常微分方程6.1 (2)

第六章微分方程6.1微分方程的基本概念6.1.1微分方程的相关定义把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为常微分方程的阶任何代入常微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若常微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.6.1.2微分方程的分类(1)未知函数(微分方程的解)是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元函数的叫做偏微分方程.(2)线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

如：x(y- yy' + x =0、y" + 7siny=0为非线性微分方程.6.2 一阶微分方程及方程的解一阶微分方程的一般形式为F(X, y, y 0或y' =F{x,y }.6.2.1可分离变量微分方程微分方程中的变量x，y可通过变形分列于等式两边，形如八亲I可化为g(ydy=f(xdx，对分离变量后的方程进行两边积分，则J g(y dy = J f (x dx，若设F(x )和G(x )分别是f(x )和g(x )的一个原函数，则有G(x)=F(x)+C，其中c 为任意常数.注：下文中的C、G、C2…C n都为任意常数，不再叙述.6.2.2 一阶线性微分方程形如y・+ P(x y =Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)和Q(x)均为连续函数，若Q(x)=O则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分方程.(1) 一阶线性齐次微分方程y' + P(xly=o定理1如果函数y i与y是一阶线性齐次方程的两个特解,则Gy i +。

2丫2也是一阶线性齐次方程的解.注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程定理2如果函数y i与y2是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则C i yi+C2y2是一阶线性齐次方程的通解.注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程 y' + P(x y =0这是可分离变量方程，可解得y=Ce—J P(沖.⑵一阶线性非齐次微分方程y 7 P(X ” = Q(x ) 定理3设/是一阶线性非齐次方程的一个特解，丫是所对应的一阶线性齐次方程的通解,则丫中y *是一阶线性非齐次方程的通解.注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程定理4设一阶线性非齐次方程的右端f(X)= f i(x)+ f2(x)，而y1与y2分别是方程 y " + Py ' + qy = f i(x)与 y" + py' + qy = f2(x)的特解，那么 y：+ y；就是一阶线性非齐次方程的特解.注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程现在已经知道了一阶线性齐次线性微分方程的通解y =ce—H沖，可以将常数C 换成关于x的函数u(x )，即有假设的解为y = u(x e—H伸把 y = u(X e —H x dx代入 y'+p(x y 二 Q(x)，得 u Q(X』P(x dx两边积分有u(x)= j Q(xfe冋xdx+C i，则解为y=C i e—H沖+e T P(沖订Q(xe H沖dx，根据定理 3 得通解为 y=C2e —H xdx+e —FM .j Q a e FM dx.例6.1物体在重力的作用下受空气阻力下落，设阻力与物体下落的速度v=v(t )成 正比(比例系数为常数k )，物体的重量为m ，重力加速度为g ，请问下降速度 最大接近于多少？解：依据牛顿第二定律，得未知函数v(t )的微分方程为= mg - kv ，dt齐次线性微分方程 字+=v = g ，解得通解为v=Ce 益竺.dt m kf1-eI /很明显这是一增函数，当t T +oc 时，V T，即下降速度最大接近于 竺.kk623全微分方程(全微分详见8.2)如果一阶微分方程P (X, y dx + Q (x, ydy = 0，其中左边恰好是某个函数u (x, y 啲 全微分.显然 u(x"C、寻=Px,y h 斜Qx ,y、、二由皀=P (x,y )，两边对 x 积分得 u(x,y )= J P(x, y dx + B(y )， ex 再对 y 求导得 Qx, y J P (x,y dx +B '(y )， 先求出B'(y 再求出By )，即可得到通解.6.2.4通过变量代换得到以上三种基本类型的微分方程令U = y，即y = UX ，两边对x 求导得y '二U + xu'，化为可分离变量微分方程xf (u )=u +%业求出通解方程.dx(2) y'= f (ax +by +c X ab H 0)化为非由题意得t = 0时v =0，代入通解得C =-聖，故相应的特解v =聖 kk (1)八 f - Il x 丿令u=ax+by+c ，两边对x 求导得u'=a + by'，化为可分离变量微分方程dx=a +b f(u求通解.2必 + b,y+c,、 、a 2x + b 2y+C 2 丿① a i b 2 =a 2bibl= 令u =a i X+b i y ，两边对x 求导得『=a i +b i y ，，化为可分离变量微分方程d u =a i+b i f+ C 2丿求通解.② a 1b^a 2b 1若®邛为方程组a ：：：：y y ；2的解’令u= x -a V = y - P ，则原方程可化律山+biV ' ¥ +b 2V 丿，化为⑴类型的方程誥芒V ai 5 — U ,V a 2 + b2 — I u 丿⑷ 伯努利方程 y '+p (X A = q (x H 0,1) 令u -y 1^，两边对x 求导得u = (1-aH£y ， 化为一阶线性微分方程dux +H-bm-^x )求通解. 6.3二阶常系数线性微分方程 形如y" + py' + qy =f(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实 数，若f(X)=0则称为二阶常系数线性齐次微分方程； 否则称为二阶常系数线性 非齐次微分方程. 6.3.1二阶常系数线性齐次微分方程 y"+p y' + qy=0 由于指数函数y=e rx(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子，所以就用y =e rx来试着看能否选取适当的常数r ,使y =e rx满足二阶常系数线性齐次方(3)八 f若=^b a i b 2把y =e rx 代入二阶常系数线性齐次方程有：(r 2 + pr + q)e rx=0，因为e" H 0,所以只 r + pr +q =0. (1) p 2 -4q>0 由于 r 2 + pr+q=0 的两个解：r^~^^^~4q ，r 2 = 一 p 一“ p2 r i所以yi=e rix , y^e r2X 是二阶常系数线性齐次方程的两个特解 ，且 -二e2)xH 常数，即y i 与y 2线性无关, y 2 则根据定理2, 二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = C i e rix + C 2e 护⑵ p 2-4q=0 r 2+ pr +q =0只有一个解：r i 二一：•这时只能得到二阶常系数线性齐次方程的 一个特解还需求出另一个解/且使弋’常数,设w=u(x ),即假设y 2 =e rix u(x),将y 2 =e rix u(x)代入二阶常系数线性齐次方程，得:e"" (ir+2ru' + r 2u) + p(U + ru) +qu] = 0 , 整理得：e^ U " + (2r + p)u ' + (r 2 + pr + q)u 】=0 . 由于 e " H0,所以 u“ + (2r + p)u' + (r 2+pr+ q)u=0，又因为 r 2 + pr+ q = 0， 2r + p=0，从而有昇=0，不妨取u = x,可得到二阶常系数线性齐次方程的另 一个解 y 2 -xJ. 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = (C i + C 2x)e rx. ⑶当 p 2 -4q <0 r 2+ pr +q =0有一对共轭复根 口 =a +i P ,r 2 =« -i P于是 y i =e (， y 2 =e (根据欧拉公式e^ =cosx±isinx，贝U有% = e^+P x =尹.e i妝=尹(cos P x + i sin P x)；y2 =e©丄p x =尹e」及=e^(cosPx -i sin Px)，为了去掉虚数，根据定理1,又得到两个解:1 _ 1y i =2(y i +y2) =e®cosPx; y2 =牙(丫1 -y?) =e農sin P x，e® sin P x逢=tan P x K常数，即-与y；线性无关,e cos nXy i根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y = e疫(C i cosPx + C? sin Px).6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程/ + Py' + qy = f(x)⑴f(X)=“P m(X)(A为常数，P m(X)是关于X的一个m次多项式)二阶常系数线性非齐次方程右端f(X)是多项式P m(X)与指数函数/乘积，它导数仍为同一类型函数，因此二阶常系数线性非齐次方程的特解可能为尸=Q(x)e'X,其中Q(X)是某个多项式函数.把尸=Q(x)e^代入二阶常系数线性非齐次方程并消去e样,得Q"(x) + (2A+ p)Q '(X)+ (汇+ q)Q(x) = P m(X).①若入不是特征方程r2+ pr + q = 0的根即法+ p入+ qHO，要使上式等式两边相等，Q(x)必然为另一个m次多项式Q m(x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为尸=Q m(x)e" 令Q m(X)=b o+b i X+b2X2+…+b m X m，再把特解代入原方程，并比较两端关于X同次幕的系数,就得到关于未知数b0,b i,…，b m的m+1个方程.联立解方程组可以确定出b(i =0,1,…，m).②若入是特征方程『+ pr + q = 0的单根即入+ q=o, 2A +P H O,要使上式成立，则Q'(x)必然是m次多项式函数，于是令Q(x)=xQ m (x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为y =xQ m (x)e&同①用同样的方法来确定Q m (x)的系数. ③ 若几是特征方程r 2+ pr + q = 0的重根,即A + p h +q =0, 2A + P =0，要使上式成立,则Q"(x)必须是一个m 次多项式, 可令Q(x) =x 2Q m (x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为 y =x 2Q m (x)e x. 同①用同样的方法来确定Q m (x)的系数. 最后根据定理3求出原方程的通解.例6.2求方程y " -2y' + y = (x -1®的通解. 解:先求对应齐次方程Y “ -2Y Q Y = 0的通解.特征方程为r 2-2r +1 =0,解得ri =1, 则齐次方程的通解为丫 = (C i +C 2X)e X . 由于1是特征方程的二重根，(x-1)是关于x 的一次多项式, 所以设非齐次方程特解形式为 y = X 2(ax +b)eX ，11 把它代入所给方程，并约去e x得6ax +2b=x-1，比较系数，得62于是非齐次方程的特解为 / = x 2(--1)e x，6 2所给方程的通解为y = Y + y * = (G +C 2X -丄X 2+丄x 3)e x.2 6⑵ f(x)=e^P m (x)s in P x + Qn (x )cos P x ] (A 为常数，P m (x)、 个m 次、n 次多项式)应用欧拉公式 e^ =cosx±i sin X，有 cosx = ------ ； sin x=2把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有「 卩X + __B Xp x __B x ■f(X)=e ^ P m (x)si n P x +Q n (x )cos P x ]= e 'X|P m (X)e e +Q n (x )e eQn (X )是关于x 的一ix鸟 e - e2iL 2 2i J+ Qn(x)1e附X +[Pm(X)_Qn(X)le』x2i」L 2 2i」‘由于乎+学是］十如｝次多项式，根据⑴类型可知,y" + py' +qy =『'x〉+ 笃,)”(沸＞的特解为y, = 沸x，其中当几± P i为特征方程r2+ pr +q =0的根时，k =1 ；当几± P i不为特征方程2r +p r+q=O 的根时，k=0 ；空-2凹也是I =max｛m,n｝次多项式，根据(1)类型可知,又由于空2 2iy“ + Py'+qy = $2°- Qi*〉*'®x的特解为丫2审(x) = x k§(xe S® X其中当A ± P i为特征方程r2+ pr+q=0的根时，k = 1 ；当几± P i不为特征方程2r + pr + q = 0 的根时，k = 0 ,那么根据定理4,当f(x) =MP m(x)sinPx + Qn(x)cosPx］时的特解形式为y—x k R(xe pM 八x k S l(X=x k e'x Ri(X I cos P x +i sin P x)+ S (x I cos P x- i sin P x 9=x k e'x{R|(x)+ S l(X j cos P x + i R(X )-S|(X』sin P x〉=x k e赵T l(X JcosPx +U I(X )sin P x】其中T|(X)、U|(X都是l n｝次多项式，当几±丙为特征方程r2+ pr + q = 0的根时，k =1 ；当几± P i不为特征方程r2+ pr + q = 0的根时，k = 0 .同①用同样的方法来确定T i(x)、U i(x)的系数.最后根据定理3求出原方程的通解.例6.3 求 y " + y =cosxcos2x 的通解.解：先求出相应的齐次方程Y"+Y=O的通解，再求出原方程的特解.由于特征方程丫2 +1=0的根为±i , 所以相应的齐次方程通解为丫=C i C0Sx+C2Sinx.1由于 cosx COS2X = - (COSX + cos3x )2 ，1 1根据定理4,可以先分别求出宀r cosx 与宀y=2cos3x 的特解y ；与y r ，y r + y2审就是原方程的特解,由于±i 是特征方程y 2+1 =0的根,所以y " + y=-cosx 的特解形式为％* = Axcosx + Bxsi nx ,代入原方程，得出 1X A =0, B =-即特解为 y j =-sinx ；4 4 1 (1)同理 y " + y = —cos3x 的特解为 y 2 =- —cos3x .2 16 则原方程的特解为y M = y / + y / =-sin x —丄cos3x ,4 16X1又根据定理3,原方程的通解为y=C 1cosx+C 2sinx + 4sinX-16cos3x.6.4二阶变系数线性微分方程形如y “ + p （xy ' + q （x ）y=f （x ）的方程称为二阶变系数线性微分方程.其中P（x ）、q （X ）和f （X ）均为连续函数，若f （X ）= 0则称为二阶变系数线性齐次微分方程； 否 则称为二阶变系数线性非齐次微分方程6.4.1二阶变系数线性齐次微分方程 y "+ p （xy ' + q （x ）y = 0二阶变系数线性齐次微分方程没有固定解法，下面只对几种特殊情况下的方程列 出求通解的方法.（1）二阶欧拉齐次方程（多阶类似）形如x 2y" + pxy' + qy=0 （ p 和q 均为常数）称为二阶欧拉齐次方程，令 e t，即将变量由X 换成t ，则有鱼=业生=e 丄鱼=丄史,dx dt dx dt X dtf -^t d 2y dt dy _ 1 ©y dy ' I dt 丿 dt 2 dt X 2 [dt 2dt 丿 将这些关系代入原方程，化成了二阶常系数线性齐次方程d 2y d f dy 、dt - 2- = — — I —-t d =e 一 dty i两端积分得v (x 的—个解：y 「eT p汁 所以相应的u (x )= j(y 「e ， 则 y 2 = yi J(y 「e "。