向量的数量积习题课

3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题1．若A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ①22AB BC CD DC +++ ②2233AB BC CD DA AC ++++ ③AB CA BD ++④AB CB CD AD -+-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④2、在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ） A ．()a b c -- B ．()c b a -- C ．a b c -- D ．()b c a --3、已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2，则向量 a 和向量 b 的夹角（ ） A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150°4、已知空间向量 a ， b 满足条件：（ a +3 b ）⊥（7 a -5 b ），且（a -4 b ）⊥（7 a -2 b ），则空间向量 a ， b 的夹角＜a ， b ＞（ ）A ．等于30°B ．等于45°C ．等于60°D ．不确定5、若a ，b 为非零向量，则a·b =|a |·|b |是a 与b 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5、解析:因为a ,b 为非零向量，又a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=|a ||b |, 所以cos 〈a ,b 〉=1.所以〈a ,b 〉=0,即a 与b 平行； 反之，若a 与b 平行，当〈a,b 〉=π时， a ·b =-|a |·|b |≠|a |·|b |,由此知应选A. 6、若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值一定是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定 7、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD. 0=+++OC OB OA OM 8、 a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］C.(0，π)D.［0，π］9、已知|a |＝22，|b|＝22，a . b ＝-2，则a 、b 所夹的角为（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. 34π10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________． 2．已知平行六面体ABCD －A ′B ′CD ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→； ④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是________．3．已知空间向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．4．若AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →与CE →的位置关系为5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________.6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.小组： 组号： 姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）请把正确答案填写在相应的位置上.1、__________2、___________3、_____________4、_____________5、_____________6、_____________ 三、解答题1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥平面ACB 1.2、如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．答案：一、选择：1---5 CDDCA 6-----10 BCBDB10．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形二、填空：1、解析：①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确．答案：①②2、解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．答案：①②③ 3、解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.答案：－134、解析：AB →·BE →＝AB →·BC →，则AB →·(BE →－BC →)＝AB →·CE →＝0.∴AB →⊥CE →.5、解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ，则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0. 6、解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32三、解答题：1、.证明：先证明BD 1⊥AC∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ∴1BD ·AC =（BC + CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1 2、解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=-∴24162322cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3225-． 附加解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)．DCBA备选：2、棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC •+AC BD •的值等于（ B ） A ．0B.232aC. 22aD.23a7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( C )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ， 则AC DC AB ⋅+)(的值为（ C ） A 、2 B 、22 C 、4D 、241．如图1，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．1、答案：相等 相反1、A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD =4，试求MN 的长.解析：1、连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3232-=- =EF AE AF 32)(32=- =)(32CE CF - =CB CD CB CD -=-(31)2121(32) =BD 31∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34。

习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对 由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。

1.1.2 空间向量的数量积运算基础练习一、单选题1．四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，SB ，SC ，SD ，下列各组运算中，不一定为零的是（ ）A ．SC BD ⋅B ．DA SB ⋅C ．SD AB ⋅ D ．SA CD ⋅【答案】A【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：若SC 与BD 垂直，又SA 与BD 垂直，则平面SAC 与BD 垂直，则AC 与BD 垂直，与AC 与BD 不一定垂直矛盾，所以SC 与BD 不一定垂直，即向量SC 、BD 不一定垂直，则向量SC 、BD 的数量积不一定为0； 对于B ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则SA AD ⊥，又由AD AB ⊥，则有AD ⊥平面SAB ，进而有AD SB ⊥，即向量DA 、SB uu r 一定垂直，则向量DA 、SB uu r 的数量积一定为0；对于C ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则SA AB ⊥，又由AD AB ⊥，则有AB ⊥平面SAD ，进而有AB SD ⊥，即向量SD 、AB 一定垂直，则向量SD 、AB 的数量积一定为0； 对于D ：根据题意，有SA ⊥平面ABCD ，则S A C D ⊥，即向量SA 、CD 一定垂直，则向量SA 、CD 的数量积一定为0.2．已知,a b 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +r r 等于（ ）A B C D ．4【答案】C 【分析】结合向量夹角，先求解23a b +， 再求解3a b +r r . 【详解】222(3)93613a b a a b b a b =+=++⋅=+．3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱长为2，点M 为棱DD '上一点，则AM BM ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得,AM BM ，结合向量的数量积的运算，即可求解.【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--，则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，,AM BM 的最小值为4.4．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体ABCD 中，2,90,2===∠=︒⋅=-AB AC AD BAD AB CD ，则BAC ∠=（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】C【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为CD AD AC =-，90BAD ∠=︒，所以0AB AD ⋅=uu u r uuu r所以()2A AC AC B CD AB AD AB AD AB ⋅=⋅=⋅-⋅--=，所以2AB AC ⋅=，又2AB AC ==，所以cos 2A C B AB AC BA A C ⋅∠==⋅，所以1cos 2BAC ∠=，因为()0,BAC π∠∈，所以60BAC ∠=︒； 5．（2022·全国·高二）两个不同平面α，β的法向量分别为非零向量1n u r ，2n u u r ，两条不同直线a ，b 的方向向量分别为非零向量1v ，2v ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．αβ⊥的充要条件为120n n ⋅=B ．a b ⊥r r 的充要条件为120v v ⋅=C ．αβ∥的充要条件为存在实数λ使得21n n λ=D ．a α∥的充要条件为110v n ⋅=【答案】D【分析】依据面面垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项A ；依据线线垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项B ；依据面面平行的定义及数乘向量的几何意义判断选项C ；依据线面平行的定义及向量数量积的几何意义判断选项D.【详解】选项A ：αβ⊥⇔12n n ⊥⇔120n n ⋅=.判断正确；选项B ：a b ⊥⇔12v v ⊥⇔120v v ⋅=.判断正确；选项C ：αβ⇔∥21//n n ⇔存在实数λ使得21n n λ=.判断正确；选项D ：若a α∥，则有110v n ⋅=；若110v n ⋅=，则有a α∥或a α⊂，则a α∥是110v n ⋅=的充分不必要条件.判断错误.二、多选题6．（2022·全国·高二）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( )A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+-B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++C ．()0AB AC AD BC ++⋅=D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅【答案】ABD【分析】根据题意在一个长方体内部作出四面体ABCD ，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判断即可． 【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+==2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∴AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∴()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 7．（2022·全国·高二课时练习）设a ，b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）A ．22a a =B ．a b b a a a ⋅=⋅C ．()222a b a b ⋅=⋅D ．()2222a b a a b b -=-⋅+ 【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于A ：22cos 0a a a a a a =⋅=⋅=，故A 正确； 对于B ：因为向量不能做除法，即b a 无意义，故B 错误； 对于C ：()()22222o ,cos ,c s a b a b a b a b a b ⋅⋅=⋅=，故C 错误； 对于D ：()()()2222a ba b a b a a b b -=-⋅-=-⋅+，故D 正确； 三、填空题 8．（2022·全国·高二课时练习）空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，即()a b c ⋅+=_______．【答案】a b a c ⋅+⋅ 【分析】根据空间向量的数量积运算法则，即可求解.【详解】根据空间向量的数量积运算符合向量加法的分配律，可得()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅. 9．已知空间向量a 与b 满足1a =，且2a b ⋅=，若a 与b 的夹角为3π，则b =________． 【答案】4【分析】利用空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】因为1a =，a 与b 的夹角为3π， 所以由12cos212432a b a b b b π⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒=， 故答案为：410．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知点(1,1,0)(1,3,2)A B -、，与向量AB 不共线的向量(,,)a x y z =在AB 上的投影向量为(1,1,1)，请你给出a 的一个坐标为_______．【答案】(1,2,0)（答案不唯一）【分析】先求得向量AB 的坐标，再依据题给条件列方程去求向量a 的坐标即可解决.【详解】由点(1,1,0)(1,3,2)A B -、，可得()=2,2,2AB ，又向量(,,)a x y z =在AB 上的投影向量为(1,1,1)， 则2222222(2,2,2)(2,2,2)(1,1,1)2226a AB x y z x y z AB AB ⋅++++⋅=⋅==++ 则13x y z ++=，又向量AB 与向量a 不共线，则222x y z ==不成立 则可令1,2,0x y z ===，即(1,2,0)a =，11．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【分析】利用向量数量积求得向量AM 的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则222211=+2++AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ⎛⎫=++++⋅⋅⋅ ⎪=即线段AM 12．（2022·全国·高二）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________.【答案】12- 【分析】如图，在正三棱锥中，以,,BC BD BA 为基底，12AE BC BA =-，1122CF BA BD BC =+-，利用向量数量积性质进行计算即可得解.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角， 所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-， 所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+- 11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 四、解答题13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中．(1)写出直线11A C 的一个方向向量；(2)写出平面11BCC B 的一个法向量；(3)写出与AB ，AC 共面的两个向量．【答案】(1)AC ，(2)AB ，(3)AD ,BD【分析】（1）（2）（3）根据直线方向向量、平面法向量、共面向量的定义可得.(1)易知11AC A C ∥，所以向量AC 为直线11A C 的一个方向向量.(2)在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，所以AB 是平面11BCC B 的一个法向量.(3)由共面向量的定义可知AD ,BD 都是与AB ，AC 共面的向量.14．（2022·全国·高二课时练习）已知三个平面两两垂直且交于点O ，若空间一点P 到三个平面的距离分别为2，3，6，则线段OP 的长度为多少？【答案】7【分析】利用向量表达出OP OA OB OC =++，求出OP 的平方，进而求出线段OP 的长度.【详解】构造以OP 为对角线的长方体，则OP OA OB OC =++，且,,OA OB OC 两两垂直，且2,3,6OA OB OC ===，故22222493649OP OA OB OC OA OB OC =++=++=++=，所以7OP =. 15．（2022·全国·高二课时练习）已知,a b 是空间向量，根据下列各条件分别求,a b 〈〉：(1)||||a b a b -⋅=；(2)||||||a b a b ==-；(3)||||||a b a b ==+；(4)||||a b a b +=-.【答案】(1),πa b 〈〉=，(2)π,3a b 〈〉=，(3)2π,3a b 〈〉=，(4)π,2a b 〈〉= 【分析】（1）利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；（2）根据向量数量积的运算法则计算出1cos ,2a b 〈〉=，进而求出夹角；（3）根据向量数量积的运算法则计算出1cos ,2a b 〈〉=-，进而求出夹角；（4）根据向量数量积运算法则计算出0a b ⋅=，得到夹角.(1)cos ,1||||a b a b a b ⋅=-〈〉=，[],0,πa b 〈〉∈，故,πa b 〈〉= (2)因为||||||a b a b ==-，所以222||cos ,2a b a b a a b b -=-⋅〈+〉，故1cos ,2a b 〈〉=，因为[],0,πa b 〈〉∈，所以π,3a b 〈〉=。

向量的数量积课后习题答案向量的数量积课后习题答案在学习数学的过程中，向量的数量积是一个重要的概念。

通过掌握向量的数量积，我们可以更好地理解向量的性质和应用。

下面是一些向量的数量积的课后习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a和向量b的数量积。

解：向量a和向量b的数量积可以通过向量的坐标进行计算。

根据数量积的定义，我们有：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5所以，向量a和向量b的数量积为5。

2. 已知向量a = (3, -2, 1)和向量b = (1, 4, -3)，求向量a和向量b的数量积。

解：同样地，我们可以通过向量的坐标进行计算。

根据数量积的定义，我们有：a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 3 * 1 + (-2) * 4 + 1 * (-3) = 3 - 8 - 3 = -8所以，向量a和向量b的数量积为-8。

3. 已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a和向量b之间的夹角。

解：夹角可以通过向量的数量积来计算。

根据数量积的定义，我们有：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。

向量的模可以通过向量的坐标进行计算。

对于向量a和向量b，我们有：|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) =√(16 + 25 + 36) = √77代入向量a和向量b的数量积和模，我们有：cosθ = (-8) / (√14 * √77)通过计算，我们可以得到cosθ的值。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。

平面向量习题课（向量的数量积、平面向量基本定理及坐标表示）[基础达标]1．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B. 2π3 C. π3 D.5π62．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( ) A ．13 B ．135 C ．655D ．653．已知{e 1，e 2}为基底，向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．34．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C. 45 D. 855．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.236．已知G 是△ABC 的重心，若GC →＝xAB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．13D ．－137． 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋λe 2，b ＝3e 1－(2－λ)e 2，若a ∥b ，则λ＝________.8．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为_______9．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．10．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)， PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．11．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.12．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.[能力提升]13．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m =________．14.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 15．如图所示，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB.(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．16．已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值． .。