年人教A版高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 4.3 4.3.1 4.3.2

第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．1直线与圆的位置关系课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是() A．相交且直线过圆心B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离d＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于()A.6B.6 2C．1 D．5解析：选A圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝2，圆心到直线的距离d＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r2－d2＝22－12＝ 6.3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．0或4 B．0或3C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝ .解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为 ．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是 ．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4. ∴r ＝16＋4－162＝1.答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r . ∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，① 且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关 解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1＜1＝r ，故选A.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.3．若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 解析：选C 由题意得|2k －3＋2|k 2＋1<1，解得0<k <43.4．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：选A 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时， |AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1.由二次函数的图象可得－34≤k ≤0.5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为 ．解析：圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 答案：25556．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则实数b 的取值范围是 ．解析：如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)即直线l 2，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切即直线l 1，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，直线l 2中b ＝1；直线l 1中b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为 ．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5.∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：48．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程； (2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2－1，b ＝－ 2.。

学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋(－1)2＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－(32)2＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个． 【答案】 3 三、解答题8．过点A (1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】 因为tan 135°＝－tan 45°＝－1， 所以直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2－2|2＝ 2＜r ＝22，所以直线与圆相交． 弦长为2r 2－d 2＝28－2＝2 6.9．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 【解】 (1)设圆A 的半径为r ， ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时， 则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ， ∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2，又∵|MN |＝219，r ＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25，∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10， ②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12，③由①②③解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。

课时分层作业(二十三) 圆的标准方程(建议用时：45分钟)一、选择题1．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x－1)2＋(y－2)2＝5D.(x－1)2＋(y－2)2＝25D[圆心坐标为(1，2)，半径r＝（5－1）2＋（5－2）2＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.]2．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A.(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C.(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4A[已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.]3．方程y＝9－x2表示的曲线是( )A.一条射线B．一个圆C.两条射线D．半个圆D[y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．]4．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D[利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程．圆的半径r＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]5．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|<55B．|a|<1C.|a|≤55D．|a|≤1D [由已知，得(4a )2＋(3a )2≤25，∴a 2≤1，∴|a |≤1.] 二、填空题6．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．(x －2)2＋(y －4)2＝20 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)，从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.]7．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．四 [因为直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，所以圆心(－a ，－b )在第四象限．]8．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则（x －1）2＋（y －1）2的最大值为________． 1＋2 [（x －1）2＋（y －1）2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1，1)的距离，因此最大值为2＋1.]三、解答题9．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8， ∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中， |OC |＝|AC |2－|AO |2＝ 52－42＝3.设点C 坐标为(a ，0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3. ∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25. 法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0，4). 代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.10．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，求△ABP 面积的取值范围．[解] 由题意知A (－2，0)，B (0，－2)，|AB |＝（－2）2＋（－2）2＝2 2.∵圆心(2，0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|4|2＝2 2.又∵圆的半径为2，∴点P 到直线的距离的最大值和最小值分别为32和 2. ∴S max ＝12×22×32＝6，S min ＝12×22×2＝2，故△ABP 面积的取值范围是[2，6].1．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B ．1 C ． 3 D ．2 B [由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]2．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [如图所示，设圆心C (a ，0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5，0).故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.]课时分层作业(二十四) 圆的一般方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 C ．(－1，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D [圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.]2．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝FD ．E ＝FB [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D2，即D ＝E .]3．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0C [圆的圆心坐标为(1，2)，由点到直线距离公式得d ＝|1－2＋a |12＋（－1）2＝22， 解得a ＝2或0，故选C.]4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，0)D ．(0，－1)D [由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＋34k 2－1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2. 若表示圆，则r 2＝1－34k 2＞0，从而圆的面积为s ＝πr 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34k 2，显然当k ＝0时，s的值最大，最大值为π，所以圆的圆心坐标为(0，－1).故选D.]5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A. (x －1)2＋y 2＝4 B. (x －1)2＋y 2＝2 C. y 2＝2xD. y 2＝－2xB [由题意知，圆心(1，0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1，0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B.]二、填空题6．圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1，1)、B (3，－1)的圆的一般方程是________．x 2＋y 2－4x －4y －2＝0 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2， 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.]7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0，1)，则点B 的坐标为________．(2，－3) [由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1).设B (x 0，y 0)，又A (0，1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3).]8．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线y ＝－x 上；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________．(要求写出所有正确命题的序号)①③ [将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．[解] 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2，3). (1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．[解] (1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上， ∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， ∴a ＝4，P (4，5)，∴|PQ |＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心C 坐标为(2，7)，∴|QC |＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 圆的半径是22，点Q 在圆外， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 A [圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.]2．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9πB [设动点P 的轨迹坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，知（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.]3．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是________．3－2 [直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.] 4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． [解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－17＜t ＜1.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1. (2)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167.当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 恒在圆内，化简得8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.课时分层作业(二十五) 直线与圆的位置关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B ．2 C ． 2 D ．22C [由圆的方程(x ＋1)2＋y 2＝2，知圆心为(－1，0)，故圆心到直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝ 2.]2．圆心为(3，0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( ) A.(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C.(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9B [由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B.]3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3] C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)C [圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a ，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.] 4．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A.y ＝－34 B ．y ＝－12C.y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]5．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个C [圆心(3，3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有3个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1.]二、填空题6．若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．x ＋2y －5＝0 [设切线斜率为k ，则由已知得：k ·k OP ＝－1.∴k ＝－12，又∵P (1，2)，∴切线方程x ＋2y －5＝0.]7．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 22 [设点A (3，1)，易知圆心C (2，2)，半径r ＝2.当弦过点A (3，1)且与CA 垂直时为最短弦，|CA |＝（2－3）2＋（2－1）2＝2，∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝2，∴最短弦的长为2 2.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [先确定直线过的定点，再求圆的方程． 直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1).当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]三、解答题9．已知圆C 的圆心与点P (－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．[解] 设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.10．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解] 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |. ∵圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2， ∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.1．已知2a 2＋2b 2＝c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是 ( ) A.相交但不过圆心B ．相交且过圆心C.相切D ．相离A [∵2a 2＋2b 2＝c 2，∴a 2＋b 2＝c 22.∴圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |c 22＝2<2，∴直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交，又∵点(0，0)不在直线ax ＋by ＋c ＝0上，故选A.]2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2，3)，则直线l 的方程为________．x －y ＋5＝0 [由圆的一般方程，可得圆心为M (－1，2).由圆的性质易知，M (－1，2)与C (－2，3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1，即得k AB ＝1.故直线AB 的方程为y －3＝x＋2，整理得x －y ＋5＝0.]3．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．4±15 [圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1. 因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.] 4．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BPA ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1， 所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9.所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)由(1)知圆心C 到P 点距离3为C 到直线上点的最小值，若∠APB ＝60°易得需PC ＝2，这是不可能的，所以这样的点P 是不存在的．课时分层作业(二十六) 圆与圆的位置关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．若圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A.2 B ．－5 C.2或－5D ．不确定C [两圆的圆心坐标分别为(－2，m )，(m ，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得（m ＋2）2＋（－1－m ）2＝3＋2，解得m ＝2或－5.]2．圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.E ＝－4，F ＝8 B ．E ＝4，F ＝－8 C.E ＝－4，F ＝－8D ．E ＝4，F ＝8C [公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2－2x ＋F )－(x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4)＝0，即x ＋E4y －F ＋44＝0，又由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧E 4＝－1，－F ＋44＝1，解得E ＝－4，F ＝－8，故选C.] 3．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4C [∵圆C 1的圆心C 1(－2，2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2，5)，半径r 2＝4，∴|C 1C 2|＝（2＋2）2＋（5－2）2＝5＝r 1＋r 2. ∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．]4．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( ) A.(x －4)2＋(y －6)2＝6B.(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6 C.(x －4)2＋(y －6)2＝36D.(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36D [由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36，由题意，得a 2＋9＝5，所以a 2＝16，所以a ＝±4.]5．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切 B ．相交 C.外切D ．相离B [先由圆截直线所得线段长度求出a ，再判断两圆的位置关系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0，0)，(－a ，a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋（－a ）2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3，∴两圆相交．] 二、填空题6．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．外切 [因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上， 所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1， 圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1， 则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， 所以d ＝r 1＋r 2.所以两圆外切．]7．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＝1，则过圆C 1与圆C 2的两个交点且过原点O 的圆的方程为________．x 2＋y 2－x －2y ＝0 [设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋1＋λ(x 2＋y 2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C 1与圆C 2的两个交点且过原点O 的圆的方程为：x 2＋y 2－x －2y ＝0.]8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________．4 [如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2，∴|AB |＝4.] 三、解答题9．求圆心为(2，1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．[解] 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．[解] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1). 又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝（3）2－（2）2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A.4 B ．42－1 C.22－2D ．2D [∵|CC ′|＝5＜8－1＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为8－|CC ′|－1＝2.]2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C.4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0A [以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．]3．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．x －y ＋2＝0或x ＋y ＝0 [两圆的圆心分别为O (0，0)，C (－2，2)，由题意，知l 为线段OC 的垂直平分线或直线OC ，故其方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＝0.]4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，满足以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，且OA ⊥OB ，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消元得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0.设此方程两根为x 1，x 2，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.∵以AB 为直径的圆过原点O ， ∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， ∴b 2＋3b －4＝0，∴b ＝－4或b ＝1. 又Δ＝(2b ＋2)2－8(b 2＋4b －4)， 经检验当b ＝－4或b ＝1时满足Δ>0. ∴存在这样的直线l 为y ＝x －4或y ＝x ＋1.课时分层作业(二十七) 直线与圆的方程的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A.1.4米 B ．3.0米 C ．3.6米 D ．4.5米C [可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得|OD |＝|OC |2－|CD |2＝3.6(米).]2．由y ＝|x |和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小扇形的面积是( ) A.π4 B ．π C．3π4 D ．3π2B [由题意知围成的面积为圆面积的14，所以S ＝14πr 2＝π.]3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.10 6 B ．20 6 C.30 6D ．406B [圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1. 根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×10×46＝20 6.]4．已知点A (－1，1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A.62－2 B ．8 C ．4 6 D ．10B [点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5，7)的距离为（5＋1）2＋（7＋1）2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.]5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C ．22D ．2 D [圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.]二、填空题6．若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是________． －2 [因为圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，所以直线y ＝kx ＋3过圆心(1，1)，即1＝k ＋3，所以k ＝－2.]7．圆C ：(x －4)2＋(y －4)2＝4与直线y ＝kx 的交点为P ，Q ，原点为O ，则|OP |·|OQ |＝________．28 [如图，过原点O 作☉C 的切线OA ，连接AC ，OC ，在Rt △OAC 中，|OA |2＝|OC |2－r 2＝32－4＝28，由平面几何知识可知，|OP |·|OQ |＝|OA |2＝28.]8．方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的取值范围是________．{k |k ＝2或－1≤k ＜1} [由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝ 2.]三、解答题9．AB 为圆的定直径，CD 为直径，过D 作AB 的垂线DE ，延长ED 到P ，使|PD |＝|AB |，求证：直线CP 必过一定点．[证明] 以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD .令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， 所以P (－x 0，－y 0－2r ).所以直线CP 的方程为y －y 0＝－2r －y 0－y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0.所以直线CP 过直线：x ＝0，y ＋r ＝0的交点(0，－r )， 即直线CP 过定点．10．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40，0)，B (0，30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h)，即外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h ．1．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，n ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是( )A.[－32，32] B ．[－3，3] C.(－3，32]D ．[－32，3)C [数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b ≤32时， 直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)有公共点．]2．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－524∪⎝ ⎛⎭⎪⎫524，＋∞ [由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或外离时，视线不被挡住，直线AB 的方程为y ＝a 5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a |a 2＋（－5）2≥1，即a ≥524或a ≤－524.] 3．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km 处，受影响的范围是半径长为20 km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 建立如图所示的直角坐标系，取10 km 为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6，0)，(0，3)，所以轮船航线所在直线方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x 2＋y 2＝4. 由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离d ＝|－6|12＋22＝65>2.所以直线x ＋2y －6＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．课时分层作业(二十八) 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)一、选择题1．点A (2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内D ．在yOz 平面内C [因为点(2，0，3)的纵坐标为0，则点在平面xOz 内．]2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4，7，6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为( )A ．(4，0，6)B ．(－4，7，－6)C ．(－4，0，－6)D ．(－4，7，0)C [点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4，7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4，0，－6).]3．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C [设P (0, 0, z )，则有12＋（－2）2＋（z －1）2＝22＋22＋（z －2）2，解得z ＝3.] 4．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上中线的长是( )A ．2B ． 6C ．3D ．22B [由题意可知A (0，0，1)，B (4，0，0)，C (0，2，0)，所以BC 边的中点坐标为D (2，1，0)，所以BC 边的中线长|AD |＝（2－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2＝ 6.]5．已知三点A (－1，0，1)，B (2，4，3)，C (5，8，5)，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形 C ．三点构成等腰直角三角形 D ．三点构不成三角形D [由|AB |＝29，|BC |＝29，|AC |＝116，|AB |＋|BC |＝|AC |.故选D.] 二、填空题6．如图所示，在长方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 [由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2，3，2)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.] 7．如图是一个正方体截下的一角P ­ABC ，其中|PA |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c 3 [由题意知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c ).由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.]8．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1，1，1)的距离是________．2或 6 [设P (0，0，z )，由|PO |＝（0－0）2＋（0－0）2＋（z －0）2＝1，得z ＝±1，∴P (0，0，1)或P (0，0，－1)，则|PA |＝2或 6.]三、解答题9．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，－5)，求顶点D 的坐标．[解] 设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1，又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1， ∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5，13，－3).10．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．[解] 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0，0，a ).由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a ， 因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a . 由两点间的距离公式可得：|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .1．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值为( )A ．－2B ．2C ．6D ．2或6D [∵以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，∴|AB |＝|AC |，∴（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2＝（4－x ）2＋（1－4）2＋（9－3）2，∴7＝（4－x ）2＋45，即(4－x )2＝4，∴x ＝2或x ＝6.经检验，当x ＝2或x ＝6时，均满足|BC |＜14，故选D.] 2．△ABC 的顶点坐标是A (3，1，1)，B (－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1D [△ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0，1，1)、B ′(0，2，1)、C ′(0，2，3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.]。

第四章4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x 轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D∵|AB|＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝(x－2)2＋8＝26，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.|AC|＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，|BC|＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4189．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.答案： 68．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2＝2(x0－1)2＋51.所以当x0＝1时，|MN|min＝51.此时点M的坐标为(1,0,0)．。

4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0 【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.【答案】 B3．圆心为(3,0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9【解析】 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B. 【答案】 B4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4【解析】 由弦长公式l ＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－＝2，解得a ＝0或4.【答案】 D5．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝( )A ．10－27B ．5－7C ．10－3 3D ．5－322【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＋＋－1－＝32<5.∴最大弦长为直径，即m ＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦， 即n ＝225－2＝27. ∴m －n ＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x －y ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A 、B ，则|AB |＝________.【解析】 圆心到直线的距离d ＝|2－0|2＝2，半径r ＝2，∴|AB |＝2r2－d2＝2 2. 【答案】 2 27．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个.【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以弦心距为d ＝|－1－2＋1|2＝ 2. 又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.9．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．【解】 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0.则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m|5. 由垂径分弦定理得：m25＋(3)2＝22，即m ＝± 5. 所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.10．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．b ＝ 2B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2C ．－1≤b ≤1D ．以上都不正确【解析】 如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y ＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．∵l 1与半圆相切，∴b ＝－2；当直线y ＝x ＋b 位于l 2时，b ＝－1；当直线y ＝x ＋b 位于l 3时，b ＝1.∴b 的取值范围是－1＜b ≤1或b ＝－ 2.【答案】 B11．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．【解】 (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)，由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16. 在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5.所以|AB |＝2|AC2|－|PC|2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.。

圆与圆的方程分层练习基础训练一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。

3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的取值范围为________________。

5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。

学业分层测评（二十一）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】　由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】　D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】　由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】　B3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1B．4C．5D．632＋42【解析】　圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】　B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】　(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D 正确．【答案】　D5．(2016·兰州高一检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，为半径的圆的方程为( )5A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】　直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由Error!得Error!∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】　C二、填空题6．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________．【解析】　∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>，∴|a |>，即a >或a <－.1169113113113【答案】　a >或a <－1131137．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【解析】　圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，|1－1－2|1＋12即最大距离为1＋.2【答案】　1＋2三、解答题8．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程.【导学号：09960131】【解】　法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴Error!解得Error!故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ，∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ，∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即(a －4)2＋(5－2a －7)2＝.(a ＋3)2＋(5－2a －6)2解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝＝5.(4－1)2＋(7－3)2故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.9．求圆2＋(y ＋1)2＝关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．(x －12)54【解】　圆2＋(y ＋1)2＝的圆心为M ，半径r ＝.设所求圆的(x －12)54(12，－1)52圆心为(m ，n )，∵它与关于直线x －y ＋1＝0对称，(12，－1)∵Error!解得Error!∴所求圆的圆心坐标为，半径r ＝.(－2，32)52∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋2＝.(y －32)54[能力提升]10．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，(4－)B.(4＋)，(4－)125125125C.，4－ D.(＋2)，(－2)55125125【解析】　点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB |＝，所以△PAB 面积|2－0＋2|22＋(－1)24555的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，125(455＋1)125125(455－1)125选B.【答案】　B 11．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程.【导学号：09960132】【解】　|PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13，∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角，∴内切圆的半径r 1＝＝2，5＋12－132圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.∵外接圆的半径r 2＝，132圆心为C 2，(52，－6)∴外接圆的方程为2＋(y ＋6)2＝.(x －52)1694。

第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

新课标人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》课后训练题1.1.圆x2＋y2＋x－3y－＝0的半径是________________【答案】2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而可得结果.【详解】将圆的一般，化为标准方程为，可得圆的半径,故答案为2.【点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及根据圆的标准方程求圆的半径，属于简单题.2.2.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】由不等式，即可得结果.【详解】在圆内，所以，,,，故答案为.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.3.3.直线5x＋12y－8＝0和圆(x－1)2＋(y＋3)2＝8的位置关系是_______________【答案】相离．【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较即可得结果.【详解】由可得，圆的圆心坐标为，圆的半径为，到直线的距离为，因为，所以直线与圆的位置关系是相离．故答案为相离.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，利用判别式来解答.4.4.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为_____________【答案】x2＋y2－4x＝0.【解析】设圆心坐标为,则圆方程为:(x−a)2+y2=4,根据点到直线的距离公式,得,解得a=2或(舍去),所以圆C的方程为:(x−2)2+y2=4,整理为一般方程为:.5.5.能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为( )A. 2B.C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程，可得圆心为，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线的距离为1，由可得，经验证，，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.6.6.若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围为___________________【答案】λ>1或【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件可得，从而可得结果.【详解】根据二元二次方程表示圆的条件可得，，化为解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.7.7.直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＋2x＝0只在第二象限有公共点，则k的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】先作出圆的图象，再由直线过定点，根据两者交点只在第二象限，结合图象可得结论.【详解】画出直线与圆的图象，如图所示：直线与圆相切时，直线过时，，直线与圆只在第二象限有公共点，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题、点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题.8.8.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为____【答案】6.【解析】试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C正确．考点：1点到线的距离；2圆的简单性质．【思路点睛】本题主要考查圆上的点到线的距离的最大最小值问题，难度一般．圆上的点为动点，到圆心的距离均等于半径，所以应将圆上的动点到定直线的距离问题先转化为圆心到定直线的距离的问题．由数形结合分析可知圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为．9.9.两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为____条【答案】3【解析】试题分析：圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0可变为，圆心为，半径为；圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0可变为，圆心为，半径为；所以，，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.故选B.考点：圆与圆的位置关系.10.10.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是__________【答案】【解析】【分析】设圆心关于直线对称点，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆的标准方程.【详解】圆圆心为，半径等于1，设圆心关于直线对称点，则有，且，解得，故点，由于对称圆的半径与圆的半径相等，故圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.11.11.已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程___________________________【答案】x2＋y2＝16【解析】【分析】设，由化简即可得结果.【详解】设，因为到定点的距离等于到的距离的2倍，所以，化简可得，故答案为.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、两点间的距离公式，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求的轨迹方程的.12.12.过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m 的距离为________【答案】4【解析】【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可.【详解】将代入圆方程左边得：，左边=右边，即在圆上，直线的斜率为，切线的斜率为，即直线的方程为，整理得：，直线与直线平行，，即，直线方程为，即，直线与的距离为，故答案为4.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与直线的位置关系以及两平行线的距离公式，属于中档题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.13.13.圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是_______【答案】相交．【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径与，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，比较与与和与差的大小，即可得到两圆的位置关系.【详解】由圆与圆，分别得到标准方程和，则两圆坐标分别为和，半径分别为，则两圆心之间的距离，则，即，故两圆的位置关系是相交，故答案为相交.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题.若两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.14.14.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是_____【答案】a<1.【解析】【分析】根据二元二次方程能够表示圆的充要条件，得到关于的一元二次不等式，解不等式即可得到结果.【详解】方程表示圆，，化为，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.15.15.以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为___________【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝9【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，可得圆的半径，再由圆的标准方程，即可得到满足条件的圆的方程.【详解】因为圆以点(为圆心且与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径,即，所求圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法②解答的.16.16.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______【答案】m<．【解析】由D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<.17.17.若圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是_________【答案】x－2y＋3＝0．【解析】【分析】由圆的几何性质可得圆心与点的连线与垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条件及点斜式求解即可.【详解】将圆的一般方程化成标准方程为，所以,由题意知，过点的最短弦所在的直线应与垂直，所以,由，得,所以直线的方程为，即,故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.18.18.过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是_____【答案】【解析】【分析】设直线方程为,由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆方程。

4.3.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案三个．思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．解因为|PO |＝|PB|2－|OB|2＝169－25＝12，所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522，－522，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522，522，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－522，522，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－522，－522，0.引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．解各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5,0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)．2．若本例中的条件变为“正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解因为正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为223，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )． (3)坐标平面上的点的坐标特征xOy 平面上的点的竖坐标为0，即(x ，y,0)． yOz 平面上的点的横坐标为0，即(0，y ，z )． xOz 平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z )． (4)坐标轴上的点的坐标特征x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )． 跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标． 解建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而E 为DD 1的中点，故E 点坐标为(0,0，12)．过F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知识，得|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为(12，12，0)．点G 在y 轴上，其横坐标x 、竖坐标z 均为0，又|GD |＝34，故G 点坐标为(0，34，0)．过H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故K 为CG 的中点，故点H 的坐标为(0，78，12)．类型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系Oxyz 中，作出点P (5,4,6)． 解方法一第一步：从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上答案C解析∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.类型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是()A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)答案(1)C(2)A解析(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于______对称．答案y轴命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A ．(－1,3，－5)B ．(1，－3,5)C ．(1,3,5)D ．(－1，－3,5) 答案C解析∵两点关于平面xOy 对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P 关于平面xOy 对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数． 跟踪训练4点(1，a ，b )关于平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是(1,2，c )和(d ，－2，－3)，则a ，b ，c ，d 的值分别是________． 答案2,3，－3,11．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是() A.a2＋b2B ．|a |C ．|b |D ．|c | 答案D解析点P 在xOy 平面的射影的坐标是P ′(a ，b,0)，所以|PP ′|＝|c |.2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为()A ．(0，12，12)B ．(12，0，12)C ．(12，12，0)D ．(12，12，12)答案B解析由题图得A (0,0,0)，B 1(1,0,1)， 所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(12，0，12)．3．如图所示，点P ′在x 轴的正半轴上，且|OP ′|＝2，点P 在xOz 平面内，且垂直于x 轴，|PP ′|＝1，则点P 的坐标是________．答案(2,0,1)4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________．答案(1,1，－1)(－1，－1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．解以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．课时作业一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为() A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案B3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为() A．7B．－7C．－1D．1答案D解析∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.5．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面答案A解析点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.6．如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝13|BD′|，则P点的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 答案D解析连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上， ∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.二、填空题7．在空间直角坐标系中，自点P (－4，－2,3)引x 轴的垂线，则垂足的坐标为________． 答案(－4,0,0)解析过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a 为点P 在x 轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．8．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)，对角线的交点是E (4，－1,7)，则C ，D 的坐标分别为________． 答案(6,1,19)，(9，－5,12)解析由题意知，E 为AC 与BD 的中点，利用中点坐标公式，可得C (6,1,19)，D (9，－5,12)．9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，则线段AA 3的中点M 的坐标为________． 答案(－4,0,0)解析由题意知A 1(4，－2，－3)，则A 1关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M (－4,0,0)．10．如图所示的是棱长为3a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′，点M 在B ′C ′上，且|C ′M |＝2|MB ′|，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M 的坐标为________．答案(2a,3a,3a)解析∵|C′M|＝2|MB′|，∴|C′M|＝23|B′C′|＝2a，∴点M的坐标为(2a,3a,3a)．11．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2 )，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为________、________.(填序号)答案④②解析由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.三、解答题12.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD ，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．解(1)由题意知，A(0,0,0)．由于点B在x轴的正半轴上，且AB＝4，所以B(4,0,0)．同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5)．由于点C在坐标平面xOy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，所以C(4,3,0)．同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)．与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且CC1＝AA1＝5，所以C1(4,3,5)．(2)由(1)知，C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则CC 1的中点N 的坐标为(4,3，52)．13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．解如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)．在坐标平面xDy 内，直线AC 的方程为x2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ， ∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0)．四、探究与拓展14．如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|PA |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案(a 3，b 3，c 3) 解析由题知A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为(a 3，b 3，c 3)． 15．如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是⊙O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝62.以O 为原点，OB ，OF ，OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)，F (0,32，0)．。

第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<42．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．23．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝04．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 25．圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为()A.10 B．2C. 2 D．1二、填空题6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．8．已知点P(1，－5)，则该点与圆x2＋y2＝25的位置关系是______________．三、解答题9．求经过A(－1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝02．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．3．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．参考答案第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<4解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.答案：A2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，所以d＝|－25|32＋42＝5.答案：A3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.即a2＋b2＝r2.答案：B4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a ＞0)．若点M (6，9)在圆上，则a 的值为( ) A.10B ．2 C. 2 D ．1解析：因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又由a ＞0，可得a ＝10.答案：A二、填空题6．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝20.8．已知点P (1，－5)，则该点与圆x 2＋y 2＝25的位置关系是______________．解析：由于12＋(－5)2＝26＞25，故点P (1，－5)在圆的外部． 答案：在圆的外部三、解答题9．求经过A (－1，4)，B (3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一 设圆心坐标为(a ，b )．因为圆心在y 轴上，所以a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.因为该圆过A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（4－b ）2＝r 2，32＋（2－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二 因为线段AB 的中点坐标为(1，3)，k AB ＝2－43－（－1）＝－12， 所以弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.所以点(0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r ＝10，所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝1.B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x＋y－2＝0.答案：A2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．解析：因为点(－2，1)关于原点的对称点为(2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝13．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．解：如图，在坐标系内作出曲线y＝4－x2(半圆)．当直线y＝x＋b与半圆y＝4－x2相切时，|b|2＝2，所以b＝2 2.当直线y＝x＋b过(2，0)时，b＝－2.直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2 2.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点，所以截距b的取值范围为：[－2，22]．。

4．1．2 圆的一般方程课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标| 1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(2，－3)D ．(－2，－3)解析：选C 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )．4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y＝x 上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是 ．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点， 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)， 则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为 ．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝ . 解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－32，不合题意，舍去；②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4， 故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16. 4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝ 2.∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是 ．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 ．解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于 ．解析：∵A (1,1)关于y 轴的对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 答案：62－28．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.。

4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识点一空间直角坐标系1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y 轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识点二空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标. 解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1. 由|BM |＝2|MC 1|， 知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13.因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0. 因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56，所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标. 解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0， ∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0， ∴A 1点的坐标为(1,0,1)， O 1点在z 轴上，且OO 1＝1， ∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行， 竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1， ∴C 1点的坐标为(0,1,1). 同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12，∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0).题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4). (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标. 解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1). 过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)； 点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出) 题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝ (1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得 |AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2. 所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P . 转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2). (1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD 的对角线上， 所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12.当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32.因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内， 所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1).又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1.所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.1.点P (－2,0,3)位于( )A.y 轴上B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内 答案 C解析 因为点P 在y 轴上的坐标为0，所以点P 位于xOz 平面内.2.设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,0)B.(－1,0,0)C.(1,0,0)或(0，－1,0)D.(1,0,0)或(－1,0,0)答案 D解析 因为点P 在x 轴上， 所以设点P 的坐标为(x,0,0). 由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2 ＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2. 解得x ＝±1.所以所求点为(1,0,0)或(－1,0,0).3.已知A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A.(－1，－2，－7) B.(－1，－2,7) C.(1，－2，－7) D.(1,2，－7)答案 A解析 点A 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A. 4.已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4 D.6或－2 答案 D解析 由题意得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝－2或x ＝6. 5.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________. 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1).1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.一、选择题1.点P (2,3,4)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A.(－2,3,4) B.(－2，－3,4) C.(2，－3，－4) D.(－2,3，－4)答案 A解析 关于yOz 平面对称的点，在y 轴上，z 轴上的坐标不变，在x 轴上的坐标变为原来的相反数，故选A.2.已知A (1,2,3)，B (3,3，m )，C (0，－1,0)，D (2，－1，－1)，则( ) A.|AB |＞|CD | B.|AB |＜|CD | C.|AB |≤|CD | D.|AB |≥|CD |答案 D解析 |AB |＝22＋12＋(m －3)2＝5＋(m －3)2，|CD |＝22＋02＋(－1)2＝ 5.因为(m －3)2≥0， 所以|AB |≥|CD |.3.已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B.(2,3,1) C.(－3,1,5) D.(5,13，－3)答案 D解析 设▱ABCD 的对角线交点为M ，点D 的坐标为(x ，y ，z ).∵A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，∴AC 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，BD 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2， ∴⎝⎛⎭⎫72，4，－1＝⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2，即x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴点D 的坐标为(5,13，－3).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( ) A.2a B.22a C.a D.12a 答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22＝22a .5.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A.3 3 B.3 6 C.2 3 D.26 答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3 答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)，∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.7.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.63答案 A解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.二、填空题8.已知△ABC 的顶点为A (1,1,1)，B (0，－1,3)，C (3,2,3)，则△ABC 的面积是________. 答案 92解析 |AB |＝1＋4＋4＝3，|AC |＝4＋1＋4＝3， |BC |＝9＋9＋0＝3 2. 因为|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 为直角三角形. 所以S △ABC ＝12×3×3＝92.9.对于任意实数x ，y ，z 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最小值为______. 答案6解析 设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.10.已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________. 答案355解析 由空间中两点的距离公式，得|AB |＝(2－1＋t )2＋(t －1＋t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95.当t ＝15时，|AB |取最小值，最小值为355. 11.点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 ∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10. 三、解答题12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0). ∴|B 1E |＝ (85－2)2＋(45－4)2＋(0－2)2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 13.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上.(1)当点P 是面对角线A 1B 的中点，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值；(2)当点Q 是面对角线B 1C 的中点，点P 在面对角线A 1B 上运动时，求|PQ |的最小值；(3)当点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值. 解 以顶点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以可得点A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0).(1)因为点P 是面对角线A 1B 的中点，所以由射影的概念，得P ⎝⎛⎭⎫1，12，12. 又因为点Q 在面对角线B 1C 上运动，所以可设点Q (b,1，b )，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋⎝⎛⎭⎫12－12＋⎝⎛⎭⎫12－b 2 ＝ 2b 2－3b ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫b －342＋38. 所以当b ＝34时，|PQ |取得最小值64. 此时Q ⎝⎛⎭⎫34，1，34. (2)因为点Q 是面对角线B 1C 的中点，所以由射影的概念，得Q ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 又因为点P 在面对角线A 1B 上运动，所以可设点P (1，a,1－a )，a ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝ ⎝⎛⎭⎫1－122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－a －122 ＝⎝⎛⎭⎫122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫12－a 2 ＝ 2a 2－3a ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫a －342＋38. 所以当a ＝34时，|PQ |取得最小值64， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，34，14. (3)因为点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动， 所以可设点P (1，a,1－a )，Q (b,1，b )，a ，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋(a －1)2＋(1－a －b )2＝2a 2＋2b 2－4a －4b ＋2ab ＋3＝ 2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－12＋32⎝⎛⎭⎫b －232＋13. 所以当b ＝23时，代入a ＋b 2－1＝0，得a ＝23， 即当a ＝b ＝23时，|PQ |取得最小值33， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，23，13，Q ⎝⎛⎭⎫23，1，23.。

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2 圆的一般方程［课时作业］［A组基础巩固]1．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是（）A．2x－y＋1＝0 B． 2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0解析:把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得（x－1)2＋（y＋3）2＝2，圆心为(1，－3)，直线2x＋y＋1＝0过圆心．答案：B2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称,则必有（）A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F解析：由已知D2＋E2－4F〉0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E.答案：A3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是（）A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：x2＋2x＋y2＝0配方得(x＋1）2＋y2＝1，圆心为(－1,0）,故所求直线为y＝x＋1,即x－y＋1＝0.答案：C4．当a为任意实数时,直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，错误!为半径的圆的方程为( )A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析:直线（a－1）x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1）＋a(1＋x）＝0，由错误!得C （－1，2）．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0。

学业分层测评（二十二）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．【答案】 A2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是() A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0【解析】∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.【答案】 D3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋12m2＝0所确定的圆中，最大面积是()A.32π B.34πC．3πD．不存在【解析】所给圆的半径为r＝1＋(m－1)2－2m22＝12－(m＋1)2＋3.所以当m＝－1时，半径r取最大值32，此时最大面积是34π.【答案】 B4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0【解析】 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C.【答案】 C5．(2016·惠州高一检测)若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25【解析】 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)． 【答案】 C 二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.【导学号：09960136】【解析】 由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2.【答案】 －27．当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________． 【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x －3，b ＝2y －1.点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，即为点Q 的轨迹方程．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12三、解答题8．(2016·吉林高一检测)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解】 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.9．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作▱MONP ，求点P 的轨迹方程．【解】如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，即N (x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此，点P 的轨迹为圆，其轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4， 但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.[自我挑战]10．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )【导学号：09960137】A ．1B ．－3C ．0D ．2【解析】 设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m >0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1， 即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m －2＋1＝－4， ∴m ＝－3，符合m <1的条件． 【答案】 B11．已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0. (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．【解】 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为[x ＋(m －1)]2＋(y －2m )2＝9， ∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．。