离散数学(形式语言与自动机)

离散数学教学大纲第一部分大纲说明一.课程的性质与任务《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。

它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。

该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此《离散数学》充分描述了计算机学科离散性的特点。

它是一门理论性较强，应用性较广的课程。

掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。

并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。

二《离散数学》的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，《离散数学》有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、义与定理多。

《离散数学》是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。

在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。

2、法性强。

《离散数学》的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。

所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。

三与其他相关课程的关系先修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。

（一）集合论基础：在整个《离散数学》的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。

本章主要讲述集合、关系和映射。

1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。

形式语言与自动机课后习题答案第二章4．找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。

答：G={N,T,P,S}其中N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中x∈{所有字母} y∈{所有的字符} P如下: S→x S→xA A→y A→yBB→y B→yC C→y C→yD D→y6．构造上下文无关文法能够产生L={ω/ω∈{a,b}*且ω中a的个数是b的两倍}答：G={N,T,P,S}其中N={S} T={a,b} P如下:S→aab S→aba S→baaS→aabS S→aaSb S→aSab S→SaabS→abaS S→abSa S→aSba S→SabaS→baaS S→baSa S→bSaa S→Sbaa7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）(1)S→SaS S→b(2)S→aSb S→c(3)S→a S→aE E→aS答：（1）b(ab)n /n≥0}或者L={(ba)n b/n≥0}(2) L={a n cb n /n≥0}(3)L={a2n+1 /n≥0}第三章1．下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。

（1）含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合（2）含有相同个数a和b的字符串集合（3）不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合答：（1）是正则集，自动机如下(2) 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题（2）。

(3) 是正则集先看L’为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。

（略）则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L’的非。

根据正则集的性质，L也是正则集。

4．对下列文法的生成式，找出其正则式（1）G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：S→aA S→BA→abS A→bBB→b B→cCC→D D→bBD→d（2）G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式P如下：S→aA S→BA→cC A→bBB→bB B→aC→D C→abBD→d答：(1) 由生成式得：S=aA+B ①A=abS+bB ②B=b+cC ③C=D ④D=d+bB ⑤③④⑤式化简消去CD，得到B=b+c(d+bB)即B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥将②⑥代入①S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ε)(cb)*(cd+b) (2) 由生成式得：S=aA+B ①A=bB+cC ②B=a+bB ③C=D+abB ④D=dB ⑤由③得 B=b*a ⑥将⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+ab+a ⑦将⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧将⑥⑧代入① S=a(b+a+c(d+ab+a))+b*a=ab+a+acd+acab+a+b*a5.为下列正则集，构造右线性文法：(1){a,b}*(2)以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合(3)以b为首后跟若干个a的字符串的集合(4)含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合答：（1）右线性文法G=({S},{a,b},P,S)P: S→aS S→bS S→ε(2) 右线性文法G=({S},{a,b},P,S)P: S→aS S→bS S→abb(3) 此正则集为{ba*}右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)P: S→bA A→aA A→ε(4) 此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*}右线性文法G=({S,A,B,C},{a,b},P,S)P: S→aS/bS/aaA/bbBA→aA/bA/bbCB→aB/bB/aaCC→aC/bC/ε7.设正则集为a(ba)*(1)构造右线性文法(2)找出（1）中文法的有限自 b动机答：（1）右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)P: S→aA A→bS A→ε（2）自动机如下：(p2是终结状态)9.对应图（a）(b)的状态转换图写出正则式。

离散数学在自然语言处理中的应用自然语言处理是一门跨学科的领域，涉及语言学、计算机科学、人工智能等多个学科，旨在使计算机能够理解和处理人类的自然语言。

在自然语言处理领域中，离散数学是一个重要的分支，其应用广泛，包括语言模型、语法分析、词法分析等方面。

离散数学是数学中的一个分支，研究的是非连续的、离散的数学结构。

自然语言是连续的、离散的符号序列，其中的字符、单词、短语和句子等都可以表示为离散的对象。

因此，在自然语言处理中需要使用离散数学的理论和方法来处理文本数据。

在自然语言处理中，最常用的离散数学工具是自动机和形式语言。

自动机是一种能够对离散序列进行状态转移的计算模型，能够对文本进行自动识别和分类。

形式语言是一种能够对文本进行形式化描述和规范化的工具，包括正则表达式、上下文无关文法、正则文法和上下文有关文法等。

语言模型是自然语言处理中的一个重要概念，指的是对自然语言中的词序列进行建模。

在语言模型中，离散数学中的马尔可夫链是一个非常重要的工具。

马尔可夫链是一个随机过程，指的是当前状态只与前一个状态有关的模型。

在自然语言处理中，马尔可夫链可以被用来描述语言中的概率性质，例如某个单词出现在某个位置的概率，或者一个短语出现在一个句子中的概率。

语法分析和词法分析是自然语言处理中的两个重要任务，分别负责解析语言结构和单词的基本属性。

在语法分析和词法分析中，正则表达式和有限状态自动机是常用的离散数学工具。

正则表达式是一种用来描述文本模式的符号串，能够帮助分析语言中的基本符号，例如空格、标点符号和单词分隔符等。

有限状态自动机是一种能够对正则表达式进行编译的计算模型，能够有效地处理正则表达式匹配问题。

总之，离散数学在自然语言处理中的应用是非常广泛的，各种离散数学工具和理论都能够被用来解决自然语言处理中的具体问题。

离散数学的研究成果为解析语言结构、词法分析和语言模型等任务提供了基础和支持，使得自然语言处理的效率和准确性得以提升。

离散数学一、说明（一）课程性质离散数学是计算机专业重要的基础理论课程，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。

离散数学与计算机科学中的许多后继课联系紧密，能够提供为专业课服务的基本理论。

（二）教学目的对现实世界中被研究的对象进行抽象，建立必要的基本概念，运用数学工具和方法研究揭示对象发展变换的内在规律，为实验设计和工程设计实现提供方法和技术，并展开实验设计和实现工作是计算机科学的基本工作流程。

以离散数学为代表的构造性数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具，本课程的目的在于使计算机专业的学生掌握必要的离散形式的数学概念和结构，培养学生的抽象概括能力和严谨的思维能力，为后继课程的学习和创新研究打下良好的基础。

（三）教学内容本课程包括计算机专业所需要的离散数学基础知识，主要内容由数理逻辑、集合论、代数系统与图论四部分组成。

数理逻辑是研究推理的科学，包括了命题逻辑和谓词逻辑，是计算机科学重要的逻辑基础；集合论包含了二元关系、函数、无限集合等；代数是对字母集合和字母组成的结构的计算，抽象代数是关于计算规则的学说，本课程主要讲述了群、布尔代数等；图论起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，现实中的许多问题可以用图来表示。

上述概念在计算机科学中有着广泛的应用。

它们为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，同时为许多问题从算法的能行性角度提供了抽象和描述的重要方法和数学基础。

（四）教学时数教学时数为周4学时，共计72学时。

（五）教学方式采用课堂讲授与辅导答疑相结合的教学方式。

二、本文第一篇数理逻辑第一章命题逻辑教学要点：逻辑学是一门研究人类思维形式和思维规律的科学，思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式就是推理。

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《离散数学》实验一、实验目的《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术专业的基础理论课，也是该专业的核心课程和主干课程。

“离散数学”是计算机专业一门重要的专业技术基础课程，是计算机专业的一门核心的关键性课程。

该课程一方面为后继课程如数据结构、编绎原理、操作系统、数据库原理、人工智能和形式语言与自动机等提供必要的理论基础；同时，更为重要的是培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为今后的学习和工作打好基础。

无论从计算机学科发展的过去、现在和未来看，《离散数学》都是计算机科学与技术专业不可缺少的重要组成部分。

这门课程有着其它课程不可替代的地位和作用，是一门承前启后的课程。

根据《离散数学》课程本身的理论性较强的特性，为了帮助学生更好地学习本课程，理解和掌握所学基本概念和方法，为整个专业学习打好基础，要求运用所学知识，上机解决一些典型问题，设置实践环节十分重要。

通过实验实践内容的训练，突出逻辑性思维训练的特征, 目的是学习离散数学中的基本算法和方法，掌握数理逻辑、关系和图论中的基本算法，提高学生学习的兴趣及实际动手的能力。

通过分析、设计、编码、调试等各环节的训练，使学生深刻理解、牢固掌握所学知识，培养分析、解决实际问题的能力。

二、实验要求掌握真值表技术，熟悉联结词合取、析取、条件和双条件的概念。

熟悉Warshall算法，掌握求关系的自反闭包、对称闭包和传递闭包的方法。

熟悉邻接矩阵和两结点间长度为m 的路的数目的关系。

熟悉最优树的构造算法，掌握最优树的构造过程。

实验前作好准备，分析问题并确定算法，设计代码。

做实验过程中认真分析和调试程序，记录并分析实验结果。

实验后完成实验报告，实验报告包括实验目的、实验内容、源程序、运行结果及分析。

可以使用C、VC或MATLAB完成实验。

实验题目包括真值计算、关系闭包计算、计算两结点间长度为m的路的数目、最优树的构造四个实验，每个实验要求2个学时完成。

三、实验设备及环境PC机一台，软件C、VC或MATLAB四、实验内容实验一真值计算1、实验目的熟悉五个常用联结词合取、析取、条件和双条件的概念，掌握真值表技术。

离散数学在计算机科学中的重要性体现在哪里在当今数字化、信息化的时代，计算机科学无疑是推动社会发展和科技进步的核心力量之一。

而离散数学作为数学的一个重要分支，在计算机科学中扮演着至关重要的角色。

它为计算机科学提供了坚实的理论基础，贯穿于计算机科学的各个领域，其重要性不言而喻。

离散数学中的集合论为计算机科学中的数据结构和算法设计提供了基础概念。

集合是一种不考虑元素顺序和重复的简单数据结构。

在计算机程序中，我们常常需要处理各种不同类型的数据集合，例如数组、链表、栈、队列等。

通过对集合的运算和性质的理解，我们能够更好地设计和分析这些数据结构的操作和性能。

比如，在查找算法中，判断一个元素是否在集合中，就需要用到集合的包含关系等概念。

数理逻辑在计算机科学中的重要性也十分显著。

它帮助我们理解和设计计算机中的逻辑电路、编程语言的语法和语义。

布尔代数作为数理逻辑的一个重要组成部分，是数字电路设计的基础。

通过布尔代数的运算规则，可以对逻辑门进行组合和优化，从而实现复杂的数字电路功能。

在编程语言中，逻辑表达式用于控制程序的流程和条件判断。

对数理逻辑的深入理解有助于编写正确、高效的程序，并能够更准确地理解和解决程序中的逻辑错误。

关系在离散数学中也是一个关键概念，它在数据库管理中具有重要的应用。

数据库中的表可以看作是关系的一种具体表现形式。

通过定义关系的属性、主键、外键等，我们能够有效地组织和管理数据。

关系的运算，如连接、投影、选择等，为数据库的查询和更新操作提供了理论支持。

在设计数据库时，合理运用离散数学中的关系理论，可以提高数据库的性能和数据的一致性。

图论是离散数学的另一个重要领域，在计算机科学中有着广泛的应用。

网络拓扑结构、路由算法、数据压缩、人工智能中的搜索算法等都离不开图论的知识。

例如，在网络中，节点和链路可以用图来表示，通过图论中的最短路径算法，可以找到数据传输的最优路径。

在人工智能的搜索问题中，图可以表示问题的状态空间，搜索算法就是在图中寻找目标状态的过程。

2、教学内容第1讲课程概述及预备知识预备知识（字母表，字符串，关于字符串的运算，字母表上的运算，语言，关于语言的运算）；常用证明技术（基本证明方法，归纳证明方法）第2讲上下文无关文法与上下文无关语言上下文无关文法的基本概念；归约与推导；上下文无关语言；文法与语言的 Chomsky 分类；语法分析树；归约、推导与分析树之间关系；文法和语言中的二义性第3讲正规表达式与正规语言正规表达式；正规语言；正规表达式的代数性质第4讲有限状态自动机确定有限自动机；非确定有限自动机；带ε-转移的非确定有限自动机；三类有限自动机之间的等价性；子集构造法；（确定）有限自动机的最小化第5讲有限状态自动机与正规表达式的等价性从正规表达式构造等价的ε– NFA（Thompson 构造法）；从确定有限自动机构造等价的正规表达式（Kleene 构造法，状态消去法）第6讲正规语言的性质与运算针对正规语言的 Pumping 引理；应用Pumping 引理证明某个语言不是正规语言；有关正规语言的几个判定性质（是否为空，是否含特定串，相等性）；关于正规语言的封闭运算（并，补，交，差，反向，星闭包，连接，同态，反同态）第7讲下推自动机下推自动机基本概念；空栈接受的下推自动机；终态接受的下推自动机；空栈接受和终态接受两类下推自动机定义之间的等价性第8讲上下文无关文法与下推自动机的等价性从上下文无关文法构造等价的下推自动机；从下推自动机构造等价的上下文无关文法第9讲确定下推自动机确定下推自动机的概念；确定下推自动机与正规语言的关系；前缀性质及空栈接受的确定下推自动机；确定下推自动机与上下文无关语言的关系；确定下推自动机与无二义文法的关系第10讲上下文无关文法的简化及 Chomsky 范式消去无用符号；消去 产生式；消去 Unit 产生式；Chomsky 范式第11讲上下文无关语言的性质与运算针对上下文无关语言的 Pumping 引理；应用Pumping 引理证明某个语言不是上下文无关语言；有关上下文无关语言的几个判定性质（是否为空，是否含特定串）；CYK 算法；关于上下文无关语言的封闭运算（替换，并，反向，闭包，连接，同态，反同态，与正规语言的交）第12讲图灵机与递归可枚举语言图灵机的概念与定义；递归可枚举语言；递归语言；基本图灵机的几种编程技巧（利用带存储区的状态，多道图灵机，子例程）；对基本图灵机的扩展（多带图灵机，非确定图灵机）；受限的图灵机（半无穷带图灵机，多栈机，计数器机）；图灵机与普通计算机第13讲计算理论初步对角语言；递归语言和递归可枚举语言的补运算；通用语言；问题与语言的同一性；问题的归约；有关图灵机的判定问题（是否为空，是否非空，Rice 定理）；Post 对应问题与问题的不可判定性；P 问题与NP 问题；多项式时间归约；NP-完全问题；NP -难问题；可满足性问题；Cook 定理3、课程实验本课程未安排实验。