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专题选讲 探索性、开放性问题[窍门点击]探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注这类题型.探索性问题常见的几类题型有:①填空题中的开放题;②试验、猜想、归纳型；③条件探索型；④结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突出数学思想方法,如等价转化、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以检验才能下结论.[范例解剖]例1．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在说明理由. [点评]:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形,不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过C 点作两条倾斜角为450和1350的直线交椭圆于A,B 两点,则三 角形ABC 就是满足条件的三角形,探究的主要问题就变成是有几个这样的三角形,[略解]:假设存在A,B 使得ABC 是等腰直角三角形,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则CA CB ⋅=0, 即(x 1,y 1-1)⋅(x 2,y 2-1)=0, x 1x 2+y 1y 2-y 1-y 2+1=0.设CA 的直线方程是y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a 2k 2+1)x 2+2a 2kx=0所以x 1=2222a k a k 1-+, x 2=2222a k a k-+,又y 1y 2-y 1-y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1- k(x 1+x 2)-2= k 2x 1x 2-1, 代入得(k-1)[k 2-(a 2-1)k+1]=0(*)① 当,k=1, k 2-(a 2-1)k+1=0无实数解;②当时,解为k=1;③当时,方程(*)除了有k=1外,方程 k 2-(a 2-1)k+1=0有两个不等的实根,故方程(*)共有三个根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形.例2．已知{a n }满足：(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6,b n =n+a n (n N).（1）写出数列{b n }的前4项；（2）求出{b n }的通项公式（写出推理过程）；（3）是否存在非零常数p,q使数列{qpn a n +}成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理由.[略解](1)由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6得:a 1=1,a 2=6,a 3=15,a 4=28.b 1=2,b 2=8,b 3=18, b 4=32.(2) 猜想:b n =2n 2,a n =2n 2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数p,q 使数列{qpn a n +}成等差数列. 为了求出p,q,取数列的前三项即:321a 2a a 2p q p q 3p q=++++. 所以121152p q p q 3p q=++++,解得p+2q=0. 这里得到的仅仅是{q pn a n +}为等差数列的必要条件,要想说明{q pn a n +}是否等差数列,还需进一步验证这一条件是否是充分条件.当p=-2q 时, n 1a p(n 1)q +++-q pn a n +=-1q .这表明{q pn a n +}是一个以-1q为公差的等差数列. 所以存在非零常数p,q 使数列{q pn a n +}成等差数列.如p=-2,q=1就是其中的一个.[点评]:①一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.②此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. {qpn a n +}是等差数列⇔qpn a n +=kn+b ⇔a n =(kn+b)(pn+q) ⇔2n 2-n=pkn 2+(kq+bp)n+bq 对任意大于0的自然数恒成立⇔pk 2kq bp 1bq 0=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩解得p+2q=0.这个结果是充要条件,就不必验证.法二:第(2)问:求b n 的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出a n 的通项,再解出b n 的通项. 由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)得(n-1)[a n+1-(n+1)]=(n+1)(a n -n),设 c n =(a n -n),则(n-1)c n+1=(n+1)c n ,用逐项作商累乘的方法得:c n =2n 2-2n,则a n =2n 2-n.而b n =n+a n =2n 2.这样推理就不用数学归纳法证明了.例3.已知a,b,c,d ∈[0,1],M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较M,N 的大小,你能由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.[略解]:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b ≥1-a-b,当且仅当a,b 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c,当且仅当a,b,c 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) ≥(1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) ≥1-a-b-c-d,当且仅当a,b,c,d 中至少有一个为0时等号成立.可以猜想一般的结论是(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ) ≥1-a 1-a 2-…-a n ,可以用数学归纳法证明(略).[点评]:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体现了探索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例4．已知函数F(x)=kx 2∈R).（1）是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:①F(x)取最大值时x 的值与G(x)取最小值时x 的值相等;②k 为整数.(2)将满足条件①的实数对(m,k)的集合记为A,设B={222(m,k)k (m 1)r ,r 0+-≤>},求使A ⊆B 的r 的取值范围.[略解](1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当x=k,k<0时,F(x)取得最大值,当x=k 时, G(x)取最小值,所以k 0k k Z <⎧=⎪∈⎪⎩,又4+2m-m 2=5-(m-1)2,所以0≤k 2, 则k又k 为整数,k<0所以k=-1,所以满足条件的实数对有两个(-1,-1)和(-1,3).(2)由题意22(m 1)r -≤,则22max (m 1)]r -≤,22(m 1)(m 1)-=-,设θ,θ∈[0,π],则原式θ+5cos 2θ=-( sin θ-10)2+214, 所以,r 2≥214,r的取值范围是,)2+∞. [点评]:此题的关键是探索x 取何值时, F(x)取最大值且G(x)取最小值,这里隐含k 的正负号的考虑,另外在含有两个以上字母的方程、不等式的混合问题中,将变量分离,用其中的一个变量的范围(或其最值)确定另一个变量的范围,不等号的方向要明确. 例5.已知直线ax-y=1与双曲线x 2-2y 2=1相交于P 、Q 两点.(1)是否存在整数a,使得PQ =(2)是否存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[略解](1)假设存在整数a,使得PQ =设直线与双曲线的交点坐标分别为P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2), 联立22ax y 1x 2y 1-=⎧⎨-=⎩消去y 得：(1-2a 2)x 2+4ax-3=0. 则1221224a x x 12a 3x x 12a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩且△=4(3-2a 2)>0.所以PQ ==,所以212a =-,解得a=1或a=-1,两个都满足△>0, 所以存在整数a=1或-1,使得PQ =.(2) 以PQ 为直径的圆过原点O 等价于PQ 的中点M 到O 点的距离等于1PQ 2, 又M(222a 1,2a 12a 1--),则22222a 1()()2a 12a 1+=--222232a (1a )(12a )-+⋅-. 解得a 2=-2,所以不存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[点评]:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式,并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使用.此外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐心和毅力.[习题精选]1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面的大致图形是(A B C D2.如图,在三棱锥A-BCD,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使A E C F EB F D==λ(λ>0),设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则α+β的值是( ) CA.6πB.4πC.2π D.与λ有关的变量 3.已知函数y=f(x),x ∈R,f(0)≠0,且对于任意的实数x 1,x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(12x x 2+)f (⋅12x x 2-),则此函数为( )B A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定4.如图,圆锥高SO,AB 为底面圆O 的直径,A ’B 为弦,∠ASB=α,∠A ’SB=β,当α与β满足( )条件时,△A ’SB 的面积大于△ASB 的面积. DA. α>2π B. α+β>π C. α<2π且α+β<π D.α>2π且α+β>π 5. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m , n ，则n m mn +等于（ ）D A ．a 21 B ．a 41 C ．2a D ．4a 6. 函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么（ ）CA ．)(x f 是增函数B ．)(x f 没有单调减区间C ．)(x f 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D ．)(x f 没有单调增区间7.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,)+∞上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(a)-f(-b)> g(b)-g(-a); ③f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中正确的是是 .①②8.由下列各式1>12;1+12+13>1; 1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13…+115>2…,你能得出一般的结论吗?是 .1+12+13…+n 1n 212>-. A B CD E F9.已知椭圆22x y 143+=,F 1,F 2是焦点,问椭圆上是否存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项?解:若椭圆上存在满足条件的点,则有121212MF MF 4MF e dd MF MF ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⋅⎪⎩,解得d=85,但椭圆的左准线方程x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为2,而d=85<2,不可能. 不存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项.10. 某产品中有15只正品，5只次品，每次取1只测试，取后不放回，直到5只次品全部测出为止，求经过10次测试，5只次品全部被发现的概率。
“开放题”专题讲座北京史兆华利用开放的形式考查同学们探索精神、创造意识和探究能力，是近几年考试的热点。
开放性试题的特点是问题中的情景与生活、社会、科技密切相连，问题的提出以及解决的过程、所获得的结果都具有灵活性、多变性和不确定性。
在思考和解决这类问题时，除了要运用已学过的知识外，还要更多地联系身边的事物，更多地去感受和体验解决问题的途径和方法，同时还要更多地留意结果的合理性和可能性。
一、解题策略开放型其特点是：解答方式不统一，方法多样化。
实际上就是我们常说的“异曲同工”。
例1 已知空气可以传播声音，请设计一个简易实验，证明固体也能够传播声音。
请写出实验所需要的器材、实验步骤以及实验分析与结论。
要求设计的实验其有可行性，要符合安全原则。
（1）实验器材：__________________________。
（2）实验步骤：__________________________。
（3）实验分析与结论：____________________。
解析：本题要求同学们围绕“固体能够传播声音”展开探究，着重考查同学们的科学探究能力。
解题时先要明确实验目的，再选择器材、设计实验步骤。
设计实验要注意运用控制变量法，概括结论要注意结论的科学性。
另外，本题由于选择的器材、实验方案不同使本题具有开放性，需要根据不同的实验方案，自选器材进行解答，答案全方位开放。
方法一：（1）实验器材：大广口瓶、橡皮塞、小闹钟。
（2）实验步骤：把小闹钟调至响铃状态，然后轻放于大广口瓶中，听小闹钟的铃声，要求能听到明显的铃声。
用橡皮塞盖在大广口瓶的瓶口上并塞紧，要求不漏气。
然后，再听小闹钟的铃声。
（3）实验分析与结论：瓶内空气与瓶外空气完全被大广口瓶和橡皮塞隔离，如果第二次仍能听到小闹钟的铃声，则可证明听到的铃声是通过大广口瓶和橡皮塞传播出来的，即固体也能传播声音。
方法二：（1）实验器材：白纸、铅笔、长条桌。
（2）实验步骤：同学甲在长条桌的一端用铅笔在白纸上用力均匀地写“一”，同时同学乙在桌子的另一端把耳朵贴在桌面上听声音，重复几次实验，都可以清楚地听到写“一”时的声音。
开放性问题【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使△ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________________.（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2）如图2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED.（只需填写一个你认为正确的条件）.解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2=AC •CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出BACD 图1ABCDEF图2能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是 BD的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB •DA=CD •BE ；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在 BD上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是 BD 的中点,∴ AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D ，∴△EAB ∽△ACD ，∴AB ∶CD=EB ∶AD ，∴AB •AD=CD •BE.（2）解：如图2中，若有△EAB ∽△ACD ，则原结论成立， 故我们只需探求使△EAB ∽△ACD 的条件.图1图2由于∠ABE=∠D ，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要 BFCD=即可.所以本题只要 BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.例4 如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ？为什么？分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC ，∠PFC=∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件; （2）要使AD 2=DE ·DF ，即AD DF DEAD=，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC ，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC ，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.（2）当点D 是 AC 的中点时，AD 2=DE ·DF.连结AE.∵ AD CD =，∴∠DAF=∠DEA.又∵∠ADF=∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ， ∴AD DF DEAD=，即AD 2=DE ·DF.说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论.例5 如图1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于H BAEP O CD FE ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切？分析：（1）连OD. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB=∠C ，∴ OD ∥AC ， 从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立. （2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt △AOF 中可求得OF=158，即OB=158.解：（1）结论仍然成立. 如图2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB.又AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三角形， ∴sinA=355O F O B AOO B==-，∴OB=158，即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.例6 如图1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE ⊥AB ，在 CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；图1A OBEC图2ABCOF图3（2）求证：△FDM ∽△COM ；（3）如图2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在 EB上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？证明你的结论.（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，∴ ACCE ，CG=EG.在Rt △COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30 ，∴∠COA=60 .又∠CDE 的度数=12CAE 的度数= AC 的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180 -∠COA=120 .（2）证明：∵∠COM=180 -∠COA=120 ，∴∠COM=∠FDM.在Rt △CGM 和Rt △EGM 中，GM=GM ，CG=EG ， ∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME ，∴∠OMC=∠DMF ， ∴△FDM ∽△COM. （3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180 -∠CDE ， ∴∠CDE 的度数=12CAE 的度数= AC 的度数=∠COA ，∴∠FDM=180 -∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE ⊥AB ，∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中，GM=GM ，CG=EG ， ∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME ，∴△FDM ∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.DAF CEDM O G BAF CEMO G B 图1图2例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示. 图1中就包含有两中构造方法，∠ABD 和∠ACD 都等于15 ；图2中，∠EFG=15 .请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）.（1）不是正方形的菱形（一个）； （2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）.解：（1） （2）3）（4）（5） （6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象ABCDEFG 图1图2力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下： （1）_____________________；（2）________________________；（3）_______________. 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24.分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的. 解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24； （3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整.解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？ 设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟.解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x = 40，x=30.答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时，摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>，∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个）2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________. 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+；（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际.图1 图2 图3 图45．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P ，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断：①CD ⊥AB ；②BE ⊥AC ；③AE=CE ；④∠ABE=30 ；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________;（2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________（只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.AB P TOOABD CE8．如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（.9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.BAC DEF10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28 .（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？MCNA B第10题参考答案1. （1）（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11) 2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC ；②∠B=∠C ；③BD=DC （或D 是BC 中点）； ④∠BAD=∠CAD （或AD 平分∠BAC ）等. 3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解. 5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等. 方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形. 6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD 、E 分别在AB 、AC 上，CD ⊥AB ，AE=CE ，∠ABE=30 . 求证：CD=BE.证明：作EF ∥CD 交AB 于F. ∵AE=CE ， ∴AF=FD ，∴CD=2EF. ∵CD ⊥AB ，∴EF ⊥AB. 在Rt △EFB 中，∠EFB=90 ，∠EBF=30 ， ∴BE=2EF ，∴CD=BE. 图要正确. 8．（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC ≌△AED ，∴AC=AD. 又∵F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD. （2）①BE ∥CD ；②AF ⊥BE ；③△ACF ≌△ADF ；④∠BCF=∠EDF ；⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形. （还可写出 其它的结果） 9．如图，C 1（6，0），C 2（0， ，C 3（03），C 4（-4，， C 5（23），C 6（2，.10．（1）∵AB 是直径，∠ACB=90 .又∠A=28，∴∠B=62.又MN 是切线，C 为切点，∴∠ACM=62.（2）在MN 上存在符合条件的点D.证明：过点A 作AD ⊥MN 于D.在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，MN 切半圆ACB 于点∴∠B=∠ACD ，∴△ABC ∽△ACD ，ACBDEF∴AB BC，即AB•CD=AC•BC.AC CD。
专题复习（四）——开放探究问题题型概述开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。
根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型。
题型例析类型1：条件开放性解决这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻。
【例题】已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．解答：解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案为：AF=AC 或∠AFE=∠ABC．点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．【变式练习】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．类型2：结论开放性所谓结论性开放题就是给出问题的条件，让解题者根据条件找寻相应的结论，且符合条件的结论往往呈现出多样化，这类问题就是结论的开放性问题。
初二年级作文的开放性话题探索
在初二年级的学生作文中，开放性话题探索是一种关键的学习方式。
作为教育者，我们可以通过提供引导和自由来激发学生的思维和表达能力。
这种方法不仅帮助他们理解和应用知识，还培养了批判性思维和创造力。
首先，想象一位名叫小明的学生，他正在面对一个开放性话题：“未来的城市生活是怎样的？”这个话题不仅能激发他对未来科技、环境和社会变迁的思考，还能锻炼他的观察和分析能力。
小明开始思考，他想象了高楼大厦上种满绿色植物的景象，城市中处处可见的智能机器人，以及清洁无污染的环境。
他发现，这些想法不仅让他感到兴奋，还让他开始关注当前社会的环境问题和科技发展。
其次，另一位同学小芳则被要求探索“友谊的真正含义是什么？”这个话题促使她思考友谊背后的情感和责任。
小芳通过写作，表达了她对朋友间信任、支持和理解的看法。
她分享了一个故事，讲述了她与好朋友在困难时期彼此支持的经历。
这让她意识到，友谊不仅仅是一种表面上的关系，更是一种深刻的情感纽带。
随着这些学生们在开放性话题中的探索，教育者的角色变得至关重要。
他们需要引导学生思考问题的多样性和深度，同时保持开放的心态，鼓励他们尝试不同的观点和解决方案。
这种方法不仅帮助学生发展批判性思维，还能增强他们的逻辑推理能力和表达能力。
总之，初二年级的作文教学应当注重开放性话题的探索和引导。
这不仅仅是提高学术能力，更是培养学生综合素养和创造力的重要途径。
通过这样的学习方式，学生们能够在思维的海洋中畅游，发现并探索自己独特的观点和声音，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
初中数学开放性问题教学探讨作者：郑汉洲来源：《考试周刊》2013年第48期摘要：本文分析了数学开放题的特征，给出了几种常见的开放性问题，并提出了解答开放性问题的方法。
在开放性问题的教学中，可以同时渗透道德教育。
关键词：初中数学教学开放性问题解答方法道德教育从形式上来说，可将开放题的特征归纳为条件开放、解题策略开放和结论开放等。
数学开放性问题的本质是问题本身的不确定性，其特征是对问题只有原则性要求和一题多解，即开放性问题是依赖于考生的水平转化为确定性问题，一个开放性问题蕴含着多个确定性问题。
学生形成创造性的思维风格，将决定他运用或驾驭自身智力和知识的能力，他对事物的观察、分析、判断、综合、评价、类比、推理、想象，将超出原有的知识范畴，激发出新的灵感，发现新现象和新规律，提出新方法，创出新事物、新工艺、新技术、新产品，解决前人未解决的具有实际价值的问题。
数学开放题作为具有时代特征的新题型，与之相适应的开放的数学教学模式将成为数学教学的新趋势，这就要求教师要转变传统的观念，变封闭式教学为开放式教学。
为此，笔者对如何开展开放性问题教学做了探讨。
一、数学开放题的特征根据戴再平的研究，数学开放题一般具有以下特征：所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。
没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答。
但重要的不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。
常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般更有概括性的结论，从而激起学生的好奇心。
全体学生都可以参与解答过程，而不管他们属于何种程度和水平。
学生能积极地主动参与，教师在解题过程中扮演的角色是示范者、启发者、鼓励者和指导者。
2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：略点评：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2012•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．解答：CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF，考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3 （2012•广元）如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：略考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4 （2012•南京）看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解：本题答案不唯一，下列解法供参考．①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系．②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地．四、中考真题演练1．（2012•陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．解答：只要k＞，2．（2009 河南）先化简，22)1111(2-÷+--x x x x ，然后从2，1，-1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值。
