统计学原理-回归分析案例0204192330

统计学中的回归分析方法统计学是一门应用广泛的学科，它帮助我们了解和解释数据背后的规律和关联。

回归分析是统计学中一种重要的方法，它用于研究变量之间的关系，并预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。

回归分析的基本原理是建立一个数学模型来描述变量之间的关系。

这个模型通常采用线性方程的形式，即y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数。

回归系数表示了自变量对因变量的影响程度。

回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。

简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。

简单线性回归可以帮助我们了解两个变量之间的直线关系，而多元线性回归可以考虑更多的因素对因变量的影响。

在进行回归分析之前，我们需要收集数据并进行数据清洗和变量选择。

数据清洗是指处理缺失值、异常值和离群值等问题，以确保数据的质量。

变量选择是指选择对因变量有显著影响的自变量，以减少模型的复杂性。

回归分析的核心是估计回归系数。

我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，即找到能使观测值与模型预测值之间的误差平方和最小的回归系数。

最小二乘法可以通过矩阵运算来求解回归系数的闭式解，也可以使用迭代算法来逼近最优解。

回归分析的结果可以通过各种统计指标来评估模型的拟合程度和预测能力。

常见的指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数（adjusted R-squared）、标准误差（standard error）和显著性检验（significance test）等。

这些指标可以帮助我们判断模型是否合理，并进行模型比较和选择。

除了线性回归，回归分析还有其他类型的方法，如逻辑回归、多项式回归和非线性回归等。

逻辑回归适用于因变量是二元变量的情况，多项式回归适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况，非线性回归适用于因变量和自变量之间存在复杂的非线性关系的情况。

回归分析方法及其应用实例环境与规划学院2012级地理科学2014年11月回归分析方法及其应用实例摘要：回归分析方法，就是研究要素之间具体数量关系的一种强有力的工具，运用这种方法能够建立反应地理要素之间具体数量关系的数学模型，即回归模型。

本文首先给出回归分析方法的主要内容及解决问题的一般步骤，简单的介绍了回归分析建模的一般过程，进而引出了基本的一元线性回归分析方法的数学模型。

其次，叙述了多元线性回归理论模型，列举了多元线性回归模型应遵从的假定条件，探讨了多元线性回归模型中未知参数的估计方法及其参数的检验问题。

最后通过具体的案例来总结了多元回归分析的应用。

关键词：多元线性回归模型；模型检验；SPSS；实例应用。

引言：用回归分析建模的一般过程：（1）画散点图（2）设定模型（3）最小二乘估计模型中的参数并写出回归方程（4）拟合优度的测量（5）回归参数的显著性检验及其置信区间（6）残差分析(回归分析的前提假定)（7）预测（点、区间）在利用回归分析解决问题时，首先要建立模型，即函数关系式，其自变量称为回归变量，因变量称为应变量或响应变量。

如果模型中只含有一个回归变量，称为一元回归模型，否则称为多元回归模型（实际中所见到的大都是线性回归模型，非线性的一般可以化为线性的来处理）。

一、一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下：Y t =β0+β1 x t + u t上式表示变量y t和x t之间的真实关系。

其中yt称被解释变量（因变量），xt称解释变量（自变量），ut称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。

上模型可以分为两部分。

（1）回归函数部分，E(y t) =β0+ β1 x t,（2）随机部分，u t(包含了所有没有考虑在内的影响因素对因变量的影响，越小越好)二、多元线性回归模型2.1 当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元线性回归。

设可预测的随机变量为y，它受到k个非随机因素X1，X2，X3``````X k 和不可预测的随机因素ε的影响。

回归分析案例现收集到若干年粮食产量以及受灾面积、农作物总播种面积、乡村从业人员、农用化肥施用折纯量等数据，利用多元线性回归分析，分析影响粮食产量的主要因素。

一、相关分析（相关矩阵）setwd("D:/Rdata")data<-read.csv(file=file.choose(),head=T)colnames(data)<-c("Y","X1","X2","X3","X4")dataX<-cor(data)Xpairs(data)结果显示分析X1与Y的相关系数较小，X2、X3、X4与Y的相关系数较大。

X3、X4可能存在较强的相关性。

二、多重共线性诊断kappa(X,,exact=T)结果显示K值<100说明共线性很小，K值在100到1000之间说明中等强度，K>1000存在严重共线性。

此处K=580.8733，说明存在多重共线性。

三、线性回归attach(data)lm.sol<-lm(Y~X1+X2+X3+X4)summary(lm.sol)结果显示分析F统计量的P-value<0.05,故线性回归显著。

X1、X3的系数显著，其他系数均不显著，2R为0.9023。

这很可能出现多重共线性。

综合kappa检验，确定是多重共线性引起的。

可用逐步回归法修正该模型。

lm.step<-step(lm.sol)summary(lm.step)结果显示分析删掉了X2、X4两个变量，F统计量的P-value<0.05，线性关系同样显著，常数项，X1、X3系数均显著。

2R=0.8966，略微有所降低。

综合来看，模型拟合较合适。

四、异方差检验library(lmtest)bptest(lm.step)结果显示分析p-value=0.1442>0.05 所以可以认为不具有异方差性，即残差是同方差的。

回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

它可以帮助我们预测未来的变量取值，同时也可以帮助我们理解变量之间的相互作用。

在实际应用中，回归分析被广泛应用于经济学、社会学、医学等各个领域。

一、回归分析的基本原理回归分析的基本原理是通过建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。

这个数学模型通常以线性方程的形式表示，即 Y = a + bX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，a表示截距，b表示斜率，ε表示误差项。

回归分析的目标是通过拟合这个线性方程来寻找自变量和因变量之间的关系，并用这个关系来进行预测和解释。

二、回归分析的案例分析解读为了更好地理解回归分析的应用，下面我们通过一个实际的案例来进行解读。

假设我们想研究一个人的身高和体重之间的关系，我们可以使用回归分析来建立一个数学模型来描述这种关系。

我们收集了一组数据，包括了不同人的身高和体重信息，然后进行回归分析来寻找身高和体重之间的关系。

我们首先建立一个简单的线性回归模型，假设体重是因变量Y，身高是自变量X，我们可以得到如下的数学模型：Y = a + bX + ε。

我们通过拟合这个模型得到了回归方程Y = 50 ++ ε。

这个回归方程告诉我们，体重和身高之间存在着正相关的关系，即身高每增加1厘米，体重平均会增加千克。

同时，ε表示了模型的误差项，它可以帮助我们评估模型的拟合程度。

接下来，我们可以利用这个回归方程来进行预测。

比如，如果我们知道一个人的身高是170厘米，我们可以通过回归方程来预测他的体重大约是50 + *170 = 135千克。

当然，这只是一个估计值，真实的体重可能会有一定的偏差。

三、回归分析的局限性虽然回归分析在实际应用中具有很大的价值，但是它也存在一些局限性。

首先，回归分析要求自变量和因变量之间存在着线性关系，如果真实的关系是非线性的，那么回归分析的结果就会失真。

其次，回归分析要求自变量和因变量之间是独立的，如果存在多重共线性或者其他相关性问题，那么回归分析的结果也会出现问题。

多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。

回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式;(2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。

例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素,哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。

回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。

本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。

本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。

“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型, §6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。

§7简要介绍非线性回归分析。

§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型1 一对多线性回归分析的数学模型§个自变量存在线性关系设随机变量与:, (1.1)式中为回归系数, 为随机误差。

福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）课程论文报告2011 年 6 月25 日福建农林大学计算机与信息学院数学类课程论文报告结果评定目录1、问题的提出 (4)2、问题的分析 (4)3、问题的解决 (4)问题重述 (4)建立模型 (4)模型求解 (5)模型检验 (7)4、小结 (9)参考文献 (9)附录10摘要：回归分析是数理统计中重要的一种数据统计分析的思想。

它是研究一个随机变量与一个或多个普通变量之间的相互关系的统计方法。

主要是解决从一组数据出发，确立变量间是否存在相关的关系，如果存在相关关系，确定他们之间合适的数学表达式即经验公式或回归方程，并对它的可信度作统计检验；还可以针对从共同影响一个变量的许多变量中，判断哪些变量的影响是显著的，哪些变量是不显著的，并利用所确定的回归方程进行预测和控制。

本文就是针对实际问题运用回归分析中一元线性回归分析的统计方法，来确定自变量与另一个变量的相关关系，并确立出较为合理的回归方程，再对其的可信度进行统计检验。

关键词：回归分析；回归方程；F检验法1、问题的提出根据以下9组关于营业税税收总额y和社会商品零售总额x的数据[1]，确定出两者的关系。

表1 社会商品零售总额和营业税税收总额序号社会商品零售总额营业税税收总额1234567892、问题的分析营业税税收总额是受很多的因素所决定，但是题目中已经将主要的因素确定为社会商品零售总额，这就大大的减少了在对于自变量的多因素进行分析的过程，从而减少了在计算以及统计上的困难，但是这也在很大的程度上减少了结果的实际意义。

在针对本题所给的两个变量之间的关系，作出回归分析以及运用重要的数学软件的实现，从而来确定这两个变量之间的关系，并计算出两者之间的回归方程，再对方程的可信度进行检验。

3、问题的解决问题重述在本题目中已经明确地给出只有两个变量之间的关系，所有可以忽略影响营业税税收总额除社会商品零售总额之外的其他因素，这对于解决问题减少了难度。

影响成品钢材量的多元回归分析故当原油产量为16225.86万吨，生铁产量为12044.54万吨，原煤产量为13.87万吨以及发电量为12334.89亿千瓦时时，成品钢材量预测值为10727.33875万吨；当原油产量为17453万吨，生铁产量为12445.96万吨，原煤产量为14.54万吨以及发电量为13457亿千瓦时时，成品钢材量预测值为10727.33875万吨。

钢材的需求量设为y，作为被解释变量，而原油产量治、生铁产量X2、原煤产量X3、发电量X4作为解释变量，通过建立这些经济变量的线性模型来研究影响成品钢材需求量的原因。

能源转换技术等因素。

在此，收集的数据选择与其相关的四个因素：原油产量、生铁产量、原煤产量、发电量，1980—1997的有关数据如下表。

理论上成品钢材的需求量的影响因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、原始数据（中国统计年鉴）将中国成品模型的设定设因变量y与自变量X i、X2、X3、X4的一般线性回归模型为y = -0 + i X i 2X2 3X3 4X4 ；；是随机变量，通常满足；；Var（）= -2二参数估计aa.因变量成品钢材（万吨）再用spss做回归线性，根据系数表得出回归方程为：y =1 70.2 87 O X 0 4 1 X°「554 X 1 7.8 *8 0.389 再做回归预测，得出如下截图:y 1x1| x4 |PRE」RES 12716 2010595.003802.40 6.203006.2D2899.08766-182.887662670.1010122.003416.60 6.203092.702738.53110-68.431102902 0010212 003551.00B6G3277.002372.8151429.104063072.0010E07 00373BOO7 153514 003O43.G244328.375573372.0011461.304001.007.893770003240 51584131.484163693.0012489.504384.008.7241107.003526.63541166.364594050.0013068.805064.008.944495.004026.5661931.433814356.0013414 005503 009 284973004435.52677-79.526774689.0013704 605704.009 805452.004712.05819-23.058194859.0013754.105820 0010545848 004914.01371-56.013716163.0013330.606238.0010.806212.005280.70360-127.703605635.0014009.206765.0010.076775.005703.19465■145.194656697.00114209.707589 0011.167539 00G623.64790173.352107716.0014523.008739 0011.518395007474.80431241 195698482 0014608.209741.0012.409281.008355 43425126.565758979.8015004.9410529.2713.6110070.309061.44200-81.64200933S0215733,3910722.5013.9710813.109421 11147-83.091479978,9316074.141151141137311355.5310069.53741-30.6074116225 8612044.54138712334 8910727.33875--17453.0012445.9614.5413457.0011323.87164故当原油产量为16225.86万吨，生铁产量为12044.54万吨，原煤产量为13.87万吨以及发电量为12334.89亿千瓦时时，成品钢材量预测值为10727.33875万吨；当原油产量为17453万吨，生铁产量为12445.96万吨，原煤产量为14.54万吨以及发电量为13457亿千瓦时时，成品钢材量预测值为10727.33875万吨。

《统计学》案例——相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。

通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。

经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。

2、数据的收集序号回流温度（℃）液化气收率（%）序号回流温度（℃）液化气收率（%）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1536 39 43 43 39 38 43 44 37 40 34 39 40 41 4413.1 12.8 11.3 11.4 12.3 12.5 11.1 10.8 13.1 11.9 13.6 12.2 12.2 11.8 11.116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3042 43 46 44 42 41 45 40 46 47 45 38 39 44 4512.3 11.9 10.9 10.4 11.5 12.5 11.1 11.1 11.1 10.8 10.5 12.1 12.5 11.5 10.9目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度和液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。

3.方法的确立设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y10ˆ+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。

因此，建立描述y 和x 之间关系的模型时，首选直线型是合理的。

从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为x y229.0263.21ˆ-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。