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2.5 等腰三角形的轴对称性学习目标1.知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；3．会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力。
知识详解1. 等腰三角形的定理等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴，等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）2.三边相等的三角形叫等边三角形或正三角形。
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4. 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
5. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
6. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
复习范围：等腰三角形的轴对称性 知识点回顾：知识点一：等腰三角形的轴对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(简称“三线合一”) 同步测试：1、等腰三角形的周长为cm 13,其中一边长为cm 3,则该等腰三角形的底边为( )A. cm 7B. cm 3C. cm 7或cm 3D. cm 82、如图,△ABC 是等腰三角形,∠A=90°,AD 是BC 上的高,DE 、DF 分别是AB 、AC 上的高,图中等腰三角形有 ( ) A.7个 B.6个 C.3个 D.5个 知识点二：等边三角形的轴对称性等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600。
同步测试：1、在等边三角形ABC 中,AD 是高,∠B 的平分线交AD 于E,下面判断中错误的是( )A.点E 在AB 的垂直平分线上B.点E 到AB 、BC 、AC 的距离相等C.点E 是AD 的中点D.过点E 且垂直于AB 的直线必经过点C 知识点三：等腰（边）三角形的判定如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等。
（简称“等角对等边”）3个角相等的三角形是等边三角形； 有两个角等于600的三角形是等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
同步测试：1、有一个外角是120°,两个外角相等的三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定2、如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 分别是∠ABC和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。
①试说明△OBC 是等腰三角形，并说明理由。
知识点四：直角三角形斜边中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
同步测试：1、某直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则它的斜边中线为 。
轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。
分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N，求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题：在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限，且a为整数.根据要求完成下列各题：(1)a= ；A点坐标为；(2)A点关于x轴对称的点坐标为；A点关于y轴对称的点坐标为； A点关于原点对称的点坐标为；(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为；A点关于直线x=-2对称的点坐标为；A点关于直线y=-3对称的点坐标为；(4)连接OA,将OA绕点O旋转900，则旋转后A点对应坐标为；2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2，使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300，连接BP1，BP2，P1P2，判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250，求∠BAC的度数。
4.如图，已知Rt △ABC,∠ACB=900，AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点，M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点，连接MN 、MC,当MN+MC 最小时，画出M 、N 的位置.5.如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是________；若∠AOB=320，则∠EPF=6.如图,在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =48cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长。
【关键字】精品双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠ED C。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠BAC=2∠BDC。
模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。
②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
轴对称与等腰三角形知识点1、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
注意：①等腰三角形的顶角不一定是锐角，但是底角一定是锐角；②钝角三角形也可以是等腰三角形2、等腰三角形的性质①等边对等角：等腰三角形的两底角相等；②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；③等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角角平分线（三线合一）所在直线。
注意：①等腰三角形的性质是指在同一个等腰三角形而言的；②三线合一要注意位置，在等腰三角形中所有的中线、角平分线等并不是合一的。
3、等腰三角形的判定①有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）②三线合一也能作为判定等腰三角形的依据③推论在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半1-9、如图，已知在等腰三角形ABC 中，AC AB =，BC AE //．求证：AE 平分∠DAC ．例2、等腰三角形的判定2-1、如图，OC 平分∠AOB ，OB CD //，若cm OD 3=，则CD 等于.2-2、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 上的高，AE 分别交CB 、CD 于E 、F ，且CF CE =，求证：AE 平分∠BAC .2-3、如图，△ABC 中，∠ACB =90º,CD ⊥BA 于D ，AE 平分∠BAC 交CD 于F ，交BC 于E ，求证△CEF 是等腰三角形。
DC AB 02-5、如图，在△ABC中，AB知识点2、等边三角形1、等边三角形的定义三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形2、等边三角形性质：①每个角都是60°；②轴对称图形；③有3条对称轴。
3、等边三角形的判定定理①三边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
