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2
7、 如果 ε 1 , ... , ε m 是子空间 V1 ⊂ V 的标准正交基， 而 ε 1 , ... , ε m , ε m +1 , ... , ε n 是
2λ + 1
V 的标准正交基，那么 V1 的正交补 V1⊥ = L ( ε m +1 , ... , ε n ) 。 （
）
8、如果 α , β ∈ R n 分别属于 n 级实对称矩阵 A 的特征值 λ = 1 和 λ = −1 的特 征向量，那么内积 (α , β ) = 0 。 9、 V1 = {( a , b , c) | a + b + c = 0} 是 R 3 的一个子空间。 （ （ ） ） ）
(1) V1 ∩ V2 = {0} ,
4、下列线性空间 R 3 的变换中不属于线性变换的是（
d 2 (λ ) = d 1 (λ ) = 1 。
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（
）
∞
数学与应用数学、信息与计算科学 2006 级《高等代数》试卷（A）
2、两个数字矩阵 A、B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子。 （ ⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3、若尔当块 ⎜ 1 2 0 ⎟ 的初等因子是 (λ − 1) 2 。 ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ （
总 评分： 分 满分：100
玉林师范学院期末课程考试试卷
（2007——2008 学年度第一学期）
线
） 。
(3) | A(λ ) |= d ≠ 0 ，其中 d 是一个非
命题教师：凌征球 课程名称：高等代数
题 号 一 10 应得分 实得分 评卷人 签 名
命题教师所在系：数计系 考试专业：数学、信计(本)科
5、设 α 1 , α 2 , α 3 是三维欧氏空间 V 的一组标准正交基， α = α1 + α 2 − 2α 3 ，
β = −α 1 − 2α 2 + 2α 3 ，则内积 (α , β ) =
。
5、V 一组基 ε 1 , ε 2 , ... , ε n 是标准正交基的充分必要条件是 ε 1 , ε 2 , ... , ε n 的度 量矩阵是单位矩阵 E。 6、正交变换保持向量的夹角不变。 （ （ ） ）
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10、如果矩阵 A、B 相似，那么有 | λE − A | = | λE − B | 。 （ 三、填空题（每小题 2 分，共 12 分） 0 0 ⎞ ⎛ λ −1 ⎜ ⎟ 1、 λ − 矩阵 ⎜ 0 λ −2 0 ⎟ 的行列式因子 D1 (λ ) = ⎜ 0 0 λ − 3⎟ ⎝ ⎠
， D2 (λ ) =
f (λ ) = λ3 + λ2 + 2λ + 3 。 （6 分）
3、设 σ 为欧氏空间 V 的正交变换，证明 σ 是 V 的对称变换的充分必要条件 是 σ 2 = ε , ε 为 V 的单位变换。 （6 分）
2、定义欧氏空间 R 3 的一个双射 σ : R 3 → R 3 如下： ⎛ 1 1 1 1 2 1 1 1 ⎞ σ ( x1 , x2 , x3 ) = ⎜ x1 + x2 , x1 + x2 − x3 , x1 + x2 + x3 ⎟ ⎜− ⎟， 2 6 6 6 3 3 3 ⎠ ⎝ 2
(2) α 关于欧氏空间 V 的任一组基 ε 1 , ε 2 , ... , ε n 的矩阵都是正交矩阵； (3)如果 ε 1 , ε 2 , ... , ε n 是标准正交基，那么 σ (ε 1 ) , σ (ε 2 ) , ... , σ (ε n ) 也是标准正 交基。 二、判断题（认为是正确的打√，是错误的打×，每小题 1 分，共 10 分）
数学与应用数学、信息与计算科学 2006 级《高等代数》试卷（A）
4、在 R 3 中，已知 α 1 = (1 , 1 , 0) , α 2 = (1 , 2 , 0) , α 3 = (1 , 2 , 3) ， （1）证明 α 1 , α 2 , α 3 是 R 3 的一组基； （2）求出 ε 1 = (1 , 0 , 0) , ε 2 = (0 , 1 , 0) , ε 3 = (0 , 0 , 1) 到 α 1 , α 2 , α 3 的过 1 ⎞ ⎛−3 1 ⎜ ⎟ 3、设有实对称矩阵 A = ⎜ 1 − 3 1 ⎟ ， ⎜ 1 1 − 3⎟ ⎝ ⎠ （1）求 A 的特征值与相应的特征向量； （2）求正交矩阵 T 使得 T / A T 成对角形矩阵。 （14 分） 渡矩阵； （3）求向量 α = (1 , 1 , 1) 在基 α 1 , α 2 , α 3 下的坐标。 （14 分）
，
D3 (λ ) =
。 0 8 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ 2、求复数矩阵 A = ⎜ 3 − 1 6 ⎟ 的若尔当标准形。 （12 分） ⎜ − 2 0 − 5⎟ ⎝ ⎠
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2、6 级矩阵 A 的初等因子是 λ − 1 , (λ − 1) 2 ， λ + 1 , (λ + 1) 2 ，那么 A 的不变 因子是 。
/
） 。
(1)维(V) > n
(2) 维(V) = n
(3) 维(V) < n ） 。
10、下列命题不是与正交变换 σ 等价的是（ (1)对于任意向量 α ∈ V 都有 | σ (α ) | = | α | ；
是Hale Waihona Puke (1)合同的,） 。 (2)相似的, (3)既是合同的又是相似的. ） 。 (3)正交矩阵.
得
分
评卷人
(1) | (α , β ) |=| α | | β | (3) | (α , β ) | > | α | | β |
(2) | (α , β ) | < | α | | β |
订∞
9、欧氏空间 V 与 R n 同构的充分必要条件是（ 一、单项选择题（每题 1 分，总计 10 分，请将你认为正确的序号填在该题 后的括号内） 1、如果矩阵 T 是一个正交矩阵，并且有 T A T = B ，那么矩阵 A、B 的关系
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试证明： （1） σ 是一个线性变换； （2） σ 是 R 3 到 R 3 的一个同构映射。 （6 分）
五、证明题（18 分） 0 3 ⎞ ⎛λ ⎛1 0 ⎜ ⎟ ⎜ 1 、证明 λ − 矩阵 A(λ ) = ⎜ − 1 λ 2 ⎟ 的标准形是 ⎜ 0 1 ⎜ 0 − 1 λ + 1⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ，其中 f (λ ) ⎟ ⎠
0 ⎞ ⎛ λ −1 1 ⎜ ⎟ 1 、 λ - 矩 阵 ⎜ 0 λ − 1 1 ⎟ 的 不 变 因 子 d 3 (λ ) = (λ − 1) 3 ， 而 ⎜ 0 0 λ − 1⎟ ⎝ ⎠
2、下列矩阵中属于对称矩阵的是（
装
(1)过渡矩阵,
(2)度量矩阵,
3、线性空间 V 中的两个子空间 V1 , V2 的和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是 （ ） 。 (2) 维( V1 )=维( V2 ), (3) V1 ⊂ V2 ） 。
∞
系(院): 年级: 专业: 班别: 学号: 姓名: 座位号: —————————————————————————————————————————————————————— 密 封 线 内 不 要 答 题
考 试 时 间 200 年 月 日 （ ）午
(1) σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) ， (2) σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x1 ) ， (3) σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 , x2 − x3 , x3 − x1 ) 5、一个 λ 矩阵 A(λ ) 是一个可逆矩阵的充分必要条件是（ (1) A(λ ) ≠ 0 (2) | A(λ ) |≠ 0 试卷类型： （A） 考试年级：2006
二 10 三 12 四 50 五 18
零的数。 6、如果 λ -矩阵 A(λ ) 和 B(λ ) 等价，那么一定没有（ (1)行列式因子相同 (2)不变因子相同 ） 。
(3) | A(λ ) |=| B(λ ) | ） 。
7、一个复数矩阵 A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是（ (1)A 的行列式因子都是一次的 (3)A 的初等因子都是一次的 8、在欧氏空间 V 中，如果向量 α , β 线性无关，那么（ ） 。 (2)A 的不变因子都是一次的
6、设 σ 是欧氏空间 V 的线性变换，如果对于任意的 α , β ∈V 都有 ，则称 σ 是一个对称变换。 四、计算题 ⎡ λ −1 1、用初等变换化 λ − 矩阵 A(λ ) = ⎢ ⎢ λ 2 ⎢ ⎣1 + λ −λ ⎤ （10 分） λ −λ ⎥ ⎥ 为标准型。 2 2 λ + λ − 1 −λ ⎥ ⎦
） ）
3、欧氏空间 C ( − 1 , 1 ) 的函数 f ( x) = 1 + x 的长度 | f ( x) |=
。
4 、 R 3 的 基 α 1 = (1 , 0 , 0) , α 2 = (1 , 1 , 0) , α 3 = (1 , 1 , 1) 的 度 量 矩 阵 是 。
4 、设 α = (a1 , a 2 ) , β = (b1 , b2 ) 是实空间 R 2 的任意向量，则 R 2 关于内积 (α , β ) = a1 b2 + a 2 b1 构成一个欧氏空间。 （ ）
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