2018年浙教版八年级下册数学《第五章特殊平行四边形》单元测试题及答案

浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》[考查范围：第5章 5.1～5.3总分：100分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图所示，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是()A．1B．0.5C．0.25D．无法确定2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为()A．32B．12C．18D．36第2题图第3题图3．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是()A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于()A．BE B．AO C．AD D．OB第4题图第5题图5．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5dm，DF＝4dm，那么EF的长为()A．6.5dmB．6dmC．5.5dmD．4dm6．如图所示ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是()A．65°B．55°C．70°D．75°二、填空题(每小题5分，共20分)7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__ __．(写出一个即可)第7题图第8题图8．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是( )．9．如图所示，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG的面积为4，那么△GCE 的面积是___．第9题图第10题图10．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形．②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中正确的有__ ．三、解答题(共50分)11．(10分)已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.(1)求证：CE＝CF；(2)求∠CEF的度数．12．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．13．(10分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)填空：当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．14．(10分)折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图1中①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形——叠加矩形．请按照上述操作过程完成下面的问题：(1)若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为________；(2)已知△ABC在正方形网格的格点上，在图2中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH(用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹)；(3)如图3所示的坐标系，OA＝3，点P为第一象限内的整数点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标．15．(10分)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF.(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；(2)当△FCG的面积为2时，求CG的值．浙教版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》[考查范围：第5章 5.1～5.3总分：100分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图所示，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是(C)A．1B．0.5C．0.25D．无法确定2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为(C)A．32B．12C．18D．36第2题图第3题图3．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是(D)A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于(A)A．BE B．AO C．AD D．OB第4题图第5题图5．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5dm，DF＝4dm，那么EF的长为(A)A．6.5dmB．6dmC．5.5dmD．4dm6．如图所示，在ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是(A)A．65°B．55°C．70°D．75°二、填空题(每小题5分，共20分)7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__如AC⊥BD__．(写出一个即可)第7题图第8题图8．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是(2＋3，1)．9．如图所示，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG的面积为4，那么△GCE的面积是．第9题图第10题图10．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形．②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中正确的有__①②③__．三、解答题(共50分)11．(10分)已知，如图，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是AB 和AD 延长线上的点，且BE ＝DF . (1)求证：CE ＝CF ； (2)求∠CEF 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴DC ＝BC ，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠CDF ＝90°＝∠B . 在△CDF 和△CBE 中，∵⎩⎨⎧DC ＝BC ，∠CDF ＝∠B ＝90°，DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (ASA )． ∴CE ＝CF .(2)∵△CDF ≌△CBE ， ∴∠DCF ＝∠BCE . ∴∠ECF ＝∠DCB ＝90°. ∵CF ＝CE ，∴∠CEF ＝∠CFE ＝45°.12．(10分)如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE ＝AC ，EF ∥BC 交AD 于点F . 求证：四边形CDEF 是菱形．证明：连结CE ，交AD 于点O . ∵AC ＝AE ，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分．∴四边形CDEF是菱形．13．(10分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)填空：当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．解：(1)由SAS可证．(2)1∶2.理由：∵AB∶AD＝1∶2，∴AB＝12AD.∵AM＝12AD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB.∵∠A＝90°，∴∠AMB＝45°.∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∠DMC＝∠AMB＝45°，∴∠BMC＝90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM＝MF，∴四边形MENF是菱形，∵∠BMC＝90°，∴菱形MENF是正方形．14．(10分)折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图1中①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形——叠加矩形．请按照上述操作过程完成下面的问题：(1)若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为________；(2)已知△ABC在正方形网格的格点上，在图2中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH(用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹)；(3)如图3所示的坐标系，OA＝3，点P为第一象限内的整数点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标．解：(1)叠加矩形的面积为6÷2＝3.答案：3；(2)如图所示：(3)满足条件的P点的横坐标不大于3，纵坐标等于3，有P1(1，3)；P2(2，3)；P3(3，3)．15．(10分)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF.(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；(2)当△FCG的面积为2时，求CG的值．解：(1)证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，∴∠DGH＋∠DHG＝90°.在菱形EFGH中，EH＝GH，∵AH ＝2，DG ＝2，∴AH ＝DG ， ∴△AEH ≌△DHG . ∴∠AHE ＝∠DGH . ∴∠AHE ＋∠DHG ＝90°. ∴∠EHG ＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．(2)过点F 作FM ⊥DC 于点M ，则∠FMG ＝90°. ∴∠A ＝∠FMG ＝90°.连结EG .由矩形和菱形性质，知AB ∥DC ，HE ∥GF ， ∴∠AEG ＝∠MGE ， ∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠MGF . ∵EH ＝GF ，∴△AEH ≌△MGF .∴FM ＝AH ＝2. ∵S △FCG ＝12CG ·FM ＝12×CG ×2＝2， ∴CG ＝2.。

第5章特殊平行四边形单元检测试题（满分100分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A.对角线相等的四边形B.对角线垂直的四边形C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是（）A.甲量得窗框两组对边分别相等B.乙量得窗框对角线相等C.丙量得窗框的一组邻边相等D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等3. 四边形ABCD是平行四边形，还需要补充一个条件使它为矩形，下列条件正确的是（）A. AO=BOB. AB=ADC. ∠BOA=90∘D. ∠BAC=90∘4. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分5. 在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE // CA，DF // BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90∘，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个6. 如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A.△ABD与△ABC的周长相等B.△ABD与△ABC的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍7. 如图，▱ABCD，从下列四个条件：从①AB=BC，②∠ABC=90∘，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，不能使▱ABCD为正方形的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④8. 已知正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，“爱琢磨”学习小组的小明说“若EG⊥FH，则EG=FH”，小红说“若EG=FH，则EG⊥FH”．则他们的说法（）A.小明正确B.小红正确C.都正确D.都不正确9. 在四边形ABCD中，如果AB // CD，AB=BC，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件不可以是（）A.AB=DCB.AD // BCC.AC⊥BDD.AB=AD10. 如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的（）A.1 8B.14C.17D.2√2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=7，则▱ABCD的周长为________．12. 木工师傅做一个宽60cm，高80cm的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为________cm．13. 正方形ABCD的对角线AC=8，则它的边AB=________．14. 如图，在四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．16. 点P是四边形ABCD内一点，若PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则给△APB添加一个条件________使四边形EFGH为正方形.17. 如图，菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，则AC的长为________cm．18. 若矩形的一条对角线长为2，两条对角线的一个交角为60∘，则矩形两邻边中较长的一边长为________．19. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE // AC，CE // BD，则OE的长为________．20. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，若添加条件________，则四边形AEDF是矩形；若添加条件________，则四边形AEDF是菱形；若添加条件________，则四边形AEDF是正方形．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC于点E，BE:ED=1:3，AD=6cm，求AE的长．22. M为平行四边形ABCD的边AB的中点，且MD=MC，你能说明平行四边形ABCD一定为矩形吗？说明你的理由．23. 如图，已知E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE=AC．（1）求∠E的度数；（2）若AB=√2cm，求S△ACE．24. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积．25. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）求∠ACB的度数．26. 如图，点F是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE，AG．（1）求证：△ADG≅△CDE．（2）当CE平分∠ACD时，DG=2，求tan∠AGD的值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：如图所示：∵ 四边形EFGH是矩形，∵ ∠E=90∘，∵ EF // AC，EH // BD，∵ ∠E+∠EAG=180∘，∠E+∠EBO=180∘，∵ ∠EAO=∠EBO=90∘，∵ 四边形AEBO是矩形，∵ ∠AOB=90∘，∵ AC⊥BD，故选：B．2.【答案】D【解答】解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．故选D．3.【答案】A【解答】解：当AO=BO时，可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定；当AB=AD时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BOA=90∘时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BAC=90∘时，不能判断平行四边形ABCD是矩形.故选A.4.【答案】B【解答】A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；5.【答案】A【解答】解：∵ DE // CA，DF // BA，∵ 四边形AEDF是平行四边形；∵ ∠BAC=90∘，∵ 四边形AEDF是矩形；∵ AD平分∠BAC，∵ ∠EAD=∠FAD，∵ ∠FAD=∠ADF，∵ AF=DF，∵ 四边形AEDF是菱形；∵ AD⊥BC且AB=AC，∵ AD平分∠BAC，∵ 四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选A．6.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AB=BC=AD，∵ AC<BD，∵ △ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵ S△ABD=12S平行四边形ABCD，S△ABC=12S平行四边形ABCD，∵ △ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的1，故此选项错误；2故选：B．7.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90∘时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．8.【答案】A【解答】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，∵ 四边形ABCD是正方形，∵ ∠B=∠C=90∘，BC=AB，∵ EM⊥CD∵ 四边形BCME是矩形，∵ EM=BC，同理HN=AB，∵ EM=HN，由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，∵ ∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90∘，∵ ∠EON=∠HOG，∵ ∠FHN=∠MEG，∵ △HFN≅△EGM，∵ EG=HF；小明的说法是正确的；如图，在BC上找两个点F和F′，使BF′=CF取AD的中点H，连接FH和F′H，易证HF=HF′，作EG⊥HF′，其中点E在AB上，点G在CD上，由上题可知EG=F′H=FH，但HF和EG不互相垂直，小红的说法是错误的．故选：A．9.【答案】D【解答】解：A、∵ AB // CD，AB=DC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵ AB // CD，AD // BC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵ AB=BC，AC⊥BD，∵ BD平分AC，且∠ABD=∠CBD，∵ AB // CD，∵ ∠ABD=∠CDB，∵ ∠CBD=∠CDB，∵ AC⊥BD，∵ AC平分BD，∵ 四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、AB // CD，AB=BC，AB=AD，四边形ABCD可以是以AB、CD为底边的等腰梯形，故本选项正确．故选D．10.【答案】A【解答】∵ 由图知：小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，∵ 计算得小正方形的面积=92，∵ 大正方形面积＝6×6＝36，∵ 小正方形的面积：大正方形面积的＝1:8．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】28【解答】解：∵ AC平分∠DAB，∵ ∠DAC=∠BAC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ ∠B=∠D，在△ADC和△ABC中，{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，∵ △ADC≅△ABC，∵ AD=AB，∵ 四边形ABCD为菱形，∵ AD=AB=BC=CD=7，▱ABCD的周长为：7×4=28，故答案为：28．12.【答案】100【解答】解：设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602，解得x=100cm．故答案为100．13.【答案】4√2【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，∵ AB=BC，∠ABC=90∘，故AC=√2AB，即AB=4√2．故答案为：4√2．14.【答案】90【解答】解：∵ 四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ 有一个角为90∘的平行四边形是矩形，∵ 添加∠A=90∘就能推出四边形ABCD是矩形，故答案为：90．15.【答案】∠BAD=90∘【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，∵ 当∠BAD=90∘时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90∘．16.【答案】△APB是等腰直角三角形【解答】解：如图：连接AC,BD，设AC,BD交点为O，AC与EH交于点N，AP与BD交于点M，∵ ∠APB=∠CPD，∴ ∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，{AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD∴ △APC≅△BPD(SAS)，∴ AC=BD，∵ 点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∵ EH//FG，EF//HG，EF=12AC,FG=12BD，∵ 四边形EFGH是菱形，∵ △APC≅△BPD，∴ ∠CAP=∠DBP，∵ ∠AMO=∠BMP，∴ ∠BOA=∠APB=90▱，∵ ∠EHG=∠ENO=∠AOB=∠NHG=90∘,∵ 四边形EFGH是正方形，故答案为：△APB是等腰直角三角形.17.【答案】8【解答】解：如图所示：∵ 菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，∵ BO=3cm，∠AOB=90∘，则AO=√AB2−BO2=4(cm)，故AC=2AO=8cm．故答案为：8．18.【答案】√3【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵ 四边形ABCD为矩形，且AC=BD=2，∵ AO=BO=1．∵ ∠AOB=60∘，∵ △AOB为等边三角形，∵ AB=AO=1．在Rt△ABC中，AB=1，AC=2，∵ BC=√AC2−AB2=√3．故答案为：√3．19.【答案】5【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，∵ BO=OD=4，AO=OC=3，AC⊥BD，∵ CD=5.∵ DE // AC，CE // BD，∵ 四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，∵ 四边形ODEC是矩形，∵ OE=CD=5.故答案为：5.20.【答案】∠BAC=90∘,AD平分∠BAC,∠BAC=90∘且AD平分∠BAC【解答】解：∵ DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，∵ 四边形AEDF为平行四边形，∵ 当∠BAC=90∘时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；当∠BAC=90∘且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．故答案为∠BAC=90∘，AD平分∠BAC，∠BAC=90∘且AD平分∠BAC．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=12【解答】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=1222.【答案】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．【解答】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．23.【答案】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．24.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．25.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．26.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．。

第五章特殊的平行四边形单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．下列命题中，不正确的是( )A．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形5．在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( )A．4 B．4 6 C．47 D．287．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )A ．4 3B ．3 3C ．2 3 D.38．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，则EF 的最小值为( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．210．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ODC 交OC 于点E ，若AB ＝2，则线段OE 的长为( )A ．2－ 2 B.2－1 C.22 D.223, ,二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__ __．(补充一个即可)12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是__ __，面积是__ __．13．如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于__ __cm.14．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为____．15．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝102，四边形BDEF是△ABC 的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)．则此正方形的面积是____．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是___．17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF＝___．18．在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为____．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：20.(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连结BE，AE.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．解：21．(8分)如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC为轴翻转，点E，F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC 在同一平面内)．延长EB，FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形．解：22．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．(1)求证：AC＝AD；(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．23．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：24.(10分)在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：25．(12分)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)试说明CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠1为多少度时，四边形ACDM是菱形，请说明理由：(3)当AC＝2时，在(2)的条件下，求四边形ACDM的面积．解：第五章特殊的平行四边形单元测试卷参考答案(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中真命题的个数是( C )A．1 B．2 C．3 D．42．矩形具有而菱形不具有的性质是( B )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．下列命题中，不正确的是( D )A．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( C ) A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形5．，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( C )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )A．4 B．4 6 C．47 D．287．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( B )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D.38．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，则EF 的最小值为( B )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．210．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ODC 交OC 于点E ，若AB ＝2，则线段OE 的长为( A )A ．2－ 2 B.2－1 C.22 D.223, ,二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__∠ABC ＝90°或AC ＝BD __．(补充一个即可)12．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__，面积是__24__．13．如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于__16__cm.14．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为__14__．15．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝102，四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D ，E ，F 在三角形的边上)．则此正方形的面积是__25__．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是．17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF＝．18．在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)略(2)AE＝2320.(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连结BE，AE.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．解：(1)证△AFC≌△DFE得CF＝EF，又AF＝DF，∴四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ADBE是矩形，由(1)知，四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥BC，AE＝CD＝BD，∴四边形ADBE是平行四边形，又AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴四边形ADBE是矩形21．(8分)如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC为轴翻转，点E，F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC 在同一平面内)．延长EB，FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形．解：由题意得AE＝AF＝AD，∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠EAF＝∠BAE＋∠BAD＋∠CAF＋∠CAD＝2∠BAC＝90°，∴四边形AEGF是矩形，又AE＝AF，∴四边形AEGF是正方形22．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．(1)求证：AC＝AD；(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD，CD分别平分∠CAF和∠ACE，∴∠DAF ＝∠DAC，∠DCA＝∠DCE，∵∠CAF＝∠B＋∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE＝∠DCA，∴AC＝AD(2)∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，由(1)知∠DAC ＝∠ACB＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形23．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：(1)∵OA ＝OB ，OE ＝OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，由等腰三角形三线合一，得AD ⊥BC ，∴四边形AEBD 是矩形 (2)当∠BAC ＝90°时，矩形AEBD 是正方形，理由：∵∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线(三线合一)，∴AD ＝BD ＝12BC ，∴矩形AEBD 是正方形24.(10分)在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：(1)AD＝CF，证△AOD≌△COF(SAS)(2)连结DF交OE于M，DF＝OD2＋OF2＝2，∴DM＝OM＝1，∴AD＝12＋（1＋3）2＝17，由(1)得CF＝AD＝1725．(12分)如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.(1)试说明CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠1为多少度时，四边形ACDM是菱形，请说明理由：(3)当AC＝2时，在(2)的条件下，求四边形ACDM的面积．解：(1)证△ACF≌△DCH(ASA)(2)当∠1＝45°时，四边形ACDM是菱形．理由∠1＝∠E＝45°，∴AC∥ED，∠2＝∠B＝45°，∴AB∥CD，∴四边形ACDM是平行四边形，又AC＝CD，∴四边形ACDM是菱形(3)∠1＝∠A＝45°，∴△ACF是等腰直角三＝AM·CF＝2角形，∴CF＝AF＝1，∴S四边形ACDM。

第五章 特殊的平行四边形姓名：---------- 成绩：------ --- 一．选择题 (每小题4分，共40分）1. 若菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC 于E,AE=1cm,则BC 的长是 A.1cm B.332cm C.3cm D.4cm 2. 如果a 表示一个菱形的对角线的平方和,b 表示这个菱形的一边的平方,那么 A.a =4b B.a =2b C .a =b D.b =4a3. .已知ABCD 是平行四边形,下列结论中,不一定正确的是 Ａ.AB=CD Ｂ.AC=BD C.当AC ⊥BD 时,它是菱形 Ｄ.当∠ABC=90º时,它是矩形4. 如图,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是 A.7.5 B.6 C.10 D.55. 如图所示,过四边形ABCD 的各顶点,作对角线BD 、AC 的平行线,围城四边形EFGH,若四边形EFGH 是菱形,则原四边形一定是A.菱形B.平行四边形 Ｃ.矩形 Ｄ.对角线相等的四边形6. 在5×5方格纸中将图（1）中的图形N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是. A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格7. 图1中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是A. 5B. 6C. 7D. 8A E DB FC 图(2)图(1)MNN M 图1 图2A C8. 如图,正方形ABCD 中,∠︒=25DAF ,AF 交对角线BD 于点E ,那么∠BEC 等于A.︒45B.︒60C.︒70D.︒759. Rt △ABC 的两边长分别是3和4,若一个正方形的边长是△ABC 的第三边,则这个正方形的面积是 A.25 B.7C.12D.25或7 10. 下列图形中，不能．．经过折叠围成正方形的是A. B C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共8道填空题8道解答题）请将你认为正确的答案代号填在下表中1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.简答题 （每小题3分，共24分)11. 如图矩形,ABCD 中,AC 、BD 相交于O,AE 平分∠BAD 交BC 于E,若∠CAE=15º,则∠BOE=_________ 12. M 为矩形ABCD 中AD 的中点,P 为BC 上一点,PE ⊥MC,PF ⊥MB,当AB 、BC 满足_________时,四边形PEMF 为矩形 13. 给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________14. 如图,矩形ABCD 中,E 、F 分别为AD 、AB 上一点,且EF=EC,EF ⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD 的面积为_________15. 现有一张长52cm,宽28cm 的矩形纸片,要从中剪出长15cm 宽、12cm 的矩形小纸片（不能粘贴）,则最多能剪出__________张16. 已知矩形的周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较长的边长为________17. 已知菱形ABCD 的边长为６,∠Ａ＝60º,如果点Ｐ是菱形内一点,切PB=PD=32,那么AP 的长为____________18. 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60º,则这个矩形的对角线的长是_________cmA DERBC D B E C三.解答题（共56分)19. 如图，菱形AB CD中，点M、N分别在B C、CD上，且CM=CN，求证：(1)△AB M≌△A DN(2)∠A MN＝∠A NM20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BAD，请你再添一个什么条件? 就能推出四边形ABCD是菱形，并给出证明.21. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。

浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A.4B.4.8C.5.2D.62、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB ＝6，BC＝9，则BF的长为（）A.4B.3C.4.5D.53、如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，，连接分别交，于，，下列结论：①；②；③图中有8个等腰三角形；④．其中正确的结论个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为36，则BE的长是（）A.4B.5C.6D.95、一个长方形在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别为(-1，-1)、(-1，2)、(3，-1)，则第四个顶点的坐标为( )A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)6、如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，= ，点D在OB上，点E在OB 的延长线上，当正方形CDEF的边长为2 时，则阴影部分的面积为（）A.2π﹣4B.4π﹣8C.2π﹣8D.4π﹣47、菱形具有而矩形不一定有的性质是( )A.对角线互相平分B.四条边都相等C.对角相等D.邻角互补8、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A.1B.C.D.9、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A.4B.2C.2D.210、如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A.2B.2C.2D.11、下列命题正确的是（）A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形B.有一个角是直角的平行四边形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相平分的矩形是正方形12、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点点在上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标不可能的是（）A. B. C. D.13、如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F，G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（）A. B. C.a D.2a14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A.（﹣）B.（﹣）C.（﹣）D.（﹣）15、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）</p>A.8B.20C.8或20D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为________．17、如图，在边长为8厘米的正方形中，动点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时动点在线段上以1厘米/秒的速度由点向点运动，当点到达点时整个运动过程立即停止.设运动时间为1秒，当时，的值为________.18、菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为________．19、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又不重叠的四边形EFGH，若EH＝4，EF＝5，那么线段AD与AB的比等于________.20、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再增加一个条件，就可得出ABCD是菱形，则你添加的条件是________．21、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF；EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为________．22、在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________.23、如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H 分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为________.24、如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝________．25、如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD 是菱形．三、解答题(共5题，共计25分)26、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．27、已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．28、已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN=45°，连接MN。

浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x 轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A.﹣12B.-27C.-32D.-362、在如图所示的网格中，已知线段AB，现要在该网格内再确定格点C和格点D，某数学探究小组在探究时发现以下结论：以下结论错误的是（）A.将线段平移得到线段，使四边形为正方形的有2种； B.将线段平移得到线段，使四边形为菱形的（正方形除外）有3种； C.将线段平移得到线段，使四边形为矩形的（正方形除外）有两种； D.不存在以为对角线的四边形是菱形．3、已知下列命题：①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；②若a＞0，则；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个4、如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（）A.5B.7.5C.10D.255、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A.17B.18C.19D.206、在▱ABCD中，AB=5，BC=7，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A.5B.4或5C.3或4D.5或77、下列命题中，正确的是（）A.菱形的对角线相等B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.正方形的对角线相等且互相垂直D.矩形的对角线不能相等8、下列命题中，正确的是（）A.对角线垂直的四边形是菱形B.矩形的对角线垂直且相等C.对角线相等的矩形是正方形D.位似图形一定是相似图形9、如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥B F；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中，错误的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10、如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2），设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：①x= 时，EF+AB＞AC；②六边形AEFCHG周长的值为定值；③六边形AEFCHG面积为定值，其中正确的是（）A.①②B.①③C.②D.②③11、如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点为的中点，则的最小值为（）A. B. C. D.12、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对边平行且相等D.对角线互相垂直平分13、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=a，点P在AD上，且AP=2，点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交BC于点F，连接EF，给出下列结论：①tan∠PFE= ；②a的最小值为10.则下列说法正确的是( )A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC、BC的平行线DE、DF，则下列结论不正确是（）A. B. C. D.四边形DECF是正方形15、如图，ABCD、AEFC都是矩形，而且点B在EF上，这两个矩形的面积分别是S1， S2，则S1， S2的关系是（）A.S1＞S2B.S1＜S2C.S1=S2D.3S1=2S2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB= ，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（且），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交于OM′与点D，连接AC，AD．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着的变化而变化；③当时，四边形OADC为正方形；④ 面积的最大值为．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）17、在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA= ，BE=2，则tan∠DBE的值是________．18、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．19、已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为________．20、在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象经过点C，若将菱形向下平移2个单位，点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为________．21、如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2．则AC长是________cm．22、已知正方形ABCD的对角线AC= ，则正方形ABCD的周长为________．23、如图，正方形ABCD的面积为3cm2， E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于________ cm．24、如图，两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．25、如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，则的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．27、如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，请计算耕地的面积．28、如图，四边形ABCD中，AB//CD，AC平分∠BAD，CE//AD交AB于E.求证：四边形AECD是菱形.29、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．30、如图，已知菱形ABCD，延长AD到点F，使，延长CD到点E，使DE=CD，顺次连接点A，C，F，E，A．求证：四边形ACFE是矩形.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、C3、D4、C5、B6、C7、C8、D9、A10、C11、D12、D13、C14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》测试卷考试时间：100分钟满分：120分班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．156．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为cm2．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B、D进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线垂直的矩形是正方形，所以C选项错误；D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．故选：D．2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由直角的性质可求AM的长，即可求菱形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝3，∵∠ABC＝60°，AM⊥BC∴BM＝，AM＝BM＝∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝故选：A．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．【解答】解：取AC的中O，过点O任意作直线交直线m、n于B、D，则四边形ABCD 为平行四边形，故A不符合题意；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则ABCD为矩形，故B 不符合题意；取AC的中点O，过点O作AC的垂线交直线m、n于点B，D，则ABCD为菱形，故C 不符合题意．AC为对角线作四边形ABCD，ABCD不一定为正方形，故D错误，符合题意．故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC ＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：C．11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD 面积的，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，∴阴影部分的面积＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为9cm2．【分析】根据菱形的判定定理，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，又菱形的面积为两条对角线乘积的一半，由此即可解得答案．【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH＝HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH∴EH＝HG＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．∴四边形的面积＝×3×6＝9．故答案为9．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．【分析】如图作EM⊥BC于M，连接EF．首先证明四边形ABME是矩形，在Rt△EFM 中，利用勾股定理求出EM即可解决问题；【解答】解：如图作EM⊥BC于M，连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABM＝∠EMB＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM＝1，AD＝BC＝3，∵GF垂直平分BE，∴BF＝EF＝2，MF＝BF﹣BM＝1，在Rt△EFM中，EM＝＝＝，∴AB＝EM＝，故答案为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．【解答】解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．∴DE＝AD＝AE＝，故答案为：．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为2．【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝4，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴OA＝AB＝4，∴OB＝＝4，∵点E、F分别为AO、AB的中点，∴EF为△AOB的中位线，∴EF＝OB＝2．故答案为2．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．【解答】解：连接PM、PN．∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN．∵AP2+3PB2＝1，∴（2PM）2+3（PN）2＝2，整理得PM2+PN2＝在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，所以MN＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）由平行线和角平分线定义得出∠DF A＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠DF A，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，由勾股定理得：DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？【分析】①根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出BE＝DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；②过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝AD，解直角三角形即可得到结论．【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝CF，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形；②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．理由是：过点D作DE⊥AB于点E，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，即平行四边形DEBF是矩形．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；（2）由勾股定理可求DC＝BC＝5，由勾股定理可求BD的长，由直角三角形的性质可求OE的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，且AB＝BC，∴AD＝BC，且AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，∴CD＝5，∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD＝5，BO＝DO∴BE＝BC+CE＝8，∴BD＝＝＝4，∵BO＝DO，DE⊥BC∴OE＝BD＝223．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠F AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠F AE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．【分析】（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，则MN∥BC，MN＝BC，BM ＝CN，∠N＝90°，证明△BEF≌△BEM（ASA），得出EF＝EM，BF＝BM，证明△MNG ≌△ABE（ASA），得出MG＝AE，即可得出结论；（2）由（1）得出BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，得出BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，由线段的和差即可得出结论．【解答】证明：（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，如图所示：则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠EBF＝90°，AB＝BC＝MN，∴∠EBM＝90°，∵∠2＝∠3，∠3＝∠BEM，∴∠2＝∠BEM，在△BEF和△BEM中，，∴△BEF≌△BEM（ASA），∴EF＝EM，BF＝BM，∵MN∥BC，∴∠NMG＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠NMG＝∠1，在△MNG和△ABE中，，∴△MNG≌△ABE（ASA），∴MG＝AE，∵MG＝EM+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝AE；（2）由（1）得：BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，∴BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，∴CE+CG＝BC﹣BE+GN﹣CN＝AB﹣BE+BE﹣BF＝AB﹣BF＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF ＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵CD＝AB，BE＝DF，∴CF＝AE，又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）①如图，连接AF，∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．。

八年级数学下册第五章特殊的平行四边形单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，丝带重叠的部分一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直3．矩形ABCD中，已知5AD=，则AC长为()AB=，12A．9B．13C．17D．204．如图，正方形ABCD中，1AB=，则AC的长是()A．1B．2C．3D．25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若2EF=，6AC=，则菱形ABCD的面积为()A．67B．12C．15D．1056．已知四边形ABCD中，AB BC CD DA===，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是()A．AC BD∠=︒D．ABC BAC∠=∠ABC=C．90⊥B．AC BD7．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是()A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中20AB cm =，当BAD ∠由60︒变为120︒时，衣架的总长度BE 拉长了( )A ．(20320)cm -B ．(40340)cm -C ．(60303)cm -D ．(60360)cm -9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ，连结EF ．若1AE =，则EF 的值为( )A ．3B ．10C ．23D ．410．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二．填空题（共10小题）11．在菱形ABCD 中，周长为16，30ABC ∠=︒，则其面积为 ．12．在矩形ABCD 中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形ABCD 成为正方形．13．长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是 2cm ．14．如图， 点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若2OM =，6BC=，则OB的长为．15．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，则BPD∠的度数为．16．如图，四边形ABCD是菱形，50⊥于H，连DAB∠=︒，对角线AC，BD相交于点O，DH AB 接OH，则DHO∠=度．17．如图，已知点O为ABCMN BC，分别交AB于AC点M、N，∆内角平分线的交点，过点O作//若12AB=，∆的周长是．AC=，则AMN1418．如图，菱形ABCD中，130⊥于E，对角线AC与BD相交于O，连接OE，∠=︒，BE CDADC则BEO∠=︒．19．如图，ABCDBC=，折叠ABCDY使C落在A处，折痕为EF，点AB=，4∠=︒，3BY中，60E、F分别在BC、AD上，则AF=．20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E，F分别是BC，CD的中点，连结BF，DE，则图中阴影部分的面积是2cm三．解答题（共8小题）21．如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE CF=，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：12OM AB=．22．如图，正方形ABCD中，AB AD=，G为BC边上一点，BE AG⊥，于E，DF AG⊥于F，连接DE．（1）求证：ABE DAF∆≅∆；（2）若1AF=，4EF=，求四边形ABED的面积．23．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF AF=，过点A作AE FC⊥于点E．（1）求证：AD AE=．（2）连结CA，若70DCA∠=︒，求CAE∠的度数．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作//DE AC 且DE OC =，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE CD =；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60ABC ∠=︒，求AE 的长．25．如图，在ABC ∆中，DE 分别是AB ，AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若6CE =，120BEF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若4AC =，3BD =，求ADE ∆的周长．27．如图，平行四边形ABCD 中，9AD cm =，32CD cm =，45B ∠=︒，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP BC⊥于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．⊥于P，NQ AD28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，60∠=︒，点A的COA坐标为(6,0)，点B的坐标为(10,43)．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒(0)t>．（1）当运动2秒时，求APQ∆的面积．（2）求点C的坐标和平行四边形OABC的周长；（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？参考答案一．选择题（共10小题）1．如图，丝带重叠的部分一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．都有可能【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，因为两条彩带宽度相同，所以//AB CD ，//AD BC ，AE AF =．∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形．故选：C ．2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C 、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D 、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C ．3．矩形ABCD 中，已知5AB =，12AD =，则AC 长为( )A ．9B ．13C ．17D ．20【分析】由勾股定理可求出BD 长，由矩形的性质可得13AC BD ==．【解答】解：如图，矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，5AB =，12AD =， ∴222251213BD AB AD =+=+=，13AC BD ∴==，故选：B ．4．如图，正方形ABCD 中，1AB =，则AC 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．2【分析】在直角三角形ABC 中，利用勾股定理可直接求出AC 的长；【解答】解：在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，2222112AC AB BC ∴=+=+=；故选：B ．5．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若2EF =，6AC =，则菱形ABCD 的面积为( )A ．67B ．12C ．15D ．105【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得3AF FC ==，BF AC ⊥，由三角形中位线定理可求4BC =，由勾股定理可求BF 的长，即可求解．【解答】解：如图，连接BFQ 四边形ABCD 是菱形AB BC ∴=，且点F 是AC 中点3AF FC ∴==，BF AC ⊥E Q ，F 分别是AB ，AC 的中点24BC EF ∴== 227BF BC CF ∴=-=1372ABC S AC BF ∆∴=⨯⨯= ∴菱形ABCD 的面积267ABC S ∆==故选：A ．6．已知四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，对角线AC ，BD 相交于点O ．下列结论一定成立的是( )A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒ D ．ABC BAC ∠=∠【分析】证出四边形ABCD 是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：Q 四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥；故选：A ．7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，//AB CD，180BAD ADC∴∠+∠=︒，又BAD ADC∠=∠Q，90BAD ADC∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中20AB cm=，当BAD∠由60︒变为120︒时，衣架的总长度BE拉长了()A．(20320)cm-B．(40340)cm-C．(60303)cm-D．(60360)cm【分析】根据菱形的性质分别得出BAD∠由60︒变为120︒前后BE的长，进而得出答案．【解答】解：当60BAD∠=︒时，连接BD，Q四边形ABCD是菱形，则AB AD=，ABD∴∆是等边三角形，20AB BD cm∴==，如图所示：过点A作AF BD⊥于点F，120BAD∠=︒Q，60BAF∴∠=︒，则30B∠=︒，故3cos3020103() BF AB cm =︒==，则203BD cm=，可得衣架的总长度BE拉长了：320332060360⨯⨯=-．故选：D．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ，连结EF ．若1AE =，则EF 的值为( )A ．3B ．10C ．23D ．4【分析】根据题意可得2AB =，ADE CDF ∠=∠，可证ADE DCF ∆≅∆，可得1CF =，根据勾股定理可得EF 的长．【解答】解：ABCD Q 是正方形AB BC CD ∴==，90A B DCB ADC ∠=∠=∠=∠=︒DF DE ⊥Q90EDC CDF ∴∠+∠=︒且90ADE EDC ∠+∠=︒ADE CDF ∴∠=∠且AD CD =，90A DCF ∠=∠=︒ADE CDF ∴∆≅∆1AE CF ∴==E Q 是AB 中点2AB BC ∴==3BF ∴=在Rt BEF ∆中，2210EF BE BF=+=故选：B ． 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定【分析】由矩形ABCD 可得：14AOD ABCD S S ∆=矩形，又由15AB =，20BC =，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由1122AOD APO DPO S S S OA PE OD PF ∆∆∆=+=+g g ，代入数值即可求得结果． 【解答】解：连接OP ，如图所示：Q 四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，90ABC ∠=︒， 14AOD ABCD S S ∆=矩形， 12OA OD AC ∴==， 15AB =Q ，20BC =，2222152025AC AB BC ∴=+=+=，1115207544AOD ABCD S S ∆==⨯⨯=矩形， 252OA OD ∴==， 111125()()7522222AOD APO DPO S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯+=g g g ， 12PE PF ∴+=．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．在菱形ABCD 中，周长为16，30ABC ∠=︒，则其面积为 8 ．【分析】如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，由菱形的性质可求4AB BC ==，由直角三角形的性质可求2AE =，即可求解．【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，Q 菱形ABCD 的周长为16，4AB BC ∴==，30ABC ∠=︒Q ，AE BC ⊥， 122AE AB ∴==， ∴菱形ABCD 的面积8BC AE =⨯=，故答案为：8．12．在矩形ABCD 中，再增加条件 AB BC = （只需填一个）可使矩形ABCD 成为正方形．【分析】由添加条件得出AB BC =，即可得出矩形ABCD 为正方形．【解答】解：AB BC =Q ，∴矩形ABCD 为正方形，故答案为：AB BC =．13．长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是 48 2cm ．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：Q 长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，∴另一边长为221068cm -=，∴它的面积为28648cm ⨯=．故答案为：48．14．如图， 点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若2OM =，6BC =，则OB 的长为 13 ．【分析】已知OM 是ADC ∆的中位线， 再结合已知条件则DC 的长可求出， 所以利用勾股定理可求出AC 的长， 由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出 ．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，90D ∴∠=︒，O Q 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB ，OM ∴是ADC ∆的中位线，2OM =Q ，4DC ∴=，6AD BC ==Q ，22213AC AD CD ∴=+=，1132BO AC ∴==， 故答案为：1315．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交于P ，则BPD ∠的度数为 112.5︒ ．【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出，22.5DBF FBE ∠=∠=︒，进而利用三角形外角性质求出即可．【解答】解：Q 正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交于P ， 45DBC BDC ∴∠=∠=︒，22.5DBF FBE ∠=∠=︒，BPD ∴∠的度数为：9022.5112.5PBC BCP ∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：112.5︒．16．如图，四边形ABCD 是菱形，50DAB ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠= 25 度．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD OB =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH OB =，然后根据等边对等角求出OHB OBH ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等求出OBH ODC ∠=∠，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，OD OB ∴=，90COD ∠=︒，DH AB ⊥Q ，12OH BD OB ∴==， OHB OBH ∴∠=∠，又//AB CD Q ，OBH ODC ∴∠=∠，在Rt COD ∆中，90ODC DCO ∠+∠=︒，在Rt DHB ∆中，90DHO OHB ∠+∠=︒， 1252DHO DCO DAB ∴∠=∠=∠=︒， 故答案为：25．17．如图，已知点O 为ABC ∆内角平分线的交点，过点O 作//MN BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若12AB =，14AC =，则AMN ∆的周长是 26 ．【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出MOB MBO ∠=∠，推出BM OM =，同理CN ON =，代入三角形周长公式求出即可．【解答】解：BO Q 平分ABC ∠，MBO CBO ∴∠=∠，//MN BC Q ，MOB CBO ∴∠=∠，MOB MBO ∴∠=∠，OM BM ∴=，同理CN NO =，BM CN MN ∴+=，AMN ∴∆的周长是121426AN MN AM AN CN OM ON AB AC ++=+++=+=+=． 故答案为：26．18．如图，菱形ABCD 中，130ADC ∠=︒，BE CD ⊥于E ，对角线AC 与BD 相交于O ，连接OE ，则BEO ∠= 25 ︒．【分析】由菱形的性质得出1652BDC ADC ∠=∠=︒，OB OD =，求出906525OBE ∠=︒-︒=︒，由直角三角形斜边上的中线性质得出12OE BD OB ==，即可得出答案． 【解答】解：在菱形ABCD 中，130ADC ∠=︒，1652BDC ADC ∴∠=∠=︒，OB OD =， BE CD ⊥Q ，90BED ∴∠=︒，906525OBE ∴∠=︒-︒=︒，12OE BD OB ==， 25BEO OBE ∴∠=∠=︒． 故答案为：25．19．如图，ABCD Y 中，60B ∠=︒，3AB =，4BC =，折叠ABCD Y 使C 落在A 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，则AF = 135．【分析】连接AC 、CF ．由题意四边形AECF 是菱形，设AF CF CE AE x ====，在Rt ABH ∆中，3AB =，60B ∠=︒，可得32BH =，332AH =，推出35422EH x x =+-=-，在Rt AEH ∆中，根据222AH EH AE +=，列出方程即可解决问题．【解答】解：连接AC 、CF ．由题意四边形AECF 是菱形，设AF CF CE AE x ====，在Rt ABH ∆中，3AB =，60B ∠=︒， 32BH ∴=，332AH =， 35422EH x x ∴=+-=-， 在Rt AEH ∆中，222AH EH AE +=Q ，222335()()22x x ∴+-=， 135x ∴=， 故答案为135． 20．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连结BF ，DE ，则图中阴影部分的面积是 3232cm【分析】连接BD ，可看出阴影部分的面积等于12正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．【解答】解：连接BD ，EF ．Q 阴影部分的面积ABD =∆的面积BDG +∆的面积(G 为BF 与DE 的交点）， BCD ∴∆的面积ABD =∆的面积12=正方形ABCD 的面积28cm =， Q 点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，//EF BD ∴，12EF BD =， GEF GBD ∴∆∆∽，2DG GE ∴=，BDE ∴∆的面积12BCD =∆的面积． BDG ∴∆的面积23BDE =∆的面积13BCD =∆的面积283cm =， ∴阴影部分的面积2832833cm =+=， 故答案为：323．三．解答题（共8小题）21．如图：正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE CF =，连接AE ，BF 交于点O ，点M 为AB 中点，连接OM ，求证：12OM AB =．【分析】证明ABE BCF ∆≅∆，再推导出90AOB ∠=︒，在Rt ABO ∆中，M 点是斜边AB 中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒，又BE CF =，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆．BAE CBF ∴∠=∠．90ABO CBF ∠+∠=︒Q ，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，即90AOB ∠=︒．在Rt ABO ∆中，M 点是斜边AB 中点，12OM AB ∴=． 22．如图，正方形ABCD 中，AB AD =，G 为BC 边上一点，BE AG ⊥，于E ，DF AG ⊥于F ，连接DE ．（1）求证：ABE DAF ∆≅∆；（2）若1AF =，4EF =，求四边形ABED 的面积．【分析】（1）易知90AFD BEA∠=∠=︒，再利用同角的余角相等证明BAE ADF∠=∠，由正方形的性质可知AD AB=，则用AAS可证ABE DAF∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】证明：（1）Q四边形ABCD是正方形，AB AD∴=，DF AG⊥Q，BE AG⊥，90AEB DFA∴∠=∠=︒．90BAE DAF∴∠+∠=︒，90DAF ADF∠+∠=︒，BAE ADF∴∠=∠，()ABE DAF AAS∴∆≅∆；（2）ABE DAF∆≅∆Q，145DF AE AF EF∴==+=+=，∴四边形ABED的面积11215541522ABE ADE DFES S S∆∆∆=++=⨯⨯⨯+⨯⨯=．23．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF AF=，过点A作AE FC⊥于点E．（1）求证：AD AE=．（2）连结CA，若70DCA∠=︒，求CAE∠的度数．【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出FCA DCA∠=∠，由AAS证明ADC CAE∆≅∆，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出CAE CAD∠=∠，求出9020CAD DCA∠=︒-∠=︒，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：CF AF=Q，FCA CAF∴∠=∠，Q四边形ABCD是矩形，//DC AB∴∴，DCA CAF∠=∠，FCA DCA∴∠=∠，AE FC⊥Q，90CEA∴∠=︒，90CDA CEA∴∠=∠=︒，在ADC∆和CAE∆中，CDA CEADCA FCAAC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CAE∴∆≅∆()AAS，AD AE∴=；（2）解：ADC CAE∆≅∆Q，CAE CAD∴∠=∠，Q四边形ABCD是矩形，90D∴∠=︒，90907020CAD DCA∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAE∴∠=︒．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作//DE AC且DE OC=，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE CD=；（2）若菱形ABCD的边长为6，60ABC∠=︒，求AE的长．【分析】（1）只要证明四边形OCED是平行四边形，90COD∠=︒即可；（2）在Rt ACE∆中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是菱形，12DE AC=，AC BD ∴⊥，DE OC =．//DE AC Q ，∴四边形OCED 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，四边形OCED 是平行四边形，∴四边形OCED 是矩形，OE CD ∴=．（2）解：Q 菱形ABCD 的边长为6，6AB BC CD AD ∴====，BD AC ⊥，12AO CO AC ==． 60ABC ∠=︒Q ，AB BC =，ABC ∴∆是等边三角形，6AC AB ∴==，AOD ∆Q 中BD AC ⊥，6AD =，3AO =， 2233OD AD AO ∴=-=，Q 四边形OCED 是矩形，33CE OD ∴==，Q 在Rt ACE ∆中，6AC =，33CE =，22226(33)37AE AC CE ∴=+=+=．25．如图，在ABC ∆中，DE 分别是AB ，AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若6CE =，120BEF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．【分析】（1）从所给的条件可知，DE 是ABC ∆中位线，所以//DE BC 且2DE BC =，所以BC 和EF 平行且相等，所以四边形BCFE 是平行四边形，又因为BE FE =，所以是菱形；（2）由BEF ∠是120︒，可得EBC ∠为60︒，即可得BEC ∆是等边三角形，求得6BE BC CE ===，再过点E 作EG BC ⊥于点G ，求的高EG 的长，即可求得答案．【解答】（1）证明：D Q 、E 分别是AB 、AC 的中点，//DE BC ∴且2DE BC =，又2BE DE =Q ，EF BE =，EF BC ∴=，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又BE EF =Q ，∴四边形BCFE 是菱形；（2）解：120BEF ∠=︒Q ，60EBC ∴∠=︒，EBC ∴∆是等边三角形，6BE BC CE ∴===，过点E 作EG BC ⊥于点G ， 3sin 606332EG BE ∴=︒=⨯=g ， 633183BCFE S BC EG ∴=⋅=⨯=菱形．26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若4AC =，3BD =，求ADE ∆的周长．【分析】（1）先根据菱形的性质得出//AB CD ，AC BD ⊥，再证明//DE AC ，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出22 2.5AD CD AO DO ==+=，再由平行四边形的性质得出 2.5AE CD ==，4DE AC ==，进而求出ADE ∆的周长．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AC BD ⊥，//AE CD ∴，90AOB ∠=︒．DE BD ⊥Q ，即90EDB ∠=︒，AOB EDB ∴∠=∠，//DE AC ∴，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）解：Q 四边形ABCD 是菱形，4AC =，3BD =，2AO ∴=， 1.5DO =，22 2.5AD CD AO DO ==+=．Q 四边形ACDE 是平行四边形，2.5AE CD ∴==，4DE AC ==，ADE ∴∆的周长 2.5 2.549AD AE DE =++=++=．27．如图，平行四边形ABCD 中，9AD cm =，32CD cm =，45B ∠=︒，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟（1）求BC 边上高AE 的长度；（2）连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形；（3）作MP BC ⊥于P ，NQ AD ⊥于Q ，当t 为何值时，四边形MPNQ 为正方形．【分析】（1）先由平行四边形的性质得出32AB CD cm ==．再解直角ABE ∆，即可求出AE 的长度；（2）先证明四边形AMCN 为平行四边形，则当AN AM =时，四边形AMCN 为菱形．根据AN AM =列出方程2223(6)t t +-=，解方程即可；（3）先证明四边形MPNQ 为矩形，则当QM QN =时，四边形MPNQ 为正方形．根据QM QN =列出方程|26|3t -=，解方程即可．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，32AB CD cm ∴==．在直角ABE ∆中，90AEB ∠=︒Q ，45B ∠=︒，2sin 323()AE AB B cm ∴=∠==g ；（2）Q 点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟，AM CN t ∴==，//AM CN Q ，∴四边形AMCN 为平行四边形，∴当AN AM =时，四边形AMCN 为菱形．3BE AE ==Q ，6EN t =-，2223(6)AN t ∴=+-，2223(6)t t ∴+-=， 解得154t =． 故当t 为154时，四边形AMCN 为菱形；（3）MP BC ⊥Q 于P ，NQ AD ⊥于Q ，//QM NP ，∴四边形MPNQ为矩形，=时，四边形MPNQ为正方形．∴当QM QNBE=，Q，3==AM CN t∴==--=--=-，936AQ EN BC BE CN t t∴=-=--=-（注：分点Q在点M的左右两种情况），QM AM AQ t t t|(6)||26|Q，==QN AE3∴-=，|26|3t解得 4.5t=．t=或 1.5故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，60∠=︒，点A的COA坐标为(6,0)，点B的坐标为(10,43)．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒(0)t>．（1）当运动2秒时，求APQ∆的面积．（2）求点C的坐标和平行四边形OABC的周长；（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？【分析】（1）如图1中，作QE x⊥轴于E，BF x⊥轴于F．求出PA．QE即可解决问题．（2）利用平行四边形的性质解决问解即可．（3）如图2中，当点Q在射线BC上时，CQ PA=时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作QE x⊥轴于E，BF x⊥轴于F．(6,0)A Q ，(10B ，3)，6OA ∴=，10OF =，43BF =， 1064AF ∴=-=，228AB AF BF =+=， 当2t =时，2OP =，4PA =，4AQ =， Q 四边形OABC 是平行四边形， 60BAF COA ∴∠=∠=︒，QE AE ⊥Q ，90AEQ ∴∠=︒，sin 6023EQ AQ ∴=︒=g ，114234322PAQ S PA QE ∆∴==⨯⨯=g g（2）Q 四边形OABC 是平行四边形， 6OA BC ∴==，//BC OA ， (10B Q ，43)，(4C ∴，43)，6OA BC ==Q ，8OC AB ==， ∴四边形OABC 的周长2(68)28=⨯+=．（3）如图2中，当点Q 在射线BC 上时，CQ PA =时，A ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形．|142||6|t t∴-=-，解得203t=或8，t∴为203s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．。

浙教版数学八年级下册第五章特殊的平行四边形单元检测试卷班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________一、选择题（10小题，每题3分，共30分)1．如图是一个边长为15 cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度数为( )A．45°B．60°C．75°D．90°2．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．A．30cm B．30cm C．60cm D．603．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°4．如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14 B．16 C．17 D．185．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm2B．4 cm2C．12 cm2D．4 cm2或12 cm2 6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A．矩形B．菱形C．一般的四边形D．平行四边形7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．9D．68．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是( )A．一般四边形B．正方形C．菱形D．矩形9．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为( )A．5 B．6 C．9 D．1310．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )A．2 B．3 C．D．二、填空题（8小题，每题3分，共24分)11．如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件____________，可以判定四边形BEDF是菱形．12．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°.13．如图，△ABC中，∠C=，AC=BC，点G、F分别在AC、BC上，点D、E在AB上，四边形GDEF 是正方形，若GF=，则AB为______．14．在矩形ABCD中，AB＝1，BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC，交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG 为菱形，则AD的长为__________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积为______．16．如图,菱形ABCD对角线AC,BD交于点O,∠BAD=60°,点E是AD的中点,OE=4,则菱形ABCD的面积为___.17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．(填写一个你认为恰当的条件即可)18．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为____．三、解答题（8小题，共66分)19．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．结论：BF＝______．证明：20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．21．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，求PE和PA的长度之和最小值．22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，求AM的最小值．23．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF 的中点，连接CG.求证：(1)△ABM≌△CBM；(2)CG⊥CM.24．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．25．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．26．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．AE的中点是M．(1)如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；(3)将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)参考答案一、选择题1． B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C 二、填空题11．四边形BEDF是菱形． 12．60 13．3a 14．1＋ 15．8 16．17． AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD 18． 30或14．三、解答题19．解：猜想：BF=AE．证明：∵四边形ABCD是矩形．∴∠A=90°．∵CF⊥BE．∴∠A=∠BFC=90°，∠AEB=∠FBC．∵BC=BE（同一半径）．∴△BFC≌△EAB．∴BF=AE．20．证明：如图，连接CE，交AD于点O.∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分，∴四边形CDEF是菱形．21．解：连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的长度∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，∴BC=AB=3，∴CE= == ，故答案为：.22．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴，当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．23．证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM(SAS)，(2)∵△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，∴GC＝GF，∴∠GCF＝∠F，又∵AB∥DF，∴∠BAM＝∠F，∴∠BCM＝∠GCF，∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°，∴GC⊥CM.24．解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得：∠BAG∠BAD=30°．∵AB=6，∴BG AB=3，AG=3CE．∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BF BC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF．25．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE(ASA)，∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)连接BD交AC于G，如图所示：∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF＝6，EG＝FG，∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，∴AF＝＝10，∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF，∴BG＝＝，∴EG＝＝，∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.26． (1)证明：∵四边形BCGF为正方形，∴BF=BM=MN，∠FBM=90°，∵四边形CDHN为正方形，∴DM=DH=MN，∠HDM=90°，∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，∴BF=BM=DM=DH，∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH，∵∠FMB=∠DMH= 45°，∴∠FMH=90°，∴FM⊥HM．(2)证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=CE=CD=DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，∵MD =BF，∠FBM=∠MDH，MB=DH，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，∵BC∥MD，∴∠APM=∠FMD，∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，∴△FMH是等腰直角三角形；(3)△FMH还是等腰直角三角形．连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点P．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，在△FBM和△MDH中，，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，∵BC∥MD，∴∠APM=∠FMD，∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，∴△FMH是等腰直角三角形．。

八年级数学下册 第五章 特殊的平行四边形 单元测试卷一．选择题（共10小题）1．正方形具有而菱形不具有的性质是( )A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是( )A ．一组对边平行且相等，一个角是直角B ．对角线互相平分且相等C ．有三个角是直角D ．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等3．如图，添加下列条件仍然不能使ABCD Y 成为菱形的是( )A ．AB BC = B ．AC BD ⊥ C ．90ABC ∠=︒ D ．12∠=∠4．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．若55BAO ∠=︒，则AOD ∠等于( )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒5．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若50B ∠=︒，则AFE ∠的度数为( )A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，3AB =，5AC =，则AOD ∆的周长是( )A．7B．8C．9D．107．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE AD=连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB BE=B．90ADB∠=︒C．BE DC⊥D．CE DE⊥8．已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC MD AD==，则AMB∠的度数为()A．120︒B．135︒C．145︒D．150︒9．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列结论不一定成立的是()A．AB AD=B．AO BD⊥C．90BAD∠=︒D．CAB CAD∠=∠10．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE AC⊥于点E，DF平分ADC∠，交EB的延长线于点F，6BC=，3CD=，则BEBF为()A．23B．34C．25D．35二．填空题（共10小题）11．已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是2cm．12．已知，如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若5EF=，则AC=．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是．14．如图，菱形ABCD中，60B∠=︒，5AB=，则以AC为边长的正方形ACFE的周长是．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分BAD∠交BC于点E，若15CAE∠=︒，则BOE∠的度数等于．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF．若3EF=，4BD=，则菱形ABCD的周长为．17．如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边三角形AEF，交BC边于点E，交DC边于点F，若AEF∆的边长为2，则图中阴影部分的面积为．18．如图，菱形ABCD 中，30ABC ∠=︒，点E 是直线BC 上的一点．已知ADE ∆的面积为6，则线段AB 的长是 ．19．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE = ．20．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=︒+∠； ③点O 到ABC ∆各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是 ．（填序号）三．解答题（共7小题）21．如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过点A ，C 作l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若1AE =，3CF =，求AB 的长．22．如图，已知正方形ABCD中，4AB=，点E，F在对角线BD上，//AE CF．（1）求证：ABE CDF∆≅∆；（2）若2∠=∠，求DF的长．ABE BAE23．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE AC⊥，交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若50∠的度数．∠=︒，求DABE24．如图，已知在ABC∆中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．25．如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知//BE CF，=．A D∠=∠，AE DF（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．（2）若10∠=︒，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．EBDEC=，60AD=，326．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设正方形CEFG 的面积为1S ，以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且1243S S =． （1）求线段DE 的长．（2）若H 为BC 边上一点，5CH =，连接DH ，DG ，判断DHG ∆的形状．27．已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．（1）如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；（2）如图2，若4DG =，求FCG ∆的面积；（3）当DG 为何值时，FCG ∆的面积最小．参考答案一．选择题（共10小题）1．正方形具有而菱形不具有的性质是( )A ． 对角线互相平分B ． 对角线相等C ． 对角线平分一组对角D ． 对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断 ．【解答】解： 正方形和菱形都满足： 四条边都相等， 对角线平分一组对角， 对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等， 而正方形的对角线一定相等 ．故选：B ．2．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是( )A ．一组对边平行且相等，一个角是直角B ．对角线互相平分且相等C ．有三个角是直角D ．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【解答】解：A 、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形；B 、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；C 、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；D 、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形； 故选：D ．3．如图，添加下列条件仍然不能使ABCD Y 成为菱形的是( )A ．AB BC = B ．AC BD ⊥ C ．90ABC ∠=︒ D ．12∠=∠【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．【解答】解：A 、Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项错误；⊥，B、Q四边形ABCD是平行四边形，AC BD∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；ABC∠=︒不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选C、Q四边形ABCD是平行四边形和90项正确；D、Q四边形ABCD是平行四边形，∴，//AB CD∴∠=∠，2ADB12Q，∠=∠∴∠=∠，1ADB∴=，AB AD∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选：C．4．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若55∠等于()∠=︒，则AODBAOA．110︒B．115︒C．120︒D．125︒【分析】根据矩形的性质可得55BAO ABO∠=∠=︒，再依据三角形外角性质可知∠=∠+∠=︒+︒=︒．5555110AOD BAO ABO【解答】解：Q四边形ABCD是矩形，∴=．OA OB∴∠=∠=︒．55BAO ABO∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．AOD BAO ABO5555110故选：A．5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若50∠的度数为(∠=︒，则AFEB)A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得65BCA BAC ∠=∠=︒，由三角形中位线定理可得//EF BC ，即可求解．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形AB BC ∴=，且50B ∠=︒65BCA BAC ∴∠=∠=︒E Q ，F 分别是AB ，AC 的中点，//EF BC ∴65AFE BCA ∴∠=∠=︒故选：C ．6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，3AB =，5AC =，则AOD ∆的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】由矩形的性质得出OA OD =，由勾股定理求出BC ，即可求出AOD ∆的周长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，12OA AC ∴=，12OD BD =，AC BD =，90BAD ∠=︒，5AC =， 52OA OD ∴==， 在Rt BAC ∆中，2222534BC AC AB =-=-=，4AD BC ∴==，AOD ∴∆的周长554922OA OD AD =++=++=； 故选：C ．7．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =连接EB ，EC ，DB ．添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A．AB BE=B．90⊥⊥D．CE DEADB∠=︒C．BE DC【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【解答】解：Q四边形ABCD为平行四边形，//∴，AD BC=，AD BC又AD DEQ，==，∴，且DE BCDE BC//∴四边形BCED为平行四边形，=，BD AE∴⊥，DBCE=Q，DE ADA、AB BE∴Y为矩形，故本选项错误；B、Q对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；∴∠=︒，DBCE∴Y为矩形，故本选项错误；C、90EDBQ，90ADB∠=︒D、CE DE∴∠=︒，DBCE∴Y为矩形，故本选项错误．Q，90CED⊥故选：B．8．已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC MD AD∠的度数为()==，则AMBA．120︒B．135︒C．145︒D．150︒【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得30∠ADM∠=︒，然后利用等腰三角形的性质求得MAD 的度数，从而求得BAM ABM∠=∠的度数，利用三角形的内角和求得AMB∠的度数．【解答】解：MC MD AD CDQ，===∴∆是等边三角形，MDC∴∠=∠=∠=︒，60MDC DMC MCD∠=∠=︒Q，ADC BCD90∴∠=︒，30ADM∴∠=∠=︒，75MAD AMD∴∠=︒，15BAM同理可得15ABM∠=︒，1801515150AMB∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D．9．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列结论不一定成立的是()A．AB AD=B．AO BD⊥C．90BAD∠=︒D．CAB CAD∠=∠【分析】直接利用菱形的四条边相等、对角线平分对角、对角线互相垂直且平分进而分析即可．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，AB AD∴=，故选项A正确，不合题意；AO BD⊥，故选项B正确，不合题意；无法得到90BAD=︒，故选项C不正确，符合题意；CAB CAD∠=∠，故选项D正确，不合题意；故选：C．10．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE AC⊥于点E，DF平分ADC∠，交EB的延长线于点F，6BC=，3CD=，则BEBF为()A．23B．34C．25D．35【分析】由矩形的性质可得2COB CDO∠=∠，EBO BDF F∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF∠=∠，可证明BF BD=，结合矩形的性质可得AC BF=，根据三角形的面积公式得到BE，于是得到结论．【解答】证明：Q四边形ABCD为矩形，AC BD∴=，90ADC∠=︒，OA OD=，2COD ADO∴∠=∠，又BE AC⊥Q，90EOB EBO ∴∠+∠=︒，EBO BDF F ∠=∠+∠Q ，290ADO BDF F ∴∠+∠+∠=︒，又DF Q 平分ADC ∠， 1452ADO BDF ADC ∴∠+∠=∠=︒， 24590ADO BDF F ADO F ∴∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒，45ADO F ∴∠+∠=︒，又45BDF ADO ∠+∠=︒Q ，BDF F ∴∠=∠，BF BD ∴=，AC BF ∴=，6BC =Q ，3CD =，6AD ∴=，226335BF AC ∴==+=，1122ABC S AC BE AB BC ∆==Q g g ， 3635BE ⨯∴=， ∴625535BE BF ==， 故选：C ．二．填空题（共10小题）11．已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是 24 2cm ．【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【解答】解：如图，在菱形ABCD 中，6BD =．Q 菱形的周长为20，6BD =，5AB ∴=，3BO =，22534AO∴=-=，8AC=．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为24．12．已知，如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若5EF=，则AC=10．【分析】连接BD，由三角形中位线的性质可得到BD的长，然后依据矩形的性质可得到AC BD=．【解答】解：如图所示：连接BD．EQ，F分别是AB，AD的中点，5EF=，210BD EF∴==．ABCDQ为矩形，10AC BD∴==．故答案为：10．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是AB BC=（答案不唯一）．【分析】根据正方形的判定添加条件即可．【解答】解：添加的条件可以是AB BC=．理由如下：Q四边形ABCD是矩形，AB BC=，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB BC =（答案不唯一）．14．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，5AB =，则以AC 为边长的正方形ACFE 的周长是 20 ．【分析】根据菱形得出AB BC =，得出等边三角形ABC ，求出AC 的长度，根据正方形的性质得出5AF EF EC AC ====，求出即可．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=，60B ∠=︒Q ，ABC ∴∆是等边三角形，5AC AB ∴==，∴正方形ACEF 的周长是4520AC CE EF AF +++=⨯=，故答案是：20．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，若15CAE ∠=︒，则BOE ∠的度数等于 75︒ ．【分析】由矩形ABCD ，得到OA OB =，根据AE 平分BAD ∠，得到等边三角形OAB ，推出AB OB =，求出OAB ∠、OBC ∠的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB BE =，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，AC BD =，OA OC =，OB OD =，90BAD ∠=︒，OA OB ∴=，DAE AEB ∠=∠，AE Q 平分BAD ∠，45BAE DAE AEB ∴∠=∠=︒=∠，AB BE ∴=，15CAE ∠=︒Q ，451530DAC ∴∠=︒-︒=︒，60BAC ∠=︒，BAO ∴∆是等边三角形，AB OB ∴=，60ABO ∠=︒，906030OBC ∴∠=︒-︒=︒，AB OB BE ==Q ， 1(18030)752BOE BEO ∴∠=∠=︒-︒=︒． 故答案为75︒．16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BC 相交于点O ，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，连接EF ．若3EF =，4BD =，则菱形ABCD 的周长为 47 ．【分析】由菱形的性质得出AB BC CD AD ===，AC BD ⊥，12OA AC =，122OB BD ==，证出EF 是ABC ∆的中位线，由三角形中位线定理得出223AC EF ==3OA =，由勾股定理求出AB ，即可求出菱形的周长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===，AC BD ⊥，12OA AC =，122OB BD ==， 90AOB ∴∠=︒， E Q 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，EF ∴是ABC ∆的中位线，223AC EF ∴==，3OA ∴=，2222(3)27AB OA OB ∴=++=∴菱形ABCD 的周长447AB ==；故答案为：4717．如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边三角形AEF ，交BC 边于点E ，交DC 边于点F ，若AEF ∆的边长为2，则图中阴影部分的面积为 1 ．【分析】先根据直角边和斜边相等，证出ABE ADF ∆≅∆，得到ECF ∆为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可得到阴影部分面积．【解答】解：AEF ∆Q 是等边三角形，AE AF ∴=，Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，Rt ABE Rt ADF(Hl)∴∆≅∆，BE DF ∴=，EC CF ∴=，又90C ∠=︒Q ，ECF ∴∆是等腰直角三角形，2cos 45222EC EF ∴=︒=⨯=， 12212ECF S S ∆∴==⨯⨯=阴影， 故答案为：1．18．如图，菱形ABCD 中，30ABC ∠=︒，点E 是直线BC 上的一点．已知ADE ∆的面积为6，则线段AB 的长是 26 ．【分析】作AF BC ⊥于F ，由菱形的性质得出AB AD =，//AD BC ，由直角三角形的性质得出1122AF AB AD ==，由ADE ∆的面积162AD AF =⨯=，即2162AB =，解得：3AB =即可． 【解答】解：作AF BC ⊥于F ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，//AD BC ，30ABC ∠=︒Q ，1122AF AB AD ∴==， ADE ∆Q 的面积162AD AF =⨯=， 即2164AB =， 解得：26AB =；故答案为：26．19．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE = 1 ．【分析】根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知22BEC EDC EBC ∠=∠=∠，从而可求30EBC ∠=︒，在Rt BCE ∆中可求EC 值，由DE EC =可求DE 的长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，3CD BC AB ∴===EDC EBC ∴∠=∠．DE CE =Q ，EDC ECD ∴∠=∠．22BEC EDC EBC ∴∠=∠=∠，在Rt BCE ∆中，90EBC BEC ∠+∠=︒，30EBC ∴∠=︒．3BC EC ∴，313EC ∴==．1DE EC ∴==；故答案为：1．20．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+； ②1902BOC A ∠=︒+∠； ③点O 到ABC ∆各边的距离相等；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是 ①②③ ．（填序号）【分析】由在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②1902BOC A ∠=︒+∠正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出BEO ∆和CFO ∆是等腰三角形得出EF BE CF =+故①正确；由角平分线的性质得出点O 到ABC ∆各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn ∆=，故④错误． 【解答】解：Q 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 1902OBC OCB A ∴∠+∠=︒-∠， 1180()902BOC OBC OCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒+∠；故②正确； Q 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，//EF BC Q ，OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠，BE OE ∴=，CF OF =，EF OE OF BE CF ∴=+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，Q 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，ON OD OM m ∴===，11111()22222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ∆∆∆∴=+=+=+=g g g ；故④错误；Q 在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴点O 到ABC ∆各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共7小题）21．如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过点A ，C 作l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若1AE =，3CF =，求AB 的长．【分析】先利用AAS 判定ABE BCF ∆≅∆，从而得出AE BF =，BE CF =，最后得出AB 的长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，90CBF FBA ∴∠+∠=︒，AB BC =，CF BE ⊥Q ，90CBF BCF ∴∠+∠=︒，BCF ABE ∴∠=∠，90AEB BFC ∠=∠=︒Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS ∴∆≅∆1AE BF ∴==，3BE CF ==，221910AB AE BE ∴=+=+=．22．如图，已知正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 在对角线BD 上，//AE CF ．（1）求证：ABE CDF ∆≅∆；（2）若2ABE BAE ∠=∠，求DF 的长．【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得AEB CFD ∠=∠，ABE CDF ∠=∠，AB CD =，则借助AAS 可证明ABE CDF ∆≅∆；（2）过点E 作HE BE ⊥，交AB 于H 点，证明HAE HEA ∠=∠，得到AH HE =．设BE DF HE AH x ====，则2HB x =．根据4AB =，构造关于x 的方程，解方程即可．【解答】证明：（1）//AE CF Q ，AEF CFB ∴∠=∠．AEB CFD ∴∠=∠．Q 四边形ABCD 是正方形，ABE CDF ∴∠=∠，AB CD =，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆．（2）过点E 作HE BE ⊥，交AB 于H 点，45BHE HBE ∴∠=∠=︒．2ABE BAE ∠=∠Q ，2BHE BAE ∴∠=∠．又BHE HAE AEH ∠=∠+∠Q ，HAE HEA ∴∠=∠．AH HE ∴=．设BE DF HE AH x ====，则2HB =．∴24x x +=，解得24x =．所以424DF=-．23．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE AC⊥，交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若50∠的度数．∠=︒，求DABE【分析】（1）直接利用菱形的性质对角线互相垂直，得出//BD EC，进而得出答案；（2）利用菱形、平行四边形的性质得出50∠=∠=︒，进而利用三角形内角和定理得出答案．CEA DBA【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是菱形，DC BE，AC BD∴⊥，//又CE ACQ，⊥∴，BD EC//∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：Q四边形ABCD是菱形，AD AB∴=，∴∠=∠，ADB ABDQ四边形BECD是平行四边形，∴，DB CE//∴∠=∠=︒，CEA DBA50∴∠=︒，ADB50∴∠=︒-︒-︒=︒．DAB18050508024．如图，已知在ABC∆中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）利用AEF DEB=，所以AF DC∆≅∆得到AF DB=，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．【解答】（1）证明：//Q，AF BC∴∠=∠，AFE EBD∠=∠．FAE EDB∴∆≅∆，AEF DEB AAS()∴=，AF DB又BD DCQ，=∴=，AF DC∴四边形ADCF为平行四边形；（2）四边形ADCF为矩形时AB AC=；理由：Q四边形ADCF为矩形，AD BC∴⊥，∴∠=︒，90ADCQ为BC的中点，D∴=，AB AC=．∴四边形ADCF为矩形时AB AC25．如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知//BE CF，=．A D∠=∠，AE DF（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．（2）若10∠=︒，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．EBDEC=，60AD=，3【分析】（1）想办法证明BE CF=即可解决问题．（2）利用全等三角形的性质证明AB CD=即可解决问题．【解答】（1）证明：//BE CF Q ，EBC FCB ∴∠=∠，EBA FCD ∴∠=∠，A D ∠=∠Q ，AE DF =，()ABE DCF AAS ∴∆≅∆，BE CF ∴=，AB CD =，∴四边形BFCE 是平行四边形．（2）解：Q 四边形BFCE 是菱形，60EBD ∠=︒，CBE ∴∆是等边三角形，3BC EC ∴==，10AD =Q ，AB DC =， 17(103)22AB ∴=-=． 26．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设正方形CEFG 的面积为1S ，以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且1243S S =． （1）求线段DE 的长．（2）若H 为BC 边上一点，5CH =，连接DH ，DG ，判断DHG ∆的形状．【分析】（1）设正方形CEFG 的边长为a ，则12DE a =-，由1243S S =．得出方程2412(12)3a a =⨯⨯-，解得：8a =，得出4DE =； （2）由勾股定理得出2213DH CH CD =+=，2213DG CD CG =+=，求出13GH CG CH =+=，得出DH GH =即可．【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ，Q 正方形ABCD 的边长为12，12DE a ∴=-， 1243S S =Q ．2412(12)3a a ∴=⨯⨯-， 解得：8a =，或24a =-（舍去），1284DE ∴=-=；（2）DHG ∆是等腰三角形；理由如下：Q 四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，90DCH DCG ∴∠=∠=︒，12CD =，8CG =，222251213DH CH CD ∴=+=+=，2222128413DG CD CG =+=+=，5CH =Q ，13GH CG CH ∴=+=，DH GH ∴=，DHG ∴∆是等腰三角形．27．已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．（1）如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；（2）如图2，若4DG =，求FCG ∆的面积；（3）当DG 为何值时，FCG ∆的面积最小．【分析】（1）由于四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，那么90D A ∠=∠=︒，HG HE =，而2AH DG ==，易证AHE DGH ∆≅∆，从而有DHG HEA ∠=∠，等量代换可得90AHE DHG ∠+∠=︒，易证四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ，由于//AB CD ，可得AEG MGE ∠=∠，同理有HEG FGE ∠=∠，利用等式性质有AEH MGF ∠=∠，再结合90A M ∠=∠=︒，HE FG =，可证AHE MFG ∆≅∆，从而有2FM HA ==（即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；（3）先设DG x =，由第（2）小题得，7FCG S x ∆=-，在AHE ∆中，7AE AB =…，利用勾股定理可得253HE …，在Rt DHG ∆中，再利用勾股定理可得21653x +…，进而可求37x …，从而可得当37x =时，GCF ∆的面积最小．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形， 90D A ∴∠=∠=︒，HG HE =，又2AH DG ==， Rt AHE Rt DGH(HL)∴∆≅∆，DHG HEA ∴∠=∠，90AHE HEA ∠+∠=︒Q ，90AHE DHG ∴∠+∠=︒，90EHG ∴∠=︒，∴四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ， //AB CD Q ，AEG MGE ∴∠=∠，//HE GF Q ，HEG FGE ∴∠=∠，AEH MGF ∴∠=∠，在AHE ∆和MFG ∆中，90A M ∠=∠=︒，HE FG =， AHE MFG ∴∆≅∆，2FM HA ∴==，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此112(76)122S FCG FM GC ∆=⨯⨯=⨯⨯-=； （3）设DG x =，则由第（2）小题得，7FCG S x ∆=-，在AHE ∆中，7AE AB =…， 253HE ∴…，21653x ∴+…，x ∴…，FCG S ∆∴的最小值为7DG =，∴当DG 时，FCG ∆的面积最小为(7-．。