三角形内切圆知识点总结

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。

本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。

一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。

内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。

2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。

根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。

3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。

4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。

三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。

2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。

首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。

四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。

通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。

2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。

通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。

3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。

例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。

三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。

求证:BE=CE
B
E O
C
D A
课堂小结：
通过本节课的学习，你知道三角形 的外接圆与内切圆的区别吗？
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧 ，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要 知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判 断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到 正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题 思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占 用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基 本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
点拨 （A）对抛物线来讲a<0，对直线来讲a>0矛盾．
D
（B）∵当x=0时，一次函数的y与二次函数的y都等于c
∴两图象应交于y轴上同一点．
∴（B）错，应在（C）（D）中选一个
（D）答案对二次函数来讲a>0，对一次函数来讲a<0，
∴矛盾，故选（C）．
1.结论排除法： 例2、如图：某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再 打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元

A
O B C
例 2 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求 AF、 BD、CE 的长
. 例 2、⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D、E、F，试说明 （1）△ABC 三边长分别为 a、b、c，⊙I 的半径 r，则有 S△ABC＝
名称
确定方法
图形
性质 （1）OA=OB=OC；
外心
三角形三边中垂线的交点 （2）外心不一定在三角形的内部． （1）到三边的距离相等；
内心
三角形三条角平分线的交点
（2）OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部．
例 1 如图，在△ABC 中，点 O 是内心， （1）若∠ABC=50， ∠ACB=70°，求∠BOC 的度数。 （2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。 （4）试探索： ∠A 与∠BOC 之间存在怎样的数量关系？请说明理由。
Ａ
1 (a＋b＋c) 2
Ｃ
Ｆ ． Ｉ Ｅ
Ｄ
（2）△ABC 中，若∠ACB＝90°，AC＝b , BC＝a , AB＝c,求内切圆半径 r 的长。
Ｂ
例 3、如图，△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。
A
F
I
E
B
D
C

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它是三角形的一个特殊圆形，具有一些独特的性质和应用。

本文将从几何性质、相关公式和应用等方面对三角形的内切圆进行总结。

一、内切圆的几何性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，因此它的圆心必定在三角形的内部，可以通过三角形的三条角平分线的交点来确定。

2. 内切圆的半径是由三边长确定的，具体公式为：内切圆半径r =2 * 三角形的面积 / 三角形的周长。

3. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，即内切圆的圆心到三角形三边的距离分别等于内切圆的半径。

4. 内切圆与三角形的三个内角的角平分线相交于同一点，即内切圆的圆心与三角形三个内角的角平分线交于同一点。

二、内切圆的相关公式1. 内切圆的半径公式：内切圆半径 r = 2 * 三角形的面积 / 三角形的周长。

2. 内切圆的圆心坐标公式：设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，则内切圆的圆心坐标为：圆心横坐标 x = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心纵坐标 y = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，a、b、c分别为三角形三个内角的角平分线所对应的边的长度。

三、内切圆的应用1. 几何问题求解：内切圆可以用于求解三角形的面积、周长、角度等几何问题。

通过求解内切圆的半径和圆心坐标，可以推导出一些与三角形相关的几何问题。

2. 优化问题求解：内切圆可以用于优化问题的求解。

例如，在给定三角形的面积不变的情况下，求解能够使内切圆半径最大的三角形，或者求解能够使内切圆的面积最大的三角形等。

3. 工程应用：内切圆在工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，内切圆可以用于确定柱子、柱形结构的尺寸和布局，以保证结构的稳定性和均匀性。

另外，在制造业中，内切圆可以用于确定零件的加工和装配尺寸，提高产品质量和工艺效率。

三角形的外接圆和内切圆的性质与计算三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外接圆和内切圆又是三角形的重要性质之一。

本文将详细探讨三角形的外接圆和内切圆的性质，并介绍如何计算它们。

【一、三角形的外接圆】外接圆是指可以与三角形的三个顶点相切的圆。

具体而言，三角形的外接圆满足以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点。

即三角形的三条垂直平分线的交点是外接圆的圆心。

2. 外接圆的半径等于三角形三边的中线的一半。

其中，中线是连接三角形的一个顶点和对立边中点的线段。

3. 外接圆的直径等于三角形的外角平分线的长度。

在计算外接圆时，我们可以利用以下公式：1. 外接圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。

假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

外接圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心纵坐标 = (y1 + y2 + y3) / 32. 外接圆的半径可以通过三角形的顶点坐标计算得出。

假设外接圆的半径为R。

则R的长度等于三角形任意一条边的一半，可以使用以下公式计算：R = (a + b + c) / (4 * S)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积，可以使用海伦公式或其他计算方法得出。

【二、三角形的内切圆】内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。

具体而言，三角形的内切圆满足以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的内角平分线的交点。

即三角形的三条内角平分线的交点是内切圆的圆心。

2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

其中，半周长等于三角形的周长除以2。

在计算内切圆时，我们可以利用以下公式：1. 内切圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。

假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

内切圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心纵坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长。

三角形的内切圆定义
三角形的内切圆是指可以恰好嵌入一个三角形内部，且与三条边相切
的圆。

该圆被称为三角形的内切圆，也称为唯一的内切圆。

三角形的
内切圆的圆心被称为三角形的内心，其半径被称为三角形的内切圆半径。

三角形的内切圆在三角形的几何性质研究中有着广泛的应用。

三角形的内切圆有着很多独特的性质。

首先，内切圆的圆心是三角形
三条角平分线的交点。

其次，内切圆半径等于三角形的半周长与面积
的比值，也就是r=(s-a)(s-b)(s-c)/s，其中r表示三角形的内切圆半径，s表示三角形的半周长，a、b、c分别表示三角形三条边的长度。

在计算三角形的面积方面，内切圆也是非常有用的工具。

因为三角形
的内切圆半径r等于三个角的平均值与面积的比值，也就是
r=(A+B+C)/2S，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角，S表示
三角形的面积。

除此之外，三角形的内切圆还可以用来判断三角形的形状。

如果三角
形的内心和外心重合，那么该三角形一定是等腰三角形或等边三角形。

如果三角形的内心和重心重合，那么该三角形一定是等边三角形。

总之，三角形的内切圆是三角形中非常重要的一个概念，它在数学和
物理等多个领域中都有着广泛的应用，是我们研究三角形的性质和口算面积的一个重要工具。

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。

三角形的外接圆与内切圆在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。

而三角形的外接圆与内切圆是与之密切相关的概念。

本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关定理，帮助读者深入理解这两个圆的特点和作用。

一、外接圆的定义及性质外接圆是指能够完全包含三角形的圆，圆心在三角形的外部。

下面以三角形ABC为例，说明外接圆的构造和性质。

构造外接圆的方法之一是利用三角形的垂直平分线。

从三角形ABC 的三个顶点A、B、C分别作垂直平分线，垂直平分线的交点即为外接圆的圆心O，连接OA、OB、OC即可构成外接圆。

外接圆的性质如下：1. 三角形的三条边的中垂线交于同一点，即外接圆的圆心是中垂线的交点。

2. 外接圆的半径等于任意一条边的垂直平分线到边的中点的距离。

3. 外接圆的直径等于三角形的任意一边。

二、内切圆的定义及性质内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，圆心在三角形的内部。

下面以三角形ABC为例，说明内切圆的构造和性质。

构造内切圆的方法之一是利用三角形的角平分线。

从三角形ABC的三个顶点A、B、C分别作角平分线，角平分线的交点即为内切圆的圆心I，连接IA、IB、IC即可构成内切圆。

内切圆的性质如下：1. 内切圆的圆心I是三角形的内角平分线的交点。

2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的交点到三角形各边的距离。

3. 内切圆的半径与三角形的三条边的切点分别连成的线段相互连通，构成的三个三角形面积相等。

三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆的位置和关系是数学中的一个重要问题。

接下来我们将介绍外接圆与内切圆的关系及相关定理。

1. 对于任何一个三角形，外接圆的半径大于或等于内切圆的半径。

2. 对于等边三角形，外接圆和内切圆重合，半径相等。

3. 对于等腰三角形，内切圆的半径等于底边中线的长度。

4. 外接圆的半径等于内切圆的半径与三角形的半周长之和的一半。

结论：外接圆与内切圆的半径之间存在一定的关系，可以通过这个关系推导出三角形的相关性质。

三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的特性。

其中两个与三角形密切相关的圆形是外接圆和内切圆。

在本文中，我们将探讨这两个圆形在三角形中的性质和应用。

一、三角形的外接圆外接圆是经过三角形三个顶点的圆形。

具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心与三角形三个顶点A、B、C 共线，且圆的半径与三条边AB、BC、CA之间的距离相等，那么这个圆就是该三角形的外接圆。

外接圆具有以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条垂直平分线的交点上，这个交点被称为三角形的外心。

2. 外接圆的半径等于三角形任意一边的垂直平分线到该边的距离。

3. 外接圆的直径等于三角形的最长边长度。

外接圆的性质使得它在几何学中具有广泛的应用。

例如，外接圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。

二、三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆形。

具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心到三角形三条边上的点的距离都相等，那么这个圆就是该三角形的内切圆。

内切圆具有以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点上，这个交点被称为三角形的内心。

2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的长度之和除以三角形的周长的一半。

与外接圆类似，内切圆也在几何学中有广泛的应用。

例如，内切圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。

三、外接圆和内切圆之间的关系在一个三角形中，外接圆和内切圆有一定的关系。

具体来说：1. 外接圆的圆心、内接圆的圆心和三角形的重心（三条中线交点）共线。

2. 外接圆的半径是内接圆半径的两倍。

这些关系使得外接圆和内切圆在解决几何学问题时相互配合，提供了更多的几何性质和可用的信息。

综上所述，三角形的外接圆和内切圆是与三角形密切相关的两个圆形。

它们具有特定的性质和应用，能够帮助我们解决各种几何学问题。

三角形内切圆半径公式1.三角形内切圆半径公式之萝卜公式（也称欧拉公式）：在一个三角形ABC中，记三条边AB，BC，CA的长度分别为a，b，c，三个角度分别为A，B，C。

三角形的半周长记为s=(a+b+c)/2则三角形的面积S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c)) (海伦公式)。

这个公式被称为萝卜公式是因为它形状如同萝卜一样。

通过欧拉公式，我们可以很容易地计算出一个三角形内切圆的半径，只需要知道三角形的三条边的长度即可。

这个公式非常有用，因为它提供了一种简单而直接的方法来计算三角形内切圆的半径。

2.三角形内切圆半径公式之正弦公式：在一个三角形ABC中，设三个角的度数分别为A，B，C，且已知三角形的面积S，边长a，b，c。

则有以下关系成立：S = (1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * b * c * sin(A) = (1/2)* c * a * sin(B)。

正弦公式是一种常用的三角形内切圆半径计算方法。

它基于三角形面积与三角形边长之间的关系，并利用了正弦函数的性质。

通过正弦公式，我们可以根据已知的三角形面积和边长，计算出三角形内切圆的半径。

3.三角形内切圆半径公式之半谐公式：在一个三角形ABC中，已知三角形的面积S，三个角的度数分别为A，B，C。

则三角形内切圆的半径r = S/[s * (tan(A/2) + tan(B/2) +tan(C/2))]其中s是三角形的半周长。

半谐公式是一种利用三角函数tan的性质来计算三角形内切圆半径的公式。

它是基于三角形面积与三角形半周长之间的关系，并利用了三角形内角的半角和tan函数的关系。

通过半谐公式，我们可以根据已知的三角形面积和角度，计算出三角形内切圆的半径。

这三个公式提供了多种计算三角形内切圆半径的方法，可以根据实际问题的需要选择合适的公式进行计算。

在实际应用中，这些公式为我们研究三角形内切圆提供了便利，同时也有助于我们理解三角形和圆的关系。

三角形的外接圆与内切圆性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特点。

其中，三角形的外接圆与内切圆是三角形学习中的重要内容，对三角形的性质和定理有着重要的影响。

本文将对三角形的外接圆和内切圆的性质进行详细解析，并探讨它们对于三角形的重要意义。

一、三角形的外接圆性质外接圆是指可以将三角形的三个顶点都落在圆上的圆，它与三角形的关系密切，具有以下性质：1. 外接圆的圆心在三角形的外角的角平分线上；2. 三角形的三条边与外接圆的切点共线；3. 外接圆的半径等于三角形任意一边的中线与中线延长线的交点到该边的距离。

以上性质可以通过几何推理和证明得出，它们揭示了三角形的特殊性质和外接圆之间的密切联系。

外接圆可以帮助我们证明和推导三角形的各种性质和定理，是解决三角形相关问题的重要工具。

二、三角形的内切圆性质内切圆是指可以将三角形的三条边都切于一点的圆，它与三角形的关系也非常重要，具有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三个顶点构成的连线共点，即三角形的三条角平分线的交点；2. 三角形的三条边与内切圆的切点共线；3. 内切圆的半径等于三角形的面积除以它的半周长。

内切圆的性质也可以通过几何推理和证明得出，它们进一步揭示了三角形的独特性质和内切圆之间的密切联系。

内切圆的存在和性质可以帮助我们更深入地理解三角形的特性，并且在解决三角形问题时起到重要的指导作用。

三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆虽然是两个不同的圆，但它们之间存在一些重要的联系和关系。

具体来说，有以下几点：1. 外接圆的圆心、三角形的三个顶点、内切圆的圆心构成的四点共线，即Euler直线，且该直线经过内切圆的切点；2. 外接圆和内切圆都与三角形的中线、高、垂心等重要构成元素有密切的联系；3. 通过外接圆和内切圆的性质，可以得出许多三角形的重要定理和结论，如欧拉定理、费马点等。

外接圆和内切圆不仅是三角形的重要特征，它们之间的关系也对于进一步研究和推导三角形的性质具有重要意义。

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。

2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。

2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。

三角形的内切圆与外接圆的性质比较三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。

本文将比较三角形的内切圆和外接圆的性质，从而更好地理解和应用这两个概念。

一、内切圆的性质内切圆指的是可以刚好与三角形的三条边相切的圆。

接下来我们将讨论内切圆的几个重要性质。

1. 内切圆的圆心在三角形的内部：对于任意一个三角形，它的内切圆的圆心必定在三角形的内部。

这是因为内切圆是与三角形的三条边相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此内切圆的圆心必然在三角形的内部。

2. 内切圆的圆心与三角形的各边的连线垂直：内切圆的圆心与三角形的各边的连线是垂直的。

这是由内切圆的定义和切线与半径垂直的性质所决定的。

3. 内切圆的半径为三角形三条边的连线的交点到相应边的距离：内切圆的半径可以看作是三角形三条边的连线的交点到相应边的距离。

这个距离等于半周长与面积的比值，即r = S / p，其中r表示内切圆的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。

二、外接圆的性质外接圆指的是可以刚好与三角形的三个顶点相切的圆。

下面我们将讨论外接圆的一些重要性质。

1. 外接圆的圆心在三角形的外部：对于任意一个三角形，它的外接圆的圆心必定在三角形的外部。

这是因为外接圆是与三角形的三个顶点相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此外接圆的圆心必然在三角形的外部。

2. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线：外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，且在共线的直线上切割成两个互补的弧。

这个共线的直线被称为三角形的欧拉线。

3. 外接圆的直径等于三角形的对边：外接圆的直径等于三角形的对边。

即在外接圆上，连接三角形的两个顶点和对边的中点，这条线段的长度等于外接圆的直径。

三、内切圆与外接圆的联系与应用内切圆和外接圆有着密切的联系，在很多数学问题和几何证明中都会使用到这两个概念。

1. 内切圆与外接圆的圆心连线垂直：由于内切圆和外接圆的性质，它们的圆心与三角形的对边均垂直。

三角形的内切圆【目标导航】l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．3．内心是三角形三个角的平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等．4．多边形的内切圆、圆的外切多边形：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．）（2）若O是△ABC的内心，∠BAC=100°，则∠OAC=50°．（）（3）若O是△ABC的内心，∠OAC=40°，则∠B+∠C=80°．（）（4）三角形的内心不一定在三角形的内部．（）（5）多边形的内切圆圆心到各边的距离相等．（）（6）三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．（）例2如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点O是内心，求∠BOC的度数．操练一：如上图，在△ABC中，点O是内心，∠BOC=130°，则∠A= ．操练二：如上图，在△ABC中，点O是内心，则∠BOC= ．（用∠A表示）操练三：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，①若点O是内心，则∠BOC= ．②若点O是外心，则∠BOC= ．例3如图，已知⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．例4 如图，已知⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明（1）∠BIC＝90°＋12∠BAC；（2）△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径r，则有S△ABC＝12r(a＋b＋c)；（3）△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求内切圆半径r的长．（4）若∠ACB＝90°，且BC＝3，AC＝4，AB＝5，△ABC的内切圆圆心I与它的外接圆圆心的O距离．1．三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等．2．三角形的外心是三角形的交点，它到三角形的距离相等．3．在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，①若点O是内心，则∠BOC= ．②若点O是外心，则∠BOC= ．4．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________,外接圆半径是．5．∠A=90°，AB=8，AC=6，则△ABC外接圆半径R= ，内切圆半径r= ．6．如图，R t△ABC中，∠C=90°，AB=25，内切圆半径为4，则△ABC周长=．7．△ABC内切圆半径为r，△ABC周长为l，则△ABC面积= ．8．如图，⊙O内切R t△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是___ ____．(第4题)(第8题) (第9题)9．如图，已知⊙I是△ABC内切圆，F、D、E是切点，∠DIE=100°，∠DIF=120°，则∠A= ．10．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE＝68°，∠A= ．BB AC切线长定理如图，把PA 或PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，(2)写出右图中所有的全等三角形；(3)写出右图中所有的等腰三角形； 例1 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径．求证：AC ∥OP ．2．如图，过⊙O 外一点P 作圆的切线PA 、PB ，F 是劣弧AB 上任一点，过F 作⊙O 切线分别交PA 、PB 于D 、E ，如果PA =a ，∠P =α ，求（1）△PED 的周长；（2）求∠DOE 的度数．例3 已知：如图，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 和⊙O 分别相切于L 、M 、N ，P ．求证：AB +CD =AD +BC ．结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等．圆外切平行四边形是． 【课堂操练】1．⊙O 外切梯形ABCD ，AD ∥BC ，周长为20，则梯形中位线长为．2．已知⊙O 半径为3cm ，PO ＝6cm ，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，则PA ＝____，∠APB ＝_____．4．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为________． 5．如右图四边形ABCD 边AB 是⊙O 直径，其余三边都与⊙O 相切，若AB =12cm ，四边形ABCD 面积为902cm ，则CD = ．6．已知：在△ABC 中，BC ＝14cm ，AC ＝9cm ，AB ＝13cm ，BC 、AC 、 AB 分别与⊙O 切于点D 、E 、F ，求AF 、BD 和CE 的长．1． 如图PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，PA ＝6cm ，∠APB =50°，则PB ＝_____，∠OPB =_____． 2． 如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线分别相交于C 、D ，已知PA =7cm ，则△PCD 的周长等于_________．(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 3． 如图PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB =40°，则∠ACB =____． 4．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = CD ，内切圆与各边分别切于E 、F 、G 、H ，若AD =2，BC =8，则⊙O 的半径为=__ __． 5．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，∠ACB =α，则∠APB =____． 6．已知⊙O 的半径为4cm ，PO ＝24cm ，则过点P 的⊙O 的切线长为___ __，两切线的夹角为________．7．已知四边形ABCD 是圆的外切四边形，它的周长为48cm ，且AB :BC :CD =3:2:5，则AB = ，BC = ，CD = ，DA = ． 8．如图，已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠P =60°，AB ＝34，求⊙O 的半径．9．如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，求∠A 的度数．P D EFOB AB P E10．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证：∠ABO=12∠APB.11．如图，△ABC外切于⊙O，BC＝14cm，切点分别为D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的半径为3，求△ABC的周长．12．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，内切圆O与各边分别切于D、E、F．（1）求证：四边形OECF为正方形．（2）若AB=6，BC=4，求AC和⊙O的半径B。

三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它的内部和外部都可以通过一些特殊的圆来描述。

在本文中，我们将探讨三角形的外接圆和内切圆。

一、外接圆外接圆是一个与三角形的三个顶点都相切的圆。

它的特点是，三角形的三条边的垂直平分线的交点所确定的圆心就是外接圆的圆心。

而外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长度的一半。

对于任意三角形ABC，设三边的中点分别为D、E、F，连接AD、BE、CF，并求得它们的垂直平分线分别交于点O。

那么，点O就是外接圆的圆心。

证明如下：1. 根据垂直平分线的定义，AO与OD垂直且相等，BO与OE垂直且相等，CO与OF垂直且相等。

2. 根据相等弦对应的弧相等的性质，可以得出AO、BO、CO是等长的，即O是等距离于三个顶点的点，因此O是三角形的外接圆心。

3. 根据三角形内角和为180度的性质，可以得出AOB、BOC、COA是三个内角的和为180度的角，因此它们都位于同一个圆周上，即O是三角形的外接圆心。

二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。

它的特点是，三角形的三条边的角平分线的交点所确定的圆心就是内切圆的圆心。

而内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

对于任意三角形ABC，设三条边分别为a、b、c，半周长为s = (a + b + c) / 2。

则内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c) / s)。

证明如下：1. 连接内切圆的圆心O与三个顶点A、B、C，分别交三条边于点D、E、F。

2. 根据角度的定义，OA与AD、OB与BE、OC与CF分别是同一个角的角平分线。

3. 根据角平分线的定义，AO与OD、BO与OE、CO与OF垂直且相等。

4. 根据垂直平分线的性质，可以得出AO = OD，BO = OE，CO = OF。

5. 根据等边三角形的定义，可以得出三角形ODA、OEB、OFC是等边三角形。

6. 根据等边三角形的性质，可以得出OD = DA，OE = EB，OF = FC。

《三角形的内切圆》讲义一、三角形内切圆的定义在平面几何中，三角形的内切圆是一个与三角形的三边都相切的圆。

这个圆位于三角形的内部，它的圆心被称为三角形的内心。

内心是三角形三条角平分线的交点，具有到三角形三边距离相等的性质。

二、三角形内切圆的性质1、圆心位置三角形内切圆的圆心（即内心）是三角形三条角平分线的交点。

这意味着内心到三角形三边的距离相等。

2、半径内切圆的半径可以通过三角形的面积和周长来计算。

假设三角形的三边分别为 a、b、c，面积为 S，半周长（即周长的一半）为 p（p ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 ），则内切圆的半径 r 为：r ＝ S ／ p 。

3、与三角形边的关系内切圆与三角形的三边都相切，切点分别为三角形三条边的中点。

三、三角形内切圆的作图方法1、角平分线法（1）分别作出三角形三个角的角平分线。

（2）角平分线的交点就是内切圆的圆心。

（3）过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径。

（4）以圆心为圆心，以半径为半径作圆，即为三角形的内切圆。

2、面积与周长法（1）计算三角形的面积和周长。

（2）根据公式 r ＝ S ／ p 计算出内切圆的半径。

（3）任选三角形的一个顶点，以该顶点到对边的距离为直径作圆，该圆即为内切圆。

四、三角形内切圆半径的计算1、已知三角形的三边长度假设三角形的三边分别为 a、b、c，根据海伦公式先求出三角形的面积 S：＼S ＝＼sqrt{p(p a)（p b)（p c)｝＼其中，＼（p ＝＼frac{a ＋ b ＋ c}｛2}＼），然后再根据＼（r ＝＼frac{S}｛p}＼）求出内切圆的半径 r。

2、已知三角形的某些角度和边长如果已知三角形的某个角和对应的边长，可以利用三角函数来计算内切圆的半径。

五、三角形内切圆的应用1、计算三角形的面积当知道三角形的内切圆半径和周长时，可以通过面积公式＼（S ＝pr\）计算三角形的面积。

2、实际问题中的应用在工程、建筑等领域，经常会遇到与三角形内切圆相关的问题。