幂的运算法则(讲义及答案)

专题13 幂的运算知识解读1.幂的运算法则的正向运用同底数幂的乘法：m a ·n a m n a +=（m ，n 为正整数）；幂的乘方：()m n mn a a =（m ，n 为正整数）； 积的乘方：()m m m ab a b =（m ，n 为正整数）；同底数幂的除法：m a ÷n a m n a -=（a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）2.幂的运算法则的逆向运用在解决一些问题时，常常根据题目需要，逆向运用幂的相关法则，以退为进，求得突破。

3.幂的运算法则的综合运用一个算式中往往含有多个幂的运算，此时需要理清运算顺序，再准确地运用运算法则计算.培优学案典例示范1.幂的运算法则的正向运用例1 计算：（1）22()(b )a b c a c -+--=________________； （2）23(9)3n n +⨯-⨯＝________________；（3）2()()n na b b a ⎡⎤--⎣⎦＝________________；【提示】（1）b －a －c ＝－（a －b ＋c ）；（2）－9＝－23-；（3）22()()n n b a a b -=-. 【技巧点评】利用相反数或幂之间的关系，将非同底数的幂转化为同底数的幂，便于运用公式计算。

【跟踪训练1】计算：（1）3()x y -·2()y x -·5()y x -；（2）3()m a b ⎡⎤-⎣⎦·2()mb a ⎡⎤-⎣⎦.2.幂的运算法则的逆向运用例2（1）已知m a ＝4，n a ＝8，则3m n a ++＝________； （2）若x ＝－2，y ＝12，则2x ·212()n n x y +＝________；（3）若m 为正整数，且2m x ＝3，求32223()13()m m x x -的值； （4）比较大小：4442，3333，2225.【提示】（1）3m n a ++＝m a ·n a ·3a ；（2）2x ·212()n n x y +＝22n x +·22n y +＝22()n xy +；（3）32223()13()m m x x -＝643()13()m m x x -＝23223()13()m m x x -；（4）4442＝4111(2)，3333＝3111(3)，2225＝2111(5).【解答】【技巧点评】…幂的运算法则反过来： m n a +＝m a ·n a ； ()mn m n a a =；()m m m a b ab =（m ，n 为正整数）；m n a -=m a ÷n a （a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）.要根据题目特点，灵活地正向或反向运用法则，巧妙解题。

幂的运算法则（讲义）一、知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________．规定：0a =_______（___________）； p a -=______（_________________________）．二、精讲精练1. ①122m m +⋅=________； ②31·m a a -=________； ③2·m n n p p --=________； ④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______；⑤124m m m x x x x +⋅-⋅=____；⑥m n m n a a a -⋅⋅=___________；⑦23273n -⨯=_________； ⑧234(5)5(5)-⋅⋅-=_________．2. 若105102x y ==，，则10x y +=________；若212128x +=，则x =________．3. ①21m m a a -÷=__________； ② 233m m ÷=_____________；③63()()x x -÷-=_______； ④20132014333⨯÷=________；⑤3622-⨯=__________； ⑥82 ()()m n m n -+÷+=______；⑦221 222m m m -+-⋅÷ ⑧3212 m m m p p p p +-÷-⋅=______________ =_______________=______________ =_______________⑨224 2(2)2----⋅-÷ ⑩220211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. ①23(3)=____________； ②32()a -=______________；③42()n b =_____________； ④2()m x x ⋅=____________；⑤43 ()()n n b b -⋅=________； ⑥2643 5()()a a -=__________；⑦()()m n n m p p -⋅=_______； ⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=______．5. ①3(2)x =____________； ②43()ab =______________；③22()n a -=__________； ④6 ()n xy -=_____________．⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦ ⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ =_______________ =_______________=_______________ =_______________6. ①2(3)a =_____________； ②24()a b -=_____________；③22 ()n xy --=__________； ④242(2)(2)x x ⎡⎤---=⎣⎦_______． ⑤20132013201313412⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________=_______________=_______________7. （1）若105x =，则210x =_______； 若105x =，102y =，则2310x y +=_______．（2）若2n a =，3n b =，则6n =__________．8. 下列运算正确的有_________（填序号）．①235(2)8a a =；②236(2)8a a -=-； ③22m m b b b ÷=； ④m m a a a ⋅=； ⑤31(2)8--=； ⑥4442b b b ⋅=．9. 8x 不可以写成（ ）A ．35x x ⋅B ．324x x ÷C ．24()xD ．25()()()x x x ---10. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________．（2）若22()n n x x x =⋅，则n =________．（3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______．11. 若3322336x x x ++-⋅=，则x =________． 若253x y +=，则432x y ⋅=________．12. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）； ②532435()(2)3()x x x x x -⋅+--⋅；③1032132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．13. 光在真空中的速度约是8310⨯m/s ，太阳系外一颗恒星发光需要6年才能到达地球，若1年以7310⨯s 计算，求这颗恒星与地球的距离．14. 一种液体每升含有1210个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死910个此种细菌．要将1L 液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？【参考答案】一、知识点睛1.底数不变，指数相加a m·a n= a m+n2.底数不变，指数相减a m÷a n= a m n3.底数不变，指数相乘()m na=a mn4.乘方的积(ab)n=a n b n（a≠0，p是正整数）规定：1（a≠0）1pa二、精讲精练1.①22m+1 ②a3m ③ p2m④(a+b)4n⑤ 3x2m+1⑥a2m⑦32n ⑧592.10，33.①a m +1② m ③ x3 ④1 ⑤8⑥ (m+n)6 ⑦2 ⑧0 ⑨ 1 ⑩2744.① ② a6 ③b8n④x2m+1⑤b n⑥4a12 ⑦1 ⑧15.①8x3 ②a3b12 ③a n ④ x n y6n⑤ 55x6 ⑥16.①9a2 ②a8b4 ③ x2n y4n ④0 ⑤17.（1）25 200 （2）ab8.②9. B10.（1）4 （2）2 （3）511.（1）7 （2）812.①(2x 1)3m+1②18x8③75813.5.4×101614.103。

幂的运算所有法则和逆运算法则幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。

逆运算法则包括开平方运算和对数运算。

下面将详细介绍这些法则。

一、幂的乘法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n*a^m=a^(n+m)这条乘法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相加得到新的指数。

二、幂的除法法则：对于任意实数a和正整数n，有：a^n/a^m=a^(n-m)这条除法法则表明，当两个幂具有相同的底数时，可以将底数保持不变，指数相减得到新的指数。

三、幂的指数法则：1.幂的幂法则：对于任意实数a和正整数n、m，有：(a^n)^m=a^(n*m)这条指数法则表明，当一个幂的指数再次被指数化时，可以将指数相乘得到新的指数。

2.幂的乘法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)*a^(n_2)*...*a^(n_k)=a^(n_1+n_2+...+n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相乘时，可以将所有指数相加得到新的指数。

3.幂的除法法则的推广：对于任意实数a和正整数n_1，n_2，...，n_k，有：a^(n_1)/a^(n_2)/.../a^(n_k)=a^(n_1-n_2-...-n_k)这条指数法则表示，当一个底数出现多次相除时，可以将所有指数相减得到新的指数。

四、逆运算法则：1.幂的开平方运算：对于任意非负实数a和正整数n(a^(1/n))^n=a这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再开n次方时，可以得到该数本身。

2.幂的对数运算：对于任意正实数a、b和正整数n，有：log(base a)(a^n) = n这条逆运算法则表示，当一个数的n次幂再以底数a进行对数运算时，可以得到n。

总结：幂的运算法则包括乘法法则、除法法则和幂的指数法则。

乘法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相加；除法法则指出当两个幂具有相同底数时，可以将指数相减；指数法则包括幂的幂法则和幂的乘法法则的推广，指数可以相乘得到新的指数。

幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】 解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ． 【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ； （3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-． （2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号． 【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三： 【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【标准答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。

幂的运算法则（讲义）➢ 课前预习1. 背默乘方的相关概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做___．用字母表示为na ，其中______叫底数，______叫指数，读作“________________”． 2. 补全表格：3. 类比迁移：老师出了一道题，让学生计算45a a ⋅． m na a ⋅．➢ 知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________．规定：0a =_______（___________）；p a -=______=______（_________________________）．➢ 精讲精练1. ①122m m +⋅=________； ②31·m a a -=________；③2·m n n p p --=________；④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______；⑤m n m n a a a -⋅⋅=________； ⑥124m m mx x x x +⋅-⋅=______；⑦23273n -⨯=_________； ⑧432()()a a a ⋅-⋅-=_________． 2. ①21m m a a -÷=________； ②233m m -÷=________；③63(2)(2)-÷-=______； ④82()()m n m n -+÷+=______；⑤3622-⨯=____________； ⑥20152016333⨯÷=_________； ⑦221 222m m m -+-⋅÷=___________ ⑧3212 m m m p p p p +-÷-⋅=_______________⑨224 2(2)2----⋅-÷；⑩22211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. ①23(5)=__________； ②32()a -=______________；③42()nb =____________；④2()m x x ⋅=_____________；⑤43 ()()n n b b -⋅=_______； ⑥26435()()a a -=____________； ⑦()()m n n mp p -⋅=_________；（p ≠0）⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=___________．（b ≠0）4. ①3(2)x =_________； ②43()ab =_________；③22()na -=________； ④6 ()n xy -=________． ⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________5. ①2(3)a =______________； ②24()a b -=_____________；③22 ()n xy --=__________．④242(2)(2)x x ⎡⎤---⎣⎦⑤20152016201513412⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________=_______________6. 下列运算正确的是_________．（填写序号）①336()a a =； ②236(2)8a a -=-；③22m m b b b ÷=；④m ma a a ⋅=；⑤31(2)8--=；⑥4442b b b ⋅=．7. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________；（2）若22()n n x x x =⋅，则n =_________；（3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______；（4）若212128x +=，则x =________； （5）若105x =，则210x =________；（6）若105x =，102y =，则10x y+=________； （7）若2n a =，3n b =，则6n=________．8. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）； ②5324102()(2)()x x x x x -⋅+--÷；③132132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； ④1021(3.14)(2)(1)3--⎛⎫--π+-⨯- ⎪⎝⎭．幂的运算法则（习题）➢ 例题示范例1：计算2322105()()()x x x x x x --+⋅--÷．➢ 巩固练习1. ①21m p p --=__________； ②2222m m nn --⋅⋅⋅=______； ③21()m m x x --⋅=__________________；④3222()()m m a b c a b c +--+-+=____________．2. ①6222÷=__________；②3mm aa ÷=___________；③63()()a b c a b c -+-÷+-=_____________； ④20151008222⨯÷=__________________；⑤4221()n n n a a a a -÷-+⋅=_______________．3. ①22(3)n -=_____________； ②24()a -=_____________； ③2223()()m c c ⋅-=_________； ④4638()()x x -=_________． 4. ①3(2)b -=___________； ②233()y z =___________；③2()np q -=___________； ④342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-=_________；⑤20152016201512714⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_________．5. 下列运算：①3332a a a ⋅=； ②326(3)9a a =；③236(3)9a a -=-；④22m m b b b ÷=； ⑤01a a a -÷=；⑥21(2)4--=； ⑦235()a a =；⑧330 a a a -=；⑨236(2)8ab ab =．其中正确的序号有_____________． 6. 计算下列各式：①221()()()nnn a a a +-⋅-⋅-； ②333322()(5)2()a a a a ⎡⎤-⋅-----⎣⎦；③201222(3)(3)3--⨯π---⨯．7. （1）若32213nn aa a +-⋅=，则n =__________； （2）若21222228x x x +++⋅=，则x =_________．8. 一种液体每升含有1210个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死910个此种细菌．要将1L 液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？➢ 思考小结1. 背默幂的四大运算法则并推导．2. 运用幂的运算法则证明下面的公式．（1）11ppp a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（a ≠0，p 为正整数）；（2）()()m n n m a a =（m ，n 为正整数）．。

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。

专题15 幂的运算知识网络重难突破知识点一整式乘法幂的运算性质（基础）：a m·a n＝a m＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

典例1（2019·新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．【答案】75【详解】∵2x=5，2y=3，∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，故答案为：75．典例2（2017·洪泽县期中）已知，则x的值为____________.【答案】6【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：，则有3x+5=23，解得x=6.故答案是：6.典例3（2018·台州市期末）已知，则n的值是________________．【答案】5【解析】详解:∵，∴，∴，∴n+3=8，∴n=5.故答案为：5.●(a m)n＝a mn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。

典例1（2018·长春市期末）若，，则的值为_____.【答案】18【详解】∵x m=2，x n=3，∴x m+2n=x m x2n=x m（x n）2=2×32=2×9=18；故答案为：18．典例2（2019·中山市期末）已知m+2n+2＝0，则2m•4n的值为_____．【答案】【详解】∵m+2n+2＝0，∴m+2n=-2，∴2m•4n=2m•22n=2m+2n=2-2=.故答案为：典例3（2019·襄樊市期末）若，则的值是_______．【答案】32【详解】8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x＋4y＝25＝32．故答案为：32●(ab)n＝a n b n（n为正整数）积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．典例1（2019·富阳市期末）（－2）2018×（－）2019=____________。

幂的运算法则（讲义）课前预习1. 背默乘方的相关概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方`，乘方的结果叫做___．用字母表示为n a ，其中______叫底数，______叫指数，读作“________________”．2. 补全表格：3. 类比迁移：老师出了一道题，让学生计算45a a ⋅．小明是这么做的：4545459a a a a a a a a a a aa a +⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==个个请你类比小明的做法计算：m n a a ⋅．知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________．规定：0a =_______（___________）； p a -=______=______（_________________________）．精讲精练1. ①122m m +⋅=________； ②31·m a a -=________； ③2·m n n p p --=________； ④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______； ⑤m n m n a a a -⋅⋅=________； ⑥124m m m x x x x +⋅-⋅=______；⑦23273n -⨯=_________； ⑧432()()a a a ⋅-⋅-=_________．2. ①21m m a a -÷=__________； ②233m m -÷=_____________；③63(2)(2)-÷-=_______； ④82()()m n m n -+÷+=______； ⑤3622-⨯=____________； ⑥20152016333⨯÷=_________；⑦221 222m m m -+-⋅÷ ⑧3212m m m p p p p +-÷-⋅ =______________ =_______________=______________ =_______________⑨224 2(2)2----⋅-÷； ⑩220211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. ①23(5)=__________； ②32()a -=______________；③42()n b =____________； ④2()m x x ⋅=_____________；⑤43()()n n b b -⋅=_______； ⑥2643 5()()a a -=____________； ⑦()()m n n m p p -⋅=_________；（p ≠0）⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=___________．（b ≠0）4. ①3(2)x =____________； ②43()ab =______________；③22()n a -=__________； ④6()n xy -=_____________． ⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦ ⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________ =_______________=_______________ =_______________=_______________ =_______________ 5. ①2(3)a =______________； ②24()a b -=_____________； ③22()n xy --=__________． ④242(2)(2)x x ⎡⎤---⎣⎦ ⑤20152016201513412⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=_______________ =_______________=_______________ =_______________=_______________ =_______________=_______________ 6. 下列运算正确的是_________．（填写序号）①336()a a =； ②236(2)8a a -=-； ③22m m b b b ÷=；④m m a a a ⋅=； ⑤31(2)8--=； ⑥4442b b b ⋅=．7. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________； （2）若22()n n x x x =⋅，则n =_________；（3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______； （4）若212128x +=，则x =________；（5）若105x =，则210x =________； （6）若105x =，102y =，则10x y +=________；（7）若2n a =，3n b =，则6n =________．8. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）； ②5324102()(2)()x x x x x -⋅+--÷；③1032132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； ④1021(3.14)(2)(1)3--⎛⎫--π+-⨯- ⎪⎝⎭．幂的运算法则（随堂测试）1. 从幂的定义出发推导：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：推导()m n mn a a =2. 根据幂的运算法则解决问题．（1）下列运算：①222(3)6pq p q -=-；②326a a a ⋅=；③623a a a =÷； ④1m m a a a +⋅=；⑤4222()()bc bc b c --=-÷．其中错误的是______________．（填写序号）（2）计算：①23333292()()()x x x x x x ⋅-+-⋅÷； ②0232016111(3)3(1)333--⎛⎫⎛⎫-+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭÷．幂的运算法则（习题）例题示范例1：计算2322105()()()x x x x x x --+⋅--÷．巩固练习9. ①21m p p --=__________；②2222m m n n --⋅⋅⋅=______； ③21()m m x x --⋅=__________________； ④3222()()m m a b c a b c +--+-+=____________．10. ①6222÷=__________； ②3m m a a ÷=___________； ③63()()a b c a b c -+-÷+-=_____________； ④20151008222⨯÷=__________________； ⑤4221()n n n a a a a -÷-+⋅=_______________．11. ①22(3)n -=_____________； ②24()a -=_____________；③2223()()m c c ⋅-=_________； ④4638()()x x -=_________．12. ①3(2)b -=___________；②233()y z =___________； ③2()n p q -=___________； ④342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-=_________； ⑤20152016201512714⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_________． 13. 下列运算：①3332a a a ⋅=；②326(3)9a a =； ③236(3)9a a -=-； ④22m m b b b ÷=；⑤01a a a -÷=； ⑥21(2)4--=； ⑦235()a a =；⑧330 a a a -=； ⑨236(2)8ab ab =． 其中正确的序号有_____________．14. 计算下列各式： ①221()()()n n n a a a +-⋅-⋅-； ②333322()(5)2()a a a a ⎡⎤-⋅-----⎣⎦； ③201222(3)(3)3--⨯π---⨯．15. （1）若32213n n a a a +-⋅=，则n =__________；（2）若21222228x x x +++⋅=，则x =_________．16. 一种液体每升含有个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．要将1L 液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？思考小结1. 背默幂的四大运算法则并推导．2. 运用幂的运算法则证明下面的公式．（1）11pp p a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（a ≠0，p 为正整数）； （2）()()m n n m a a =（m ，n 为正整数）．1210910【参考答案】课前预习1. 幂，a ，n ，a 的n 次幂2. 2，3，2的3次幂2，3，2的3次幂的相反数25-，5，25-的5次幂 (a +b )，(a +b )的m 次幂 3. m n a +知识点睛1. 底数不变，指数相加，a m ·a n =a m +n2. 底数不变，指数相减，a m ÷a n =a m -n3. 底数不变，指数相乘，()m n a =a mn4. 乘方的积，(ab )n =a n b n规定：1（a ≠0）；1p a 1()p a （a ≠0，p 是正整数）精讲精练 1. ①22m +1 ②a 3m③-p 2m ④(a +b )4n ⑤a 2m ⑥-3x 2m +1⑦32n ⑧-a 9 2. ①a m +1 ②-3m③-8 ④-(m +n )6 ⑤8 ⑥1⑦2 ⑧0 ⑨-1⑩274 3. ①56②-a 6 ③b 8n ④x 2m +1 ⑤b -n⑥4a 12 ⑦1 ⑧1 4. ①8x 3②a 3b 12 ③a 4n ④-x n y 6n ⑤-55x 6⑥1 5. ①9a 2②a 8b 4 ③-x 2n y 4n ④0 ⑤-36. ②7. （1）4； （2）2； （3）5；（4）3； （5）25； （6）10； （7）ab8. ①(2x -1)3m +1 ； ②14x 8；③478； ④74随堂【参考答案】1.()n m n m m m mm m m mnn a a a a a a a +++=⋅⋅==⋅⋅个…个…2. ①②③⑤3. ①x 9 ②0【参考答案】例题【过程书写】解：原式545()x x x x =-+⋅-555x x x =-+-5x =-巩固练习1. ①-p 2m ； ②2； ③x 3m -1；④(a -b+c )m +4 2. ①16； ②a 2m ； ③-(a +b -c )3；④21 008； ⑤2a 2n 3. ①43n -； ②-a 8； ③-c 4m +6；④0 4. ①-8b 3； ②y 6z 9； ③-p 2n q n ；④6a 8； ⑤2 5. ②⑤⑥6. ①a 5n +1； ②-18a 6； ③34-7. （1）4；（2）3；8. 需要杀菌剂1 000滴思考小结略。

《幂的乘方与积的乘方》讲义一、引入同学们，在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的运算。

今天，我们要一起来学习幂的乘方与积的乘方，这可是非常重要的知识哦！二、幂的乘方（一）定义幂的乘方，就是指几个相同的幂相乘。

比如说，（a^m）＾n，其中 a 是底数，m 和 n 都是指数。

（二）法则幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘。

即：（a^m）＾n ＝ a^（mn)（三）举例说明我们来看几个例子，帮助大家更好地理解。

例 1：计算（2^3）＾2根据幂的乘方法则，底数 2 不变，指数 3 和 2 相乘，得到：（2^3）＾2 ＝ 2^（3×2) ＝ 2^6 ＝ 64例 2：计算（a^2）＾4同样，底数 a 不变，指数 2 和 4 相乘：（a^2）＾4 ＝ a^（2×4) ＝ a^8（四）易错点在进行幂的乘方运算时，同学们要注意不要把指数相加，一定要记住是指数相乘。

三、积的乘方（一）定义积的乘方，就是先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

（二）法则积的乘方法则是：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：（ab）＾n ＝ a^n b^n（三）举例说明例 1：计算（2×3）＾2先把 2 和 3 分别平方，得到 2^2 ＝ 4，3^2 ＝ 9，然后相乘：（2×3）＾2 ＝ 2^2 × 3^2 ＝ 4×9 ＝ 36例 2：计算（－2x）＾3先把－2 和 x 分别立方，－2 的立方是－8，x 的立方是 x^3，然后相乘：（－2x）＾3 ＝（－2)＾3 x^3 ＝－8x^3（四）易错点在进行积的乘方运算时，要注意每一个因数都要乘方，不要漏乘。

四、幂的乘方与积的乘方的综合应用（一）化简式子例如：化简（a^3）＾2 ×（2b）＾3先分别进行幂的乘方和积的乘方运算：（a^3）＾2 ＝ a^6 ，（2b）＾3 ＝ 2^3 b^3 ＝ 8b^3然后相乘得到：a^6 × 8b^3 ＝ 8a^6 b^3（二）求解方程比如：已知（x^2）＾3 ＝ 64，求 x 的值。

第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。

课 题（课型） 幂的运算 学生目前情况（知识遗漏点）：复习巩固教 学 目 标或考 点 分 析：1. 学会应用同底数幂的乘法和除法。

2. 掌握幂的乘方和积的乘方。

3. 幂的混合运算和科学计数法 教学重难点： 同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方 教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸幂的运算知识点一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：文字叙述：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

字母表示：________________________2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n pa a a a ++⋅⋅= 注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.3、逆用同底数幂的乘法法则： =m n a a例1、计算列下列各题（1） x 3·x 5+(x 4)2； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-例2、若15(3)59n n x x x -⋅+=-，求x 的值.()2 (3)例11、（1）已知5544222,36a b c ---===，比较a,b,c 的大小。

（2）当a,b 满足什么条件时，等式1)1(=+b a 成立？4、绝对值小于1的数的科学计数法把一个正数写成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 为整数），这种计数法称为科学计数法，其方法如下：（1）确定a ，a 是只有个位整数的数；（2）确定n ，当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值<1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中做起第一个非0数前0的个数（包括整数位上的0）。

. 例12、（1）用科学计数法表示：0.000096=________________________. （2） 用小数表示4102-⨯-=______________________________.（3）为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出40000亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长.这个数用科学记数法表示为 亿元． （4）2015nm =_______________________m. （5）最薄的金箔的厚度为m 000000091.0，用科学记数法表示为 m ．例13、（1）计算并用科学计数法表示：78106.41067.3⨯-⨯（2）有一句谚语：“捡了芝麻，丢了西瓜，”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小 事，却忽略了具有重大意义的大事.据测算，5万粒芝麻才200g,请你计算1粒芝麻有多少千克？练习：1．下列计算正确的是（ ）A ．1)1(0-=-B ．1)1(1=--C ．33212a a =- D ．4731)()(aa a =-÷- 2．下列各式：①5151=-,②0)00001.0(0=,③001.0102=-,④ 313310=÷-正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ． 2 个D ．3个3．下列计算错误的是 （ ）A ．1)0001.0(0=B ．01.0)1.0(2=-C ．1)5210(0=⨯-D ．0001.0104=-4．若,)31(,3,3.0022-=-=-=-c b a 则 （ ）A ．d c b a ＜＜＜B ．c d a b ＜＜＜C ．b c d a ＜＜＜D ．b d a c ＜＜＜5．通过世界各国卫生组织的努力，甲型Ｈ1N1流感疫情得到了有效地控制，到目前为止，全球感染人数为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031,将数字0.0000031用科学计数法表示为（ ）A ．5101.3-⨯B ．6101.3-⨯C ．7101.3-⨯D ．8101.3-⨯6．=÷6622_____________.=-2)21(______________.7．肥皂泡表面厚度大约是0.0007mm,用科学记数法表为____________________mm8． 当___________时, .1)12(0=-a9． 已知==-=x x x 则且,1)3(,30_____________. 10．已知==-x x 则,1312___________________.11．计算：（1）031452222)21(2+⨯⨯++---- （2）02213)2()21(])1(8)2[(-⨯-⨯-⨯------π。

完整版)幂的运算知识点总结
第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加，即a^m *
a^n = a^(m+n)（m,n是正整数）。

逆运算是同底数幂的乘法。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

知识点二：幂的乘方与积的乘方
幂的乘方的法则是底数不变，指数相乘，即(a^m)^n =
a^(mn)（m,n是正整数）。

逆运算是(a^m)^n = a^(mn)。

积的乘方的法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n = a^n * b^n（n是正整数）。

知识点三：同底数幂的除法
同底数幂相除的法则是底数不变，指数相减，即a^m ÷
a^n = a^(m-n)（a不等于0，m,n是正整数，m大于n）。

零指数幂的意义是规定a^0 = 1（a不等于0），即任何不等于0的数的零次幂都等于1.负整指数幂的意义是规定a^(-n) = 1/(a^n)（a不等于0，a是正整数）。

科学记数法是一种方便表示极大或极小数的方法。

例如，可以写成6.96×10^5（10的几次方等于原数字个数减1），而0.xxxxxxx可以写成5.02×10^(-5)（10的负几次方等于第一个非零数字前的个数）。

另外，1/10^m可以写成10^(-m)。

精品资料·人教版初中数学幂的运算法则（讲义）➢ 课前预习1. 背默乘方的相关概念：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做___．用字母表示为n a ，其中______叫底数，______叫指数，读作“________________”． 2. 补全表格：3. 类比迁移：老师出了一道题，让学生计算45a a ⋅． 小明是这么做的：4545459a a a a a a a a a a aa a +⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==个个请你类比小明的做法计算：m n a a ⋅．➢ 知识点睛幂的运算法则：1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．4. 积的乘方等于___________．即_____________． 规定：0a =_______（___________）； p a -=______=______（_________________________）．➢ 精讲精练1. ①122m m +⋅=________；②31·m a a -=________； ③2·m n n p p --=________； ④2121()()n n a b a b +-+⋅+=______； ⑤m n m n a a a -⋅⋅=________； ⑥124m m m x x x x +⋅-⋅=______； ⑦23273n -⨯=_________； ⑧432()()a a a ⋅-⋅-=_________． 2. ①21m m a a -÷=__________； ②233m m -÷=_____________；③63(2)(2)-÷-=_______； ④82()()m n m n -+÷+=______； ⑤3622-⨯=____________； ⑥20152016333⨯÷=_________；⑦221222m m m -+-⋅÷ ⑧3212 m m m p p p p +-÷-⋅ =______________=_______________=______________ =_______________⑨2242(2)2----⋅-÷；⑩22211(π7)332--⎛⎫⎛⎫-⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3. ①23(5)=__________；②32()a -=______________；③42()n b =____________； ④2()m x x ⋅=_____________；⑤43()()n n b b -⋅=_______； ⑥2643 5()()a a -=____________； ⑦()()m n n m p p -⋅=_________；（p ≠0） ⑧322326()()()n n n b b b ⋅÷=___________．（b ≠0）4. ①3(2)x =____________； ②43()ab =______________；③22()n a -=__________； ④6()n xy -=_____________． ⑤3322(3)(2)x x ⎡⎤--⎣⎦⑥1001001001236⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________5. ①2(3)a =______________； ②24()a b -=_____________；③22()n xy --=__________． ④242(2)(2)x x ⎡⎤---⎣⎦⑤20152016201513412⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=_______________=_______________ =_______________=_______________ =_______________=_______________=_______________6. 下列运算正确的是_________．（填写序号）①336()a a =； ②236(2)8a a -=-； ③22m m b b b ÷=；④m m a a a ⋅=； ⑤31(2)8--=； ⑥4442b b b ⋅=．7. （1）若32110n n a a a -+⋅=，则n =________；（2）若22()n n x x x =⋅，则n =_________； （3）若3039273m m m ⋅⋅=，则m =______； （4）若212128x +=，则x =________； （5）若105x =，则210x =________；（6）若105x =，102y =，则10x y +=________； （7）若2n a =，3n b =，则6n =________． 8. 混合运算：①2(21)(12)(21)m m x x x -⋅-⋅-（m 为正整数）；②5324102()(2)()x x x x x -⋅+--÷；③1 032132(3)4--⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；④1021(3.14)(2)(1)3--⎛⎫--π+-⨯-⎪⎝⎭．【参考答案】➢课前预习1.幂，a，n，a的n次幂2.2，3，2的3次幂2，3，2的3次幂的相反数2 5，5，25的5次幂(a+b)，(a+b)的m次幂3.m na+➢知识点睛1.底数不变，指数相加，a m·a n=a m+n2.底数不变，指数相减，a m÷a n=a m-n3.底数不变，指数相乘，()m na=a mn 4.乘方的积，(ab)n=a n b n规定：1（a≠0）；1pa1()pa（a≠0，p是正整数）➢精讲精练1.①22m+1②a3m③-p2m④(a+b)4n⑤a2m⑥-3x2m+1⑦32n⑧-a92.①a m +1②-3m ③-8 ④-(m+n)6⑤8 ⑥1 ⑦2 ⑧0⑨-1 ⑩27 43.①56②-a6③b8n④x2m+1⑤b-n⑥4a12⑦1 ⑧14.①8x3②a3b12③a4n④-x n y6n⑤-55x6⑥15.①9a2②a8b4③-x2n y4n④0⑤-36.②7.（1）4；（2）2；（3）5；（4）3；（5）25；（6）10；（7）ab8.①(2x-1)3m+1；②14x8；③478；④74。