八年级数学分式单元复习与巩固

人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。

三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质 1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分ABAB利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质a b a b c c c±±=a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠1、在中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当为何值时，分式的值为0？【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值． 【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得 解得．∴ 当时，分式的值为0．【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三： 【变式】（1）若分式的值等于零，则＝_______；（2）当________时，分式没有意义．【答案】（1）由＝0，得. 当＝2时－2＝0，所以＝－2； （2）当，即＝1时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：．【答案与解析】解： ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π()21131x x a x x x y m+++，，，x 293x x -+290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩3x =3x =293x x -+x x 24x -2x =±x x x 10x -=x 2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+--．【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把和先约分；二是将和约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键． 举一反三：【变式】（2019•滨州）化简：÷（﹣）【答案】 解：原式=÷=•=﹣．类型三、分式方程的解法4、（2019•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得 3x +3﹣x ﹣3=0， 解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0． ∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 举一反三：【变式】，【答案】解： 方程两边同乘以，得22(1)(2)(1)x x x +=-+-2(1)x -2321x x x ++-(1)x -(1)x -()1231244x x x -=---()24x -检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解． 类型四、分式方程的应用5、（2019•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解． 答：原计划每天铺设20米管道． 【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】解：设王老师步行的速度为 km/h ，则他骑自行车的速度为3 km/h ．根据题意得：．解得：．经检验是原方程的根且符合题意． 当时，．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ． 【巩固练习】()()12422332x x x =---=-∴32x =-()240x -≠32x =-x x 230.50.520360x x ⨯+=+5x =5x =5x =315x =一.选择题1．（2019春•无锡期末）下列各式：（﹣m ）2，，，x 2+y 2，5，，中，分式有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个2.把分式中的都扩大3倍，则分式的值( )． A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的D.不变3．下列各式中，正确的是( )． A.B.C.D.4.式子的值为0，那么的值是（ ） A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在5．（2019•德州）化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣6.下列分式中，最简分式是( )．A.B. C.D.7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）．A ．B ．C ．D ．8.方程的解是（ ） yx x+2x y 、31y x yx y x y x +-=--+-y x yx y x y x ---=--+-yx yx y x y x -+=--+-yx yx y x y x ++-=--+-222x x x +--x 21521yxy y x y x +-22222x xy y x y-+-y x y x -+222514326242y yy y+-+=--()()2642y y --()23y -()()423y y --()()232y y --14233x x x -+=--A ．0B ．2C ．3D ．无解二.填空题 9．若x ＞，那么的值是______________．10．当______时，分式有意义． 11．当______时，分式的值为正． 12．＝______．13.（2019•内江）化简：（+）= ．14.写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）． 15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 16．方程的解是______． 三.解答题17.计算；（2）． 18.已知． 19. 已知，求的值． 20.（2019•济南）济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；x 121-+x x x 122+-x 2232)()(yx y x -÷2218324()m n m mn =2()a b ab a b -=22()x xy x yx --=1712112-=-++x x x 256x x x x -=--2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭222244244x x x x x x x +-++++1x =+2111242x x x +-+--345x y z ==23x y x y z+-+【解析】解：（﹣m ）2，，x 2+y 2，5，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式．故选B ． 2. 【答案】D ； 【解析】.3. 【答案】A ； 【解析】.4. 【答案】B ；【解析】由题意且，解得.5. 【答案】B ； 【解析】解：原式=+=+==，故选B .6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；【解析】原方程的最简公分母为. 8. 【答案】D ；【解析】解分式方程得，经检验，为原方程的增根.二.填空题9. 【答案】1； 【解析】若x ＞，不等式两边同时乘以5，得到5x ＞2， 则2﹣5x ＜0，∴|2﹣5x|=5x ﹣2， 那么==1．. 10.【答案】； 11.【答案】； 【解析】要使分式的值为正，需，解得. 23322333()x x xx y x y x y⨯⨯==+++()()x y x y x yx y x y x y-+---==---+++2=0x 220x x --≠2x =-()()232y y --3x =3x =12≠12<-210x +<12x <-12.【答案】；【解析】.13.【答案】a ； 【解析】解：原式=•=（a +3）•=a ．14.【答案】（1） （2） （3）15.【答案】；16.【答案】；【解析】去分母得，，化简得：，经检验，是原方程的根.三.解答题 17.【解析】 解：（1）．（2）原式．18.【解析】 解：原式 ． 当．4x y264324232()()x x x y x y y y y x-÷=⋅=4n 2a ab -x 21x -10x =()()()625x x x x -=--10x =10x =2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷-⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦3186(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=÷+-+-3(6)(2)(2)3(2)(2)6a a a a a a ++-==+-+2(4)(2)(2)4222(2)(2)222x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++2111224x x x =-++--22(2)(2)144x x x x --+=+--222413444x x x --=+=---1x =+==19.【解析】解： 设，则，，．所以．20.【解析】解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：﹣=4，解得：x=80，经检验：x=80是原分式方程的解， 3x=3×80=240，答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．345x y zk ===3x k =4y k =5z k =347723324351010x y k k k x y z k k k k ++===-+-⨯+⨯。

【巩固练习】 一.选择题1．下列关于x 的方程，其中不是分式方程的是（ ）A.aba a x +=+1 B.x a b x b a +=-11 C.b x a a x 1-=+ D.1=-+++-n x m x m x n x2．ba b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．13．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．无解4．（2015春•四川校级期中）关于x 的分式方程=2+有增根，则实数k 的值为（ ）A ． 3B .0 C.±3 D ． 无法确定5．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=+ B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x-=-D ．480480204x x-=-6．化简22)11(y x xy y x -⋅-的结果是( )． A ．y x +1B ．yx +-1C ．x y -D ．y x -7.若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根，则a 的值为（ ）．A ．13B ．-11C ．9D ．3 8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）A ．a b b +倍 B ．b a b +倍 C ．a b b a +-倍 D ．b ab a-+倍 二.填空题9．若分式1||2--x xx 的值为0，则x 的值为______．10．若2212x y xy -=，且xy ＞0，则分式yx yx -+23的值为______．11．化简2222936a b a b ab =-______；2426a a ab -＝______． 12．化简﹣的结果是__________．13．如果，则=____________．14．（2014秋•沧浪区校级期中）已知，则= ．15．若分式方程127723=-+-xax x 的解是0x =，则a =______．16．a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________． 三.解答题 17.（1）已知13a a +=，求221a a +，441a a +的值； （2）已知2217a a +=，求1a a-的值．18.（2014秋•北京校级期中）已知x 2﹣x ﹣6=0，求的值．19.a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？20. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分式方程是分母含有未知数的等式. 2. 【答案】B ； 【解析】2222()()()()a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b++++-++÷⨯=⨯⨯=----+--. 3. 【答案】D ；【解析】去分母得，()3226x x =-+，解得2x =是增根.4. 【答案】A ；【解析】解：分式方程去分母得：x=2x ﹣6+k ，由分式方程有增根，得到x ﹣3=0，即x=3， 把x=3代入整式方程得：k=3． 故选A ．5. 【答案】A ；【解析】原计划所用时间为480x，实际所用时间为48020x +，选A ．6. 【答案】B ； 【解析】22111()()()xy y x xy x y x y xy x y x y x y--⋅=⋅=---++. 7. 【答案】D ；【解析】因为所给的关于x 的方程有增根，即有30x -=，所以增根是3x =．而3x =一定是整式方程240x x a -+=的根，将其代入得23430a -⨯+=，所以3a =．8. 【答案】C ；【解析】不妨设甲乙两人开始时相距s 千米，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，则根据题意有1212(),().s a v v s b v v =+⎧⎨=-⎩于是 1212()()a v v b v v +=-，所以 21()()a b v b a v +=-，即12v a b v b a +=-．甲的速度是乙的a b b a+-倍． 二.填空题9. 【答案】0；【解析】由题意20x x -=且||10x -≠，解得0x =. 10.【答案】1；【解析】由2212x y xy -=得()()430x y x y -+=，因为xy ＞0，所以4x y =，代入原式得312x yx y+=-.11.【答案】32ab a b -；312ba-； 【解析】222222993363(2)2a b a b ab a b ab ab a b a b ==---；2663242(12)12ab ab ba a a a a==---.12.【答案】a+1； 【解析】﹣=.13.【答案】； 【解析】∵，∴a=2b，=．14.【答案】；【解析】解：设=k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，则===．15.【答案】7；【解析】将0x =代入原方程，解得7a =.16.【答案】2a c；【解析】每人每天做cab个零件，b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是 21c ab a a b a ab b c c÷÷=⨯⨯=．三.解答题17.【解析】 解：（1）因为13a a+=，所以0a ≠， 所以2213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22129a a ++=．所以2217a a +=．同理可得44147a a+=． （2）因为2217a a +=，所以22125a a+-=，所以215a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1a a -=18.【解析】 解：∵x 2﹣x ﹣6=0，∴x 2=x+6，∴把x 2=x+6代入：原式=6(6)636x x x x +++++=26642x x x x ++++ =66742x x x ++++=6848x x ++=68(6)x x ++=18所以原式的值是18. 19.【解析】解：方程两边都乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-．整理得(1)10a x -=-． 当1a =时，方程无解． 当1a ≠时，101x a =--． 如果方程有增根，那么(2)(2)0x x +-=，即2x =，或2x =-．当2x =时，1021a -=-，所以4a =-； 当2x =-时，1021a -=--，所以6a =．所以当4a =-或6a =时，原方程会产生增根．20.【解析】解：（1）设第一批购进书包的单价为x 元，则第二批购进书包的单价为(4)x +元，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个． 依题意，得2000630034x x ⨯=+， 整理，得20(4)21x x +=，解得80x =．经检验80x =是原方程的根.（2）20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=（元）． 答：第一批购进书包的单价为80元．商店共盈利3700元．。

目标：1.复习和巩固八年级数学中关于分式的基本概念和运算规则；2.练习运用分式解决实际问题。

一、概念复习1. 分式概念回顾：分式是指分子和分母分别是代数式的表达式，形如$\frac{a}{b}$ ；2.分式的基本性质：分式的值可以是实数或者未知数，且分式可以约分；3.分式的约分：找出分子和分母的公因式，进行约分；4.分式的乘法：将两个分式化为最简形式后，分别计算其分子和分母的乘积，然后组合成一个新的分式；5.分式的除法：将除数和被除数的分式化为最简形式后，先转化为乘法问题，然后乘以被除数的倒数；6.分式的加法和减法：将分式化为通分后的最简形式，然后计算分子的和或差，再将结果与公共分母组合成一个新的分式。

二、运算规则回顾1. 分式乘法的运算规则：$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$；2. 分式除法的运算规则：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$；3. 分式加法的运算规则：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$；4. 分式减法的运算规则：$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。

三、应用练习例题1：小明每天都要喂养自己的宠物狗。

如果小明在一天中的$\frac{2}{5}$的时间里喂食狗粮，如果小明一天有6小时的时间，他每天要花多少时间喂食狗粮？解题思路：利用分式乘法的运算规则，将小明一天的时间$\frac{2}{5}$乘以一天的总时间6小时，得到的结果即为小明每天花在喂食狗粮上的时间。

解题步骤：1. 计算$\frac{2}{5}\cdot6$；2.化简分式，计算并写出结果。

例题2：若$\frac{a}{b}=2$，$\frac{c}{d}=3$，求$\frac{a-c}{b-d}$的值。

分式单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．重点1.分式的基本性质；2.分式的四则运算；3.分式方程的解法．难点1. 分式的四则混合运算；2. 根据实际问题列出分式方程．三、知识要点梳理知识点一、分式的有关概念及性质1.分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.3.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.知识点二、分式的运算1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．知识点三、分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．知识点三、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．四、规律方法指导1.分式的概念需注意的问题(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．2.约分需明确的问题(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.4.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系;(2)设——合理设未知数;(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程;(5)验——检验增根；(6)答——答题．。

专题：分式复习与巩固〖难点分析〗一、分式的概念需注意的问题（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有_______的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．二、约分需明确的问题（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(恒等变化)（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的_______，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．三、确定最简公分母的方法（1）最简公分母的系数，取各分母系数的____________________；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的_______________________.四、分式的混合运算顺序五、分式方程1、分式方程的解法2、分式方程的增根问题六、列分式方程解应用题的基本步骤（1）审——仔细审题，找出等量关系；（2）设——合理设未知数；（3）列——根据等量关系列出方程；（4）解——解出方程；（5）验——检验增根；（6）答——答题。

〖题型总结〗类型一：分式的定义及其基本性质例1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．若分式242x x --的值等于零，则x ＝ ； 例3 ．求分式32234111,,246x y z x y xy 的最简公分母。

举一反三：【变式1】（1）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 （2）当x 时，分式11x -没有意义． 【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A ．122122x y x y x y x y --=++B ．0.220.22a b a b a b a b++=++ C ．11x x x y x y+--=-- D ．a b a b a b a b +-=-+ 类型二：分式的运算技巧（一）通分约分例4．化简分式:32221311x x x x x x x ----++-举一反三：【变式1】顺次相加法 计算：2112111xx x x +--++【变式2】整体通分法 计算：211x x x -+-（二）裂项或拆项或分组运算例5．巧用裂项法 计算：1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x x +++++++++++L L举一反三：☆【变式1】分组通分法 计算：22221111213243x x x x x x x x +--+++++++【变式2】分子降次法 计算：222236523256x x x x x x x x ++++-++++类型三：条件分式求值的常用技巧例6．参数法 已知235x y z ==-，求232x y z x++的值．举一反三：☆【变式1】整体代入法 已知111a b -=，求2322a ab b a ab b+---的值。