二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2
y ax bx c =++的解析式写成2
()y a x h k =-+的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数2
y ax bx c =++的性质；
3.经历探索2
y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2
()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式
从函数解析式2
()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称
2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．
2.一般式化成顶点式
22
2
2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ??
??????=++=++=++-+?? ? ? ??????????
?
2
2424b ac b a x a a -?
?=++
??
?． 对照2
()y a x h k =-+，可知2b
h a
=-，244ac b k a -=．
∴ 抛物线2
y ax bx c =++的对称轴是直线2b
x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???
．
要点诠释：
1．抛物线2
y ax bx c =++的对称轴是直线2b
x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a
a ??-- ???，可以当作公
式加以记忆和运用．
2．求抛物线2
y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2
y ax bx c =++与坐标轴的交点，
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数2
0()y ax bx c a =++≠图象与性质
函数
二次函数2
y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）
图象
0a >
0a <
开口方向 向上 向下
对称轴
直线2b x a
=-
直线2b x a
=-
顶点坐标
24,24b ac b a
a ??-- ???
24,24b ac b a
a ??
-- ???
增减性
在对称轴的左侧，即当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a
>-时，
y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当2b
x a
<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
即当2b x a
>-时，y 随x 的增大而减
小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当2b x a =-
时，y 有最小值，2
44ac b y a -=最小值
抛物线有最高点，当2b
x a
=-时，y 有最大值，244ac b y a
-=最大值
2.二次函数2
0()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2
-4ac 的符号之间的关系
要点四、求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b
x a
=-
时，244ac b y a
-=最值
．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2b
a
-
是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2b
x a
=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围
内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，2
22y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，2
11y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，2
11=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，2
22=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a
=-时y 值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质
1．求抛物线2
142
y x x =-+-的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】
解法1（配方法）：222111
4(2)4(211)4222y x x x x x x =-
+-=---=--+-- 2
11(1)422x =--+-
2
17(1)22
x =---．
∴ 顶点坐标为71,2??
-
???
，对称轴为直线1x =． 解法2（公式法）：∵ 12a =-
，1b =，4c =-，∴ 111
22()
2
b x a
=-=-=?-，
2
2
14(4)147214242ac b a ??
?-?-- ?-??==-??
?- ???
． ∴ 顶点坐标为71,2?
?
-
???
，对称轴为直线1x =． 解法3（代入法）：∵ 1
2
a =-
，1b =，4c =-， ∴ 1
11222b x a
=-
=-=???- ???
．
将1x =代入解析式中得，2
171142
2
y =-?+-=-． ∴ 顶点坐标为71,2??
-
???
，对称轴为直线1x =． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式
化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ??
-- ???
直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
举一反三：
【高清课程名称：二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题1】 【变式】把一般式2
286y x x =-+-化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；
（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.
2．如图所示，抛物线的对称轴是x ＝1，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3，0)，则点A
的坐标是_______．
【答案】(23-，0)．
【解析】由抛物线的对称性知，A 、B 两点关于直线x ＝1对称，设点A 的坐标是(x 1，0)则有
13
1x +=，所以123x =-，即点A 的坐标是(23-，0)．
【总结升华】本题若由顶点(1，1)及(3,0)B 求出抛物线解析式，再令y ＝0求出A 点坐标，则运算量
很大，而利用抛物线的对称性解题简捷得多．注意A 、B 关于直线x ＝a 对称，则
2
A B
x x a +=．
类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值
3．求二次函数211
322
y x x =++的最小值. 【答案与解析】
解法1(配方法)：∵ 2221111
(6)(639)2222y x x x x =
++=++-+ 2
1(3)42
x =+-，
∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．
解法2(公式法)：∵ 102a =
>，b ＝3，12
c = ∴ 当3
31222b x a =-=-=-?时，
22
114341922414242
ac b y a ??---====-?最小．
解法3(判别式法)：∵ 211322
y x x =++，∴ 2
6(12)0x x y ++-=．
∵ x 是实数，∴ △＝62
-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时2
690x x ++=，即x ＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程
度灵活去选择．
举一反三：
【高清课程名称：二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题2】
【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，
矩形场地的面积S 最大？ 【答案】(30)S L L =-
2(30)L L =-- 2(15)225L =--+
（0 15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用 4．已知二次函数2 1y x bx c =+++的图象过点P(2，1)． （1）求证：24c b =--； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】 （1）∵ 2 1y x bx c =+++的图象过点P(2，1)， ∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4． （2）22 (24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++． ∴ 当1b =-时，bc 有最大值．最大值为2． 【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可． （2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2 巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．． 只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（ ） 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 ① 二次函数 考点一 一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式 一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； 交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标． 考 点二 二次函数的图象和性质 考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ② §2.2.2 二次函数的性质与图象（教案） 一、教学目标 1、知识目标 （1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法 （2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标 （1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标 （1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。 二、教学重点、难点 运用配方法研究二次函数的性质。 三、教学方法 采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。 四、教学过程 1、问题引入 问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质 请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。 函数2 y ax =的性质 目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入 问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？ （2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？ 将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。 因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是： 配方法 4、实例演练 例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象； （2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象 先研究第一题 （1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2） 初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数的图象和性质
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数的性质与图像
二次函数的图像与性质知识点及练习
二次函数基本知识点梳理及训练(最新)
高中数学《二次函数的性质与图象》教案
二次函数知识点梳理
初三二次函数的图像与性质
全初三数学二次函数知识点归纳总结
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像及性质
二次函数的图像和性质总结