下载文档原格式
第十五板块选修1-2 第二章推理与证明【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:推理论证能力是高考考查的基本能力之一，它有机地渗透到高中课程中的各个章节，对本节内容的复习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力．推理是中学数学的重要内容，是高考重点考查的内容之一，对于理科考题，几乎每年都有涉及，题型为选择、填空或解答，难度为中、低档题或综合性较强的高档题．利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择或填空题在近几年新高考中都有所体现，估计在新课标的高考命题中还会出现，为突出新课标精神，考查学生的探索、创新能力．命题趋向:高考对本部分内容的考查主要是以不等式、立体几何等为载体以选择题、填空题的形式出现，以立体几何、解析几何、函数、不等式、数列等为载体,以解答题的形式出现．状元心得:推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，证明包括直接证明和间接证明，其中数学归纳法将无穷的归纳过程，根据归纳推理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活应用．学科知识体系结构图:第一节合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考中对于合情推理、演绎推理、直接证明与间接证明的考查作了初步的的尝试,此类考题虽不是新近几年出现的新题型,在新课标理念之下产生的考题更加蕴藏了数学的基本思维过程，展现了人们学习和生活中经常使用的思维方式，进一步考查了逻辑推理在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.考点一:合情推理1.合情推理包括归纳推理和类比推理.（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．2.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同本质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．3.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．考点二:演绎推理1.演绎推理：是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为演绎推理.它是一种由一般到特殊的推理．2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提（M是P）----已知的一般原理，小前提（S是M）----所研究的特殊情况，结论（S是P）----根据一般原理对特殊情况作出的判断.考点三:直接证明1.综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.综合法是“由因到果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立.因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法.2.分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.3.综合法是“由因到果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：…（A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）．它的常见书面表达是“∵，∴”或“ ”．4.分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件.它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等）．用分析法证明命题的逻辑关系是：它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．考点四: 反证法1.反证法：一般地假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法.2.用反证法证明问题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)；(3)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(推导矛盾)；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明了原命题为真.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007广东卷理科7文科10)如图所示是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．15思路透析:解法一: 若AB 之间不相互调动, 则A 调出10件给D,B 调出5件给C,C 再调出1件给D,即可满足调动要求,此时共调动的件次105116n =++=;若AB 之间相互调动,则B 调动4件给C,调动1件给A,A 调动11件给D,此时共调动的件次411116n =++=.所以最少调动的件次为16次, 故应选C.解法二:设A 调动x 件给D, ( 010x ≤≤)则调动了10x -件给B, 从B 调动出了51015x x +-=-件给C, C 调动出了15411x x --=-件给D, 由此满足调动要求,此时调动件次(10)(15)(11)262n x x x x x =+-+-+-=-,当且仅当10x =时,n 取得最小值16, 故应选C.点评:本题主要考查了合理利用合情推理去分析与判断实际生活中的资料优化类型问题的求解策略,本题实质属于策略型开放题,考查了考生对合情推理基本思想方法的理解与应用能力.本题求解中不少考生不能正确找出需要调整的维修点间的数量关系,仅从特殊的调动关系上枚举出结论,实际操作出现了不少错误.合理的结合总理的情境进行推理分析或从特殊化的角度去找规律进行求解是突破该易错点的较好方法.例2.(基础·2007广东卷理科12)如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）思路透析:凸多面体是n 棱锥,则下底面为凸n 边形的n 棱锥, 其共有1n +个项点,共可确定221(1)1()22n n n C n n ++==+条直线; 当4n =时,四棱锥中与每一条侧棱异面的底面的边有6-3=3条,则四棱锥中有4312⨯=对异面直线,即(4)12f =;凸n 棱锥中与每一条侧棱异面的底面的直线共有2(1)(1)(1)2n n n C n n ---=--(2)(1)2n n --=, 则n 棱锥中共有32(2)(1)1(32)22n n n n n n --⨯=-+对异面直线, 即321()(32)2f n n n n =-+. 点评:本题以凸多面体n 棱锥为几何背景,考查了应用排列组合的递推思想方法探究异面直线的对数问题,体现了归纳类比思想在解几何问题中的应用,有效地检测了考生推理与论证新出现数学问题的解题能力.不少考生求异面直线的对数时有重复或遗漏现象,这是此类问题最常见的错误类型,对于该问题的分析过程中如果一开始找不出思路,可以先枚举出特殊四、五、六棱锥进行求解,然后进行归纳,因为一般的解题思维及方法与策略往往隐藏于最特殊问题的分析与处理的过程之中.例3.(综合·2007临沂期中）已知非零向量b a ⊥,求证:||||||b a b a -+2≤. 思路透析:本题含有绝对值号，可用分析法证明.∵b a ⊥，∴0a b =要证||||||b a b a -+2≤，只须证：|||||a b a b +≤- ， 平方得：2222||||2||||2(||||2)a b a b a b a b ++≤+- ，只须证：22||||2||||0a b a b +-≥ ，即2(||||)0a b -≥ ，显然成立.故原不等式得证.点评:本题从要证明结论出发，探求是结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法.例4.(综合·2007淮安期中)若a 、b 、c 均为实数，且222,2,23a x y b y z ππ=-+=-+226c z x π=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．思路透析:（用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤． 而222a b c x y π⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭222236y z z x ππ⎛⎫⎛⎫+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()222222x x y y z z π=-+-+-+ ()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾．故假设错误，从而原命题正确．点评:反证法适用的题型往往是从直接入手证明较难，而从反面容易推得矛盾的问题，并且最后的矛盾是比较明显的命题的证明,矛盾的寻找也往往是题设中的条件或是相关的结论,也可以是推理中的结论之间的不统一.例5.(创新探究·2007广东卷理科8)设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a ,b ∈S ，对于有序元素对（a ,b ）,在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应），若对任意的a ,b ∈S,有a *(b *a )=b ,则对任意的a ,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a *b ）*a =aB.［a *(b *a )］*(a *b )=aC. b *(b *b )=bD. (a *b )* ［b *(a *b )］=b思路透析: 由已知条件可得对任意,a b S ∈, ()a b a b **=,则()b b b b **=, ()b a b a **=, ()()()a b a a a b a b a b **=**=**=, [()]()()a b a b a b b a b ****=**=, ()[()]()a b b a b a b a b ****=**=,即B 、C ．D 选择之中的等式均恒成立,仅A 选择之中的等式不恒成立, 故应选A.点评:本题通过一个二元运算的定义法则为背景,考查了对新定义运算法则的理解及类比推理解决此类问题的思维策略.在高考题中定义题型是提供一个陌生的数学情景，新定义一个数学问题（概念），要求考生通过阅读材料，感知材料中的信息，正确理解它的含义，从而来探索解题途经.部分考生迷失了方向,看不清楚该定义式的一般规律,结论只能是随意的选择一个结论.本题可以应用函数定义的观点去加以理解,将字母看作是变量,进行相互间的替换,从而可得出各种结论.例6.(创新探究·2007南京期中)设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x . （Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求)(x f y =的增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.思路透析:（Ⅰ）由对称轴是8π=x ，得s i n ()1,,4424k k ππππϕϕπϕπ+=±+=+=+， 而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-（Ⅱ）33()sin(2),2224242f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88k k k Z ππππ++∈ （Ⅲ）'33()sin(2),()2cos(2)244f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于2，而直线025=+-c y x 的斜率522>，即直线025=+-c y x 不是函数)(x f y =的切线点评:推理论证能力是高考重点考查的能力之一，高考对这一能力的考查主要是以几何或代数证明的形式出现，一般以立体几何、函数、不等式、数列等知识为载体，与其它知识综合考查，综合性较强.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)类比是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并做出某种判断的推理方法.类比是科学研究最普遍的方法之一.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.类比在数学中应用广泛.数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.(2)合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．(3)合情推理与演绎推理的联系与区别：归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(4)当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用分析法，从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，克服思维定势的影响，有利于发展求异思维.一般地，分析法表述求证过程较繁，因而我们常常用分析法探求思路，用综合法表述证明.(5)反证法主要适用于以下两种情形：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.2.学以致用:(1)有一个游戏：将分别写有数字1，2，3，4的四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请4个人进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：甲、乙、丙、丁4个人预测的都不正确.那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片依次为( )A. 3124B. 4123C. 4321D. 4213(2)如图A 、B 、C 是固定在桌面上的三根立柱，其中A 柱上有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求是每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A 、B 、C 三个柱之一且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是( )A. 3 次B. 5次C. 7次D. 9次(3)有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少，那么A 处应填入的数字为 ；B 处应填入的数字为 ．(4)ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311. 答案:(1)D 解析: 由甲丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片,又由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片, 由此可得答案D.(2)C 解析:第1次:小圆先到B;第2次:中圆到C;第3次:小圆到C;第4次:大圆到B;第5次小圆到A;第6次中圆到B;第7次小圆到B. 共7次,故应选C.(3)1，3 解析:A 所在的列有四个数2,4,6,8; A 所在的行有四个数3,5,7,9; A 所在的3×3的小九宫格有3个数2,4,9. 由此可得A 格中只能填入数字1.B 所在的行有四个数2,5,8,9; B 所在的列有四个数4,5,6,7; B 所在的3×3的小九宫格有四个数4,5,6,7. 由此可得B 格只能填入数字1或3. 而B 格左侧的宫格中所在的行、列3×3的小九宫格中出现的数为2,3,4,5,6,7,8,9,即此格只能填入1, 故B 格只能填3.(4)证明：要证原式，只要证3,1a b c a b c c a a b b c a b b c+++++=+=++++即 即只要证2221,bc c a ab ab b ac bc+++=+++而02222,60,A C B B b a c ac +===+- 222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a ab ab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++∴===+++++-+++++ 3.易错分析:(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．(2)一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．(3)用分析法证题时，一定要严格按格式书写，并且保证分析过程的每一步都是可以逆推的.否则可能会出错.(4)用反证法证明问题时要注意以下三点①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反正都是不完全的；②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推导出的矛盾必须是明显的.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2- 2.如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3.设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ）A ．10<<PB ．21<<PC ．32<<PD ．43<<P4.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数5.关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是（ ）A ．4a ≥-B ．40a -≤<C ．0a <D ．30a -≤<6.如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若3124,1234a a a a k ====412()i i S ih k ==∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A. 4V K B. 3V K C. 2V K D. V K 二、填空题:7.若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =.8.已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 令112n L b b b =+++ ，223L b b =+,n b ++ ，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++= 112233a L c L c L +++ k k c L +n n c L ++ ，则k c = (2)k n ≤≤. 9.图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含________个互不重叠的单位正方形．图1 图2 图3 图410.图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：① ② ③ ④情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；其中情境A 、B 、C 、D 分别对应的图象是 .三、解答题:11.设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数.求证：0)(=x f 无整数根.12.求证：质数序列2,3,5,7,11,13,17,19,……是无限的.13.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证212221≥+a a ， 证明：构造函数2221)()()(a x a x x f -+-=22212222121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842221a a +-=∆≤0, 从而得212221≥+a a ， (Ⅰ)若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式；(Ⅱ)参考上述解法，对你推广的结论加以证明.14.（Ⅰ）已知函数2()4f x x =-+（(1,2)x ∈-），P 、Q 是()f x 图象上的任意两点， （i ）试求直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围；（ii ）求()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围；（Ⅱ）由(Ⅰ)你能得出什么结论？(只须写出结论,不必证明）,试运用这个结论解答下面的问题：已知集合D M 是满足下列性质函数()f x 的全体：若函数()f x 的定义域为D ，对任意的1212,,()x x D x x ∈≠有1212|()()|||.f x f x x x -<-（i ）当(0,)D =+∞时,()ln f x x =是否属于D M ,若属于D M ,给予证明,否则说明理由；（ii ）当D =,函数3()f x x ax b =++时,若()D f x M ∈,求实数a 的取值范围.【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. B3. B4. B5. D6. B二、填空题:7. 1000 8. 1k k a a -- 9. 2221n n -+ 10. ①③④②三、解答题:11.证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数, 或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾. ()0f x ∴=无整数根.12.证明：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P ，全部序列为2,3,5,7,11,13,17,19,...,P再构造一个整数235711...1N P =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，显然N 不能被2整除，N 不能被3整除，……N 不能被P 整除，即N 不能被2,3,5,7,11,13,17,19,...,P 中的任何一个整除，所以N 是个质数，而且是个大于P 的质数，与最大质数为P 矛盾，即质数序列2,3,5,7,11,13,17,19,……是无限的13.解析:（Ⅰ）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ， 求证：nn a a a 122221≥+++ （Ⅱ）证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= 2222122na a a x nx ++++-= . 因为对一切x ∈R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(4422221n a a a n +++- ≤0, 从而证得：nn a a a 122221≥+++ . 14.解析:（Ⅰ）（i ）设1122(,()),(,())P x f x Q x f x 是()f x 图象上的任意两点（12x x ≠），则 222121212121()()(4)(4)()PQ f x f x x x k x x x x x x --+--+===-+-- 由12,(1,2)x x ∈-，知12()(4,2)x x -+∈-，∴直线PQ 的斜率PQ k 的取值范围是(4,2)-；（ii ）由'()2f x x =-，(1,2)x ∈-，得'()(4,2)f x ∈-，∴()f x 图象上任一点切线的斜率k 的范围是(4,2)-；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数()y f x =图象上任意两点P 、Q 连线的斜率121212()y y k x x x x -=≠-的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）.（i ）1(),f x x '=∴(0,1),()1|()|1,x f x f x ''∈>⇒>若 ∴1212()()|| 1.f x f x x x ->- 当12,(0,1)x x ∈时，()ln .D f x x M =∉（ii ）由32()()3,f x x ax b f x x a '=++⇒=+当x ∈时，()1.a f x a '<<+ (),D f x M ∈ ∴12121212()()|()()|||,||1,f x f x f x f x x x x x --<-<-即 ∴111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，得10a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[1,0]-.。
一、自我诊断 知己知彼1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199【答案】 C【解析】 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，1010123a +b =.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 【答案】 C【解析】A 、D 是归纳推理，B 是类比推理，C 符合三段论模式，故选C. 3．若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b【答案】 B【解析】 ()2,a ab=a a b --0a b <<20a ab ∴->2a ab ∴> ①又2()0ab b b a b -=->，∴2ab b >② 由①②得22a ab b >>.4．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】 B【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上选B.5.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s 等于( )A ．7B ．12C ．17D ．34【解析】由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.二、温故知新夯实基础1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件 (其中Q 表示要证明的结论)． ③思维过程：执果索因． 4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． 5．算法与程序框图 (1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．三、典例剖析 思维拓展考点一 推理与证明例1 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n . … …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 【答案】 1 000【解析】 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.【易错点】对式子规律把握不正确导致结果错误【方法点拨】(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二 综合法的应用例1设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 【答案】见解析【解析】证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.【易错点】1.推理过程不正确，思路混乱；2.对不等式的应用掌握不熟练而不会证明. 【方法点拨】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．考点三 反证法的应用例1 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【答案】（1）a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)；(2)见解析【解析】(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【易错点】1.忽视反证法在证明否定性命题中的优越性而证不出来；2.推不出矛盾. 【方法点拨】用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相反的假设q ⌝；第三步：由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q ⌝不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．考点四 程序与框图例1 如果执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 【答案】 C【解析】 不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3， 则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3， 故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C. 【易错点】不注意条件判断发生错误【方法点拨】与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果． (2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．四、举一反三 成果巩固考点一 推理与证明1、某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 【答案】 D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.2、观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________. 【答案】 n 2【解析】 ∵1＝12， 1＋2＋1＝22， 1＋2＋3＋2＋1＝32， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.3、在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________． 【答案】 ()*12121717,n n b b b b b b n n N -=<∈【解析】 利用类比推理，借助等比数列的性质，29117n n b b b +-=，可知存在的等式为()*12121717,n n b b b b b b n n N -=<∈．考点二 综合法的应用1、对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数． (1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数． 【答案】（1）见解析；（2）f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数【解析】(1)证明 取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1， ∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0. 又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0， ∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.(2)解 对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，。
第18练推理与证明[明考情]推理与证明在高考中少数年份考查，小题中多以数表(阵)、图形、不等式等为指导，考查合情推理，难度为中档.[知考向]1.合情推理.2.演绎推理.3.推理与证明的综合应用.考点一合情推理方法技巧(1)归纳推理的思维步骤：发现共性，归纳猜想，结论验证.(2)类比推理的思维步骤：观察比较，联想类推，猜测结论.1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前面相邻两项的和，所求值为数列中的第10项.继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第10项为123，即a10＋b10＝123.2.平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸十三边形的对角线条数为()A.42B.65C.143D.169答案 B解析 可以通过列表归纳分析得到：凸十三边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65(条)对角线.3.(2017·甘肃模拟)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V ＝2，表面积S ＝3，则该三棱锥内切球的体积为( ) A.81π B.16π C.32π3 D.16π9答案 C解析 由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三棱锥四个面为底的四个三棱锥.设三棱锥的四个面的表面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径，∴V ＝13(S 1×r ＋S 2×r ＋S 3×r ＋S 4×r )＝13S ×r ，∴内切球半径r ＝3V S ＝2×33＝2，∴该三棱锥内切球的体积为43π·23＝32π3.4.某综艺节目中有这样一个问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：－12，12，－38，14，－532，它的第8个数是________.答案132解析 将这一组数：－12，12，－38，14，－532化为：－12，24，－38，416，－532，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为负，偶数项符号为正，则它的第8个数是132.5.给出下面四个类比结论：①实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比复数z 1，z 2，若z 1·z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0； ②实数a ，b ，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③实数a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；④实数a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0. 其中类比结论正确的个数是________. 答案 2解析 ①显然正确；②中若a ⊥b ，则a ·b ＝0，∴②错误；③中取z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝0，∴③错误；④中a 2＝|a |2，b 2＝|b |2，若a 2＋b 2＝0，则|a |＝|b |＝0， ∴a ＝b ＝0，∴④正确.综上，正确结论的个数是2.考点二 演绎推理要点重组 演绎推理的特点：从一般到特殊；演绎推理的一般形式是三段论.方法技巧 新定义问题的解题思路：读懂新定义的含义，在领会新定义实质的基础上，将其应用在具体情境中进行演绎推理，得到新的结论. 6.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，计算a 2，a 3，a 4，由此推测通项a n答案 A解析 演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A 符合；选项B 属于类比推理；选项C ，D 是归纳推理.7.(2017·绵阳模拟)若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是( ) A.19 B.27 C.28 D.37 答案 C解析 由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个；两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个； 两个数字一样为2，122，有1个；同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个. 综上所述，不超过200的“单重数”个数是2＋18＋8＝28.8.对于任意的两个实数对(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，规定：(x 1，y 1)＝(x 2，y 2)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2；运算“⊗”为(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，y 1x 2＋x 1y 2)；运算“⊕”为(x 1，y 1)⊕(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2).设k ，n ∈R ，若(1，2)⊗(k ，n )＝(3，1)，则(1，2)⊕(k ，n )＝________. 答案 (2，1)解析 由(1，2)⊗(k ，n )＝(3，1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2n ＝3，2k ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，n ＝－1.所以(1，2)⊕(k ，n )＝(1，2)⊕(1，－1)＝(2，1).9.如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________.答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.10.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n }为“斐波那契”数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则(1)S 7＝________；(2)若a 2 017＝m ，则S 2 015＝________.(用m 表示) 答案 (1)33 (2)m －1解析 (1)S 7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33. (2)∵a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＝a n ＋a n －1＋a n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －1 ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －2 ＝…＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋…＋a 2＋a 1＋1， ∴S 2 015＝a 2 017－1＝m －1.考点三 推理与证明的综合应用要点重组 (1)反证法的证题步骤：反设、归谬、存真.(2)以实际问题为背景的推理问题，可利用归纳、分类、反证等多种方法进行推理论证. 11.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不大于－2D.至少有一个不小于－2 答案 C解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b ＞－2，b ＋1c ＞－2，c ＋1a ＞－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c ≤－2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≤－6，矛盾，所以假设不成立，故选C.12.(2017·武昌区模拟)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 B解析 乙、丁供词同真或同假，假设乙、丁同真，可知甲真，和题中条件矛盾，故乙、丁同假，甲、丙两人说的真话，易知罪犯是乙.13.用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A.假设三个内角都不大于60°B.假设三个内角都大于60°C.假设三个内角至多有一个大于60°D.假设三个内角至多有两个不大于60° 答案 B14.已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的中心，则AG GD ＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 由于四面体ABCD 是正四面体， 因此AM ⊥平面BCD ，且O 在AM 上，设△BCD 的面积为S ，四面体ABCD 的体积为V ，则V ＝V 三棱锥O －ABC ＋V 三棱锥O －ABD ＋V 三棱锥O －ACD ＋V 三棱锥O －BCD ＝4×13S ·OM ，又V ＝13S ·AM ，所以4×13S ·OM ＝13S ·AM ，故AM ＝4OM ，所以AO OM＝3，故选C.15.(2017·虎林市校级模拟)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不相同，现了解到以下情况：(1)甲不是最高的；(2)最高的没报铅球；(3)最矮的参加了跳远；(4)乙不是最矮的，也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是________. 答案 跑步解析 由(4)可知，乙参加了铅球比赛，由(2)可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由(1)可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.1.已知12＝16×1×2×3，12＋22＝16×2×3×5，12＋22＋32＝16×3×4×7，12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n ∈N *) 答案 16n (n ＋1)(2n ＋1)解析 根据题意可归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1). 2.(2017·咸阳二模)观察下列式子： 1×2<2， 1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n 个不等式是____________________________.答案 1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<(n ＋1)223.老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没能考好”. 乙说：“我们四人中有人考得好”. 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”. 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中________两人说对了. 答案 乙和丙解析 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故只有乙和丙两人说对了.解题秘籍 (1)新定义问题的关键是明确新定义的实质，结合所学知识，将问题转化为熟悉的、已掌握的问题.(2)实际问题和推理相结合，要按照可能发生的情况全面论证，去伪存真，找到问题的答案.1.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ＞1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 017a 2 018等于( )A.2 0152 016B.2 0162 015C.2 0162 017D.2 0172 018 答案 C解析 每条边有n 个点，所以3条边有3n 个点，三角形的3个顶点重复计了一次，所以减3个顶点，则a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1n，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 017a 2 018＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12 016－12 017 ＝1－12 017＝2 0162 017，故选C.2.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 … … …A.809B.852C.786D.893 答案 A解析 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.3.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A.22项B.23项C.24项D.25项 答案 C解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.4.设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案 D解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1， ∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2， ∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 5.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A.sin x ＋cos xB.－sin x －cos xC.sin x －cos xD.－sin x ＋cos x答案 A解析 f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f 5′(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，∵2 017＝504×4＋1，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ，故选A.6.用反证法证明命题“若a ＋b ＋c ≥0，abc ≤0，则a ，b ，c 三个实数中至多有一个小于零的”的反设内容为( )A.a ，b ，c 三个实数中至多有一个不大于零B.a ，b ，c 三个实数中至多有两个小于零C.a ，b ，c 三个实数中至少有两个小于零D.a ，b ，c 三个实数中至少有一个不大于零答案 C解析 a ，b ，c 三个实数中小于零的个数只有0，1，2，3四种，“至多有一个”的否定为至少有两个.故选C.7.小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a 1，a 2，a 3，…，a 10.现有三种说法：①若a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 10，则必是第一道题答错，其余题均答对；②若a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a 5＝2a 10，其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 ①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.8.(2017·河北衡水中学三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是( )A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案 A解析 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.9.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，则根据以上式子得到第n 个式子为__________.答案 f (2n )＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 由题意得f (22)＞42＝2＋22，f (23)＞52＝3＋22，f (24)＞62＝4＋22，f (25)＞5＋22，以此类推，当n ≥2，n ∈N *时，有f (2n )＞n ＋22. 10.二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.11.给出下列等式：2＝2cos π4， 2＋2＝2cos π8， 2＋2＋2＝2cosπ16， …，请从中归纳出第n (n ∈N *)个等式：2＋…＋2＋2＝________. 答案 2cos π2n ＋1 解析 因为2＝2cos π4， 2＋2＝2cos π8， 2＋2＋2＝2cosπ16， …，等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为12，角满足π2n +1，所以2＋…＋2＋2＝2cos π2n +1. 12.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N ＋1；如果是个偶数，则下一步变成N 2.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的4－2－1循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为________.答案214解析按照运算规则依次得到82，41，124，62，31，94，47，142，71，214，故第十步运算得到的数为214.。
