一类位置随动系统的测速反馈控制1位置随动系统原理1.1位置随动系统工作原理图1-1位置随动系统原理图该系统为一自整角机位置随动系统，用一对自整角机作为位置检测元件，并形成比较电路。
发送自整角机的转子与给定轴相连：接收自整角机的转子与负载轴（从动轴）相连。
TX 与TR 组成角差测量线路。
若发送自整角机的转子离开平衡位置转过一个角度r θ，则在接收自整角机的单相绕组转子的单相绕组上将感应出一个偏差电压e u ，它是一个振幅为em u 、频率与发送自整角机激励相同的交流调制电压。
即sin e em u u t ω=∙在一定范围内，em u 正比于r c θθ-，即[]em e r c u k θθ=-，所以可得[]sin e e r c u k t θθω=-这就是随动系统中接收自整角机所产生的偏差电压的表达式，它是一个振幅随偏差()r c θθ-的改变而改变的交流电压。
因此，e u 经过交流放大器放大，放大后的交流信号作用在两相伺服电动机两端。
电动机带动负载和接收自整角机的转子旋转，实现r c θθ=，以达到跟随的目的。
为了使电动机转速恒定、平稳，引入了测速负反馈。
系统的被控对象是负载轴，被控量使负载轴转角c θ，电动机是执行机构，功率放大器器信号放大作用，调制器负责将交流调制为直流电供给直流测速发电机工作电压，测速电动机是检测反馈元件。
1.2单元电路模块分析1.2.1自整角机自整角机是常用的位置检测装置，将角位移或者直线位移转换成模拟电压信号的幅值或相位。
自整角机作为角位移传感器，在位置随动系统中是成对使用的。
与指令轴相连的是发送机，与系统输出轴相连的是接收机。
则自整角机的表达式为()[()()]()r c u t K t t K t εεθθθ=-=∆在零初始条件下，拉氏变换为()()u s K s εθ=∆，则自整角机的传递函数为1()()()u s G s K s εθ==∆ 自整角机的结构图如图1-2所示图1-2 自整角机1.2.2功率放大器由于运算放大器具有输入阻抗很大，输出阻抗小的特点，在工程上被广泛用来作信号放大器。
其输出电压与输入电压成正比，即有()[()()]a a f u t K u t u t =-在零初始条件下，拉氏变换为()[()()]()a a f a u s K u s u s K u s =-=∙∆，则传递函数为21()()()a a u s G s K u s == 式中()a u s 为输出电压，1()u s 为输入电压，a K 为放大倍数。
图1-3 功率放大器1.2.3两相伺服电机由伺服电机的性质可知，则表达式为22()()()m m m m a d t d t T K u t dt dtθθ+=在零初始条件下，拉氏变换为2()()()m m m a T s s s K u s θ+=，则伺服电机的传递函数为3()()()(1)m ma m s K G s u s s T s θ==+伺服电机的结构图如图1-4所示图1-4 两相伺服电动机1.2.4直流测速发电机与调制器测速发电机的输出电压t u 与其转速ω成正比，即有t t u K ω=于是可得测速发电机的微分方程()()m t td t u t K dtθ= 在零初始条件下，拉普拉斯变换()()t t c u s K s s θ=，则直流测速发电机的传递函数为4()()()t t m u S G S K s s θ== 直流测速电机的结构图如图1-5所示。
图1-5 直流测速发电机与调制器1.2.5减速器由系统的减速装置可知，减速器的表达式为()()c m t i t θθ=⋅在零初始条件下，拉普拉斯变换为()()c m s i s θθ=⋅。
则减速器的传递函数为5()()()c m s G s i s θθ==其中i 为减速比。
减速器的结构图如图1-6所示图1-6 减速器1.3各部分元件传递函数1)电桥1()()u s G K s εθ==∆ 2)交流放大器21()()()a a us G s K u s == 3)两相伺服电机3()()()(1)c ma m s K G s u s s T s θ==+其中 ()m a m a m m e T R J R f C C =+是电动机机电时间常数；()m m a m m e K C R f C C =+是电动机传递系数； 4)直流测速发动机4()()()t t c U s G S K s s θ==5)减速器5()()()c m s G s i s θθ== 1.4位置随动系统的结构图从与系统输入量r θ有关的比较点开始，依据电路单元模块结构图中的信号流向，把各环节的结构图连接起来，将系统的输入量r θ于结构图的最左端，系统输出量c θ于结构图的最右端，便得到系统结构图，如图1-7所示图1-7 位置随动系统的结构图则系统的信号流图如图1.8所示图1-8 位置随动系统的信号流图1.5相关函数的计算1）开环传递函数：2(1)a m m t a m K K K iT s K K K sε++G(s)=2）闭环传递函数：2()(1)a m m t a m a m K K K is T s K K K s K K K iεεΦ=+++ 3）电动机机电常数：/()m a L a L m e R J R f C C =+T 4）电动机传递系数：m m a m m e R f C C +K =C /()5）初始条件：放大增益为50a K =，电桥增益3K ε=，测速电机增益0.18t K V s =⋅，7.5a R =Ω，14.25a L mH =，20.007J kg m =⋅，0.3/Ce Cm N m A ==⋅，0.2f N m s =⋅⋅，减速比0.1i =。
在MATLAB 中调用tf() 函数和feedback()函数，求系统的开、闭环传递函数。
代码如下：Ka=50; Ke=3;Kt=0.18; Ra=7.5; La=0.01425; J=0.007*9.8; Cm=0.3; Ce=0.3; f=0.2; i=0.1; Tm=Ra*J/(Ra*f+Cm*Ce); Km=Cm/(Ra*f+Cm*Ce);num=[Ka*Km*Ke*i]; %开环传递函数分子系数，按s 降幂排列 den=[Tm,Ka*Km*Kt+1,0]; %开环传递函数分母系数，按s 降幂排列 s1=tf(num,den) %调用tf()函数，求出开环传递函数sys=feedback(s1,1) %调用feedback()函数，求出单位反馈闭环传递函数程序运行结果： 开环传递函数 2.83-------------------- 0.3236 s^2 + 2.698 s 闭环传递函数 2.83--------------------------- 0.3236 s^2 + 2.698 s + 2.83 即有开环传递函数为222.83(1)0.3236 2.698a m m t a m K K K i T s K K K s s sε=+++G(s)=即有闭环传递函数为222.83()(1)0.3236 2.698 2.83a m m t a m a m K K K i s T s K K K s K K K i s s εεΦ==+++++ 1.6开环系统频域特性求解求系统的幅值裕度和相角裕度，可直接调用margin()函数。
margin()函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相位裕度及其对应的角频率。
调用格式为margin(sys)其中sys 为系统的开环传递函数。
代码如下： s1=tf(num,den);margin(s1); %调用margin()函数，求校正前系统的相角裕度和幅值裕度 grid on;Matlab 运行结果如下图所示。
校正前，截止频率 1.04/c rad s ω=；相角裕度82.9γ︒=；幅值裕度为dB +∞。
图1-9 位置随动系统的频域特性1.7绘制Bode图和Nyquist图在Matlab环境下绘制系统的Bode图和Nyquist图。
则输入代码如下：G=tf([2.83],[0.3236 2.698 0]);figure(1)bode(G);figure(2)nyquist(G);运行程序得系统的Bode图和Nyquist图。
分别如图1-10和图1-11所示图1-10 位置随动系统的Bode图图1-11 位置随动系统的Nyquist图2设计测速反馈控制2.1控制要求要求在原来的基础上设计一测速反馈控制使其阻尼比变为0.75，即是通过改变反馈比t K 来改变整个系统的开环传递函数的阻尼比。
2.2测速反馈控制的原理输出量的导数同样可以改善系统的性能。
通过将输出的速度信号反馈到系统输入端与误差信号进行比较，其效果与比例—微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能。
如果系统的输出量是机械位置，如此系统就是角位移，则可采用测速发电机将角位移变换为正比于角速度的电压，从而获得速度反馈。
2.3设计测速反馈控制改变阻尼比有上面计算可得，位置随动系统的闭环传递函数为2()(1)a m m t a m a m K K K is T s K K K s K K K iεεΦ=+++通过设计测速反馈控制使系统的阻尼比为0.75，则只需要改变t K 的值，而不需要改变系统的其它系数。
有二阶系统的闭环传递函数的标准形式：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ==++ 则其中2 2.838.7454,0.3236a m m n K K K i T εω===0.712,5t a m mn K K K T ζωζ+==且。
即求得 2.9573,0.0462n t K ω==加入测速反馈控制后的系统结构图和信号流图与未校正之前的只有t K 的取值不同，加入测速反馈控制后的传递函数中用0.0462t K =.即此时的开环传递函数,G (s)和闭环传递函数()s Φ分别为,222.83(1)0.3236 1.436a m m t a m K K K i T s K K K s s sε=+++G (s)=222.83()(1)0.3236 1.436 2.83a m m t a m a m K K K i s T s K K K s K K K i s s εε+=Φ=++++2.4校正前后系统的单位阶跃反馈曲线在Matlab软件环境中输入Matlab程序代码，分别得到校正前后的单位阶跃反馈曲线。
输入代码如下：num=[2.83];den=[0.3236 2.698 2.83];G=tf(num,den);step(G)axis([0 8 0 1.5])grid minor即得系统校正前的单位阶跃反馈曲线如图2-1所示图2-1 系统校正前的单位阶跃反馈曲线输入代码如下:num=[2.83];den=[0.3236 1.436 2.83];G=tf(num,den);step(G);grid minoraxis([0 5 0 1.5])即得系统校正后的单位阶跃反馈曲线如图2-2所示图2-2 系统校正后的单位阶跃反馈曲线3校正前后系统的MATLAB仿真分析3.1系统的Simulink的仿真用Matlab的Simulink进行仿真，在Simulink中新建一个文件将单位阶跃信号、负反馈、开环传递函数和示波器连接起来，对位时随动系统进行仿真，即如图3-1所示图3-1 Simulink仿真模型在Simulink中对单位阶跃信号的设置如图3-2所示图3-2 单位阶跃信号在Simulink中对开环传递函数的设置如图3-3所示图3-3 开环传递函数的设置将开环传递函数的参数分别设置为校正前后的，运行Simulink仿真可得校正前后的系统的单位阶跃反馈的曲线如图3-4所示图3-4 校正前后系统的单位阶跃反馈曲线3.2系统校正前后的仿真分析由校正前后的仿真图比较可以看出，校正后的系统的上升时间明显变短，而上升时间是系统响应速度的一种度量，上升时间越短，响应速度越快，所以校正后的系统的响应速度较快。
