平移巧解题_PDF版

用顶点坐标解抛物线平移的问题我们知道，抛物线的开口方向和形状由二次项系数a 确定，其位置由抛物线的顶点坐标确定.因此要确定一个二次函数的解析式或图象，只需要确定二次项系数a 和顶点坐标.本文以各地中考试题为例对抛物线的平移问题作一简单的概括和分析，以供读者参考.一、主要题型及解题策略题型1 已知原抛物线和平移过程，求平移后的新抛物线.策略 先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;根据平移过程，确定平移后新抛物线的顶点坐标;再由新抛物线的顶点坐标和a 的值求出新抛物线解析式 题型2 已知原抛物线和平移后的新抛物线，求平移过程.策略 先将原抛物线和平移后的新抛物线的解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;再由原抛物线的顶点坐标平移到新抛物线顶点坐标来确定抛物线的平移过程.注 特殊问题用特殊的方法(注意数形结合的思想).二、常见题型的解题分析1.求平移后抛物线的解析式例1 将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个 单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )(A) 2(1)4y x =-+(B) 2(4)4y x =-+(c) 2(2)6y x =++(D) 2(4)6y x =-+解 抛物线223y x x =-+的顶点坐标为(1,2)，将点(1 ,2)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位得到点的坐标为(4,4) ,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 2(4)4y x =-+.故选B.2.求平移前抛物线的解析式例 2抛物线，2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3 个单位，所得图象的函数解析式为2(1)4y x =--，则b 、c 的值为( )(A) 2,6b c ==- (B) 2,0b c ==(C) 6,8b c =-= (D) 6,2b c =-=分析 抛物线2(1)4y x =--的顶点坐标为(1，－4)，因为它是由2y x bx c =++的顶点坐标先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，所以2y x bx c =++的顶点为(－1,－1)，其平移前的抛物线为22(1)12y x x x =+-=+，即2,0b c ==.故选B.例3 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能的是( )(A) 21y x =- (B) 265y x x =++(C) 244y x x =++ (D) 2817y x x =++分析 函数21y x =+的顶点坐标为(0,1)抛物线21y x =-的顶点坐标为(0，－1)，将(0，－1)向上平移1个单位，再向上平移1个单位，得到(0,1).即抛物线21y x =-向上平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故A 正确.抛物线265y x x =++的顶点坐标为(－3，－4)，(－3，－4)无法经两次简单变换得到 (0，－1).即抛物线265y x x =++无法经两次简单变换得到21y x =+.故B 不正确. 抛物线244y x x =++的顶点坐标为(－2,0)，将－2,0)向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到(0,l).即抛物线244y x x =++向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故C 正确.抛物线2817y x x =++的顶点坐标为(－4,1)，将(－4,1)向右平移2个单位，再向右平移2个单位，得到(0,1).即抛物线2817y x x =++向右平移2个单位，再向右平移2个单位，可得到抛物线21y x =+.故D 正确.故答案选B. 3.求抛物线的平移过程例4 要将抛物线223y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是( )(A)向左平移1个单位，再向上平移2个单位(B)向左平移1个单位，再向下平移2个单位(C)向右平移1个单位，再向上平移2个单位(D)向右平移l 个单位，再向下平移2个单位分析 抛物线223y x x =++的顶点坐标为(－1,2)，新抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0).将点(－1,2)平移到点(0,0)的过程为:向右平移1个单位，再向下平移2个单位.故选D. 例5若把函数y x =的图象用(,)E x x 记，函数21y x =+的图象用(,21)E x x +记，…则2(,21)E x x x -+可以由2(,)E x x 怎样平移得到( )(A) 向上平移1个单位 (B)向下平移1个单位(C)向左平移1个单位 (D)向右平移1个单位分析 2(,21)E x x x -+和2(,)E x x 表示的函数图象是抛物线(解析式分别为221y x x =-+和2y x =);其顶点坐标分别为(1,0)和(0,0)，将点(0,0)平移到点(1 ,0)的过程为向右平移1个单位.故选D.4.求经过一个定点的抛物线解析式例6如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A (0,3)，那么所得新抛物线的表达式是 .分析 设将抛物线221y x x =+-向上平移m 个单位，其图象经过A (0,3)，则其顶点 由(－1，－2)平移到顶点(－1,2m -)，新抛物线为2(1)2y x m =++-;将点A (0,3)代入，解得m =4.故新抛物线的表达式为:2(1)2y x =++.5.抛物线不动，求平移坐标系，后抛物线的解析式例7 在平面直角坐标系中，如果抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )(A) 23(3)3y x =-+ (B) 23(3)3y x =--(C) 23(3)3y x =++ (D) 23(3)3y x =+-分析 原抛物线23y x =不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，相当于坐标系不动，把原抛物线23y x =，分别向下、向左平移3个单位.其顶点由(0,0)平移到顶点 (－3，－3)，故新抛物线的解析式为23(3)3y x =+-.故选D.6.求满足某些特殊条件的平移方法例8 将抛物线C :2310y x x =+-平移到C '.若两条抛物线,C C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是( )(A)将抛物线C 向右平移52个单位 (B)将抛物线C 向右平移3个单位(C)将抛物线C 向右平移5个单位(D)将抛物线C 向右平移6个单位分析 抛物线C ：2310y x x =+-的顶点坐标为349(,)24--，新抛物线与原抛物线关于直线1x =对称，即新抛物线的顶点与原抛物线的顶点也关于直线1x =对称，所以新抛物线的顶点坐标为749(,)24-，即将抛物线C 向右平移5个单位得到C '.故选C。

利用平移巧妙解题平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.一、求图形的面积例1 如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a －c ），宽为（b －c ），所以面积为：（a －c ）（b －c ）＝ab －ac －bc +c 2.说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.二、求线段的长度例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.图1c B图2图3E CBDA三、说明角的关系例3 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.简析 由于∠B 与∠C 的位置较散，故考虑将∠B 与∠C 变换到同一个三角形中来.而AD ∥BC ，AD ＜BC ，故将线段AB 沿着AD 的方向平移AD 长，即点B 平移到点E ，此时有DE ＝AB ，DE ∥AB ，所以∠DEC ＝∠B ，于是，在△DEC 中，因为DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠C ，故∠B ＝∠C .说明 本题从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解.四、比较线段的大小例4 如图4，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？简析 由于已知条件中的线段BE 、CF 和结论中的线段FE 、BC 比较散，所以我们可以考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF 平移到BM ，则此时BE 平移到MF ，这样只要说明BC ＞BM 即可，而由于CF ＝BE ＝MF ，再考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，易得DM ＝DC ，因为BD +DM ＞BM ，所以BC ＞EF ，即FE ＜BC .说明 若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然要想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度.五、最短路径设计例5 如图5，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图5，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.图5BDFBAC E图4 M说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.。

高中数学平移解题技巧在高中数学中，平移是一个非常常见的题型，它涉及到函数的平移、图形的平移等等。

掌握平移解题技巧可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。

本文将以具体的题目为例，分析平移解题的考点和方法，并给出一些解题技巧，希望对高中学生和他们的父母有所帮助。

一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动到新的位置。

常见的平移有水平平移和垂直平移两种。

1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿着x轴平行地移动到新的位置。

我们以一道典型的题目为例：已知函数f(x)的图像如下图所示：[插入一道函数图像的示意图]若函数g(x)的图像是将f(x)的图像向右平移3个单位得到的，求g(x)的解析式。

解题思路：由于平移是在x轴方向进行的，所以我们只需要在f(x)的解析式中将x替换为x-3即可。

因此，g(x)的解析式为g(x)=f(x-3)。

2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿着y轴平行地移动到新的位置。

同样以一道题目为例：已知函数f(x)的图像如下图所示：[插入一道函数图像的示意图]若函数g(x)的图像是将f(x)的图像向上平移2个单位得到的，求g(x)的解析式。

解题思路：由于平移是在y轴方向进行的，所以我们只需要在f(x)的解析式中将f(x)的整体加上2即可。

因此，g(x)的解析式为g(x)=f(x)+2。

二、图形的平移除了函数的平移，图形的平移也是高中数学中常见的题型。

图形的平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向移动到新的位置。

以一道典型的题目为例：已知△ABC的顶点A(-2,3)，B(1,2)，C(-1,-1)，将△ABC沿着x轴正方向平移4个单位，得到△A'B'C'，求△A'B'C'的顶点坐标。

解题思路：由于平移是在x轴方向进行的，所以我们只需要将△ABC的每个顶点的x坐标都加上4即可。

因此，△A'B'C'的顶点坐标为A'(-2+4,3)=(2,3)，B'(1+4,2)=(5,2)，C'(-1+4,-1)=(3,-1)。

专题01利用平移巧妙解题【专题综述】平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.在解题中巧妙利用平移，可以起到化繁为简，事半功倍的效果.【方法解读】例1：如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？【举一反三】如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2m）则空白部分表示的草地面积是（）A. 70B. 60C. 48D. 18二、求线段的长度例2：如图，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？【举一反三】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示．请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？三、说明角的关系例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.【举一反三】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，AD ＝4，BC ＝12，点E 为BC 上一动点。

试求：当CE 为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？第21题图CDE BA四、比较线段的大小例4：如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？【举一反三】如图所示，AD ∥BC ，∠ABC ＝80°，∠BCD ＝50°，利用平移的知识讨论BC 与AD +AB 的数量关系．五、最短路径设计例5：如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.【举一反三】如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.【强化训练】1．如图，阴影部分的面积为 ( )A.a 2；B.2a 2；C.a 2；D.4a 2. 2．(1)已知图1将线段AB 向右平移1个单位长度,图2是将线段AB 折一下再向右平移1个单位长度,请在图3中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；(2)若长方形的长为a ,宽为b ,请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积；(3)如图4，在宽为10 m ,长为40 m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路,小路宽度为1 m ,求这块菜地的面积.3．如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？4．如图，张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32 m ，南北宽20 m 的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，若每条道路的宽均为1 m ，求蔬菜的总种植面积是多少？5．（阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是____．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b ＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.7．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB .试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此230时AM+NB=（）A．6 B. 8 C. 10 D. 128．如图1，在▱ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是BA．面积保持不变B．只有一个时刻为菱形C．只有一个时刻为矩形D．周长改变（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．9．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD 集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．10．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．。

专题18 巧用图形的平移解决几何问题阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向右（或向左）平移k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移k个单位长度，就是把这个点的横坐标都加（或减去）一个正数k．在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向上（或向下）平移k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移k个单位长度；就是把这个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k．【典例18】应用探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对等边三角形ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形ABC内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F坐标【解析】（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+＝x，y+2＝y，解得x＝1，y＝4，所以，点F的坐标为（1，4）【巩固提升】1、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D 与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【分析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．【解析】(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°，∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=1BC．2又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=1BC=AC.∴△ADC为正三角形．2①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠F AC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠F AC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．2、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．（1）试说明AD∥BC的理由；（2）试求∠CAN的度数；（3）平移线段BC．①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．【解析】（1）∵AP∥DQ，∴∠D+∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，即：∠CAN＝∠DAB∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°，（3）①不会．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2，②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，即：∠1＝∠DAN．∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）直接写出A′、C′点的坐标；（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．【解析】（1）△A′B′C′如图：（2）∵平移后点B和点A刚好重合，∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；（3）∵P点的坐标是（a，b），∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．4、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为；（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为；（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为；△A2B2C2的面积为．【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．故答案为：（a+3，b+4），．5、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为∠B与∠D的大小关系为；（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝．【解析】（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；（2）∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠B，由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∵DG平分∠CDE，∴∠CDG＝∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠FDG＝∠DCE，即∠FDG＝∠B，∵∠B＝60°，∴∠FDG＝×60°＝30°；（3）思路同（2），∵∠FDG＝α，∴∠B＝2α，故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．6、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC 的度数．【解析】（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．。

平移典型例题及练习含答案一、知识点复平移是指在平面内，一个图形沿某个方向移动一定距离的变换。

平移的要素包括方向和距离，其中方向是原图上的点指向它的对应点的射线方向，距离是连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。

平移具有不改变图形形状和大小，仅改变位置的性质。

平移后的图形与原图形上对应点连成的线段数量相等，位置关系是平行或在同一条直线上。

判断一组图形能否通过平移得到的方法是看对应点连线是否平行或在同一条直线上，以及形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。

二、典型例题题型1：生活中平移现象生活中的平移现象包括：推开教室的门、急刹车时汽车在地面上的滑动等。

因此，答案为B。

题型2：平移的性质在平移过程中，对应线段一定相等，对应线段的位置关系是平行或在同一条直线上，周长不变，因此正确的选项为①②③。

题型3：与平移有关的计算将△XXX沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE。

连接AE，若△ABC的面积为2，则△XXX的面积为4.例题6】：如图所示，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是多少？答案：由于△ABE和△DCF是平移，所以它们的周长相等。

设△ABE的周长为16cm，则△DCF的周长也为16cm。

因为AE、DC交于点G，所以△ADG和△CEG是全等三角形，它们的周长之和为2×AD+2×CE=2×AG+2×CG=2×AC=2×(AE+EC+CD)=2×16cm=32cm。

例题7】：如图所示，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是多少？答案：阴影部分的面积为10cm×2cm=20cm²，所以空白部分的面积为80cm²-20cm²=60cm²。

例题8】：如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？答案：如图所示，将长方形地块分成四个小矩形和一个中间的正方形。

利用平移巧妙解题平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.一、求图形的面积例1 如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a －c ），宽为（b －c ），所以面积为：（a －c ）（b －c ）＝ab －ac －bc +c 2.说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.二、求线段的长度例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.三、说明角的关系B图2图1 c例3 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.简析 由于∠B 与∠C 的位置较散，故考虑将∠B 与∠C 变换到同一个三角形中来.而AD ∥BC ，AD ＜BC ，故将线段AB 沿着AD 的方向平移AD 长，即点B 平移到点E ，此时有DE ＝AB ，DE ∥AB ，所以∠DEC ＝∠B ，于是，在△DEC 中，因为DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠C，故∠B ＝∠C . 说明 本题从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解.四、比较线段的大小例4 如图4，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？简析 由于已知条件中的线段BE 、CF 和结论中的线段FE 、BC 比较散，所以我们可以考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF 平移到BM ，则此时BE 平移到MF ，这样只要说明BC ＞BM 即可，而由于CF ＝BE ＝MF ，再考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，易得DM ＝DC ，因为BD +DM ＞BM ，所以BC ＞EF ，即FE ＜BC .说明 若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然要想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度.五、最短路径设计例5 如图5，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.图5B 图3 EC B DA D FBACE图4 M简析不妨设国道的两边分别为l1、l2，桥为MN，那么从A到B要走的路线就是A→M→N→B 了，如图5，而MN＝a＝定值，于是要使路径最短，只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN于AC，从C到B应是余下的路程，连结BC的线段即为最短的，此时不难说明线段BC与国道边缘l2的交点N就是修桥的位置.说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.。

数学中的“平移问题”解题指导在一个平面内，将一个基本的图形沿一定的方向移动了一定的距离，这种图形平行移动称为平移。

由平移后的图形与原图形比较，可得出，平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化，在平移过程中，对应线段有时平行，有时还可能在同一直线上，对应点所连的线段平行且相等，有时对应点的连线也可能会在同一直线上。

物体的运动是否是平移，看它是否符合平移的特征，即平移前后对应线段平行且相等．画平移图形的方法有：根据平移的方向，平移的距离，作图可根据平移前后图形的对应线段平行且相等，作出平移图形．平移后的图形与原图形大、小、形状都相等相同．一、易错分析如：火车在一段笔直的铁轨上行驶，我们可以把它看成火车沿着铁轨的方向移动一定距离，这就是平移，如果火车驶入有弯道的山洞，这也是数学上的平移吗？错解：火车驶入有弯道的山洞，也是数学上的平移．分析：对平移现象的理解容易忽略在平移过程中图形的形状大小不变这一条件．正解：火车在笔直的铁轨上行驶是数学上的平移，火车驶入有弯道的山洞，不是数学上的平移，因为火车驶入有弯道的山洞时.火车的整体形状发生了变化．二、典型例题例1．如图所示△ABC沿射线xy方向平移一定距离后成为△AˊBˊCˊ，找出图中存在的平行且相等的线段及相等的角．分析：根据对应点所连的线段平行且相等可找出AAˊBBˊ，BC BˊCˊ,根据角相等可找出∠A＝∠Aˊ等．答：平行且相等的线段有AAˊBBˊ，BBˊCCˊ，AB AˊBˊ，AC AˊCˊ,BC BˊCˊ,相等的角有∠A＝∠Aˊ，∠B＝∠Bˊ，∠C＝∠C.例2．如图11－l所示：先将方格纸中的图形向右平移4个单位后又向下平移3格分析：上题分两步平移，在平移过程中要注意平移的顺序和平移方向及平移距离．解：如图11－2所示例3．如图11－3四边形，EFGH是由四边形ABCD经平移后得到的，如果∠A＝40°，AB＝12cm，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为80cm2.（1）求∠E，∠F的度数．（2）求EF的长．（3）求四边形EFGH的面积．分析：四边形EFGH由四边形ABCD平移得到的，故可用平移的特征解决本题，由平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等可知EF＝AB，对应角相等可知∠E＝∠A，∠F＝∠B，图形的形状和大小都没有发生变化，故面积相等．解：（l）∠E＝∠A＝40°，∠F＝∠B＝90°.（2）EF＝AB＝12cm.（3）S EFGH=S ABCD＝80cm2.例4．请用平移分析如图11－4所示的图案的形成过程，然后以几个圆为“基本图形”设计一个由平移形成的图形，并说明形成的过程．分析：由于几个圆的大小相同，故每一个圆都可看成由其中的一个圆平移得到．解：（1）图案可看成将正中央的圆向周围依次平移与半径相等的距离得到．（2）设计图案：把中间的圆向左、左下、向右、右下平移而成，如图11—5所示：例5．请通过平移如图11－6所示的图形设计图案．分析：将上图按不同的方向，不同的间隔距离平移得到不同的图案．这里仅举两例（1）将基本图案向右平移一格，（2）将基本图形向右平移两格，许多美丽的图案都是沿一定的方向移动而产生的．例6．某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯梯宽3米，其剖面如图11－7所不，请你计算一下：（1）仅此楼梯，需要购买地毯多少米？（2）购买地毯多少平方米？分析：地毯的长度应等于楼梯的长度，而楼梯的长度应包括，每节楼梯的所有的横长之和与所有的竖长之和．运用图形的平移，把所有的横长通过平移都移到BC 边上，发现所有的横长之和等于BC 长，再把所有的竖长平移到AB 边上，发现所有的竖长之和等于AB 长．解：（1）AB+BC ＝1.2＋2.4＝3.6m（2）S ＝3．6×3＝10．8平方米答：需要购买地毯长3．6米，地毯面积为10．8平方米．例7．将△ABC 沿直角边AB 向右平移2个单位得到Rt △DEF ，如图11－8所示若AB ＝4，∠ABC ＝90°，且三角形ABC 的面积为6个平方单位，试求图中阴影部分面积．分析：因为S △ABC=21AB ·BC=21×4×BC=6，所以BC ＝3，又DF ∥AC ，D 为AB 的中点，可推算出H 必为BC 的中点，所BH=21BC=1.5，DB=21AB=2 解：S 阴影=21DB ×BH=21×2×1.5＝l.5（平方单位） 答：阴影部分的面积为1．5平方单位．例8．图形操作（四个矩形的长、宽都是a 、b ）在图（一）中、将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得封闭图形A 1A 2B 2B 1．在图（二）中、请将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3,得封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1． 在图（三）中请类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．2．请分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积．S 1＝ ，S 2＝ ，S 3＝ .3．如图（四）,在一块矩形草地上，有一条弯弯曲曲的小路，小路任何地方的水平宽度都是一个单位，请你猜想空白部分表示的草地的面积是多少？并说明你的猜想是正确的．解：1.见图（三）2．S 1＝ab-b S 2＝ab-b S 3＝ab-b3．猜想空白部分的面积仍为ab-b说明：因为小路任何地方的水平宽度都是一个单位，所以阴影左右两边的折线、曲线全等，平移一个单位可重合，所以阴影面积为ab-b ．。

抓住平移的特征巧解题平移是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了进几年中考试题中频繁出现的内容。

题型多以填空题、计算题呈现.在解答此类问题时，我们通常根据平移的特征求解.例1（广东梅州）观察下面图案，在（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）析解：由于图形的平移变换中，图形的形状、大小、方向不发生改变，只是改变了图形的位置，故答案为（C ）.例2. （晋江市）如图1，△ABC 平移到△C B A '''，则图中与线段A A '平行且相等的线段有 条.析解：本题抓住平移的特征：平移前后图形的对应点的连线平行且相等，可以得出图中与线段A A '平行且相等的线段有2条.例3.（湖南郴州课改）如图2，将边长为2个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ,则四边形ABFD 的周长为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12析解：本题抓住平移的特征：平移前后图形的对应线段相等，对应点的连线相等且等于图形平移的距离，所以2==AC DF ，2==BC EF ，1==AD BE ，又因为2=AB ，FE DC B A 图2 图1 ABC ’A ’B ’（A ） （B ） （C ） （D ）（1）2 所以周长为：812212=++++=++++AD DF EF BE AB ，故选（B ）.例4.（广东）如图3，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）．（A ）21 （B ）26 （C ）37 （D ）42析解： 要求这个图形的周长，如果将图形中的阶梯线条分别求出来比较困难，因此，本题抓住平移的特征：平移前后图形的形状和大小都没有发生变化，将图形中的阶梯线条向外平移，正好得到一个长为16、宽为5的长方形，所以得到此多边形的周长为42.故答案为（D ）.点评：这几个中考题都考的是基础知识、基本技能，由这几个题我们可以认识到基本知识是非常重要的，中考题并不难，关键是看我们基础知识、基本技能有没有掌握住. 图3。

高中数学图形的平移解题技巧在高中数学中，图形的平移是一个非常常见的题型。

平移是指将图形沿着指定的方向和距离进行移动，而保持其形状和大小不变。

平移题目常常出现在几何题、函数题和向量题中，掌握平移解题技巧对于高中数学的学习至关重要。

一、平移的基本概念在解决平移题目之前，我们首先需要了解平移的基本概念。

平移是指将一个图形沿着指定的方向和距离进行移动，平移后的图形与原图形形状和大小完全相同。

平移可以用向量的方法进行描述，平移向量表示了平移的方向和距离。

例如，给定一个三角形ABC，平移向量为→v，平移后的三角形为A'B'C'。

那么我们可以通过以下公式来表示平移：A'B' = AB + →vB'C' = BC + →vC'A' = CA + →v二、平移题的解题步骤解决平移题目的关键是找到平移向量。

下面我们将通过一些具体的例子来说明平移题的解题步骤。

例1：已知点A(2, 3)，将点A沿着向量→v(-1, 2)进行平移，求平移后的点A'的坐标。

解：根据平移的定义，我们可以得到平移向量为→v(-1, 2)。

那么平移后的点A'的坐标可以通过以下公式计算：A'的横坐标 = A的横坐标+ →v的横坐标A'的纵坐标 = A的纵坐标+ →v的纵坐标将已知数据代入公式，可以得到：A'的横坐标 = 2 + (-1) = 1A'的纵坐标 = 3 + 2 = 5所以平移后的点A'的坐标为(1, 5)。

例2：已知图形ABC是一个等腰直角三角形，顶点A在坐标原点，将图形ABC沿着向量→v(3, 4)进行平移，求平移后的图形A'B'C'的坐标。

解：根据平移的定义，我们可以得到平移向量为→v(3, 4)。

那么平移后的图形A'B'C'的坐标可以通过以下公式计算：A'的横坐标 = A的横坐标+ →v的横坐标A'的纵坐标 = A的纵坐标+ →v的纵坐标B'的横坐标 = B的横坐标+ →v的横坐标B'的纵坐标 = B的纵坐标+ →v的纵坐标C'的横坐标 = C的横坐标+ →v的横坐标C'的纵坐标 = C的纵坐标+ →v的纵坐标将已知数据代入公式，可以得到：A'的横坐标 = 0 + 3 = 3A'的纵坐标 = 0 + 4 = 4B'的横坐标 = 1 + 3 = 4B'的纵坐标 = 1 + 4 = 5C'的横坐标 = 1 + 3 = 4C'的纵坐标 = -1 + 4 = 3所以平移后的图形A'B'C'的坐标为A'(3, 4)，B'(4, 5)，C'(4, 3)。

“平移问题”题型方法归纳平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。

一、直线的平移1、(2009武汉)如图，直线43y x =与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BCAO，则k = ．2、（09年四川南充市）如图已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．提示:第（2）问，直线平行时，解析式中k 值相等。

3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．提示：第（2）问，按MN分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论；第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。

C（第3题图）F4、（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由． 提示：第（2）问，t=5时，点P 、Q 相遇；若没有05t <<，则按P 、Q 相遇时间分段分类，分别画出图形，再根据图形性质写出面积函数关系式，此时，第（3）问要对第（2）问中分类情形，分别解方程求解。

平移、知识点复习知识点2 :平移的要素1. 平移的方向：原图上的点指向它的对应点的射线方向；2. 平移的距离：连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。

知识点3:平移的性质1. 性质（1）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小（2）平移后的图形与原图形上对应点连成的线段，①数量关系是相等.②位置关系是平行或在同一条直线上。

2. 判断一组图形能不能通过平移得到的方法（1）看对应点连线是否平行或在同一条直线上；（2）看它的形状、大小是否发生变化, 位置的变化是否由平移产生。

★★★特别注意：平移是由平移的方向和距离决定的，平移必须指明平移的方向和距离；平移是在平面内，整个图形沿着某一直线平行移动的过程，原图上的每个点都沿同一方向移动相同的距离;平移的距离不能为0；平移的方向是任意的，但就一次平移而言，只能有一个方向，一次平移完成后可以改变方向进行下一次平移。

二、典型例题题型1:生活中平移现象【例题1】（2017春?乌海期末）下列运动属于平移的是（ A.荡秋千 B .推开教室的门C .风筝在空中随风飘动【例题2】：（2016春?淮安期中）下列现象：①电梯的升降运动，②飞机在地面上沿直线滑行，③风车的 转动，④冷水加热过程中气泡的上升•其中属于平移的是（ A. ①② B .①③ C .②③ D .③④题型2:平移的性质【例题4】：（2016春?沧州期末）在下列说法中：①△ ABC 在平移过程中，对应线段一定相等：②厶 ABCABC 在平移过程中，周长保持不变；④厶 ABC 在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤厶 ABC 在平移过程中，面积不变，其中正确的有（题型3:与平移有关的计算将厶ABC 沿射线BC 方向移动，使点 B 移动到点C,得到△ DCE【例题6] : （ 2017秋?兴化市期末） 如图，将厶ABE 向右平移2cm 得到△ DCF AE 、DC 交于点G.如果△ ABE 的周长是16cm,那么△ ADG W^ CEG 的周长之和是cm例题6 例题7【例题7]（ 2017春?高密市期末）如图，大矩形长是 10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为 2厘米，则空 白部分面积是（ ）A. 36平方厘米B . 40平方厘米C . 32平方厘米D . 48平方厘米A.①②③④ B .①②③④⑤.①②③⑤ D .①③④⑤则厶ACE 的面积为（D . 16D .急刹车时，汽车在地面上的滑动在平移过程中，对应线段一定平行：③厶【例题5】：（2015春?石家庄期末） 如图,【例题8】(2017春?孝南区期末)如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样【例题9】如图所示,平移△ ABC可得到△ DEF,如果/ A=50° , / C=60°AB 2,那么/ E=? _________ 度, Z EDF= ____ 度,Z F=_ _____ 度,Z DOB= ______ 度,DE= .题型4:平移作图【例题10】按要求作图：将三角形ABC向右平移8格；C1V/X\/1__L Br题型5：综合题型【例题111:( 2016春?莱芜期末) 已知：BC// OA Z B=Z A=100°,试回答下列问题：(1 )如图①，OB与AC平行吗？为什么？(2)如图②，若点E、F在BC上，且满足Z FOC Z AOC并且OE平分Z BOF求Z EOC的度数;(3)在(2)的条件下，若平行移动AC如图③，那么Z OCB与Z OFB之间的关系并说明理由.宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为例题93.（ 2018春?天心区校级期末）平移后的图形与原来的图形的对应点连线（ ）A.相交B .平行 C.平行或在同一条直线上且相等D .相等4. 如图所示,△ DEF 经过平移可以得到△ ABC,那么/ C 的对应角和/ BOD, AC1）得到的是（三、课堂检测、选择题1. （ 2018春?潮州期中）如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（）nnsD回ED 的对应边分别是 A.风车的转动 B. 冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡。

七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：巧平移，妙解题我们知道图形平移的特征是：平移后的图形与原图形的形状、大小都不发生变化.利用平移变换这一特征，求解某些数学问题，可收到事半功倍的效果.现举几例巧用平移变换解决的问题，供同学们学习时参考.某医院用一个边长为1米的正方形材料制作一个红十字会的大型的“十字”标志.如图1，在正方形的四个角上挖去四个相同的小正方形即制作而成，则这个“十”字标志的周长为_________米.段向左能够移或向右平移，可以正好组成正方形的竖直两条.这样这个“十字”标志的周长正好等于大正方形的周长.而这个图1大正方形的周长为4米，所以应填4.如图2，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上，修筑同样宽的二条道路，余下的部分作为蔬菜地，根据图中数据，计算蔬菜地面积为_________.分析：把两条道路平移到边上去，如图3所示，则四块空白部分（即蔬菜地）可组成长（30－1）=29（m ），宽（20－1）=19（m ）的矩形，所以29×19=551（m2）.即蔬菜地的面积为551m2.1m30m 29m图2 图3要给如图4所示的楼梯铺上地毯，数据如图所示，问共需地毯多长？分析：由于台阶级数未知，每级台阶的宽和高也未知，故直接求解不易.图4需地毯的米数为8+4=12（米）有一种叫“俄罗斯方块”的电脑游戏，游戏规则是这样的：通过平移等变换，使所给的各种各样的方块排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分；同时排满2行，得300分；依此类推.假如现在在电脑屏幕上显示的图形如图5乙丙应如何平移甲、乙、丙三个方块，才能消去1100分？甲分析：甲方块左移2小格，下移1方块右移1小格，下移6小格；丙方块下移6小格至屏幕图5右下角.这样就排满1行，得到100分.。

(每日一练)人教版初中数学图形的变化平移解题技巧总结单选题1、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．2、在平面直角坐标系中，将点A（−1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（−4，−2）B．（2，2）C．（−2，2）D．（2，−2）解析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为D3、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4)B．(4,3)C．(－1，－2)D．(－2，－1)答案：A解析：各对应点之间的关系是横坐标加-6，纵坐标加3，那么让点B的横坐标加-6，纵坐标加3即为点B′的坐标．∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．小提示：此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．4、如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则至少需要购买地毯_______平方米，花费_______元.答案： 16.8 504解析：根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，可求得地毯的长度，进而再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．如图，利用平移线段，把楼梯的横竖分别向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，∴地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，∴买地毯至少需要16.8×30=504元．故答案为16.8，504.小提示：解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．5、如图①，边长为4的等边△ABC和等边△DEF互相重合，现将△ABC沿直线l向左平移m个单位，将△DEF沿直线l向右平移m个单位如图②所示，当E､C是线段BF的三等分点时，平移距离m的值为___________．答案：1或4解析：分点E、C的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合BC=4即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．E、C是线段BF的三等分点分两种情况：①点E在点C的左边时，如图1所示．∵E、C是线段BF的三等分点，∴BE=EC=CF，∵BC=4，BE=2m，∴2m=4÷2，解得：m=1；②点E在点C的右边时，如图2所示．∵E、C是线段BF的三等分点，∴BC=CE=EF，∵BC=4，BE=2m，∴2m=4×2，解得：m=4．综上可知：当E、C是线段BF的三等分点时，m的值为1或4．所以答案是：1或4．小提示：本题考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

(每日一练)通用版初中数学图形的变化平移解题方法技巧单选题1、如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC、△PB′C′的面积分别为S1、S2，则下列关系正确的是（）A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1=2S2答案：C解析：根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选：C．小提示：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2、下列平移作图错误的是( )A．B．C．D．答案：C解析：根据平移变换的性质，“经过平移，对应线段平行且相等”即可解答此题.观察图形中的四个选项，由平移的基本概念即可判断A. B. D符合平移变换，C是轴对称变换.故选C.小提示：本题考查平移变换的性质，掌握平移后对应线段平行且相等是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了2个单位B．向左平移了2个单位C．向上平移了2个单位D．向下平移了2个单位答案：B解析：根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位．故选：B．小提示：此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．解答题4、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）画出BC边上的高线AE；（3）画出AB边上的中线CF；（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为______．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）16解析：（1）根据图中的B′的位置，是B点向左移动4个单位，再向下移动2个单位，所以，将点A,C分别向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到A′,C′，连接A′,B′,C′即可；（2）过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，AE即为所求；（3）找到AB的中点F，连接CF即可，CF即为所求；（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为平行四边形BCC′B′的面积，计算平行四边形BCC′B′的面积即可．（1）如图，根据图中的B′的位置，是B点向左移动4个单位，再向下移动2个单位，所以，将点A,C分别向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到A′,C′，连接A′,B′,C′（2）如图：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，AE即为所求（3）如图，找到AB的中点F，连接CF即可，CF即为所求（4）如图，在平移过程中，线段BC扫过的面积为平行四边形BCC′B′的面积S平行四边形BCC′B′=BC⋅AE=4×4=16所以答案是：16小提示：本题考查了平移的性质，平移的作图，三角形中线和高线的作图，平行四边形面积，理解以上知识点是解题的关键．5、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求ΔABB2的面积．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）S△ABB2=6.解析：（1）根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S△ABB2=4×4−12×2×2−12×2×4−12×2×4=6．小提示：本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．。