数列

数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。

数列知识点归纳数列是数学中重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将对数列的基本定义、性质和分类进行归纳总结。

一、数列的基本定义数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用数学表达式表示。

一般来说，数列可以用a₁, a₂, a₃, ……来表示，其中a₁, a₂, a₃, ……分别表示数列的第1个、第2个、第3个……。

二、数列的性质1. 公差：对于一个等差数列（arithmetic sequence），它的相邻两项的差值是恒定的，这个差值称为公差。

公差常用字母d表示。

2. 通项公式：数列中的每一项可以用一个公式表示，这个公式被称为通项公式。

通项公式可以描述数列中每一项与它的位置之间的关系。

3. 首项和末项：数列中的第一个数被称为首项，最后一个数被称为末项。

4. 等差数列求和公式：对于一个有限的等差数列，可以利用等差数列的首项、末项和项数来求和。

求和公式可以简化计算过程。

5. 比值和通比：对于一个等比数列（geometric sequence），它的相邻两项的比值是恒定的，这个比值称为公比。

三、数列的分类1. 等差数列：在等差数列中，相邻两项之间的差值恒定。

等差数列可以用通项公式an = a₁ + (n-1)d来表示，其中an是数列的第n项，a₁是首项，d是公差。

2. 等比数列：在等比数列中，相邻两项之间的比值恒定。

等比数列可以用通项公式an = a₁ * r^(n-1)来表示，其中an是数列的第n项，a₁是首项，r是公比。

3. 调和数列：在调和数列中，数列的每一项是调和数（harmonic number），调和数是指以自然数为分母的分数单位之和。

调和数列可以用通项公式an = 1/n来表示。

4. 斐波那契数列：在斐波那契数列中，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为an = fib(n-1) + fib(n-2)，其中fib(n)表示第n 个斐波那契数。

五、总结数列是数学中重要的概念，它能够描述一系列按照一定规律排列的数。

数列公式总结一、 数列的概念与简单的表示法数列前n 项和: 对于任何一个数列，它的前n 项和Sn 与通项an 都有这样的关系：an=二、 等差数列1.等差数列的概念（1）等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=（2）通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-（3）.前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=2等差数列的.常用性质（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则qp n m a a a a +=+；（2）单调性：{}n a 的公差为d ，则：ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；（3）若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。

三 、 等比数列1.等比数列的概念（1）等比中项： 若三数a b 、G 、成等比数列2,G ab ⇒=（ab 同号）。

反之不一定成立。

（2）.通项公式：11n n mn m a a q a q --==（3）.前n 项和公式：()11111n n n a q a a qS qq --==--2.等比数列的常用性质（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p qa a a a ⋅=⋅；（2）单调性：110,10,01a q a q >><<<或{}n a ⇒为递增数列； {}110,010,1n a q a q a ><<<>⇒或为递减数列； {}1n q a =⇒为常数列；{}0n q a <⇒为摆动数列；（3）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等比数列.四、非等差、等比数列前n 项和公式的求法常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++；②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.一、 等差数列公式及其变形题型分析：1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )．A ．310B ．13C ．18D ．192．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0483．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15B ．30C ．31D ．644．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )．A ．26B ．13C ．52D ．1565．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．A ．160B ．180C ．200D ．220二、 等比数列公式及其变形题型分析：1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n ) 2．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .4．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1925．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．216．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．87．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________. 三、数列求和及正负项的解题思路 1．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________.2.求和：)0(),(...)2()1(2≠-++-+-a n a a a n3．求和：12...321-++++n nx x x4．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=， 求数列{}n b 的前n 项和。

数列所有公式大全1、等差数列：所有项的差值都相等的数列。

公式为：a_n=a_1+(n-1)d；其中，a_1表示数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示从第一项开始的项数。

特别地，当d=1时，称为等比数列。

2、等比数列：所有项的比值都相等的数列。

公式为：a_n=a_1*q^(n-1)；其中，a_1表示数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示从第一项开始的项数。

3、调和数列：调和数列又叫等级数列，它的前2项相加的结果作为第3项。

公式为：a_n=a_1+(a_1+a_2+…+a_(n-1))；其中，a_1表示数列的第一项，a_2表示第二项，a_(n-1)表示第n-1项，n表示从第一项开始的项数。

4、椭圆数列：椭圆数列又称斐波那契数列，是一种只由两个初始斐波那契数开始，其它任何项都只能由之前最少两个数构成的数列。

公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)；其中，a_(n-1)表示第n-1项，a_(n-2)表示第n-2项，n表示从第一项开始的项数。

5、斜坡数列：斜坡数列也叫等差等比数列，它的前2项相加的结果作为第3项。

公式为：a_n=a_1+((n-1)*q^(n-1))；其中，a_1表示数列的第一项，d表示等差数列的公差，q表示等比数列的公比，n表示从第一项开始的项数。

6、平方数列：平方数列的每一项都是以前面某一个数的平方来构成的数列。

公式为：a_n=c^2+(n-1)d；其中，c表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n表示从第一项开始的项数。

7、立方数列：立方数列的每一项都是以前面某一个数的立方来构成的数列。

公式为：a_n=c^3+(n-1)d；其中，c表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n表示从第一项开始的项数。

数列的概念1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。

如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。

第5章 数列知识点一、数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．二、数列的性质 数列的分类三、等差数列基本量的计算 1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋(1)2n n −d ＝1()2n n a a +．四、等差数列的基本性质及应用 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12．五、等比数列基本量的计算 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n -1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *．特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *．对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a k a n －k ＋1＝…．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ．(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k ． (6)若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ． 七、数列求和1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．第5章 数列（1）一、选择题1．在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( ) A ．6116 B ．259 C ．2516 D ．31153．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1304．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －15．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D ．377．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5．则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．218．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2，3) D ．(1，3)9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ＜45 B ．λ＜1 C ．λ＜32 D ．λ＜23二、填空题11．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．12．若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0．设M (x )表示整数x的个位数字，则M (a 2017)＝________．13．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．14．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．三、解答题15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．16．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．第5章 数列（2）一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．222．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．33．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．254．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．185．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A ．a 2a 3＝2B ．a 2a 3＝32C ．a 2a 3＝23D ．a 2a 3＝136．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－507．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．40338．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸9．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 二、填空题11．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 14．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________． 三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状． 16．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m的最大值．第5章 数列（3）一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．272．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．336．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．40327．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．256 D ．不存在二、填空题11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______． 13．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项． 三、解答题15．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1． (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．第5章 数列（4）一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．23 B ．278 C ．7 D ．2144．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．1025．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( ) A ．1512 B ．1513 C ．1513.5 D ．20186．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1) 7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．201720188．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>010．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A ．1 B ．22 C ．－22D ．－3 二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________． 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________． 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________．三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4．(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n ．16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n －1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 17．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ．已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。

《数列》知识点归纳一、数列：（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ (2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：12n n S a a a =++⋯及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：1121(1)(2)n n n n n Sn S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩ 二、等差数列： 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列3等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑦如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑧等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑨对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑩若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列如下图所示：kkk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6奇数项和与偶数项和的关系：⑾设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）7前n 项和与通项的关系：⑿若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n b a三、等比数列1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项 也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =23．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =当1q ≠时，前n 项和必须．．具备形式(1),(n n S A q A =-≠ 6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 四、等差数列与等比数列的性质及其应用 1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n--m )d (其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6等比数列的通项公式:a n = a 1 q n-1 a n = a m q n --m(其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项，a n ≠0)7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --118等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}na c(c>0)是等比数列20{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列五、数列的通项求法1、公式法：①d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=；②11-=n n q a a 或n mn m a a q-=2、观察法：1137153121,,,,...4816322n n n a ++-=3、裂项相消法：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4、利用n nS a 与的关系求（定义法）：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 5、逐差求和法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则 ， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯ 6、逐商求积法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n ag g n a ⇒=⋯7、构造等差、等比数列法：11();()1n n n n qp q x p x x pa a a a ++=+⇒-=-=- 11111111}1,1,{}21122,21221{}.211(),2()222n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a b b a a a +++--==+-==-==-=-∴∴=--==-+1n n 1n n n 例：在数列{中，求数列的通项.解：（-2） 令 则是以-1为首项，为公比的等比数列由知 b b b b b111{}1133)323233)()323nn n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -=∙+⇒=∙+⇒-=-∴--=-∙⇒=-n+1n+1n+1n+1n+1n n+1n+1n+1n n+1n 1n 1511例2.已知=,=+(),求数列的通项.63212解：22223322(232{2}是以公比为，首项为（2-3）的等比数列.32(2六、数列求和的方法高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳1等差数列的前n 项和公式法：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式法：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5裂项法求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα6倒序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3 ②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n 1562+n n8等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列 {}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q→∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S = ②当a=b 时，n n a n S )1(+=；③当a ≠b 时，ba ba S n n n --=++11例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n na a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n 的各项的和 解：其和为：(1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n )=3121321n n +--+-=12(3n ＋1-3-n)例4（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1 则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11nni i ===也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和 解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a 1n n 2+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S解：,lg n n n n a a b n a a ==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-[]nn a na n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C C a C n n C n n n )(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n CCC C C C C C12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!n n n n n n n nS +++++∴=-2(3)(2)(1)(2)(1)21(1)(2)2n n n nn n nn n n +++=-++=++ 点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 00111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ nn n n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()nn n n n n n nS a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+ 110()2n n n S a a -+∴=+⋅点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-11111112(1)221.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=- 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法。

知识点总结数列一、数列的概念1. 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数字。

数列可由以下形式表示：{a1, a2, a3, …, an}，其中ai表示数列中的第i个数字。

2. 数列的元素数列中的每个数字称为数列的元素。

第一个元素称为首项，最后一个元素称为末项，数列中相邻两个元素之间的差称为公差。

3. 数列的分类根据数列的元素之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列、等差-等比数列等不同类型。

二、等差数列1. 等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差等于同一个常数的数列。

常数d称为等差数列的公差。

等差数列通常用an=a1+(n-1)d表示。

2. 等差数列的性质（1）等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d。

（2）等差数列的前n项和Sn=(a1+an)n/2。

（3）等差数列的性质：如果数列是等差数列，则有an=a1+(n-1)d。

（4）等差数列的性质：如果数列是等差数列，则有Sn=(a1+an)n/2。

3. 等差数列的求和公式等差数列的前n项和可由以下公式表示：Sn=(a1+an)n/2。

4. 等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，例如在代数、微积分、概率统计等领域中都有着重要的作用。

同时，等差数列也广泛应用于生活中的各个方面，例如金融领域的利息计算、物理学中的加速度等。

三、等比数列1. 等比数列的概念等比数列是指数列中相邻两项之比等于同一个非零常数的数列。

常数q称为等比数列的公比。

等比数列通常用an=a1*q^(n-1)表示。

2. 等比数列的性质（1）等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)。

（2）等比数列的前n项和Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

（3）等比数列的性质：如果数列是等比数列，则有an=a1*q^(n-1)。

（4）等比数列的性质：如果数列是等比数列，则有Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

3. 等比数列的求和公式等比数列的前n项和可由以下公式表示：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

数列的知识点一、数列的概念1.数列的定义.2.数列的表示法：列表法、图象法、解析法（通项公式或递推公式）.3.数列的分类：①按数列中项的多少分为有穷数列和无穷数列；②按数列中项的变化情况分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列； ③按任一项的绝对值是否都大于某一正数分为有界数列和无界数列. 4.数列的递推公式. 5.数列的前n 项和.对于任一数列{}n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n二、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；3、等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （5）在等差数列{}n a 中，若m+n=2p,则p n m a a a 2=+； （6）连续n 项的和仍成等差数列.特殊说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S奇-S 偶nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S nS n =-奇偶 6、数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.三、等比数列1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠. 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）.4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）. 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅.③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列．k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++四、数列的通项与求和1．数列求通项①用数学归纳法求通项公式；②用累加法求通项公式：形如()n f a a n n =-+1形成的数列均可利用累加法求通项； ③用累乘法求通项公式：形如()n f a a nn =+1形成的数列可利用累乘法求通项； ④已知递推公式求通项：形如()为常数，q p q pa a n n +=+1的递推式求通项可构造等比数列求解； ⑤已知数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项：n a =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n ；2、数列前n 项和①重要公式：()21321+=++++n n n ；()()61213213222++=++++n n n n ；()2333321321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n ；()212531n n =-++++ ； ()12642+=++++n n n .②等差数列中： ； ③等比数列中： ；④倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端“等距”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法；⑤错位相减法求和：错位相减适用于{}n n b a ⋅型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列； ⑥裂项相消法求和； ⑦分组求和.。

数列的概念与常见类型数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。

数列的类型多种多样，常见的有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

本文将介绍数列的基本概念，并详细阐述常见的数列类型及其特点。

一、数列的概念与性质数列是指按照一定次序排列的一组数，其中每一个数被称为数列的项。

数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁、a₂、a₃等分别表示第1项、第2项、第3项，以此类推。

数列的每一项都有自己的位置，也即项的序号。

数列可以有有限项，也可以有无限项。

有限项的数列在一个特定的位置停止，而无限项的数列则继续向后延伸。

数列的常见性质有首项、公差（对于等差数列）、公比（对于等比数列）、通项公式等。

二、等差数列等差数列是指数列中的任意两项之间的差值始终相等的数列。

等差数列的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。

等差数列的公差决定了数列中每一项与前一项的差值。

等差数列常见的应用包括数学、物理、经济等领域。

例如，当我们计算等差数列中某一位置的值时，可以直接利用通项公式进行计算，而不需要一个个遍历数列的每一项。

此外，等差数列还可以用来表示一些增长或减少规律明显的现象。

三、等比数列等比数列是指数列中的任意两项之间的比值始终相等的数列。

等比数列的通项公式可表示为an = a₁ * r^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，r表示公比。

等比数列的公比决定了数列中每一项与前一项的比值。

等比数列在很多领域中都有重要的应用。

例如，当物体的速度以一定比例递减时，可以用等比数列来表示每个时间点上的速度。

此外，等比数列还可以用来表示一些指数增长或衰减的现象，如人口增长、细菌繁殖等。

四、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，后续每一项都等于前两项之和。

斐波那契数列可以表示为{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}。

数列知识点数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定顺序排列的数组成。

数列的知识点包括数列的定义、分类、性质以及数列的求和等。

以下是数列知识点的总结：1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用小写字母表示，如数列{a_n}。

2. 数列的分类：- 有穷数列：项数有限的数列。

- 无穷数列：项数无限的数列。

- 等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

- 等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。

3. 数列的性质：- 单调性：数列的项按照大小顺序单调递增或递减。

- 有界性：数列的项值在一定的范围内变动，即存在上下界。

- 收敛性：数列的项值随着项数的增加趋向于一个固定值。

4. 数列的通项公式：数列的通项公式是表示数列中第n项的公式，如等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。

5. 数列的求和：- 等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中S_n 是前n项和。

- 等比数列求和公式：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r 是公比，且|r| < 1。

6. 数列的极限：数列的极限是指数列的项值随着项数的增加趋向于某个值的性质，记作lim (n→∞) a_n = L。

7. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过数列中前一项或几项来确定下一项的公式，如斐波那契数列的递推关系为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。

8. 数列的应用：数列在数学分析、概率论、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

9. 数列的收敛判别法：- 比较判别法：通过比较数列与已知收敛性数列的项来确定数列的收敛性。

- 比值判别法：通过计算数列项的比值来判断数列的收敛性。

- 根值判别法：通过计算数列项的n次方根来判断数列的收敛性。

10. 数列的级数：数列的级数是指将数列的项相加形成的无穷和，如级数∑a_n。

数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。

2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。

3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。

4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。

5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。

6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。

(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。

(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。

4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。

(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。

(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。

(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。

数列的基本概念数列是数学中的一个重要概念，它在数学研究和实际应用中都具有广泛的应用价值。

本文将介绍数列的基本概念及其相关特性。

一、数列的定义数列是由一系列有序的数字所组成的集合，每个数字称为数列的项。

数列可以用一个通项公式来表示，并按照一定的规律排列，其中通项公式可以是一个递推公式或直接给出每一项的算式。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项之差都相等。

等差数列的通项公式通常表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

例如，1, 4, 7, 10, 13就是一个公差为3的等差数列，其中a1=1，d=3，可以通过通项公式an=1+(n-1)3计算出任意一项的值。

等差数列具有以下特性：1. 公差相等，每一项与前一项之差都为固定值。

2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。

3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]计算，其中Sn表示前n项的和。

三、等比数列等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项之比都相等。

等比数列的通项公式通常表示为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

例如，2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列，其中a1=2，r=2，可以通过通项公式an=2*2^(n-1)计算出任意一项的值。

等比数列具有以下特性：1. 公比相等，每一项与前一项之比都为固定值。

2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。

3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)计算，其中Sn表示前n项的和。

四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列形式，其特点是每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式通常表示为an=an-1+an-2，其中a1和a2为给定的首项。

例如，1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列，可以通过通项公式递推计算出后续的项。

数列知识点梳理一、数列的相关概念 (一)数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。

(三)数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商） (四)数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 二、等差数列的相关知识点1．定义：)2()()()(11≥∈=-∈=-•-•+n N n d a a N n d a a n n n n 且常数或常数。

当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。

2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。

4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 6．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则 2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分 别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________，=77b a __________ （6）n S 的最值：法1、可求二次函数2n S an bn =+的最值；法2、求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.例：若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和 0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇，项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇.例、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠+∈≠N n a n ,0,）或 时，常数数列当时，摆动数列当时，递减数列且；且当时，递增数列且；且当1q 0q 10100100101111=<><<<><<<>>q a q a q a q a2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=（q ≠1）4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++•=n n n a a a(3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -=6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··特别地，当2m n p +=时，则有2.pn m a a a =例：在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。

数列知识点归纳总结第一篇一、概念数列是数学中的一类有规律的数的集合，通常用数学符号表示。

数列可以根据其对应的公式或规律进行分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

二、常见数列类型1. 等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

公式：an=a1+(n-1)d特征：公差d不变，每一项与前一项的差值相等。

例子：{2，5，8，11...}2. 等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项都是它前一项的r倍（r≠0），则这个数列称为等比数列。

公式：an=a1×r^(n-1)特征：公比r不变，每一项与前一项的比值相等。

例子：{1，2，4，8...}3. 斐波那契数列定义：一个数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

即a(n) = a(n-1) + a(n-2)，其中n>2。

这个数列就是斐波那契数列。

斐波那契数列可以用于描述动植物种群的增长、黄金分割问题等。

例子：{1，1，2，3，5，8，13...}4. 等差-等比混合数列定义：有些数列既具有等差数列的特点，又具有等比数列的特点，那么这个数列就是等差-等比混合数列。

公式：an=a1+r^(n-1)m特征：首项a1+公差r乘上一个常数m后再乘上公比r的n-1次方。

例子：{1，3，9，27，81...}三、性质1. 推导通项公式：使用等差/等比公式或递推公式。

2. 求和公式：等差数列的和：S_n=(a1+an)n/2等比数列的和：S_n=(a1(1-r^n))/(1-r)四、求解题目步骤1. 确定数列类型（等差/等比/混合）2. 确定已知条件3. 构造数学模型4. 解方程组5. 检验答案五、应用举例1. 有一条长1000米的路需要铺设新的路面。

铺设工作将在第一天开展，每天的工作进度是前一天的50%。

问需要多少天才能完成铺设工作？解题：这是一个等比数列，首项为1000，公比为0.5。

数列知识点、公式讲解一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++，由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a ∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++=)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值。