人教版八年级数学初二上下册拔高讲义资料

八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．、顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.】确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点(三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.A三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 @四、 三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数…2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角五、 *六、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

新人教版八年级数学培训资料Word版上下册目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F D。

最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义第1讲等腰三角形性质及判定【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.举一反三：EACF 【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论例2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC ＝8cm ，且|AC －BC|＝2cm ，那么腰AC 的长为( )． A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm类型三、等腰三角形性质和判定综合应用例4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ．(1)求证：BE ＝AD ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ） A ．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_________cm ． 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义21N MFE D B CA EP QDCA B第2讲 等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状。

新人教版八年级数学上册知识点总结线，把多边形分成 (n 2) 个三角形.②n边形共有n(n3)条对角线 .2第十一章三角形第十二章全等三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 1. 基本定义：2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.三角形的角平分线 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 2. 基本性质：7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.三角形的稳定性 .9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.10. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 3. 全等三角形的判定定理：角线 .⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.11. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.⑵边角边（ SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.12. 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用⑶角边角（ ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.多边形覆盖平面，⑷角角边（ AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.13. 公式与性质：⑸斜边、直角边（ HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°全等 .⑵三角形外角的性质： 4. 角平分线：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.⑴画法：性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶多边形内角和公式： n 边形的内角和等于( n2) ·180°⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360° .5. 证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引( n3) 条对角角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 .⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 .⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角 .⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .②对称的图形都全等 .⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点 P ( x, y)关于 x 轴对称的点的坐标为P ' (x, y).②点 P ( x, y)关于 y 轴对称的点的坐标为P" ( x, y).⑷等腰三角形的性质：②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（ 1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等 .②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（ 3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） .⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形 . ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：a m a n a m n①等腰三角形两腰相等.n⑵幂的乘方：a m a mn⑶积的乘方：ab n a n b n2.整式的乘法：⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式： a b a b a2 b22a22ab b222ab b2⑵完全平方公式： a b； a ba24.整式的除法：⑴同底数幂的除法： a m a n a m n⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式：用竖式 .5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做把这个式子因式分解 .⑷拆项法⑸添项法第十五章分式1.分式：形如A， A、 B 是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分B子， B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0 的整式，分式的值不变 .4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式( 不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式 : 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式 .7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用字母表示为：a b a bc c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算a c ad cb. 用字母表示为：d bdb⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分6. 因式分解方法：母相乘的积作为积的分母. 用字母表示为：a c acb d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除, 把除式的分子和分母颠倒位置后再与⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：被除式相乘 . 用字母表示为：a c a d adb d bc bc①平方差公式：a2b2 a b a ba22ab b2a 2②完全平方公式：b③立方和： a3b3( a b)(a 2ab b2 )④立方差： a3b3( a b)(a2ab b2 )⑶十字相乘法：x2p q x pq x p x q⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方. 用字母表示为：8.整数指数幂：⑴ a m a n a m n（m、n是正整数）⑵ a m n a mn（m、n是正整数）a n a nb b n⑶ ab na nb n（n是正整数）⑷ a m a n a m n（ a0 ，m、n是正整数，m n ）⑸ a n an（ n 是正整数）b b n⑹ a n1（ a0 ，n是正整数）a n9. 分式方程的意义: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10. 分式方程的解法: ①去分母 ( 方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根 ( 求出未知数的值后必须验根, 因为在把分式方程化为整式方程的过程中, 扩大了未知数的取值范围, 可能产生增根).新人教版八年级数学下册知识点总结第 16 章二次根式1. 二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

八年级数学讲义第11章三角形三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2. 三角形的表示△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A ,Z B ,Z C..二、三角形的边1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点2.3三角形的中线1.三角形的定义B三角形的三条中线交于三角形内部一点三、三角形的角 1三角形内角和定理结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角. 如：△ ABC 中，已知Z A ：Z B ：Z C=2: 3： 4,求Z A Z B Z C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角. 2.2性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ② 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ③ 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等) 可见一个三角形共有 6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段 首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形•2、 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

八年级数学上下册知识点汇集八年级数学（上册）知识点第十一章三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

第十二章全等三角形1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

EDCBAABCD F第1讲 三角形三边关系及相关定理一、知识提要①三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边②三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°③三角形的外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和④直角三角形两锐角互余二、专项训练1.现有四根木棒，长度分别为4cm ，6cm ，8cm ，10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A ．1个 B . 2个 C. 3个 D . 4个2.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形 D ．无法确定3.满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠B +∠A =∠C B ．∠A :∠B :∠C =2:3:5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角4.三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角 ．5.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边长为奇数，那么第三边长为；若第三边为偶数，那么三角形的周长为．6.已知一个等腰三角形的周长是26cm ，其中一边长是6cm ，则其他两边长为 .7.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数为度．8.如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE 等于．21FEDBCA21E CD BA21FEDCBA 1F E DCBA 9.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AF 是角平分线，交CD 于点E ，求证：∠1=∠2．10.一副三角板（分别含45°角和60°角）如图叠放在一起，求图中∠1的度数．11.如图所示在△ABC 中，∠A =80°，剪去∠A 后，得到四边形BCDE ，则∠1+∠2=.12.如图将△DEC 沿DE 翻折过来得△DEF ，则∠F 和∠1，∠2之间存在的什么样的关系式？FEDCBA第2讲 三角形全等判定（上）一、专项练习1.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于D ．①求证：AE =CD ；②若AC =12cm ，求BD 的长．2.如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA =OC ，OB =OD ，那么AB =CD 吗？试说明理由．AB =DE ．求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）∠CBF =∠FEC ．FEDCBAFEDCBA4.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，即AB =AC ，∠ABC =∠C =45°，∠BAC =90°．BD 是AC 边上的中线，过A 作BD 的垂线，交BC 于点E ，交BD 于点F ．试判断∠ADB 与∠CDE 的大小关系．5.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD 将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于N 点，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由．图1 图2 图36.如图△ABC 中，∠ACB =90°，AD ⊥AB ，AD =AB ，BE ⊥DC 于点E ，CA 的垂线AF 交EB 的延长线于点F ，连接CF ，求∠ACF 的度数．第3讲 三角形全等判定（下）FED CBAEDCBA一、专项练习1.△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，BE 是∠ABC 的角平分线，ED ⊥BC ．求证：BC =AB +AE ．2.如图，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D ，F 为垂足， DE ⊥AB 于E ，且AB >AC .求证：BE =AC + AE ．PDCB AFDCBAFEDCB A3.如图，等边△ABC 中，在顶点A 、C 处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以1cm /s 由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 秒后，他们分别到达D 、E 处．请问两只蚂蚁在爬行过程中，（1）BE 与CD 有何数量关系，为什么？（2）BE 与CD 所成的∠BFC 的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由，若没有变化，求出∠BFC ．4.已知，△ABC 中，AB ＝3，∠BAC ＝120°，AC ＝1，D 为AB 延长线上一点，BD ＝1，点P 在∠BAC 的平分线上，且满足△PAD 是等边三角形．求证：BC ＝BP ．5.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且DB ＝EC ，连接DE ，交BC 于F 点．求证：DF ＝EF ．DBAEDCBAABCDE FBA CDNMDCAB第4讲 倍长中线法温馨提示：常用辅助线添加方法——倍长中线在△ABC 中，点D 为边BC 的中点方式1：延长AD 到E ，使DE =AD ,连接BE方式2：作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于E方式3：延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CN一、专项训练1.如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．F EDCBA EDCBAFED CBAAB CDEF2.如图，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：①CE =2CD ．②CB 平分∠DCE ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 、AC 为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF ＝2AD ．4.如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．5.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．6.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的FE DCB AGABCDFEFEDCBA延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG =CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线．7.如图1，△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，点D 在AB 边上.连接EC ，取EC 中点F ，连接AF 、DF ，猜测AF 、DF 的数量关系和位置关系，并加以证明．如图2，将△BDE 旋转至如图位置，使E 在AB 延长线上,点D 在CB 延长线上，其他条件不变，则（1）中AF 、DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．EDCBA 第5讲 截长补短法温馨提示：一、专项练习【板块一】截长1.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点.求证：AB -AC＞PB -PC ．2.如图，△ABC 中，∠ABC ＝60º，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，判断AC的长与AE ＋CD 的大小关系并证明．21N MED C BAEDC BA3.如图，已知点C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且AE ＝（AD ＋AB ）．问：∠1和∠2有何关系？【板块二】补短4.如图，已知△ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BD 于E ，求证：CE ＝BD ．【板块三】截长补短5.如图所示：在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ，求证：AC =AB +BD ．6.如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，判断AB 的长与AD ＋BC 的大小关系并证明．2121EDCBAFEDCBAEFDCBAFE DCBA【板块四】拓展拔高7.①正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，点F 在DC 延长线上，EAF =45°．请问现在EF 、DF 、BE 有什么数量关系？②正方形ABCD 中，点E 在BC 延长线上，点F 在CD 延长线上，EAF =45°．请问现在EF 、BE 、DF 有什么数量关系？③正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上，EDF =60°，DB =DC ，BDC =120°．请问现在EF 、BE 、CF 有什么数量关系？∠∠∠∠图1NMEDCB A图2NMEDC BA第6讲 平移、旋转、翻折与三角形全等一、专项练习【板块一】平移与全等问题1.如图，已知△ABC(1)请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB +AC ＞AD +AE ．【板块二】旋转与全等问题2.在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．图1NM F EC BA图2NMCBAHF ED CBA3.如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，直线AN ，BM 分别交两三角形于点E 、F .连接EF .(1)求证：AN =BM ；(2)求证：△CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.4.如图，EF 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，AH ⊥EF ，H 为垂足，求证：AH =AB ．DCBA【板块三】翻折与全等问题5.如图①所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系．（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6.已知△ABC ，∠BAD =∠CAD ，AB =2AC ，AD =BD ，求证：DC ⊥AC ．FE D CBA 生活中的轴对称——————————————————————————————————————一、知识提要1.成轴对称与轴对称图形；轴对称图形性质与设计；2.角平分线上一点到角两边的距离相等；3.中垂线上的一点到线段两端点的距离相等.二、精讲精练（解题分析及答案请观看本讲视频）1.下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．①角；②线段；③等腰三角形；④扇形；⑤三角形； ⑥正方形；⑦平行四边形；⑧圆；⑨五边形．A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个2.下列说法中，正确的是（ ）A ．两个全等三角形组成一个轴对称图形B ．直角三角形一定是轴对称图形C ．轴对称图形是由两个图形组成的D ．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形3.如图1，四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合，如果AD ∥BC ，有下列结论:①AB ∥CD ；②AB =CD ；③AB ⊥BC ；④AO =OC ．其中正确的结论是_______________．4.如图2裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，若∠BAF =60°，则∠DAE =.5.如图3，先将正方形纸片对折,折痕为MN ,再把B 点折叠在折痕MN 上,折痕为AE ,点B 在MN 上的对应点为H ,沿AH 和DH 剪下,这样剪得的三角形中 ()A ．B ．C ．D ．图1 图2 图36.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（）A ．这直线的两旁B ．这直线的同旁C ．这直线上D ．这直线两旁或这直线上AD DH AH ≠=AD DH AH ==DH AD AH ≠=ADDH AH ≠≠l DO CBA H N MEDCBAGF EDCBA PN MD C BAO7.下列说法中错误的是（ ）A ．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合8.如图，是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是 ，EF 的对应线段是 ，∠C 的对应角是.连接CE 交L 于O ，则 ⊥ ，且=.9.如图4，OC 平分∠AOB ，D 为OC 上任一点，DE ⊥OB 于E ，若DE =4 cm ，则D 到OA 的距离为_____．10.如图5，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，DE =5cm ，则CD =．图4图511.如图6，△ABC 中，∠BAC =100°，DF 、EG 分别是AB 、AC 的垂直平分线，则∠DAE 等于（ ）A ．50°B ．45°C ．30°D ．20°12.如图7，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若△PMN 的周长=8厘米，则CD 为厘米．图6 图7ED CBAOABC DE13.在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A、B到点P的距离之和AP+BP最小．14.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？15.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在哪里？（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在哪里？16.作图题：如图在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q，设小球P、Q的位置如图．(1)若击打小球P经过球台的边AB上的点O1反弹后，恰好击中小球Q，请作出点O1的位置（保留作图痕迹）；(2)若击打小球P经过球台的边AC上的点O2反弹后又击打到了CD边上的点O3，经CD边反弹后恰好经过点Q，请作出点O2和点O3的位置（保留作图痕迹）．17.如图，已知∠MON 内有一点A ，求作△ABC ，使其周长最小，且B 、C 分别在OM 和ON 上．18.已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E对称.(1)求证：AB =CD ；(2)若BP 分别与线段AF 、CF 相交于点M 、点P ，∠BAC =2∠MPC ， 请你判断∠F 与∠MCD 的大小关系，并说明理由．OABCEDMPFFEDCBA等腰三角形一、知识提要1.等腰三角形.2.等边三角形.二、精讲精练（解题分析及答案请观看本讲视频）【板块一】等腰三角形1.如果等腰三角形的一个底角为，那么（ ）A ．>45°B ．0°<<90°C ．≤90°D ．0°<<180°2.△ABC 中，∠A =40°，∠B =70°，则△ABC 为_____三角形．3.如图1，∠A =20°，∠C =40°，∠ADB =80°，则∠DBC =____，图中共有等腰三角形个．图14.等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm5.等腰三角形的周长是25 cm ，一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为_____．6.如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，（1）若∠ADE =80°，则∠DEB =.（2）若DF ⊥BE ，则BF BE ．αααααDCBABAlQPDC BA7.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角的度数．8.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．9.如图，已知线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．【板块二】等边三角形10.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°； （2）PA =PQ ．M EDCBA HGF E DBA 11.如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．【板块三】拓展拔高12.如图，△ABD 、△ACE 都是正三角形，BE 和CD 交于O 点，则∠BOC =_______．13.已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连接，与相交于点．（1）求证：；（2）求证：．二次根式拓展提高（讲义）ABC △45ABC ∠=°CD AB ⊥D BE ABC ∠BE AC ⊥E CD F H ，BC DH BE G BF AC =12CE BF =O EDCBA一、知识点睛1．理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式．(1)，则(2)(3)；2．根据数轴和线段的几何特征建等式．如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC=BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________.3．完全平方公式在二次根式化简中的应用．；(2)若，则4．实数比较大小．(1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化二、精讲精练1．若x ，y为实数，且，则的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-22，则=___________．3．一个数的平方根是和4a -6b +13，求这个数．4．若a ，b，则20y z ++=_____x y _____z _____，，．===x _____=．x _____=．_______=2=_______．C B A _________=00m n ＞，＞=_________.==0x +=2013x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭2210y y +++=y x 22+a b (10b -==________．5x 的值为________．6=________．7．若，则=________．8．若3x +4y =________．9．当10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示：1112．如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（）ABCD20132012a b --3y =+-yx =y 1<<4x 2-．11-13．如下图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数是和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．B ．C ．-1D．+114．数轴上A ，B和2，若点A 关于点B 的对称点为点C ， 则点C 所对应的实数为 ．15．若，则16．若，则__________．17．已知求的值．18．已知的值．19．化简下列各式：（1（2（3（43x =+267____________．x x -+=2x 245x x +-=22=-=+x y 22x xy y ++11a a +=+221a a+；（5（620．比较实数大小．（1______4；（2（3；（4；（5；（6______-8．【阅读理解与创新探究】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．【思想应用】这个点的位置，可以借助于勾股定理来构造直角三角形来解决．请你利用勾股定理在下图的数轴上找出【思想类比1】x ＞y ＞0）的大小，并说明理由．1-+小明受此启发，想用数形结合的思想来处理，联想到勾股定理，，1）决上述问题，你能说明里面的道理吗？___________________________________________.图（1）图（2）【思想类比2】已知m ，n 均为正实数，且m +n =2．的最小值．如图（2），AB =2，AC =1，BD =2，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，点E 是线段AB 上的动点，且不与端点重合，连接CE ，DE ，试表达CE 和DE 的长度，并据此解决上述最小值问题．的最小值是____．三、回顾与思考____________________________________________________________________________________________________________yxx -yCBDEA+______________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）0；0；0 （2）0 （3）0 （4）；x2．c -a ；b -c ；3．；二、精讲精练1．B 2．-2 3．169 4．-25．±1 6．6 7． 8．-79．3 10．2c -a 11．2 12．C 13．D 14．15．0 16．2003 17．15 18．19．（1（2（3（4（5 （620．（1）＞ （2）＜ （3）＜ （4）＜ （5）＞ （6）＜【阅读理解和创新探究】【思想应用】作图，略【思想类比1】∵∴由勾股定理逆定理可得，∴由三角形三边关系可得，【思想类比2】设AE =m ，BE=n ，且m +n =2．如图，可得CEDE∴CE +DE∴连接CD ，则CD 长就是最小值即CD．【探究迁移】13x 2a bc +=a b ±184-9+111222+=二次根式拓展提高（随堂测试）1.（1）若，则2x -4y =________.（2=_________．（3）若，则___________．2.如图，在数轴上，点B 与点C关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数是1和，则点C 所对应的实数是_________.3.化简：（1（2．4.当-2<x <1【参考答案】1．（1）-2 （2）-1 （3）20102．3．（1）（2）4．3y =2013x +-1x =-221x x +-=+2-3-2+二次根式拓展提高（作业）21________．22与互为相反数，那么的值为（）A．4 B．-4 C．-8 D．-523．若实数a，b，则24．25．已知a，b，c是△ABC的三边长,,则△ABC的形状为_________．26．若27．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示：28．当2<x<32910-=()224y-2x y-(20b-=-_____a b+=．________=12y________．=23．x+-30．如图，矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，AD 在数轴上，若以点D 为圆心，对角线BD 的长为半径作弧交数轴的负半轴于点M ，则点M 所表示的数为___________．31．如图，点A 和点C 关于点B 对称，且B ，C 分别对应着数轴上表示1的点，则点A 表示的数是__________．32．比较实数大小：（1（233．若，则34．若，则__________．35．已知的值．36．化简：（1（2（3_____2+5x =21018_______x x -+=．3x =264x x +-=12a a +=+221a a+【参考答案】1． 2．C 3．7 4．6 5．直角三角形6．7．b +c8．19．3x -810．-1-11．2 12．（1）＞ （2）＞13．014．200015．16．（1）（2 （312实数综合运算（讲义）一、知识点睛1.实数计算：（1）分部分：观察式子结构，以加、减法为标志，分部分，每部分一个模块；（2）做运算：辨析种类，依法则，做运算，不图一步到底，不跳步，平均使用精力；（3）巧检验：“抽查”、“普查”相结合，“横向”、“纵向”相结合．2.含特殊角（15°的倍数）的三角形：利用三角形的高构造直角，把特殊角放在直角三角形中，使用三边关系来求解．二、精讲精练化简：1. 2. 3. 4.)((2 132+--6. 7. 8.9.3-212-⎛⎫-⎪⎝⎭(2--(21--3--10.11.解方程：（1（212.某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A =60°，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．13.在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =1，AC =，求BC 的长．14.在△ABC 中，∠A =150°，AB =AC =2，求BC 的长．15.在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =1，BC =4，求AC 的长．))201220133112-+-++-10=+1)x x -=+CBABA60°DCBA BA16.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =75°，AC =1，求斜边AB 的长．（提示：作AB 的垂直平分线DE ，交AB 于点D ，交BC 于点E ）三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．2．3．45．6．27．8．91011．（1）（2）12．AD =；BC =13．BC14．BC15．AC16．ABACBDE7--527-10x =+3x =--(400m -()200m -实数综合运算（随堂测试）1.化简：（1）（2）（3（4）2.在△ABC 中，∠BAC =135°，AB=7，AC =BC 的长．3180125--.÷(20--+(20122013222-)(--CBA【参考答案】1．（1）（2（3（42．BC=17实数综合运算（作业）化简：1.2. 3.4.5.3 ((221+3(22--1126-32-+)21--6.7.8.9.在△ABC 中，∠ABC =120°，AB，BC =求AC 的长．【参考答案】1．2．345．67．8．9．AC(1--+213-⎛⎫-- ⎪⎝⎭201220131+-11-5-111-1CBA坐标的应用（讲义）一、知识点睛1.平面直角坐标系中坐标的处理原则：①；②．2.点的存在性问题：①平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；②等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．二、精讲精练1.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D 两点的坐标分别是_______，_______．2.在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B（5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．3.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点．（1）求△ABC的面积．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1 2第1题图第2题图第3题图4.如图，在平面直角坐标系中，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），取线段AB 的中点M ，分别作A ，B 到x 轴的垂线段AE ，BF ，取EF 的中点N ，则MN 是梯形AEFB 的中位线，故MN ⊥x 轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M 的坐标是____________（用x 1，y 1，x 2，y 2表示）．第4题图第6题图5.已知点M （-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点M 在新坐标系内的坐标为______．6.如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△A ′B ′C ，设点A 的坐标为（a ，b ），则点A ′的坐标为（ ）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b -1） C ．（-a ，-b ＋1）D ．（-a ，-b -2）7.如图，已知A （，0），B （0，2），把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（ ）A ．（4，）B ．（，4）C ．，3）D．（，）8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，1），B （0，3），请在x 轴上找一点P ，使得点P 到点A ，B 两点距离之和最小，则点P 的坐标是_________．第7题图第8题图9.如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A （2，0），B（2，），连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上，则点A ′的坐标为________．第9题图 第10题图10.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，A 点坐标为（0，2），E 是线段BC 上一点，且∠AEB=60°，沿AE 折叠后B 点落在点F 处，那么F 点的坐标是________．11.已知A （-2，0），B （3，0），C （0，-1），以A ，B ，C 三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．12.如图，在平面直角坐标系中，已知A （2，-2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．第12题图13.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （6，0），C （0，2），点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动，当△OMP 是腰长为3的等腰三角形时，则P 点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．14.如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C ，连接AB ，AC ，BC ，使△ABC 的面积为2个平方单位，则点C 的位置有＿＿个．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①坐标转线段长，线段长转坐标；②过点作平行于x 轴、y 轴的线．2．①平移线段②一线两圆二、精讲精练1．（-4，5），（-5，1）2．，3．（1）6；（2）存在，（-3，）4．5．（-1，5）6．D 7．B 8．（3，0）9．（-110．（-1，）11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）12．（0，），（0，-2），（0，-），（0，-4）13．2），（3，2），（3，2）14．75+65212121222，x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭2坐标的应用(每日一题)1.如图所示，已知边长为1 的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求点B 的坐标．2.慧慧在一次数学课上，将一副30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角板如图放在直角坐标系中，发现点A 的坐标刚好是（，0），求图中两个三角板的交点P 的坐标．3.如图所示，A （，0），B （0，1）分别为x 轴，y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且满足2S △ABP = S △ABC ，求a 的值．94.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，OE是△AOB的中线，已知OB＝OE＝5，S△AOB＝15．求A、E两点的坐标．5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于点D.（1）求A，D两点坐标；（2）求四边形OABC的面积.【参考答案】1.解：过点B 作BE ⊥y 轴，垂足为E ∵OA 与x 轴的夹角为60°∴∠AOE =30°在Rt △AOD 中，OA =1，∠AOD =30°∴AD，ODADO =60°∵AB =1∴BD =1在Rt△BDE 中，BD =1，∠BDE =60°∴DE =，BE∴OE =OD +DE∵B 在二象限∴点B12∵A （-，0），B （0，1）∴OA =，OB =1由勾股定理得AB =2∵△ABC 为等边三角形∴S △ABC∵S△ABP = S △AOB +S 梯形BODP -S △ADP=∵2S △ABP = S △ABC∴a4.解：设A ，E 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）由题意知：B 点坐标为（5，0），S △AOB ＝OB y 1＝y 1＝15∴y 1＝6∵OE 是△AOB 的中线∴E 是AB 的中点∴y2＝＝3∵OE ＝5，即：∴x 2=4∵=4∴x1=3∴A ，E 两点的坐标分别为（3，6），（4，3）5.解：（1）∵四边形OABC 为平行四边形∴D 是线段OB 中点∵O （0，0），B （4，4）∴D （2，2）又∵D 是线段AC 中点，C （1，3）∴A （3，1）（2）法一：∵C （1，3），B （4，4），A （3，1）∴OC ，OB OA 即OA =OC又∵四边形OABC 是平行四边形22=1111(1)33)222a a +⨯+⨯-⨯+3=12⋅⋅52102y +152x +===∴四边形OABC 是菱形∴OB ⊥AC 在Rt △ODC 中，∵OD =OB =，OC由勾股定理得，CD∴AC =2CD=∴S 四边形OABC =OB AC =8法二：∵B （4，4），C （1，3）∴OC =，BC又∵四边形OABC 是平行四边形∴四边形OABC 是菱形∵A （3，1）∴AC = 又∵OB =∴S 四边形OABC=OB AC =81212⋅====12⋅。

尺规作图（讲义）一、知识点睛1.基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线．书写作法时注意：________________，________________．2.应用作图：①______________________，设计作图方案；②调用__________________完成图形．二、精讲精练1.作一条线段等于已知线段．已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB=a．作法：（1）作射线AP；（2）以_________为圆心，_______为半径作弧，交射线AP于点B．___________即为所求．2.已知线段a，b（a b>），作一条线段，使它等于2a-b．b a a3. 作一个角等于已知角．已知：如图，∠ABC ．求作：∠DEF ，使∠DEF =∠ABC ．AB C作法：（1）作射线EF ；（2）以________为圆心，_______为半径作弧，交BA于点M ，交BC 于点N ；（3）以____为圆心，____为半径作弧，交EF 于点P ； （4）____________，__________作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． ∠DEF ______________．证明：连接_________，_________．在___________和___________中______________________________________________________⎧⎪⎨⎪⎩（已作）（已作）（已作） ∴______________________（ ） ∴_______________4. 作一个已知角的倍角．5.过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A是直线MN外一点．求作：直线AB，使AB∥MN．NMA6.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．αn m7.作已知角的角平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆心，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．8.作已知角的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB9.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M在广场的两个入口P，Q的连线上（P，Q的位置如图所示），且到广场两边AB，AC的距离相等．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．10.请画出草图，解决下列问题：（1）在△ABC中，点D是AC边的中点，连接BD，若AB=5，BC=3，则△ABD和△BCD的周长的差是____________．（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________．（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE_____BD+CE．（选填“>”、“<”或“=”）（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过点E作ED∥AC交BC于D，过D作DF∥CE交AB于F，则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________．（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分 ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E，则∠ECD=_______．（6）若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．【参考答案】一、知识点睛1. 点线取名称，作弧说心径2. ①画出草图②基本作图 二、精讲精练 1. 点A a 长线段AB 图略2. 略3. 作法：（1）作射线EF ；（2）以 点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ；（3）以点E 为圆心，BM 长为半径作弧，交EF 于点P ； （4）以点P 为圆心，MN 长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． DEF ∠即为所求． 证明：连接MN ，DP ． 在BMN △和EDP △中BM EDBN EP MN DP =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已作）（已作）（已作）SSS BMN EDP DEF ABC ≅∠=∠∴△△（）∴ 4. 略5. 略6. 略7. （1）以点O 为圆心任意长为半径（2）点M点N大于12MN 长AOB ∠内部（3）作射线OP 射线OP 即为所求 8. 略 9. 略 10. （1）2（2）2AED EDB ∠=∠（3）=（4）EDF BDF ∠=∠ （5）15°（6）50°或130°尺规作图（随堂测试）1.已知两角及其夹边作三角形．已知：∠α，∠β，线段m．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，∠B=∠β．αmβ2.已知：在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DG∥AB交AC于G，E为AB上任一点（不与A，B重合），过点E作EF∥AD交BC于F，则∠BEF与∠ADG的数量关系是____________________．【参考答案】1.略2.∠BEF=∠ADG尺规作图（习题）3.下列作图语言描述正确的是（）A．延长线段AB至点C，使AB=ACB．过∠AOB内部一点P，作∠AOB的平分线C．以点O为圆心，AC长为半径作弧D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b4.已知边长作等边三角形．已知：线段a．求作：等边△ABC，使△ABC的三边长均为a．a作法：（1）作线段_____________；（2）分别以______，______为圆心，_______为半径作弧，两弧交于________；（3）连接________，_________．____________________．5.按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．已知：如图，∠ABC．求作：∠DEF，使∠DEF=32∠ABC．A6.已知∠AOB=45°，点P在边OA上．请以点P为顶点，射线P A为一边作∠APC=∠O（作出所有可能的图形）．7.如图，分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l1，l2的距离相等．请用尺规作图作出点P（保留作图痕迹）．8.请画出草图，并根据图形完成下列各题：（1）在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BF∥AD交CA的延长线于点F，则AF和AB的数量关系是_________________．（2）在△ABC中，点D是BC上的一点，过D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则∠EDF与∠A的数量关系是__________________．（3）已知，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠ABC=______．（4）已知，在锐角△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠EBC=20°，则∠ADC=_______．【参考答案】1. C2.作法：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A，点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．△ABC即为所求．3.略4.略（有两种情况）5.略6.（1）AF=AB（2）∠EDF=∠A（3）58°（4）85°角的相关计算和证明（讲义）一、知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、_____________________； 由外角想到________________________________________．二、精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．FED CBAG FEDCB A第1题图 第2题图2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于E ，CF ⊥DG 于F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________． 3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F =∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_________，∠ADC =_________．GFE DCBAFE DCB A第3题图 第4题图4. 如图，ED ⊥AB 于D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________）∴∠A +∠CDA =180° （__________________________）∵∠A =∠C （__________________________）∴______+______=180°（__________________________）∴DA ∥CB （__________________________）7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E FDCBA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．E DC BA第6题图21F EDCBA9. 已知：如图，BP 平分∠ABC ，CP 平分△ABC 的外角∠ACE ．求证：∠A =2∠P ．PEC B A证明：如图，设∠PBC =α，∠PCE =β ∵BP 平分∠ABC （_______________________） ∴∠ABC =2∠PBC =2α （_______________________）∵CP 平分∠ACE （_______________________）∴∠ACE =______=_______（_______________________）∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（_____________________） ∴2β=2α+∠A （_______________________）∴∠A =2(β-α)（_______________________）∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（_____________________）∴β=______+_______ （_______________________）∴∠P =β-α （_______________________） ∴∠A =2∠P （_______________________）10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =2∠BCD ．D CBA【参考答案】一、知识点睛1. 同位角、内错角、同旁内角2. 直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和二、精讲精练 1. 20° 2. 25° 3. 65°，70° 4. 125° 5. 60° 6. 已知平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，21O E FDCBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知） ∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD（内错角相等，两直线平行）8.解：如图，∵∠B=35°，∠C=75°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和是180°）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC （已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（直角三角形两锐角互余）9.已知角平分线的定义已知2∠PCE，2β；角平分线的定义外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式性质外角的定义α，∠P；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式性质等量代换E D CBA10.证明：如图，ADCB在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB （三角形的内角和是180°）∵∠B=∠ACB（已知）∴∠A=180°-2∠B=2(90°-∠B) （等式性质）∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠BCD=90°-∠B （直角三角形两锐角互余）∴∠A=2∠BCD （等量代换）角的相关计算和证明（随堂测试）1.已知：如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．求证：EF∥AB．F E DCBA2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．2 1 CD FEA B 证明：如图，∵∠ACB=90°（__________________________）∴∠CAF+∠2=90°（__________________________）∵______________ （__________________________）∴∠ADE=90°（__________________________）∴∠EAD+∠AED=90°（__________________________）∵AF平分∠CAB （__________________________）∴∠CAF=∠EAD （__________________________）∴______________ （__________________________）∵∠1=∠AED （__________________________）∴∠1=∠2 （__________________________）【参考答案】1.证明：如图，F E DCBA∵CD∥AB（已知）∴∠DCB=∠ABC （两直线平行，内错角相等）∵∠DCB=70°（已知）∴∠ABC=70°（等量代换）∵∠CBF=20°（已知）∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°（等式性质）∵∠F=130°（已知）∴∠ABF+∠F=130°+50°=180°（等式性质）∴EF∥AB （同旁内角互补，两直线平行）2.已知直角三角形两锐角互余CD⊥AB，已知垂直的定义直角三角形两锐角互余已知角平分线的定义∠2=∠AED，等角的余角相等对顶角相等等量代换80°20°ACE D B 角的相关计算和证明（作业）例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则∠B =_______．BD E CA【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°；由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 当作△ABC 的一个内角， 则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 作为△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解）1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．ABC DE21C B A第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）A ．120°B ．115°C ．110°D ．105°D CBAEFEBC FDA第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．求证：1902D A ∠=︒+∠．证明：如图， 设∠DBC =α，∠DCB =β ∵BD 平分∠ABC （___________________________） ∴∠ABC =2∠DBC =2α（___________________________） ∵CD 平分∠ACB（___________________________）∴∠ACB =______=_____（___________________________） ∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（________________________） ∴2α+2β+∠A =180°（ 等量代换 ）∴α+β=_______________ （ 等式性质 ） ∵∠DBC +∠DCB +∠D =180° （________________________） ∴____________________（___________________________） ∴α+β=______________ （___________________________）∴190=1802A D ︒-︒-∠∠（ 等量代换 ）∴1902D A ∠=︒+∠ （ 等式性质 ）ABCD6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．A B CDE F17. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．MPF EDCBA【参考答案】1. 60°2. 270°3. B4. A5.已知角平分线的定义 已知2∠DCB ，2β；角平分线的定义 三角形的内角和是180°1902A ︒-∠三角形的内角和是180° α+β+∠D =180°，等量代换 180°-∠D ，等式性质 6. 证明：如图，∵AB ∥DE （已知） ∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知）∴∠DAC=∠ACB （等量代换）∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）7.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和是180°）∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（直角三角形两锐角互余）∵∠CFM=∠AFP （对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）与角有关的辅助线（讲义）一、知识点睛1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用：①________________________________________________； ②________________________________________________． 4. 添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．二、精讲精练1. 如图，AB ∥CD ，∠E =27°，∠C =52°，则∠EAB 的度数为______________．ED CBA2. 如图，∠BAF =46°，∠ACE =136°，CD ⊥CE ．求证：AB ∥CD ．FEDCBA3. 已知：如图，直线MN ∥GH ，∠ABC =130°，∠HDC =40°．你认为AB ⊥MN 吗？请说明理由．H GNME DC B A4. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．PFE D CBA5. 如图，l 1∥l 2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．321l 2l 16. 已知：如图，AB ∥EF ，∠B =25°，∠D =30°，∠E =10°，则∠BCD =________．F EDCBA7. 已知：如图，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D ．请问β和α之间有怎样的数量关系？并说明理由．ECDBA8. 已知：如图，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC ．求证：AB ∥GF ．21G FE DC BA9. 已知：如图，在四边形ABDC 中．求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．DC BA三、回顾与思考_______________________________________________________________________________________________________________________________________ 【参考答案】 一、知识点睛1. 虚线；2. 已知，未知3. ①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形二、精讲精练1. 79°2.G ABCD E F证明：如图，延长DC 到点G ．∵CD ⊥CE （已知）∴∠ECG =90°（垂直的定义） ∵∠ACE =136°（已知） ∴∠ACG =∠ACE -∠ECG=136°-90° =46°（等式性质） ∵∠BAF =46°（已知） ∴∠ACG =∠BAF （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）3.FA B C DE MNGH解：MN ⊥AB ，理由如下： 如图，延长AB 交GH 于点F ． ∵∠HDC =40°（已知）∠HDC =∠BDF （对顶角相等） ∴∠BDF =40°（等量代换）∵∠ABD 是△BFD 的一个外角（外角的定义）∴∠ABD =∠BFD +∠BDF （三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和） ∵∠ABC =130°（已知） ∴∠BFD =∠ABD -∠BDF =130°-40°=90°（等式性质）∵MN ∥GH （已知）∴∠AEN =∠BFD =90°（两直线平行，同位角相等） ∴MN ⊥AB （垂直的定义） 4.NM 4321P FE D CBA证明：如图，过点P 作MN ∥AB ． ∵CD ∥AB （已知）∴AB ∥MN ∥CD （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠EPF=∠2+∠4=∠1+∠3（等量代换）即∠EPF =∠AEP +∠CFP 5. 115°6. 45°7. 解：β=2α，理由如下：21E DM CNAB如图，过点C 作MN ∥AB ． ∵AB ∥ED （已知）∴MN ∥AB ∥ED （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠1+∠D =180° ∠2+∠B =180°∠A +∠E =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D （已知） ∴α=180°，β=360°（等式性质） ∴β=2α（等式性质） 8. 证明：N M AB CDE F G 12如图，延长CB 交FG 于点M ，延长FE 交CM 于点N ． ∵CD ∥EF （已知）∴∠2=∠FNM （两直线平行，同位角相等） ∵∠BMG 是△FMN 的一个外角（外角的定义） ∴∠BMG =∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠ABC =∠1+∠2（已知） ∴∠BMG =∠ABC （等量代换）∴AB ∥GF （同位角相等，两直线平行） 9.1EABD证明：如图，延长BD 交AC 于点E ． ∵∠BDC 是△CDE 的一个外角（外角的定义）∴∠BDC =∠1+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和）∵∠1是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和）∴∠BDC =∠A +∠B +∠C （等量代换）与角有关的辅助线（随堂测试）10. 如图，AB ⊥EF 于点O ，BD 与MN 相交于点C ，∠1=35°，∠B =125°，你认为直线EF ∥MN 吗？请说明理由．N MFA B C D E1O11. 如图，AB ∥CD ，∠α=150°，∠β=80︒，求∠ γ的度数．γβαEDCBA【参考答案】1. 解：EF ∥MN理由如下：如图，延长AB 交MN 于点G ． ∵∠1=35°（已知）∴∠BCG =35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义） ∴∠ABC =∠BGC +∠BCG （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC =125°（已知） ∴∠BGC =∠ABC -∠BCG =125°-35°=90°（等式性质）∵AB ⊥EF （已知）∴∠AOF =90°（垂直的定义） ∴∠AOF =∠BGC （等量代换）∴EF ∥MN （同位角相等，两直线平行） 2.解：如图，过点E 作EF ∥AB ． ∵AB ∥CD （已知）∴CD ∥AB ∥EF （平行于同一直线的两直线平行）N MFEGO 1D C B A C F A BD E αβγ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∠γ=∠DEF （两直线平行，内错角相等） ∵∠α=150°（已知） ∴∠AEF=30°（等式性质） ∵∠β=80°（已知） ∴∠DEF =50°（等式性质） ∴∠γ=50°（等量代换）与角有关的辅助线（作业）例：已知：如图，∠BED =∠B +∠D ．求证：AB ∥CD ．EDBA C①读题标注：EDBAC②梳理思路：要证AB ∥CD ，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB ，CD 没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE 交CD 于点G ．GCABDE③过程书写：证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵∠BED 是△DEG 的一个外角 ∴∠BED =∠DGE +∠D ∵∠BED =∠B +∠D∴∠DGE =∠B ∴AB ∥CD12. 已知：如图，a ∥b ，则∠1+∠2-∠3=_________．ba13213. 已知：如图，∠B +∠E +∠D =360°．求证：AB ∥CD ．CA BDE14. 已知：如图，AB ∥CD ，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．4F123CDE B A15. 已知：如图，AB ∥CD ．求证：∠1+∠3 ∠2=180°．A BCD 123E16. 已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°．FG EDCBA321【参考答案】1. 180°2.证明：如图，过点E 作EF ∥AB ．∴∠B +∠BEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B +∠BED +∠D =360°（已知） ∴∠FED +∠D =180°（等式性质）∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行） 3.证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠5（等量代换）∴BG ∥CF （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 4.证明：如图，延长EA 交CD 于点F ． ∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4是△CEF 的一个外角（外角的定义）F E DBAC5GAB EDC321F44F E321DC B A∴∠4=∠2+∠ECF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ECF=180°-∠3（平角的定义）∴∠4=∠2+180°-∠3（等量代换）∴∠4+∠3-∠2=180°（等式性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）5.证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF =∠1（等式性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BME+∠MNC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BME是△ABM的一个外角（外角的定义）∴∠BME=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠MNC是△CDN的一个外角（外角的定义）∴∠MNC=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）（方法不只一种）三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：D CBAMAB CD延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ，连接BE 连接CEF ED CBA延长FE 交BC 的延长线于点G二、精讲精练1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ．（2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．D CAE D CB AF EDCBADCA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB A6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GFE DCB AGF EDCBAFE DCB A【参考答案】1. （1）证明：如图，21EBCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE21EDCB A在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ）∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM321MA BCDEF∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ）∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM321MABCD EFG∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90° ∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（随堂测试）1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．2.【参考答案】1.3<AB<132.GF=3（提示：延长GE交CB的延长线于点H，证明△AGE≌△BHE，再证FG=FH即可）三角形全等之倍长中线（习题）例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．AFB D CE【思路分析】读题标注：A B D C EF见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长中线，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：GFE CDB AABDCEFG（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．FE CDB A在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）∴DF=CG，∠DFE=∠G∵DF∥AB∴∠DFE=∠BAE∵DF=AC∴CG=AC∴∠G=∠CAE∴∠BAE=∠CAE即AE平分∠BAC1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF=2AD．F EDC BAF EBA4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．【参考答案】1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）G FE D CBAFE DB CA三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ． 求证：CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．21D CB A E DCBA EDA4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD的延长线于点E ． 求证：CE 21BD ．OED CBA EDCB A。

八年级上册讲义第十一讲三角形与三角形有关的线段三角形的边三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性与三角形有关的角三角形的内角三角形的外角多边形及其内角和教学活动小结复习题11【知识精要】1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．（六）多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线②n边形的内角和为（n－2）×180°③多边形的外角和为360°考点11.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.AACA2题图DCBAEE ACBACBABC ABCEE6题图7题图5题图FEDDFD EB CA ACB B CA考点21、下列说法错误的是( ).A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是( )3．如图3，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（）A．25° B．30° C．45° D．60°4. 如图4，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS∆= 42cm，则S阴影等于( )A．22cm B. 12cm C.122cm D.142cm6.如图7，BD=DE=EF=FC，那么，AE是 _____ 的中线。

新人教版八年级上册数学知识点总结归纳1 第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。