【优化课堂】2016-2017高中数学人教A版必修1练习：1.2.1 函数的概念.doc

第一章 1.2 1.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是导学号 69174212( B ) A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 2．f (x )＝1＋x ＋x1－x的定义域导学号 69174213( D ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D ． 3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是导学号 69174214( A )[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A ． 4．(2016·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是导学号 69174215( C )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C ．5．下列各组函数表示相等函数的是导学号 69174216( C ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z[解析] A 项中y ＝x 2－9x －3可化为y ＝x ＋3(x ≠3)，∴定义域不同；B 项中y ＝x 2－1＝|x |－1.∴定义域相同，但对应关系不同；D 项中定义域相同，但对应关系不同；C 项正确，故选C ．6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为导学号 69174217( C ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个D ．至少一个[解析] 根据函数定义，一个自变量x 只能对应一个函数值y ，而y ＝f (x )的定义域中不一定含有m .二、填空题7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝__－56__.导学号 69174218[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－56.8．用区间表示下列数集：导学号 69174219 (1){x |x ≥1}＝__[1，＋∞)__； (2){x |2＜x ≤4}＝__(2,4]__；(3){x |x ＞－1且x ≠2}＝__(－1,2)∪(2，＋∞)__． 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：导学号 69174220 (1)y ＝ x ＋1 2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3. [解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [点评] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2).导学号 69174221 (1)画出f (x )的图象； (2)根据图象写出f (x )的值域． [解析] (1)f (x )的图象如图所示．(2)观察f (x )的图象可知，f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，故f (x )的值域是[－1,3]．B 级 素养提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2 ③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个.导学号 69174222( B ) A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B ． 2．下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是导学号 69174223( C ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件．3．A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是导学号 69174224( B )[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B ． 4．(2016～2017·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝导学号 69174225( B )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是__(1,2)__.导学号 69174226[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是__[－3,0]∪[2,3]__；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是__[1,2)∪(4,5]__.导学号 69174227[解析] 观察函数图象可知 f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域：导学号 69174228 (1)y ＝31－1－x ；(2)y ＝ x ＋1 0|x |－x ；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. [解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．C 级 能力拔高1．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，导学号 69174229(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值． (3)求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．[解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1， 所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x 21－x 2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33.(3)由已知得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1， －f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．2．已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32，是否存在实数m ，使得该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取值范围也是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.导学号 69174230[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x －1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m ，使该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取值范围也是[1，m ]，则需m >1，且f (m )＝m ，即12m 2－m ＋32＝m ，即m 2－4m ＋3＝0， 解得m ＝3或m ＝1(舍去m ＝1)． 故存在实数m ＝3满足条件．。

教学设计1.2.1函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时作者：高建勇导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQ请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组．(2)让学生回想f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝⎛⎭⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝⎛⎭⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义． 则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练1．函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域为__________．答案：{x |x ≤1，且x ≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式． 2．若f (x )＝1x的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．∁U MD ．∁U N解析：由题意得M ＝{x |x ＞0}，N ＝R ，则M ∩N ＝{x |x ＞0}＝M . 答案：A3．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)的定义域是________． 解析：要使函数f (2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x －1≤1，1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________.解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )． ∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x 的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )A ．A ∪B ＝B B ．AB C ．A ⊆B D ．A ∩B ＝解析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于BA ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0； f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下： 由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )． ∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解．作业课本习题1.2A 组 1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念． 2．函数的定义域的求法． 导入新课思路1．当实数a ，b 的符号相同，绝对值相等时，实数a ＝b ；当集合A ，B 中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x 是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究 提出问题①指出函数y＝x＋1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的定义域和对应关系，并比较异同.④函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y＝x＋1的构成要素为：定义域R，对应关系x→x＋1，值域是R.②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同．④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题题下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y＝x的定义域是R，对应关系是x→x.(1)∵函数y＝(x)2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y＝(x)2与函数y＝x的定义域不相同，∴函数y＝(x)2与函数y＝x不相等．∴函数y＝3x3与函数y＝x的定义域相同．又∵y＝3x3＝x，∴函数y＝3x3与函数y＝x的对应关系也相同．∴函数y＝3x3与函数y＝x相等．(3)∵函数y＝x2的定义域是R，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同． 又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同． ∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴函数y ＝x 2x 与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等．点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由． ①y ＝x －1，x ∈R 与y ＝x －1，x ∈N ； ②y ＝x 2－4与y ＝x －2·x ＋2； ③y ＝1＋1x 与u ＝1＋1x ；④y ＝x 2与y ＝x x 2； ⑤y ＝2|x |与y ＝2,0,2,0.x x x x ≥⎧⎨-<⎩是同一个函数的是________．(把是同一个函数的序号填上即可) 解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可．①前者的定义域是R ，后者的定义域是N ，由于它们的定义域不同，故不是同一个函数；②前者的定义域是{x |x ≥2，或x ≤－2}，后者的定义域是{x |x ≥2}，它们的定义域不同，故不是同一个函数；③定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1，那么值域必相同，故是同一个函数；④定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④ 答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 3．下列各组函数是同一个函数的有________． ①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0；③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u ；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u .答案：②③④拓展提升问题：函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有几个交点？探究：设函数y＝f(x)定义域是D，当m∈D时，根据函数的定义知f(m)唯一，则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m，f(m))，即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m仅有一个交点；当m D时，根据函数的定义知f(m)不存在，则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点不存在，即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m没有交点．综上所得，函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N为值域的函数关系的是()图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加函数3．函数y＝x2与S＝t2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y＝x2与S ＝t2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝⎛⎭⎫11＋x ＝11＋11＋x . ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．。

课时作业(十) 函数的最大(小)值[学业水平层次]一、选择题1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图1-3-2所示，则此函数的最大、最小值分别为( )图1-3-2A ．3，0B ．3，1C ．3，无最小值D ．3，－2【解析】 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.【答案】 C 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5 【解析】 ∵函数f (x )＝2x －1在[2，6]上是单调递减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 C3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]，x ＋7 x ∈[－1，1），则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对【解析】 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10， 当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A. 【答案】 A4．函数y ＝x ＋2x －1的最值的情况为( ) A ．最小值为12，无最大值 B ．最大值为12，无最小值 C ．最小值为12，最大值为2 D ．无最大值，也无最小值【解析】 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞）上是增函数，∴函数最小值为12，无最大值，故选A.【答案】 A 二、填空题5．已知函数y ＝x 2－4x ＋6，当x ∈[1，4]时，则函数的值域为________． 【解析】 ∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2， ∴当x ＝2时，y 取得最小值2.∵函数y ＝x 2－4x ＋6在[1，2]上递减，在[2，4]上递增． 又当x ＝1时，y ＝3，当x ＝4时，y ＝6， ∴函数的最大值为6. ∴函数的值域为[2，6]． 【答案】 [2，6]6．(2014·济宁高一检测)函数f (x )＝1x 在[1，b ](b ＞1)上的最小值是14，则b ＝________．【解析】 因为f (x )＝1x 在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.【答案】 4图1-3-37．(2013·陕西高考)在如图1-3-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．【解析】 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．【答案】 20 三、解答题8．(2014·新田高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0＜x ≤1，x ，1＜x ≤2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的最大值和最小值．【解】 (1)当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23，当0＜x ≤1时，f (x )＝x 2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当1＜x ≤2时，f (x )＝x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)如图：(3)由图象可知：f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(0)＝0.9．(2014·宁波高一检测)已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．(1)[0，3]；(2)[－1，1]；(3)[3，＋∞)．【解】作出f(x)＝3x2－12x＋5的图象如图所示，(1)由图可知，函数f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.故在区间[0，3]上，当x＝2时，f(x)min＝－7；当x＝0时，f(x)max＝5.(2)由图可知，f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(－1)＝20.(3)由图可知，f(x)在[3，＋∞]上单调递增，∴f(x)min＝f(3)＝－4，无最大值．[能力提升层次]1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在[0，1]上单调递增． 又∵f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1. 【答案】 C2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，－2]D ．[1，2]【解析】 f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D. 【答案】 D3．已知f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[1，5]上的最小值为f (5)，则a 的取值范围是________．【解析】 对称轴方程为x ＝1－a ，因为f (x )在区间[1，5]上的最小值为f (5)，所以1－a ≥5，得a ≤－4.【答案】 a ≤－44．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤100，57＋12（x －100）＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x＋7＝76，即x＝138；二月用电12x＋7＝63，即x＝112；三月用电0.57x＝45.6，即x＝80；∴138＋112＋80＝330(度)∴第一季度共用电330度．。

活页作业(八) 函数的表示法1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.答案：D2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )＝( )A.x ＋1x －1 B ．1－x 1＋xC.1＋x 1－xD ．.2x x ＋1解析：设t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t ，f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x .答案：B3．已知函数f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5， 2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3解析：设f (x )＝kx ＋b (b ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝5，2b －(－k ＋b )＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 答案：B4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值等于( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2，令2x ＋1＝t ， ∴x ＝t －12，∴f (t )＝3·t －12＋2，∴f (x )＝3(x －1)2＋2，∴f (a )＝3(a －1)2＋2＝2，∴a ＝1.答案：A5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值等于________．解析：∵f (3)＝1，1f (3)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：26．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))＝______；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是______． 解析：∵g (1)＝3，∴f (g (1))＝f (3)＝1.又∵x ，f (g (x ))，g (f (x ))的对应值表为∴f (g (x ))＞g (f (x ))的解为x ＝2. 答案：1 27．下表表示函数y ＝f (x ).(2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合．解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]． 函数的值域为{－4,6,8,10}．(2)由于当5≤x ＜10时，f (x )＝6，因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤x ≤6.8．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：正方形边长为x4，而(2y )2＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫x 42， ∴y 2＝x 232.∴y ＝x 42＝28x .答案：C9．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察周长与梯形个数关系为l ＝3n ＋2(n∈N*)．答案：l＝3n＋2(n∈N*)10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于x成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，求：(1)函数f(x)及其定义域；(2)f(4)的值．解：(1)设g(x)＝k1x2(k1≠0)，h(x)＝k2x(k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－3x ，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)得f(4)＝2×42－34＝612.11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)＜f(0)＜f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数值域为(－∞，4]．12．已知函数f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一解，求函数f (x )的解析式，并求f (f (－3))的值． 解：由f (x )＝x ， 得xax ＋b ＝x ， 即ax 2＋(b －1)x ＝0. 因为方程f (x )＝x 有唯一解， 所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1. 又f (2)＝1，所以22a ＋1＝1，a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.1．如何作函数的图象．一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．如何求函数的解析式．求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质．。

1．2函数及其表示1．2.1函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.特殊区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (3)f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( )A ．2B ．4C ．±6D ．10 【解析】 ∵f (x )＝x ＋1，∴f (3)＝3＋1＝2.【答案】 A 3．函数f (x )＝11－2x有定义域是________(用区间表示)． 【解析】 由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为________． 【解析】 集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为(1，10]． 【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x ≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f (x )的图象为( )(2)下列函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 (3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{}x |x ≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g (x )＝x 2＝|x |，与f (x )＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g (x )＝x 2－4x －2＝x ＋2(x ≠2)，与f (x )＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x3＝x，与f(x)＝x的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D.【答案】(1)D(2)D(3)①因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，在对应关系f：x→y＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.【思路探究】解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x ≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f (x )：(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 【解析】 要使函数y ＝1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2，所以x ≤1且x ≠－12，故选D.【答案】 Df (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f (x )的定义域．【思路探究】 (1)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x ＋1≤3即可．(2)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x ≤3，求2x ＋1的取值范围． 【解】 (1)∵函数f (x )的定义域为[1，3]，即x ∈[1，3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]， 即函数f (2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x ∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]， 即函数 f (x )的定义域是[3，7]．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则f (2x )的定义域为__________．【解析】 因为f (x )的定义域为(0，1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f [g （3）] 【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)g (3)＝32＋2＝11，∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x ，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x 中f (3)＝2×3＝6.2．求f {f [f (x )]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g [f (3)]的值． 【解】 ∵f (3)＝11＋3＝14， ∴g [f (3)]＝g ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f 与x的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x和y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1和y＝t2＋1【易错分析】 易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x ≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数． 【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝（x ＋1）（x －1） B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝（x ）4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 【解析】 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f (x )＝（x ）4x ＝x (x＞0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎫t t 2＝t (t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。

温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word 文档返回原板块。

课时提升作业(六)函数的概念(30分钟 50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(·南充高一检测)函数y=√1−x +√x 的定义域为( ) A.{x|x ≤1} B.{x|x ≥0} C.{x|x ≥1或x ≤0} D.{x|0≤x ≤1}【解析】选D.由{1−x ≥0,x ≥0,得0≤x ≤1,故选D.【变式训练】(·德州高一检测)函数y=√2−x 的定义域是( ) A.[2,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,0]【解析】选C.由2-x ≥0得x ≤2,故函数y=√2−x 的定义域为(-∞,2]. 2.(·三明高一检测)下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是( ) A.y=(√x )2 B.y=2 C.y=√x 33D.y=x 2x【解析】选C.对于A,定义域不同,B 值域不同,D 定义域不同,y=33=x,故选C. 3.(·台州高一检测)若f(x)=2x x 2+2,则f(1)的值为( )A.13B.-13C.23D.-23【解析】选C.由f(x)=2xx +2,所以f(1)=2×11+2=23.【举一反三】本题条件不变,若f(a)=√22,则a 的值为多少?【解析】由f(a)=√22,得2a a 2+2=√22,整理得:a 2-2√2a+2=0, 即(a-√2)2=0,所以a=√2.4.(·济宁高一检测)下列函数中,与函数y=√x有相同定义域的是( )A.f(x)=√xxB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=√x−1√x 【解析】选A.y=√x的定义域为{x|x>0}. 对于A,由{x ≥0,x ≠0,即x>0,故f(x)=√xx 的定义域为{x|x>0}.对于B,f(x)的定义域为{x|x ≠0}. 对于C,f(x)=|x|的定义域为R. 对于D,由{x −1≥0,x >0,即x ≥1,故定义域为{x|x ≥1},所以选A.5.设集合M={x|0≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2},下面的四个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.①②③④B.①②③C.②③D.②【解析】选C.由函数的定义,对集合M 中的任意一个元素,在集合N 中都有唯一的元素与之对应,而①中对于集合M中满足1<x≤2的元素,在集合N中没有元素与之对应,故不表示集合M到集合N的函数关系;对于④集合M中的元素在N中有两个元素与之对应.故排除①④.【误区警示】本题易选答案B.错误的原因是只考虑了集合M中的元素在集合N 中有唯一的元素与之对应,而忽略了集合M中每一元素都有唯一的元素与之对应.6.(·包头高一检测)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)成立,对于B,f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)成立,对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x),对于D,f(2x)=-2x=2f(x)成立,故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设函数f(x)=41−x,若f(a)=2,则a= .【解析】因为f(a)=2,所以41−a=2,即4=2-2a,所以a=-1.答案:-18.(·昆明高一检测)函数f(x)=√x−3-√7−x的定义域为.【解析】由{x−3≥0,7−x>0,得{x≥3,x<7,即3≤x<7,所以函数f(x)的定义域为{x|3≤x<7}.答案:{x|3≤x<7}【变式训练】函数y=√2−x·√x−2的定义域为.【解析】由{2−x ≥0,x −2≥0,得{x ≤2,x ≥2,所以x=2,所以函数的定义域为{x|x=2}.答案:{x|x=2}9.下列各函数中,与y=2x-1是相等函数的是 . ①y=4x 2−12x+1;②y=2x-1(x>0);③u=2v-1;④y=√(2x −1)2.【解析】先认清y=2x-1,它是A=R(定义域)到B=R(值域)的映射. 再看①定义域为{x|x ∈R 且x ≠-12},是不同的;②定义域为{x|x>0},是不同的;④y=√(2x −1)2=|2x-1|={2x −1,x ≥12,1−2x,x <12,对应关系是不同的;而③定义域是R,值域是R,对应关系是乘2减1,与y=2x-1完全相同. 答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(·西双版纳高一检测)已知f(x)=x 2-4x+5. (1)求f(2)的值. (2)若f(a)=10,求a 的值.【解析】(1)由f(x)=x 2-4x+5,所以f(2)=22-4×2+5=1. (2)由f(a)=10,得a 2-4a+5=10, 即a 2-4a-5=0,解得a=5或a=-1. 11.已知函数f(x)=1+x 21−x ,(1)求f(x)的定义域. (2)若f(a)=2,求a 的值.(3)求证:f (1x)=-f(x).【解析】(1)要使函数f(x)=1+x 21−x 有意义,只需1-x 2≠0,解得x ≠±1,所以函数的定义域为{x|x ≠±1}. (2)因为f(x)=1+x 21−x 2,且f(a)=2,所以f(a)=1+a 21−a 2=2,即a 2=13,解得a=±√33.(3)由已知得f (1x)=1+(1x )21−(1x )2=x 2+1x 2−1, -f(x)=-1+x 21−x 2=x 2+1x 2−1,所以f (1x)=-f(x).(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(·北京高一检测)已知f 满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=3,f(3)=2,那么f(6)等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(ab)=f(a)+f(b),所以f(6)=f(2×3)=f(2)+f(3)=3+2=5. 2.(·济宁高一检测)函数f(x)=0|x|−x的定义域为( )A.{x|x<0}B.{x|x<-1}C.{x|x<0,且x ≠-1}D.{x|x ≠0}【解析】选C.由{x +1≠0,|x|−x >0,得{x ≠−1,|x|>x,所以x<0且x ≠-1,故选C.【变式训练】(·临沂高一检测)函数y=√x +1+12−x的定义域是 .【解析】由{x +1≥0,2−x ≠0,得x ≥-1且x ≠2,所以函数y=√x +1+12−x 的定义域为{x|x ≥-1且x ≠2}. 答案:{x|x ≥-1且x ≠2}3.(·哈尔滨高一检测)已知集合M={−1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:①y=x 2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x |,其中能构成从M 到N 的函数的是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.对于①集合M 中的元素4,在N 中无元素与之对应.对于②集合M 中的元素-1,2,4在N 中无元素与之对应.对于③,集合M 中的元素-1,1,4在N 中无元素与之对应.④符合函数的定义.【变式训练】(·温州高一检测)下列给出的四个图形中,是函数图象的有( )A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④【解析】选B.②中对于同一个x 有两个y 与之对应,不符合函数的概念,其余都符合.4.设f:x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B={1,2},则A ∩B 一定是( ) A.∅ B.∅或{1} C.{1} D.∅或{2}【解题指南】因为f:x →x 2是集合A 到集合B 的函数,又B={1,2},所以可求出x 的值,从而写出集合A,再求集合A 与集合B 的交集.【解析】选B.由f:x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B={1,2},由x 2=1,得x=±1,由x 2=2,得x=±√,则A={-1,1,-√,√}或A={-1,1,-√}或A={-1,1,√}或A={-1,√2,-√2}或A={1,-√2,√2}或A={-1,-√2}或A={-1,√2}或A={1,√2}或A={1,-√2}.所以A ∩B=∅或{1}. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(·桂林高一检测)已知函数f(x)=√2−x的定义域为M,g(x)=√x +2的定义域为N,则M ∩N= . 【解析】由f(x)=√2−x,得2-x>0,所以x<2,所以M={x|x<2};由g(x)=√x +2,得x+2≥0, 所以x ≥-2,所以N={x|x ≥-2}, 所以M ∩N={x|-2≤x<2}. 答案:{x|-2≤x<2} 6.已知函数f(x)=11+x,g(x)=x 2+2,则f(2)= ,f(g(2))= . 【解析】由f(x)=11+x,所以f(2)=11+2=13,由g(x)=x 2+2,所以g(2)=22+2=6, f(g(2))=f(6)=11+6=17.答案:1317【举一反三】本题条件不变,求g(f(2)),则结论如何? 【解析】由f(x)=11+x,所以f(2)=11+2=13,所以g(f(2))=g (13)=(13)2+2=199. 三、解答题(每小题12分,共24分)7.(·濮阳高一检测)判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数.(1)A=R,B={0,1},对应关系f:x →y={1,x ≥0,0,x <0.(2)A=Z,B=Q,对应关系f:x →y=1x .(3)A=Z,B=Z,对应关系f:x →y=√2x −1. (4)A={1,2,3,4},B={-1,1},对应关系如图.【解析】(1)(4)是函数,(2)(3)不是函数.(1)对于A 中任意一个非负数在B 中都有唯一元素1与之对应,对于A 中任意一个负数在B 中都有唯一元素0与之对应,所以是函数. (2)集合A 中的0元素在B 中没有元素和它对应,故不是函数.(3)集合A 中的0元素(或-1等),在B 中没有元素和它对应,故不是函数. (4)集合A 中的1和3在集合B 中有唯一的-1与之对应,集合A 中的2和4在集合B 中有唯一的1与之对应,故是函数.8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a 4,a 2+3a},a ∈N *,k ∈N *,x ∈A,y ∈B,f:x →y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.【解题指南】根据对应关系列出方程,通过字母的取值范围决定取舍.【解析】根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.若a4=10,则a∉N*,不符合题意,舍去;若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去),故3k+1=a4=16,得k=5.综上,a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.关闭Word文档返回原板块。

温馨提示：此套题为 Word 版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调理适合的观看比率，答案分析附后。

封闭 Word 文档返回原板块。

课后提高作业六函数的观点(45 分钟70 分)一、选择题 (每题 5 分，共 40 分 )1.(2016 ·上海高一检测)某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则以下选项中必定正确的选项是()A.y 是 x 的函数B.z 是 y 的函数C.w 是 z 的函数D.x 是 z 的函数【分析】选 B. 姓名不是数集，故A，D 不建立，成绩 w 可能与多个身高z 对应，不可以组成函数 .学号会合到身高会合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应独一一个身高，所以z 是 y 的函数 .2.若 f(x)=，则 f(1) 的值为()A. B.- C.D.-【分析】选 C.由 f(x)=，得 f(1)== .【延长研究】此题条件不变，若f(a)=，则 a 的值为多少？【分析】由 f(a)=，得=，整理得： a2-2a+2=0，即 (a-)2=0，所以 a=.3.(2016 ·潍坊高一检测 )函数 f(x)=-的定义域是()A.-，1B.C.D.【分析】选 B. 由 1-x>0 ， 3x+1>0 可得， - <x<1 ，进而得 B 答案 .4.(2016 ·唐山高一检测2)已知 f(x)= π (x∈ R) ，则 f( π )的值是 ()A. π2B. πC.D.不确立【分析】选 B. 由函数分析式可知该函数为常函数，所以自变量取随意实数时函数值不变，均为π .所以 f( π2 )=π.5.(2016 ·平湖高一检测)以下几个图形中，能够表示函数关系y=f(x) 的图象的是()【分析】选 A.A 中知足每一个自变量对应独一的函数值； B ， C， D 中关于某一部分自变量值对应两个函数值，所以不可以组成函数关系.6.以下函数中与函数y=定义域同样的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【分析】选 A.y=的定义域为{x|x>0}.关于 A ，由得x>0，故f(x)=的定义域为{x|x>0}.关于 B， f(x) 的定义域为 {x|x ≠ 0}.关于 C， f(x)=|x| 的定义域为R.关于 D，由得x≥ 1，故定义域为{x|x≥ 1}.7.(2016 ·东莞高一检测)设 A={x|0 ≤ x≤ 2} ，B={y|1 ≤y≤ 2} ，以下图形表示会合 A 到会合 B 的函数的图象的是()【解题指南】认真察看图形，正确选项中x 的取值范围一定是[0， 2]， y 的取值范围一定是[1， 2]，由此进行选用 .【分析】选 D.A 和 B 中 y 的取值范围不是 [1， 2]，不合题意，故 A 和 B 都不建立；C 中 x 的取值范围不是 [0， 2]， y 的取值范围不是 [1，2] ，不合题意，故 C 不建立；D 中， 0≤ x≤2，1≤y≤ 2，且关于定义域中的每一个x 值，都有独一的y 值与之对应，切合题意 .8.以下函数中，不知足 f(2x)=2f(x) 的是 ()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【分析】选 C.关于 A ， f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)建立，关于 B ， f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x)建立，关于 C， f(2x)=2x+1≠ 2f(x) ，关于 D ，f(2x)=-2x=2f(x) 建立 .二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )9.(2015 ·汕头高一检测 )函数 y=f(x) 的图象与直线 x=1 的公共点有个 .【分析】设函数的定义域为[a， b]，由函数的定义知，函数的定义域中含有元素 1 时， y 有独一的一个值与之对应，此时函数 y=f(x) 的图象与直线x=1 有一个交点 (如图①所示 )；定义域中不包括 1 时，函数图象与 x=1 没有交点 (如图②所示 ).答案： 0或1【误区警告】此题简单忽略 1 可能不在函数y=f(x) 的定义域中的状况.10.(2016 ·肇庆高一检测 )已知定义域为R，函数 f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈R)，且 f(x)>0 ，若 f(1)=，则f(-2)等于.【解题指南】函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) ·f(b)(a ，b∈ R)，且 f(x)>0 ，令 x=0 可求 f(0) ，而后由f(1)=可求f(2)，而后由f(0)=f(2)f(-2) 可求 f(-2).【分析】由于函数f(x) 知足 f(a+b)=f(a) · f(b)(a ， b∈ R)，且 f(x)>0 ，2所以f(0)=f (0)，所以 f(0)=1 ，由于 f(1)=，所以f(2)=f(1)· f(1)=，所以 f(0)=f(2)f(-2)=1 ，所以 f(-2)=4.答案： 4三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )11.(2016 ·重庆高一检测) 已知f(x)=，计算f(1)+f(2)++f(2016)+f+f+ +f.【解题指南】先计算f(x)+f的值，再对式子分组，而后乞降.【分析】 f(x)+f=+=+=1，故 f+f(2)=1，f+f(3)=1 ，， f+f(2016)=1 ，又 f(1)==，所以 f(1)+f(2)+ +f(2016)+f+f+ +f=f(1)+++ += +2015=.12.求函数 y=的定义域，并用区间表示.【分析】要使函数分析式存心义，需知足：即所以 -2≤ x≤ 3 且 x≠.所以函数的定义域是.用区间表示为-2，∪， 3 .【能力挑战题】若函数f(x)=的定义域为R，求m 的取值范围.【分析】要使函数f(x) 存心义，一定mx2+x+3 ≠ 0.2又由于函数的定义域为R，故 mx +x+3 ≠0 对一确实数x 恒建立 .当 m=0 时， x+3≠ 0，即 x≠ -3，与 f(x) 定义域为R 矛盾，所以m=0 不合题意 .当 m≠ 0 时，有=12-12m<0 ，得 m>.综上可知m 的取值范围是.封闭Word文档返回原板块。