
增减性
具体来说，当x从负无穷大增加到0时，对勾函数从0增加到正无穷大；当x从0增 加到正无穷大时，对勾函数从正无穷大减少到0。因此，对勾函数在x=0处达到 极大值。
凸凹性与拐点
凸凹性
对勾函数在其定义域内既不是凸函数也不是凹函数。它在某些区间内是凸函数 ，而在另一些区间内是凹函数。

y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.

高中数学：对勾函数
一）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图
两种情况的图像是关于y轴成轴对称。

（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，
当x＜0时，
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

定义域：x≠0
值域：
（四）对勾函数的单调性：参考函数图像
(五) 对勾函数的渐进线
(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数练习：。

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。

最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

D ．b<0
b 解析 由－2≤0，得b≥0.
课 时 作 业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第二章 ·第2课时
课 前 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区间________．
自 助
答案 (－∞，－2)，(4，＋∞)
餐 解析 先求函数的定义域，令x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，通过
课 时 作 业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第二章 ·第2课时
课 前 5．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有( )
自 助
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
餐 B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
授 C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) 人 以 D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
第二章 ·第2课时
课 时 作 业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第二章 ·第2课时
课
－ a(x2＋ 1)
前 自
法二 对f(x)求导，有f′(x)＝ (x2－1)2 ，
助
餐 ∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0，
授 ∴当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数，
渔
【解析】 (1)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1.
由一元二次函数图象可知f(x)的递减区间是
(－ 3，－ 1]， 递增区 间为 (－ 1,1)．
(2)令 u＝－ x2＋ 4x＋ 5， 则 f(x)＝

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。

由图像得名。

图像对勾函数：图像，性质，单调性第三行为f（x）=-（ax+b/y）大于等于2√ab对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=x。

奇偶性与单调性当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）奇函数。

令k=sqrt(b/a），那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

渐近线对号函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。

编辑本段均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。

现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

这些知识点也是非常重要的。

编辑本段导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。

高中数学：对勾函数
（一）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图
两种情况的图像是关于y轴成轴对称。

（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，
当x＜0时，
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

定义域：x≠0
值域：
（四）对勾函数的单调性：参考函数图像
(五) 对勾函数的渐进线
(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数
练习：
▍ ▍ ▍▍。

对勾函数单调性
对勾函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。

证明过程如下：
设x1,x2属（0，+∞） x1＜x2。

f(x1)-f(x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2。

x1-x2＜0 x1x2＞0。

在（0,√a]上 x1x2＜a 所以 x1x2-a＜0，所以单调递减。

在（√a，+∞）上 x1x2＞a 所以 x1x2-a＞0，所以单调递减。

同理（-√a，0）单调递减（-∞，-√a）单调递增。

对搓函数的通常形式就是：
f(x)=ax+b/x(a\ue0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定。

理科数学变化更为复杂。

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）
当x\ue0，存有x=根号b/根号a，存有最小值就是2√ab
当x\uc0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：－2√ab
对搓函数的图像就是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任一一点至两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-°)的正弦值与|b|的乘积。