2007年“我爱数学夏令营”数学竞赛(六年级)

我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。

我爱数学少年夏令营数学竞赛试卷1．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为k，假如k为整数，那么k的最大值是____。

2．下式是通过四舍五入得到的一个等式：其中每一个△代表一个数字，那么这三个△所代表的三个数字分别是_ ___。

余下废料是总量的____。

4．如下左图中给出6×6＝36个点，请一笔画出一条折线，使得这条折线通过36个给定点中的每点至少一次，而且组成这条折线的直线段的条数最少。

那么你所画出的折线中直线段的条数是___。

5．如下右图中所有不同的三角形的个数是______。

6．甲、乙二人从周长250米的环形跑道上一点p同时、同向动身沿着次在点p相遇所用去的时刻是____分钟。

7．在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，每个△代表一个数字，当算式成立时，乘积是____。

8．五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数（即一个整数的三次方）。

那么如此一组数中的最大数的最小值是____。

9．一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。

能否适当涂色，使得每个3×4（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？假如能行，请在下面的表格中画出来？10．甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。

_____。

11．在右图中，ae∶ec=1∶2，cd∶db=1∶4，bf∶fa＝1∶3，△abc的面积s＝1，那么四边形afhg的面积safhg=______。

12．兄弟二人骑自行车同时动身从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小哥哥比弟弟早到20分钟。

那么甲、乙两地的距离是____千米。

运算竞赛试题（1）202－192＋182－172＋…＋22-12=_____。

（2）（112233-112.233）÷（224466-224.466）=_____。

第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第2试3月份甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量的统计图，预测4月份甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量将分别增长5%, 10%和2O%。

根据预测，甲、丙两种品牌彩电4月份的销售量之和为_______ 台。

定的整数）。

如果1 4 2 3，那么3 416 . 丄的整数部分是1 1 1 12005 2006 2007 20087 •在一次动物运动会的60米短跑项目结束后，小鸡发现：小熊、小狗和小兔三人的平均用时为4分钟，而小熊、小狗、小兔和小鸭四人的平均用时为5分钟。

请问，小鸭在这项比赛中用时______ 分钟。

8 . 2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么这天以后的第2007+4X 15天是星期_______ 。

一、填空题（每小题5分，共60分。

）1.小华拿一个矩形木框在阳光下玩，她看到矩形木框在地面上形成的影子不可能是图中的②2 .气象台预报“本市明天降水概率是。

（填序号）①本市明天将有80%的地区降水。

③明天肯定下雨。

80%”。

对此信息，下列说法中正确的是②本市明天将有80%的时间降水。

④明天降水的可能性比较大。

3.将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,个圆洞，再展开正方形纸片，得到下图中的然后在得到的三角形的三个角上各挖去。

（填序号）4 .下图是华联商厦O5 .对于非零自然数9 •将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有________ 个，最少有________ 个。

10 .已知n 个自然数之积是2007,这n 个自然数之和也是 2007,那么n 的值最大是O11 .如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路,他知道DM DC 且AD= 2D 巳则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是A 、B 两地相对开出，两车第一次在距 A 地32千米处相遇， B 、A 两地后，立即沿原路返回，第二次在距 A 地64千米处 千米。

2007年我爱数学夏令营数学竞赛（六年级）姓名1、2007×2008×2009×2010＋1 20082＋2007－20082= 。

2、右面加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的5位是 。

3、圆周上有8个点，把它们两两相连。

若任意三条线都不交于一点，那么图中顶点全在圆内的三角形共有 个。

第三题，首先小朋友可能训练过类似的问题：圆周上8个点两两连接在内部最多产生多少个交点？这个问题要求学习过排列组合，每个交点对应于圆上的4个点，所以答案是8个里面取4个组合数=70。

这道比前面这个问题要难得多，要意识到每个三角形实际上对应圆周上6个点，所以解答是8个取6个这个组合数=28.4、A =5×5×……×5，B=2×2×……×2，那么较大数是 。

5、(54＋4)×(94＋4)×(134＋4)×……×(494＋4)(34＋4)×(74＋4)×(114＋4)×……×(474＋4)= 。

6、小强下午4点多钟开始课外活动，到6点多结束。

他一看表发现开始和结束的两个时刻分针和时针恰好兑换了位置。

那么他开始课外活动的时间是4点 分。

7、一个小公司有5个职工，月平均工资为2700元。

已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为 元8、图中AC ∶CD=5∶1，S △ADE ∶S △ABC =4∶5，那么AE ∶EB= 。

9、分母不超过100且最接近713 但又不等于713 的分数是 。

10、在商场里，小明从正向上移动的自动楼梯部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。

自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍。

则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 。

2007第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第1试2007年3月18日 上午8：30至10：00亲爱的小朋友们，欢迎你参加第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛！你将进入一个新颖、有趣、有挑战性的数字天地，将会留个一个难忘的经历，好，我们开始前进吧！……以下每题6分，共120分。

1． 已知31::1.2,:0.75:,:____.(22a b b c c a ===那么写成最简单的整数比) 2．11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23456789_____.0.10.20.30.40.50.60.70.80.9--------=++++++++ 3． 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、⨯、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_______.1□2□3□4□54. 在图1所示的和方格表中填入合适的数,使用权每行、每列以及每条对角线上的 三个数的和相等。

那么标有“★”的方格内应填入的数是_______.5. 过年时，某商品打八折销售，过完年，此商品提价________%可恢复原来的价格。

6．如图2是2003年以来我国日石油需求量和石油供应量的统计图。

由图可知， 我国日石油需求量和日石油需求量增长更______(填“大”或“小”)，可见我国对进口石油的依赖程度不断定_______（填“增加”或“减小”）。

7．小红和小明帮刘老师修补一批破损图书。

根据图3中信息计算，小红和小时一共修补图书______本。

8．一项工程,甲单独完成需要10天,乙单独完成需要15天,丙单独完成需20天,古代合作3天后,甲有其它任务而退出,剩下乙、丙继续工作直至完工。

完成这项工程共用______天。

9．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶过A 、B 距离的13多50千米时,与乙车相遇.A 、B 两地相距______千米。

经典题目解析1、（南通市小学数学竞赛试题）计算：1111111111×9999999999〖思路点拨〗9999999999=10000000000－1，可以转化后计算。

解：原式=1111111111×（10000000000－1）=11111111110000000000－1111111111=111111111108888888892、（全国小学数学奥林匹克竞赛试题）计算：111111×999999＋999999×777777【思路点拨】逆用乘法分配律，把公因数999999提取出来，再计算。

解：原式=999999×（111111＋777777）=888888×（1000000－1）=8888871111123、（2000年深圳市罗湖区数学竞赛试题）计算：454＋999×999＋545【思路点拨】先算454＋545，而后逆用分配律进行简算。

解：原式=（454＋545）＋999×999=999＋999×999=999×（999＋1）=9990004、（2001年“我爱数学”夏令营竞赛试题）计算：99＋99×99＋99×99×99【思路点拨】题中都是99，首先应相等99=100－1，从中寻找突破口。

解：原式=99＋99×（100－1）＋99×99×（100－1）=99＋9900－99＋99×9900－99×99=9900＋99×9900－99×（100－1）=9900＋99×9900－9900＋99=99×9900＋99=99×（9900＋1）=（100－1）×9901=990100－9901=9801995、（甘肃省第八届小学数学冬令营竞赛试题）计算：19992000×20001999－19991999×20002000【思路点拨】类似这样数字很大的题目，直接计算十分困难，而且极易出错。

第三讲 浓 度 问 题（十字交叉相乘）浓度问题常用公式：溶液＝溶质＋溶剂 ，浓度＝溶剂溶质×100%2、浓度三角形：3、常用方法：十字相乘法，浓度三角形，列方程十字交叉相乘法与浓度三角形在本质上是相同的，本质上都是比例。

（一） 补充练习。

1、 （2007年第五届“希望杯”一试六年级）一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比为15%，第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少？解法⑴抓住题目中的不变量——盐的数量。

设这杯盐水中有盐60克。

第一次加水后盐水的总量变为60÷15%＝400克。

第二次加水后盐水的总量变为60÷12%＝500克。

每次加入的水量为500－400＝100克。

第三次加入同样多的水后盐水的含盐百分比将变为：60÷（500＋100）＝10%解法⑵ 设第一次加水后盐水的重量变为α千克。

盐的重量是α×15%＝0.15α。

第二次加水后盐水的总重量为0.15α÷12%＝1.25α每次加入的水量为1.25α－α＝0.25α第三次加入同样多的水后盐水的浓度为0.15α÷（1.25α＋0.25α）＝10%答：第三次加入同样多的水后盐水的浓度为10%。

2、 （人大附中选拔入学考试题）有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中41为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中51为酥糖。

将两包糖混合后，水果糖占78％，那么奶糖与酥糖的比例是多少？⑴本题是一道简单的浓度问题。

我们以水果糖为突破口：第一包奶糖占41；水果糖占43。

第二包酥糖占51；水果糖占54。

将两包糖混合后，水果糖占78％，（相当于混合溶液）根据浓度三角形，列出等式：第一包×（78％－43）＝第二包×（54－78％） 第一包︰第二包 ＝ （54－78％）︰（78％－43）＝2︰3， ⑵ 把第一包糖的数量看作2份，第二包3份。

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线.3.在1,2,…,2 007这2 007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试1.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,261BC AC +=,则ACAB =________________ . 2.已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+200712007c a 1,b a 22c b ,则代数式2007200820072008c)-(2007b c a +化简的最后结果是_________. 3.代数式1133x 2+－110x 的最小值为__________________.4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的41,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为________________.5.已知在直角坐标系xOy 中,△ABC 的三个顶点分别为A(2 2 , 2+6 )、B(2,2)、C(52, 2).则△ABC 的边BC 上的高与∠ABC 的平分线的交点的坐标为___________.6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n 月份生产ab n +c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件.7.方程3x3+2 2x2－(17－9 2)x－(6－5 2)=0的解为x1= ________,x2=______ ,x3=______ .8.已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________.9.已知正方形纸片ABCD的面积为2 007 cm2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D落在边BC上的点D′处,点A落在点A′处,A′D′与AB交于点E.则△BD′E的周长等于______cm.10.若x为整数,3<x<200,且x2+(x+1)2是一个完全平方数,则整数x的值等于_____________.参考答案第一试1.由题意知,方程①的判别式Δ1=b 2+4a(a －3)≤0b 2+(2a －3)2≤9∴ －3≤b ≤3,－3≤2a －3≤3 ∴b －3≤0,0≤a ≤3.当b －3=0时,方程②化为－29x+215=0,有解. 当b －3<0时,方程②的判别式Δ2=(a －2b)2－12(a+1)(b －3)>0,此时也有解.综上所述,方程②一定有解.2.以E 为圆心、EB 为半径作圆,则点P 、C 都在该圆的圆周上.联结EC.则∠PAE=90°－∠ABC=90°－21 ∠PEC=∠EPC. 因此,EP 是△APF 的外接圆的切线.3.将1,2,…,2 007分别用7除,余数为1、2、3、4、5的各有286+1=287个;余数为6、0的各有286个.在1,2,…,2 007中,与 2 007不互质的数有3,2×3,3×3,…,669×3以及223,2×223,4×223,5×223,7×223,8×223.将这些与2 007不互质的数分别用7除,余数依次为3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,…,3,6,2,5以及6,5,3,2,0,6.于是,在这些与2 007不互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个.在1,2,…,2 007且与2 007互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个.要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数,至多取2个余数为0的数.由于余数为(1,3,3)、(3,2,2)、(2,6,6)、(6,4,4)、(4,5,5)、(5,1,1)以及(1,2,4)、(3,6,5)的三数的和都是7的倍数,因此,至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数.经验证可知,取2组余数为1、4的全部数,再取2个余数为0的数,符合题目的要求,且取出的数的个数达到最大值.故最多可以取出192+192+2=386个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试** － . 2.007 2007 21.**.令y=1133x 2 －110x,则y 2+220xy=3×223x 2+3×1132,3×223x 2－220yx+3×1132－y 2=0.故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y 2)=4×1132(y 2－32×223)≥0.所以,y ≥3 223.当且仅当x=110/223时,y 取最小值3223 **°.设较大的锐角为α.由题意易知sinα·cosα=41 sin 2α=21 α=75° 5.(2 2 , 2 +/63).设△ABC 的边BC 上的高与∠ABC 的线交于点P(22, 2+h). 则tan ∠ABC=6 /2 ,tan ∠PBC=h/2 .又∠ABC=2∠PBC,于是, 由半角公式得h=6 /3.**·35.由题设易知ab+c=1,ab 2+c=1·2,ab 3+c=1.3·.则ab(b －1)=0.2,ab 2(b －1)=0.1.故b=0.5,a=－0.8,c=1.4.所以,ab 4+c=1.35. 7. 2/3,2－1,1－2 2. 令x= 2y,代入原方程得62y 3+4 2y 2－17 2y+18y －6+5 2=0. 易知y=1/3满足条件.故x 1=2/3.于是,3x 3+2 2x 2－(17－9 2)x －(6－52)=(x －2/3)(3x 2+32x+9 2－15). =3(x －2/3)(x － 2+1)(x+2 2－1).所以,x 1=2/3,x 2=2－1,x 3=1－2 2. 8.)16(8188-+-k k k . 设矩形的长、宽分别为a 、b(a ≥b).则4(a+b)2/ab=k,即4a 2+(8－k)ab+4b 2=0.令t=a/b,则4t 2+(8－k)t+4=0.解得t=)16(8188-+-k k k . **. 设正方形边长a=007 2,∠D ′DC=α.则∠BD ′E=2α,CD ′=atan α,BD ′=a(1－tan α).所以,△BD ′E 的周长为a(1－tanα)(1+tan 2α+sec 2α) =αααααα2 cos 12sin 2 cos ·cos sin -cos ++••a =••·cos sin -cos αααa 2222cos 2sin cos cos -sin ααααα+ =2a=6 223.**或119.设x 2+(x+1)2=v 2,则(2x+1)2=2v 2－1.令u=2x+1,则u 2－2v 2=－1.其为佩尔方程,其基本解为(u 0,v 0)=(1,1).其全部正整数解可由un+vn 2=(u 0+v 02)2n+1得到.其中,(u 1,v 1)=(7,5),(u 2,v 2)=(41,29),(u 3,v 3)=(239,169),u 4>400.故x=20或119.。

6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 1 of 6会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密就知识点而言它包括小学所学2个重点知识:百分数， 比例。

一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的"盐”，糖水中的"糖”，酒精溶液中的"酒精"等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。

浓度：溶质质量与溶液质量的比值。

二、几个基本量之间的运算关系1、溶液二溶质+溶剂2、浓度二溶质x100%= 溶质 X100%溶液 溶质+溶液三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：（甲溶液浓度大于乙溶液浓度）浓度三角的应用 2、3、4、 利用方程解复杂浓度问题 B 二甲溶液与混合溶液的浓度差A —混合溶液与乙溶液的浓度差形象表达：SH 二B注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的.浓度三角的表示方法如下:z-y ： x-z II甲溶液质量：乙溶液质量3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法.模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一）两种溶液混合一次1 .某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种 溶液的食盐浓度为多少？2 .一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%,问这个容器内原来含有 糖多少千克？3 .现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？4 .有浓度为20%的盐水300克，要配制成40%的盐水，需加入浓度为70%的盐水多少克？5 .现有浓度为10%的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22% 的盐水？6 . 4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液?7 .甲种酒精溶液中有酒精6千克，水9千克；乙种酒精溶液中有酒精9千克，水3千克；要配制成50%的 甲溶液 浓度X% /'混合浓度z%乙溶液 浓度y %6-2-3.溶液浓度问题.题库教师版page 2 of 6酒精溶液7千克，问两种酒精溶液各需多少千克?8.将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的稀酒精，需加入水多少克?9.（难度等级派※）买来蘑菇10千克，含水量为99%,晾晒一会儿后，含水量为98%,问蒸发掉多少水份？10.（难度等级派）浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加多少克糖？.（二）两种溶液混合多次【例1】甲容器有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？【例2】甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%，乙桶有糖水40千克，含糖率为20%，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？【例3】甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。

很多同学喜欢逻辑推理，说明它有神奇魅力。

在小升初考试中，逻辑推理题依旧频繁的出现在各重点中学的试卷里，北京人大附中英语实验班选拔考试，甚至还出现了多道英语的奥数逻辑题，所以加强这方面的训练对于我们学生来说依然是十分必要的。

一、逻辑推理的“生命线”：逻辑推理找矛盾，真假不清暂先定。

找矛盾的依据是逻辑推理的四大定律。

⑴同一律。

在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。

⑵矛盾律。

在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。

例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。

⑶排中律。

在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。

例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。

⑷理由充足律。

在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。

二、逻辑推理的几种主要类型：1．真假命题判断；2．数值限定推演；3．列表与对阵图。

某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。

最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。

最大的男孩多少岁？三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。

考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少。

各科都是如此记分。

已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分。

并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目做了一个估计，甲说：“A先生500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”。

丁说：“A先生最少有1本书”，这四个人的估计中，只有一句是对的，问A先生究竟有多少本书？★★★(2006年浙江省小学数学活动课夏令营)足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环(每两个队之间都踢一场)比赛，每组的前两名可以出线。

学科：情景数学动漫浓 度 三 角【知识网络】溶度问题包括以下几种基本题型︰溶 液 的 质 量＝溶 质 的 质 量＋溶 剂 的 质 量浓 度=溶 质 重 量 ÷溶 液 重 量2（1） 溶剂的增加或减少引起浓度变化。

面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。

（2） 溶质的增加引起浓度变化。

面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。

（3） 两种或几种不同溶度的溶液配比问题。

面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。

【情景故事】黄小鸭喝奶茶的故事黄小鸭领着三个鸭弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了奶牛开的奶茶店。

只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的奶茶每杯0.3元。

”黄小鸭便招呼弟弟们歇脚，一起来喝奶茶。

黄小鸭从奶牛手中接过一杯奶茶，给最小的弟弟老四喝掉61，加满水后给老三喝掉了31，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。

奶牛开始收钱了，他要求黄小鸭最小的弟弟付出0.3×61＝0.05(元)；老三0.3×31＝0.1(元)； 老二与黄小鸭付的一样多，0.3×21＝0.15(元)。

兄弟四个一共付了0.45元。

兄弟们很惊讶，不是说，一杯奶茶0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是奶牛再敲诈我们。

不服气的黄小鸭嚷起来：“多收我们坚决不干。

”“不给，休想离开。

”现在，大家说说为什么会这样呢？浓 度 问 题 方 法 金 手指保 持 浓 度：溶 质 溶 剂标准实用文案大全【自学指导】浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。

解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。

第一类：稀释 技巧：稀释前溶质重量．．．．．．．＝稀释后溶质重量．．．．．．． 第二类：稀释 技巧：加浓前溶剂重量．．．．．．．＝加浓后溶剂重量．．．．．．． 第三类：溶液混合和互换技巧：溶质．．÷溶液．．＝溶质．．÷（溶质＋溶剂．．．．．）＝浓度．．【方法指导】1、“浓度三角”法（改“十字交叉”法。

学科：情景数学动漫浓度三角溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量浓度=溶质重量÷溶液重量【知识网络】溶度问题包括以下几种基本题型︰（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。

面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。

（2）溶质的增加引起浓度变化。

面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。

（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。

面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。

【情景故事】2黄小鸭喝奶茶的故事黄小鸭领着三个鸭弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了奶牛开的奶茶店。

只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的奶茶每杯0.3元。

”黄小鸭便招呼弟弟们歇脚，一起来喝奶茶。

黄小鸭从奶牛手中接过一杯奶茶，给最小的弟弟老四喝掉61，加满水后给老三喝掉了31，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。

奶牛开始收钱了，他要求黄小鸭最小的弟弟付出0.3×61＝0.05(元)；老三0.3×31＝0.1(元)； 老二与黄小鸭付的一样多，0.3×21＝0.15(元)。

兄弟四个一共付了0.45元。

兄弟们很惊讶，不是说，一杯奶茶0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是奶牛再敲诈我们。

不服气的黄小鸭嚷起来：“多收我们坚决不干。

”“不给，休想离开。

”现在，大家说说为什么会这样呢？【自学指导】浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。

解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。

第一类：稀释 技巧：稀释前溶质重量．．．．．．．＝稀释后溶质重量．．．．．．． 第二类：稀释 技巧：加浓前溶剂重量．．．．．．．＝加浓后溶剂重量．．．．．．． 第三类：溶液混合和互换技巧：溶质．．÷溶液．．＝溶质．．÷（溶质＋溶剂．．．．．）＝浓度．．【方法指导】1、“浓度三角”法（改“十字交叉”法。