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材料力学刘鸿文第七章-强度理论

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材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

材料力学第20讲 Chapter7-4第七章 强度理论

材料力学第20讲 Chapter7-4第七章 强度理论
33
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

材料力学应力和应变分析强度理论

材料力学应力和应变分析强度理论

§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP

《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解

《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解
解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。

材料力学 第七章 应力状态和强度理论

材料力学 第七章 应力状态和强度理论

y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。

材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论

材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2

材料力学

材料力学

Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( xdA cos )cos
( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
Ft 0
dA ( xydAcos ) cos ( xdA cos )sin
1 2 3
应力状态的分类
1.空间应力状态 :三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态: 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态: 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 1 3 2
3
1 1
2 1
1
2
对于球形容器受力具有对称性分布特点，所以
包含直径的任意截面上都无切应力，正应力都
应为
。省略半径方向的应力，则有
3 0
1 2
二向应力状态
例 3 (书例7.1) 已知：蒸汽锅炉， t=10mm, D=1m, p=3MPa 。 求：三个主应力。
解：
前面已得到
pD pD 150 MPa 75 MPa, 2t 4t 1 150 MPa, 2 75 MPa, 3 0
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
（2）主应力、主平面
y
xy

x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2

cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2

x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2

刘鸿文-材料力学(第五版)第七章 应力应变分析 强度理论

刘鸿文-材料力学(第五版)第七章 应力应变分析 强度理论
切应力为零的截面 5.主应力（Principal stress）
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ）
x y d 令 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2 2 xy 0 90 tan2 0 0 x y
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
3.重要结论（Important conclusions）
（1）拉中有剪,剪中有拉;
（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力; （3）同一面上不同点的应力各不相同; （4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
应 力
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态（state of stresses of a given point） 过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）

材料力学刘鸿文第七章-强度理论

材料力学刘鸿文第七章-强度理论

]
]
3
3、莫尔强度理论的相当应力：
M
1 [[
L ]
y]
3
三、实用范围：
试用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限 强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的 破坏（岩石、混凝土等）。
案例分析1: 把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
案例分析2: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体 积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可 知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰 不破裂，而水管发生爆裂。
6、机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，
宜采用
强度理论进行强度校核？
A：第一、第二； B：第二、第三； C：第三、第四； D：第一、第四；
7、某碳钢材料工作时危险点处于三向等值拉伸应 力状态，宜采用 强度理论进行强度校核？
A：第一 B：第二； C：第三； D：第四；
8、在三向压应力相等的情况下，脆性材料与塑性 材料的破坏形式为： 。
可选择莫尔强度理论。
莫尔强度理论
莫尔认为：最大剪应力是 使物体破坏的主要因素，但 滑移面上的摩擦力也不可忽 略（莫尔摩擦定律）。综合 最大剪应力及最大正应力的 因素，莫尔得出了他自己的 强度理论。
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
一、两个概念： 1、极限应力圆：
极限应力圆
s
O
s3
s2
脆性材料 第一强度理论 拉伸型和拉应力占主导的混 合型应力状态
第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少 数材料。 压应力占主导的脆断
二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况 不能只看材料必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响

材料力学-07-应力分析和强度理论

材料力学-07-应力分析和强度理论

§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2

刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章)【圣才出品】

第7章应力和应变分析强度理论7.1复习笔记一、应力状态一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。

应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；②任意一对平行平面上的应力相等。

主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。

其中，单元体上切应力为零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。

说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即σ1≥σ2≥σ3。

应力状态分类及实例（1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力σ1、σ2、σ3中只有一个不等于零。

实例：简单的拉伸或压缩。

（2）平面（二向）应力状态：三个主应力σ1、σ2、σ3中有两个不等于零。

实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。

（3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力σ1、σ2、σ3，均不等于零。

实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。

二、二向应力状态分析1．解析法如图7-1-1（a）所示，一单元体abcd处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单元体eaf为研究对象，如图7-1-1（b）所示。

图7-1-1（1）符号规定：由x轴转到外法线n，逆时针转向夹角α为正；正应力仍规定拉应力为正；切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转向为正。

（2）应力计算①任意斜截面α上应力正应力：cos2sin222x y x y xy ασσσσσατα+-=+-切应力：sin 2cos 22x y xy ασστατα-=+②主应力主应力的大小2max 2min 22x y x y xy σσσσστσ+-⎛⎫⎫=±+⎬ ⎪⎭⎝⎭将σmax 、σmin 和0按大小顺序排列，分别记为σ1、σ2和σ3。

主平面方位角tan2α0＝－2τxy /（σx －σy ）约定|α0|＜45°，即α0取值在±45°范围内，则确定主平面的规则为：当σx ≥σy 时，α0是σx 与σmax 之间的夹角；当σx ＜σy 时，α0是σx 与σmin 之间的夹角。

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