全等三角形专题：倍长中线

三角形全等--倍长中线

一、直接倍长中线

例1【等腰三角形的性质与判定】

（1）已知△ABC中AB＝AC,求证：∠B＝∠C.

（2）已知△ABC中∠B＝∠C,求证：AB＝AC.

（3）如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2，

求证：AB＝AC.

例2 在△ABC中，已知线段AB＝4，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是

【变式训练】如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，求证：AC＝2AE．

二、倍长中线的一部分

例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：∠AEF＝∠FAE

【变式训练】如图②，BD＝CD，∠1＝∠2，此时EB＝AC成立吗？请说明你的理由.

DCBA1221ABCD图 1①②ECBEDAFEDABCDCBA1221ABCD图 1-3-9①②E三角形全等--倍长中线

三、倍长过中点的线段

例4 如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE＋CF与EF的大小.

四、作平行线构造8字型

例5已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF＝EF.

求证：BD＝CE.（有三种辅助线）

【变式训练】如图，BD＝CD，∠1＝∠2，此时EB＝AC成立吗？请说明你的理由. （有三种辅助线）

FDABCEEFDABCFEDCBA21ABCD-3-9②E三角形全等--倍长中线

【课后作业】

1.在△ABC中，已知线段AB＝5，AC＝13，则BC边上的中线AD的取值范围是

3. 如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，

求证：AD平分∠BAE.

4. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC.求证：AE平分∠BAC.

CBEDADEABCF三角形全等--倍长中线

5.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为

6.如图1－3－10，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE，FC，EF总能构成一个直角三角形.

图 1-3-8ABCDEPQEDCBAF图 1-3-10