1994考研数三真题及解析

1994考研数学真题在1994年的考研数学真题中，我们将深入研究该年度的数学考题，以帮助考生更好地理解和应对这些挑战。

本文将按照考题类型和主题展开论述，以确保文章内容的准确性和逻辑性。

一、选择题选择题在考试中占据重要位置，考生需要根据题目给出的条件和要求，选择出正确的答案。

以下是1994年考研数学真题的一道选择题：【题目】已知函数列f_n(x)以正常收敛到f(x)，且f_n(x)在[a,b]上分段连续，试证明：f(x)在[a,b]上分段连续。

【解答】首先，我们需要明确分段连续的定义。

一个函数在一个区间上是分段连续的，意味着它在该区间上的每个小区间上都连续。

根据题目给出的条件，函数列f_n(x)正常收敛到f(x)，即对任意的ε>0，存在N，当n>N时，有|f_n(x)-f(x)|<ε。

因此，我们可以选取一个N，使得|f_N(x)-f(x)|<ε/2，同时根据f_N(x)在[a,b]上的分段连续性，我们可以进一步选取一个充分小的δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f_N(x)-f_N(y)|<ε/2。

那么对于任意的ε>0，当y∈[x-δ,x+δ]时，有：|f(x)-f(y)| ≤ |f(x)-f_N(x)| + |f_N(x)-f_N(y)| + |f_N(y)-f(y)| < ε/2 + ε/2 + ε/2 = ε因此，f(x)在[a,b]上是分段连续的。

二、填空题填空题在数学考试中常常涉及到求解方程或计算特定数值。

以下是1994年考研数学真题的一道填空题：【题目】设复数z满足|z+1|+|z-1| = 2，则z的取值范围是_________。

【解答】根据题目条件：|z+1|+|z-1| = 2，我们可以利用复数的几何意义进行求解。

我们知道复平面上，对于复数z=a+bi（a，b为实数），|z|表示复数z到原点的距离。

因此，对于复数z，满足|z+1|+|z-1| = 2的条件，可以表示为z到点-1和点1的距离之和等于2。

94年数三微分方程
（最新版）
目录
1.94 年数三微分方程的背景和意义
2.数三微分方程的定义和特点
3.数三微分方程的解法和应用
4.我国在数三微分方程领域的研究进展
正文
【1.94 年数三微分方程的背景和意义】
94 年数三微分方程，是指在 1994 年由中国数学家陈景润提出的一类特殊的微分方程。

这一方程在数学领域具有重要的地位，它的提出和研究不仅丰富了微分方程的理论体系，还为我国数学家在国际数学领域赢得了声誉。

【2.数三微分方程的定义和特点】
数三微分方程是一种特殊的微分方程，其特点是方程中包含三个以上的未知函数，并且这些函数的次数是不同的。

这种方程的求解过程较为复杂，需要运用到多种数学方法和技巧。

【3.数三微分方程的解法和应用】
数三微分方程的解法主要包括数值解法和解析解法。

数值解法是利用计算机进行数值模拟求解，而解析解法则是通过数学推导得到解析解。

数三微分方程在实际应用中具有广泛的应用，例如在物理、生物、经济等领域都有重要的应用价值。

【4.我国在数三微分方程领域的研究进展】
我国在数三微分方程领域的研究一直处于世界前列。

陈景润教授提出
的 94 年数三微分方程，是我国在这个领域的重要研究成果。

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 试计算下列各题： (1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x a F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s ααα 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s ααα 均不为零向量(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s ααα 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( )(A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y == (D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2y Dxedxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )x y y x x e -'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). 八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量. 九、(本题满分4分)从0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α. 十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. [附表表中()x Φ是标准正态分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤= 则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C) 1n ∞= (D) 21(1)n nn a ∞=-∑ (3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x x nxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++ 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T n T T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2) 级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为_________. (3)交换积分次序1(,)dy f x y dx =⎰_________.(4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0,,0A A a B b C B ⎛⎫===⎪⎝⎭,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2a (B) 2()a f a(C) 0 (D) 不存在(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) 2x (B) 1cos x -1 (D) tan x x -(3) 设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )(A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =(5) 设n 个随机变量12,,,n X X X 独立同分布,2111(),,ni i D X X X n σ===∑2211()1ni i S X X n ==--∑,则 ( ) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立三、(本题满分5分)设函数ln cos(1),1,1sin ()21, 1.x x x f x x π-⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩问函数()f x 在1x =处是否连续?若不连续,修改函数在1x =处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算arccot .xxe I dx e =⎰五、(本题满分5分)设sin()(,)x z xy x y ϕ=+,求2zx y∂∂∂,其中(,)u v ϕ有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数()f x ,使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰.七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时,212arctan arccos 214x x x π-=+. 八、(本题满分9分)设曲线方程(0)xy e x -=≥.(1) 把曲线xy e -=,x 轴,y 轴和直线(0)x ξξ=>所围成平面图形绕x 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V ξ;求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(1) 求x 和y 的值.(2) 求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (1) 求λ的值; (2) 证明0B =.十一、(本题满分6分)设A B 、分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差2(0,10)X N ,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望EX 和方差DX .十四、(本题满分4分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他,(1) 求随机变量X 的密度()X f x ; (2) 求概率{1}P X Y +≤.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 2352limsin 53x x x x→∞+=+ .(2) 已知()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx == .(3) 级数0(ln3)2nnn ∞=∑的和为 . (4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为 .(5) 设总体X 的方差为1,根据来自X 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x=21,0,0,0,x xx ≠⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =,则 ( )(A) A 是必然事件 (B) ()0P B A =. (C) A B ⊃ (D) A B ⊂(5) 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=.()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) (A) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设()z f x,y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xxa x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,C aq bq c =++需求函数为1(),q d p e=-其中C 为成本,q 为需求量(即产量),p 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数()(0)y f x x =≤<+∞满足条件(0)0f =和0()1xf x e ≤≤-; (2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1xy e =-分别相交于点1P 和2P ;(3) 曲线()y f x =,直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12PP 的长度. 求函数()y f x =的表达式.七、(本题满分6分)假设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,其中01c <<.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.八、(本题满分10分)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+,其中123(,,)T X x x x =和123(,,)T Y y y y =是三维列向量, P 是3阶正交矩阵.试求常数,αβ.十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布, X 的概率密度为23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (1) 已知事件{}A X a =>和{}B Y a =>独立,且()34P A B .= 求常数a. (2) 求21X 的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)2222x xdx x -+=+⎰_____________.(2) 已知()1f x '=-,则000lim(2)()x xf x x f x x →=---_____________.(3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则dydx=_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M MM L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他， 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数,则{}2P Y == _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数0λ>,而级数21nn a∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( )(A) 1r r > (B) 1r r <(C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定(4) 设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( )(A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立(C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记222212112222341111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是 ( )(A) X t S μ-=(B) X t S μ-=(C) X t μ-=(D) X t μ-=三、(本题满分6分)计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中{}22(,)1D x y x y x y =+≤++. 四、(本题满分5分)设函数()y y x =满足条件440,(0)2,(0)4,y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩求广义积分0()y x dx +∞⎰.五、(本题满分5分)已知22(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-,求2f x y∂∂∂.六、(本题满分5分)设函数()f x 可导,且10(0)0,()()xn n n f F x t f x t dt -==-⎰,求20()limnx F x x → 七、(本题满分8分)已知曲线0)y a =>与曲线y =00(,)x y 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点00(,)x y ；(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V . 八、(本题满分6分)假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记()()()()f x f a F x x a x a-=>-,证明()F x 在(),a +∞内单调增加. 九、(本题满分11分) 设线性方程组23112131231222322313233323142434,,,.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1) 证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；(2) 设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中12111,1,11ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 十一、(本题满分8分)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布{}{}00.6,10.4(1,2,3,4)i i P X P X i =====,求行列式1234X X X X X =的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1xf x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) 111sin dx x -⎰(B) 1-⎰(C)2x e dx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}x y x y edxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan x x e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程y x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= .则线性方程组TA XB =的解是___________. (5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 1(,)dy f x y dx ⎰(C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)1(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( )(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥= ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A AA -**= (B) 1()n A A A +**=(C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ,若存在两组不全为零的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则( )(A) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关 (B) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关(D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+(D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e =,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________. (3) 差分方程12t t t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量U =服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=(C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( ) (A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若 在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++ 的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1TA b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是。

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知原式2222222202222x x x dx dx dx x x x --=+=+++⎰⎰⎰ 22212dx x=+⎰220ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=(2)【答案】1【解析】根据导数的定义,有0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于000(2)()limx f x x f x x x→---00000(2)()()()limx f x x f x f x x f x x→----+= 00000000(2)()()()(2)lim lim 2()() 1.2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式0001lim1(2)()1x x f x x f x x →===---.(3)【答案】sin 2xy xy ye xy xe y+'=-+【解析】将方程2cos xye y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 方程两边对x 求导,得sin ()2sin 2xy xyxy ye xe y xy yy x y xe y+'''++=-⇒=-+.【相关知识点】两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(4)【答案】121100010001001000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式11100A B B A---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 且 11122111n n a a a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以,本题对A 分块后可得11211000100011000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (5)【答案】964【解析】已知随机变量X 的概率密度,所以概率12011224P X xdx ⎧⎫≤==⎨⎬⎩⎭⎰,求得二项分布的概率参数后,故1~(3,)4Y B .由二项分布的概率计算公式,所求概率为{}22313924464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于 2121lim arctan (1)(2)4x x x x e x x π→∞++=+-,故4y π=为该曲线的一条水平渐近线.又 21201lim arctan (1)(2)x x x x e x x →++=∞+-.故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C). (3)【答案】(C)【解析】由公式()min((),())r AB r A r B ≤,若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).(4)【答案】(D)【解析】事实上,当0()1P B <<时,(|)(|)P A B P A B =是事件A 与B 独立的充分必要条件,证明如下：若(|)(|)P A B P A B =,则()()()1()P AB P AB P B P B =-, ()()()()()P AB P B P AB P B P AB -=,()()[()()]()()P AB P B P AB P AB P B P A =⋅+=,由独立的定义,即得A 与B 相互独立.若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)P A B P A B = .(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=.由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立. 所以本题选(D). (5)【答案】(B) 【解析】由于12,,,n X X X 均服从正态分布2(,)N μσ,根据抽样分布知识与t 分布的应用模式可知(0,1)X N , 其中11ni i X X n ==∑,2212()(1)nii XX n χσ=--∑((1).X t n μ--即(1)X X t n μ-=-.因为t 分布的典型模式是:设(0,1)X N ,2()Yn χ,且,X Y 相互独立,则随机变量T =服从自由度为n 的t 分布,记作()T t n .因此应选(B).三、(本题满分6分)【解析】方法1：由221x y x y +≤++,配完全方得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令11cos ,sin 22x r y r θθ-=-=,引入极坐标系(,)r θ,则区域为(,)02,0D r r θθπ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎩.故20()cos sin )Dx y dxdy d r r rdr πθθθ+=++⋅⎰⎰⎰22003(cos sin )4d d ππθθθθ=++⎰)220033sin cos 42d ππθθθπ=+-=⎰. 方法2：由221x y x y +≤++,配完全方得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.引入坐标轴平移变换：11,,22u x v y =-=-则在新的直角坐标系中区域D 变为圆域 2213(,)|2D u v u v ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭.而1x y u v +=++,则有dxdy dudv =,代入即得1111()(1)DD D D D x y dxdy u v dudv ududv vdudv dudv +=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由于区域1D 关于v 轴对称,被积函数u 是奇函数,从而10D ududv =⎰⎰.同理可得10D vdudv =⎰⎰, 又 1132D dudv D π==⎰⎰, 故3()2Dx y dxdy π+=⎰⎰.四、(本题满分5分)【解析】先解出()y x ,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.方程440y y y '''++=的特征方程为2440λλ++=,解得122λλ==-.故原方程的通解为212()xy C C x e-=+.由初始条件(0)2,(0)4y y '==-得122,0,C C ==因此,微分方程的特解为22xy e-=.再求积分即得20()2x y x dx e dx +∞+∞-=⎰⎰()220lim2lim 1bbx x b b e d x e --→+∞→+∞==-=⎰.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程0y py qy '''++=：首先写出方程0y py qy '''++=的特征方程：20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2)两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3)一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.五、(本题满分5分)【解析】由复合函数求导法,首先求fx∂∂,由题设可得 2222212arctan 11f yx y y x x xx y y x x y ∂⎛⎫=+-- ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2322222arctan 2arctan y x y y y x x y x x y x y x=--=-++. 再对y 求偏导数即得222222222212111f xx x y x yxx y x y y x ∂-=-=-=∂∂++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.六、(本题满分5分)【解析】运用换元法,令nnx t u -=,则1101()()()()().nxx n nnn n F x tf x t dt f u du F x x f x n --'=-=⇒=⎰⎰由于20()limnx F x x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,可得122121000()()()lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'==001()1()(0)lim lim 220n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义,有 原式1(0)2f n'=. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.七、(本题满分8分)【解析】利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后利用旋转体体积公式2()baf x dx π⎰求出x V .(1) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,0()k y x '=.由y =y '=.由y =12y x'=. 由于两曲线在00(,)x y 处有公共切线,12x =,得021x a =.将021x a=分别代入两曲线方程,有00ln 1y y ==⇒==于是 20211,a x e e a===, 从而切点为2(,1)e .(2) 将曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得 旋转体体积为2222222011ln 24e e e x V dx dx e xdx ππππ=-=-⎰⎰⎰222222111ln 2ln 24222e e e e x x xdx e x πππππ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦⎰.【相关知识点】由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为：2()baV f x dx π=⎰.八、(本题满分6分) 【解析】方法1:()()22()()()()1()[()()()()]f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a '--+''==--+--,令 ()()()()()(),x f x x a f x f a x a ϕ'=--+>由 ()()()()()()()0(),x f x x a f x f x x a f x x a ϕ'''''''=-+-=->> 知 ()x ϕ在(),a +∞上单调上升,于是()()0x a ϕϕ>=. 故 ()2()()0x F x x a ϕ'=>-.所以()F x 在(),a +∞内单调增加. 方法2: []()2()()()()1()()()()f x x a f x f a f x f a F x f x x a x a x a '----⎡⎤''==-⎢⎥--⎣⎦-. 由拉格朗日中值定理知()()()f x f a f x aξ-'=-,()a x ξ<<.于是有 1()[()()]F x f x f x aξ'''=--. 由()0f x ''>知()f x '在(),a +∞上单调增,从而()()f x f ξ''>,故()0F x '>.于是()F x 在(),a +∞内单调增加.【相关知识点】1.分式求导数公式：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭2.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.九、(本题满分11分)【解析】(1)因为增广矩阵A 的行列式是范德蒙行列式,1234,,,a a a a 两两不相等, 则有213141324243()()()()()()0A a a a a a a a a a a a a =------≠,故 ()4r A =.而系数矩阵A 的秩()3r A =,所以方程组无解.(2)当 1324,(0)a a k a a k k ====-≠时,方程组同解于2312323123,.x kx k x k x kx k x k ⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩ 因为1201kk k=-≠-,知()()2r A r A ==.由()321n r A -=-=,知导出组0Ax =的基础解系含有1个解向量,即解空间的维数为1.由解的结构和解的性质,12112110112ηββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦是0Ax =的基础解系.于是方程组的通解为1121012k k βη--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,其中k 为任意常数. 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即()()r A r A =.(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.2.解的结构：若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,知Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.3.解的性质：如果12,ηη是0Ax =的两个解,则其线性组合1122k k ηη+仍是0Ax =的解；如果ξ是Ax b =的一个解,η是0Ax =的一个解,则ξη+仍是Ax b =的解.十、(本题满分8分)【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有20111(1)(1)(1)0110E A x y λλλλλλλλλ---=---=-=-+=--,得到A 的特征值为1231,1λλλ===-.由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1λ=必有两个线性无关的特征向量,从而()1r E A -=.这样才能保证方程组()0E A X -=解空间的维数是2,即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将E A -第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有101101000101000E A x y x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,由()1r E A -=,得 x 和y 必须满足条件0x y +=.十一、(本题满分8分)【解析】记114223,,Y X X Y X X ==则12,X Y Y =-随机变量1Y 和2Y 相互独立且同分布, 由A 与B 独立可得出()()()P AB P A P B =,故{}{}{}{}{}1141414111,1110.16,P Y P X X P X X P X P X ========⋅=={}{}110110.84P Y P Y ==-==.由行列式的计算公式,随机变量12,X Y Y =-有三个可能取值：1,0,1.-{}{}{}{}121210,1010.840.160.1344,P X P Y Y P Y P Y =-=====⋅==⨯= {}{}{}{}121211,0100.1344,P X P Y Y P Y P Y ======⋅== {}{}{}01110.7312.P X P X P X ==-=--==所求的行列式的概率分布列于下表:十二、(本题满分8分)【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有{}{}{}()10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤->(10)20[(12)(10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---Φ- 25(12)21(10) 5.μμ=Φ--Φ--此时数学期望依赖于参数μ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有22(10)(12)22()25(12)21(10)25],dE T e e d μμϕμϕμμ----=--+-=- 令 ()0dE Td μ=,22(10)(12)220μμ----=, 即22(10)(12)22μμ----=. 解上面的方程得 012511ln 10.9.221μμ==-≈ 得到唯一驻点010.9μμ=≈,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.由题意知,当010.9μμ=≈毫米时,平均利润最大.。

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 011lim cot ()sin x x x x→-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3) 设sin xx u e y -=,则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4) 设区域D 为222x y R +≤,则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰_____________.(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23αβ==,设TA αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设4222sin cos 1x M xdx x ππ-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰, 则 ( )(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2tan (1cos )lim2ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)设2221cos(),cos(),t x t y t t udu ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰ 求dy dx 、22d y dx在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求sin 22sin dxx x +⎰.四、(本题满分6分)计算曲面积分2222Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组()I 为12240,0,x x x x +=⎧⎨-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.(1) 求线性方程组()I 的基础解系；(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分6分)设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,TA 是A 的转置矩阵,当*TA A =时,证明||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.十一、(本题满分6分)已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32X YZ =+,(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsin x x x x x x →-=300sin lim cos lim x x x xx x→→-=⋅ 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x x→=) (2)【答案】240x y +-=【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23z F x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量{}{}{}(1,2,0)(1,2,0),,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ⎧⎫∂∂∂ ==-==⎨⎬∂∂∂⎩⎭, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.(3)【答案】22eπ【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ∂∂,再求u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭. 2cos x u x xe y y y-∂=-∂, ()2221112(2,)(2,)2cos xy x x u u uxe x x y y x x y x ππππ-===⎛⎫∂∂∂∂∂===-⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222((1)cos )0xx e x x e πππ-==--+=.(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (4)【答案】42211()4R a bπ+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式2222222322220000cos sin cos sin RR d r rdr d r dr ab a b ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰. 注意：22220cos sin d d ππθθθθπ==⎰⎰,则 原式4422221111144R R a b a b ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】111123232133312n -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233Tβα⎡⎤⎛⎫⎢⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦是一个数,而 11123111221,,2123333312TA αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()()()()n T T T T T T T TA αβαβαβαβαβαβαβαβ==11111232332133312n T n αβ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则()0 ()baf x dx a b ≥<⎰.所以 4202cos 0N xdx π=>⎰, 4202cos 0P xdx N π=-=-<⎰.因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由2210,0,()2a b ab a b ≥≥≤+得到的.) 又21nn a ∞=∑收敛,2112n n ∞= ∑收敛,(此为p 级数：11p n n∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)所以2211122n n a n ∞=+∑收敛,由比较判别法,得1n ∞=收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为 22211cos (),1()2x xx o x e x o x --=-=,故 tan (1cos )(0)a x b x ax a +-≠,2ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠,因此,原式左边0lim222x ax acx c→====--原式右边,4a c ⇒=-.当0,0a c =≠时,极限为0；当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim.()x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； （2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；（3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则()()()()(())x x x x o x αβαββ⇔=+.(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即100111002001100011-=≠,由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=,知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,,)i i s α=可以由111,,,,i i s αααα-+线性表出.12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,,)i i s α=均不能由111,,,,i i s αααα-+线性表出.三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)(1)【解析】dy dy dt dy dx dtdt dx dt dx =⋅=222221cos 2sin cos 22(0),2sin t t t t t t t y t t t x t t--⋅'===>'- 同理 2()12sin x txx t y y x t t''''=='-, 代入参数值t =则xt y '=, xxt y ''=【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【解析】111()ln(1)ln(1)arctan 442f x x x x x =+--+-. 先求()f x '的展开式.将()f x 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++(11)x -<<该级数在端点1x =±处的收敛性,视α而定.特别地,当1α=-时,有2311(1),1n n x x x x x =-+-++-++ (11)x -<< 2311,1n x x x x x =++++++- (11)x -<< 得 2221111111111()114141212121f x x x x x x '=++-=+-+-+-+ 44401111(||1)1n n n n x x x x ∞∞===-=-=<-∑∑, 积分,由牛顿-莱布尼茨公式得4140011()(0)() (||1)41n xx nn n x f x f f x dx t dt x n +∞∞=='=+==<+∑∑⎰⎰.(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式sin 22sin cos ααα=⋅,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得sin 22sin 2sin (cos 1)dx dxx x x x =++⎰⎰22sin 11cos 2sin (cos 1)2(1)(1)xdx x u du x x u u ==-+-+⎰⎰ (22sin 1cos x x =-)221(1)(1)1112()4(1)(1)811(1)u u du du u u u u u ++-=-=-++-+-++⎰⎰12ln |1|ln |1|8(1)u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦, 其中C 为任意常数.方法2：换元cos x u =后,有原式22sin 12sin (cos 1)2sin (cos 1)2(1)(1)dx xdx dux x x x u u ===-++-+⎰⎰⎰.用待定系数法将被积函数分解:221(1)(1)11(1)A B Du u u u u =++-+-++ 22()(2)()(1)(1)A B u A D u A B D u u -+-+++=-+, 01120,421A B A D A B D A B D -=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎪++=⎩.于是,2111212()ln 1ln 1811(1)81du u u C u u u u ⎡⎤-++=--+++⎢⎥-+++⎣⎦⎰原式＝ ()()12ln 1cos ln 1cos 81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦.四、(本题满分6分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若∑垂直yOz 平面,则0Pdydz ∑=⎰⎰.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意 22220Sz dxdy x y z =++⎰⎰,(因为S 关于xy 平面对称,被积函数关于z 轴对称) 所以 222SxdydzI x y z =++⎰⎰. S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为123,,S S S . 12,S S 与平面yOz 垂直⇒122222220s s xdydz xdydzx y z x y z ==++++⎰⎰⎰⎰. 在3S 上将222x y R +=代入被积表达式⇒322s xdydzI R z =+⎰⎰. 3S 在yz 平面上投影区域为:,yz D R y R R z R -≤≤-≤≤,在3S 上,x =,3S 关于yz 平面对称,被积函数对x 为奇函数,可以推出22002222yzR R D dz I R z==⨯⨯ +⎰⎰ 2201arctan 42Rz R R R R ππ1=8⋅⋅=.方法2：S 是封闭曲面,它围成的区域记为Ω,记 22SxdydzI R z =+⎰⎰. 再用高斯公式得 222222()1R R D z x dxdyI dV dV dz x R z R z R z -ΩΩ∂⎛⎫=== ⎪∂+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222201122RRdz R R z ππ==+⎰(先一后二的求三重积分方法)其中()D z 是圆域：222x y R +≤.【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.五、(本题满分9分)【解析】由全微分方程的条件,有2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂, 即 22()()2x xy f x f x xy ''+-=+,亦即 2()()f x f x x ''+=.因而是初值问题 200,0,1,x x y y x y y ==''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩ 的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=的根为1,2r i =±,原方程右端202x x e x =⋅中的0λ=,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 2Y Ax Bx C =++. 代入方程可求得 1,0,2A B C ===,则特解为22x -.由题给(0)0,(0)1f f '==,解得 2()2cos sin 2f x x x x =++-.()f x 的解析式代入原方程,则有22[2(2cos sin )][22sin cos ]0xy y x x y dx x y x x x dy +-+++-+=.先用凑微分法求左端微分式的原函数：222211()2()(2sin cos )(2sin cos )022y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy +++----=, 221(2(cos 2sin ))02d x y xy y x x ++-=. 其通解为 2212(cos 2sin )2x y xy y x x C ++-= 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x e λ= 的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分8分) 【解析】0()lim0x f x x→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小,若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小,1,p >从而1()f n 也是1n的p 阶或高于p 阶的无穷小,这就证明了级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 方法一：由0()lim0x f x x→=及()f x 的连续性得知(0)0,(0)0f f '==,再由()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,20()lim x f x x →为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''=== 2()1lim(0)2x f x f x →''⇒=. 由函数极限与数列极限的关系 21()1lim (0)12n f nf n →+∞''⇒=.因211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.方法二：由0()lim0x f x x→=得知(0)0,(0)0f f '==,可用泰勒公式来实现估计.()f x 在点0x =有泰勒公式：2211()(0)(0)()()(01,[,])22f x f f x f x x f x x x θθθδδ'''''= ++=<<∈- 因()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,0,()f x δ''⇒∃>在[,]x δδ∈-有界,即0M ∃>,有|()|,[,]f x M x δδ''≤∈- 2211()(),[,]22f x f x x Mx x θδδ''⇒=≤∈-. 对此0δ>,,N n N ∃>时,211110()2f M n n nδ<<⇒≤. 又211n n ∞=∑收敛11()n f n ∞=⇒∑收敛,即 11()n f n ∞=∑绝对收敛.【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.七、(本题满分6分)【解析】方法1：用定积分.设高度为z 处的截面z D 的面积为()S z ,则所求体积1()V S z dz =⎰.,A B 所在的直线的方向向量为()()01,10,101,1,1---=-,且过A 点,所以,A B 所在的直线方程为1111x y z-== - 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩. 截面z D 是个圆形,其半径的平方 22222(1)R x y z z =+=-+,则面积222()[(1)]S z R z z ππ==-+,由此 1220[(1)]V z z dz π=-+⎰()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=. 方法2：用三重积分.2123V dV d dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰,或者 1122[(1)]zD V dV dz d z z dz σπΩ===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()120122z z dz π=-+⎰123023z z z π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π=.八、(本题满分8分)【解析】(1)由已知,()I 的系数矩阵,11000101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.由于()2,n r A -=所以解空间的维数是2.取34,x x 为自由变量,分别令()()()34,1,0,0,1x x =,求出0Ax =的解. 故()I 的基础解系可取为 (0,0,1,0),(1,1,0,1)-. (2)方程组()I 和()II 有非零公共解.将()II 的通解 1221231242,2,2,x k x k k x k k x k =-=+=+=代入方程组()I ,则有212121222020k k k k k k k k -++=⎧⇒=-⎨+-=⎩. 那么当120k k =-≠时,向量121(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)k k k +-=---是()I 与()II 的非零公共解.九、(本题满分6分)【解析】证法一：由于 *TA A =,根据*A 的定义有(,1,2,,)ij ij A a i j n =∀=L ,其中ij A 是行列式||A 中ij a 的代数余子式.由于0A ≠,不妨设0ij a ≠,那么2222112212||0ij i i i i in in i i in A a A a A a A a a a a =+++=+++≥>L L ,故 ||0A ≠.证法二：(反证法)若||0A =,则*TAA AA ==||0A E =.设A 的行向量为(1,2,,)i i n α=L ,则 222120T i i i i in a a a αα=+++=L (1,2,,)i n =L .于是 12(,,,)0i i i in a a a α==L (1,2,,)i n =L . 进而有0A =,这与A 是非零矩阵相矛盾.故||0A ≠.十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有()()1()P AB P A B P A B ==-U U1[()()()]P A P B P AB =-+- 1()()()P A P B P AB =--+.因题目已知 ()()P AB P AB =,故有()()1P A P B +=,()1()1P B P A p =-=-.(2)【解析】由于X 、Y 相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量{}max ,Z X Y =只取0与1两个可能的值,且{}{}{}0max ,0P Z P X Y ==={}{}{}10,0004P X Y P X P Y =====⋅==, {}{}31104P Z P Z ==-==. 所以随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为：十一、(本题满分6分)【解析】此题的第一小问是求数学期望()E Z 和方差()D Z ,是个常规问题；(2)求相关系数XZ ρ,关键是计算X 与Z 的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1) 由2(1,3)XN ,2(0,4)Y N ,知()1,()9,()0,()16E X D X E Y D Y ====.由数学期望和方差的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()2Cov(,)D aX bY c a D X b D Y ab X Y ++=++,其中,,a b c 为常数.得 111,323EZ EX EY =+= 111Cov(,)943DZ DX DY X Y =++111916943XY ρ=⨯+⨯+115()34 3.32=+⨯-⨯⨯=(2) 因为11Cov(,)Cov(,)32X Z X X Y =+11Cov(,)Cov(,)32X X X Y =+2113(6)032=⋅+-= 所以 0XZ ρ==.(3) 由于(,)X Y 服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而32X YZ =+,0X X Y =+,故X 和Z 都是其线性组合,则(,)X Z 服从二维正态分布,根据 0XZ ρ==,所以X 与Z 是相互独立的.。