常见圆系几种形式

直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。

直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。

注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。

直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。

方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。

已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。

二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。

2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。

3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。

4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。

拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。

直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。

2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

圆方程的各种形式圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的几何图形。

圆方程描述了圆的性质和特征。

在本文中，我们将讨论圆方程的各种形式。

1.标准方程：圆的标准方程是最基本的形式，它使用圆心的坐标和半径来定义圆。

如果圆的圆心是(h,k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(x,y)是圆上的任意一点。

2.一般方程：圆的一般方程是另一种形式，它可以将圆的方程转换为一个二次方程。

一般方程的一般形式为：Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0其中A、D、E和F是常数。

要将标准方程转换为一般方程，你可以进行平方展开并将所有项相加。

3.参数方程：圆的参数方程使用参数t来表示圆上的点。

该方程的一般形式为：x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径。

参数t的范围通常是[0,2π]。

4.极坐标方程：圆的极坐标方程使用极坐标来描述圆。

该方程的一般形式为：r = a + b * cos(θ)其中a和b是常数，θ是角度。

通常情况下，θ的范围是[0,2π]。

5.中心半径形式：中心半径形式是另一种表达圆的方式。

它使用圆心的坐标和半径来定义圆。

该形式的一般形式为：(h,k)±r其中(h,k)是圆心的坐标，±表示圆的内外部，r是半径。

该形式更加简洁，适用于描述圆的位置关系。

6.过三点圆方程：如果给出了圆上的三个点的坐标，我们可以使用过三点圆方程来定义圆。

给定三个不共线的点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，过三点圆方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²其中a和b是圆心的坐标，r是半径。

7.方程组形式：方程组形式是将两个方程组合在一起来描述圆的方式。

一般形式为：f(x,y)=0g(x,y)=0其中f(x,y)和g(x,y)分别表示两个方程。

直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

圆系方程公式
圆系方程是几何学中一类重要的概念，也是数学中最基本的概念之一。

它是由欧几里得发明的，在17世纪出现在西方数学史上。

圆系方程是一个定义了圆的数学表达式，它可以用来描述圆的形状。

它的形式是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a和b是圆心的坐标，r 是圆的半径。

它可以用来表示一个圆的位置，大小和形状。

圆系方程在几何学中有很多应用，如计算面积、计算周长等。

圆系方程也可以用来描述几何图形，比如圆形，椭圆形，抛物线等，这些图形可以用圆系方程来描述。

此外，圆系方程还有许多工程应用，比如建筑设计、航空航天、城市规划等，它们都需要用圆系方程来表示几何图形，以便正确处理问题。

总之，圆系方程是一类重要的数学表达式，它在几何学和工程应用中都有着重要的作用，可以用来表示几何图形和计算面积、周长等。

圆系方程的理解与推导在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。

圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。

1. 标准圆方程：标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离等于半径的点构成了圆。

推导标准圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。

对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方得：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是标准圆方程。

2. 一般圆方程：一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。

这个方程描述了平面上满足该方程的点的集合构成了圆。

推导一般圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。

根据圆的定义，圆上的点与圆心的距离应等于半径。

因此，我们可以得到一个方程：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方后展开，并移项，可得：(x - h)² + (y - k)² - r² = 0进一步展开并整理，可得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：A = 1，B = 1，C = -2h，D = -2k，E = h² + k² - r²这就是一般圆方程。

通过推导和理解圆的方程，我们可以在平面几何中更好地描述和分析圆的性质和关系。

《直线和圆的方程》基础知识一.圆的定义:二.圆的标准方程:1.圆心在原点O ,半径为r 的圆的标准方程:2.圆心在点),,(b a C 半径为r 的圆的标准方程:注意:圆是标准式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?三.圆的一般方程:将圆的标准方程展开整理即可得圆的一般方程的基本形式: 即022=++++F Ey Dx y x1.一般的二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆所满足的条件是:注:圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 配方为),4(41)2()2(2222F E D E y D x -+=+++可得圆的圆心坐标为: 半径=r注意:圆是一般式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?2.更一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆所满足的条件是:1) 2) 3)3.解决圆的方程的方法有:1)几何法:根据几何条件,直接求出圆心坐标和半径2)待定系数法:即选取标准式与一般式中的某一种,代入条件,分别求出F E D r b a ,,,,或4.圆的方程设法的选择:实际上就是“待定系数”法1)通常,题目条件中涉及到圆心的位置和半径大小的,就设标准式。

否则,就设一般式2)一般地,题目条件中涉及到圆经过两个及两个以上点的,设一般式四.直线与圆的位置关系判断:(一).判别式法:将圆的方程和直线的方程联立,消去y x 或,看判别式的正负∆情况: 当0>∆ 当0=∆ 当0<∆(二).几何法:先计算圆心C 到直线L 的距离d ,再与圆的半径r 进行比较:当r d >时, 当r d =时, 当r d <时,五.两圆的位置关系:判断方法有几何法与代数法,主要用几何法.(一)设圆1C 的半径为;R 圆2C 的半径为r (r R ≥),两圆圆心之间的距离21C C ,则:1.当 时,两圆外离;2.当 时,两圆外切;3.当 时,两圆相交;4.当 时,两圆内切;5.当 时,两圆内含,特殊地,当 时,两圆同心(二)两圆在各种情况下公切线的条数:注意:两圆公切线方程的求法:六.圆的切线方程:(一)过圆上一点的切线方程:1.过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是:1)圆222r y x =+斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±2.过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 上一点的切线方程:1)过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点P 00(,)x y 的切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= (二)过圆外一点),(00y x P 作圆的切线,有两条,其切线方程的求法如下:先根据已知的一点),(00y x P 设出切线L 的点斜式方程,再根据圆心C 到切线L 的距离等于半径r ,从而求出切线的斜率k ,进而求出切线L 的方程.过圆外一点),(00y x P 作圆的切线方程另法: ①过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件0=∆求,k 必有两条切线.若求得的k 值只有一个,则另一条直线的斜率k 不存在,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.②斜率为k 的切线方程设为y kx b =+,利用相切条件求,b 必有两条切线,即两个b 值. 注:过圆外一点),(00y x P 作圆C :022=++++F Ey Dx y x 的切线,有两条,其切线的长度为F Ey Dx y x L ++++=002020 (三)切点弦的方程:过圆022=++++F Ey Dx y x 外一点P 00(,)x y 作圆的切线有两条,切点有两个B A ,,则过两个切点B A ,的弦所在的直线方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= 七.圆或圆系方程的设法: (一)经过直线0:=++C By Ax L 与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:(二)经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:注:经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,的公共弦所在的直线方程为(三)几种特殊条件下圆的方程的设法:1.经过原点:2.圆心在x 轴上:3.圆心在y 轴上:4.与x 轴相切:5.与y 轴相切:6.与x 轴,y 轴都相切:7.圆心在x 轴上,且与y 轴相切:8.圆心在y 轴上,且与x 轴相切:9.已知1122(,),(,)A x y B x y 以线段AB 为直径的圆的方程:八.线性规划:1.基本概念:A)约束条件和线型约束条件;B)目标函数和线型目标函数;C)可行解与可行域;D)最优解;E)线性规划;2.简单线性规划问题求解步骤:A)画出约束条件确定的可行域;B)令目标函数z Ax By =+,作直线0:0=+By Ax l ;C)平移0l 利用z 的几何意义确定最优解所对应的点的位置:当0>B 时,直线0l 的纵截距最大时,目标函数取得最大值;纵截距最小时,目标函数取得最小值.当0<B 时,则相反;D)解出最优解的坐标,代入目标函数求得最值;。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。