初中数学思维导图-平行四边形章节-特殊的平行四边形矩形的思维导图

第5讲平行四边形和梯形（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：平行与垂直1.平行同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

直线a是直线b的平行线，直线a与b相互平行，记作a∥b，或者b∥a 2.垂直两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直。

直线a是直线b的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b，或者b⊥a垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线比较便利，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边化一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。

学问点二：平行四边形1.两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。

2.常见的四边形有桌子、柜子、地砖、床、书本、打印纸等。

3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

4.通过动手操作，我们发觉平行四边形简洁变形。

5.长方形和正方形是特殊的平行四边形。

学问点三：梯形1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2.两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角形。

3.梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。

4.一个平行四边形能分成两个完全一样的梯形。

学问点四：四边形之间的关系长方形、正方形是特殊的平行四边形。

三、例题精讲考点一：平行与垂直【典型一】关于下图，下列说法错误的是（）。

A．直线a比直线c短B．直线a与直线b不平行C．直线c与直线d之间距离都相等D．直线c与直线d都垂直于直线a【分析】依据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此推断即可。

【详解】A．直线无法测量长度，所以直线a比直线c短，说法错误；B．直线a与直线b能相交，故不平行；C．直线c与直线d相互平行，所以它们之间距离都相等；D．直线c与直线d都垂直于直线a。

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

初二数学第四章知识点初二数学第四章思维导图一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。

6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有条。

从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。

二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长高=ah三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质(1)矩形的对边平行且相等(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等且互相平分(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

特殊平行四边形主题单元教学设计主题单元学习目标知识与技能：理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形．掌握特殊平行四边形的性质和判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算边、角、对角线及面积；通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.过程与方法：通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；通过探索，进行观察、猜想、分析、归纳、推理，培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题，解决问题的能力；情感态度与价值观：通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心；对应课标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及他们之间的关系2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性质主题单元问题设计1.矩形、菱形、正方形的定义2.矩形的边、角、对角线有怎样的特征？矩形有怎样的性质？3.菱形的边、角、对角线有怎样的特征？菱形有怎样的性质？怎样的性质？5. 如何判断一个平行四边形是矩形？6. 如何判断一个四边形是矩形？7. 矩形的判定？所需教学材料和资源信息化资源PPT , 几何画板课件常规资源作图工具（直尺、三角板、圆规等）教学支撑环境多媒体教室，几何画板软件其他纸笔等学习活动设计第一课时矩形的性质活动一：说说生活中的矩形【活动步骤】1.结合图，回顾矩形定义2.举出几个生活中矩形的例子．活动二：探索矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）【技术应用】在PPT中动态演示菱形活动4：认识菱形【活动步骤】教师点拨：1.菱形是中心对称图形么？是轴对称图形么？【技术应用】几何画板演示菱形的中心对称和轴对称性活动5：探究菱形性质1.菱形的边有什么特性？菱形的角有什么特性？菱形的对角线有什么特性？活动三：推导菱形判定定理【活动步骤】1．写出命题2．思考：证明命题的步骤3．推理得出菱形的判定定理【技术应用】使用专门制作的几何画板课件探究、演示．第三课时（课外）折叠菱形活动一：折一折剪一剪1.如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？2.组内交流活动二：展示成果1.作品展示交流．2.说明下面这问同学剪法的依据。

平行四边形适用年八年级级所需时（说明：课内共用3课时，每周5课时；课外共用3课时）间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 本主题单元是在学生已经学习了三角形相关知识、平行四边形的定义的基础上进行学习的，在教学内容中起着承上启下的作用，“承上”：定理的证明是三角形全等知识、平行线知识的再应用；“启下”：平行四边形的性质和判定定理以及探究的模式为进一步学习特殊四边形奠定了基础。

本主题单元包括两个专题：专题一：平行四边形的性质；专题二：平行四边形的判定。

平行四边形的性质定理和判定定理是两个互逆的定理，定理的证明方法都用到了三角形全等的知识。

通过合作探究，测量、计算、对折剪开、旋转、平移、推理等探索定理证明的不同思路和方法，运用定理解决较简单的问题；归纳、总结解决四边形问题的常用数学方法；进行适当的比较和讨论，渗透化归思想和数学建模思想，从而形成知识体系。

主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能。

）主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：了解、掌握平行四边形的概念、性质，掌握中心对称性质特点，熟练掌握平行四边形的判定过程与方法：通过对解决问题的反思，获得解决问题的经验，掌握解决问题的方法从边、角、对角线的关系来概括和总结性质、和判定，体验通过数学活动掌握平行四边形的四种判定方法情感和态度：通过个人参与数学活动发现解决问题的过程，通过小组合作交流，体验合作快乐对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）1.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

2. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

初二数学第四章知识点初二数学第四章思维导图一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。

6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有条。

从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。

二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长高=ah三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质(1)矩形的对边平行且相等(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等且互相平分(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

四边形适用年八年级级所需时课内12课时，每周4课时，课外公用2课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 本单元是和三角形一样，也是基本的平面图形。

是在“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单推理，将为学生对空间和图形后即内容的学习打下基础。

本章重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和判定方法，并进行简单的推理。

难点：是如何合理化推理本单元划分为四个专题；专题一多边形内角和与外角和专题二：特殊四边形的性质探索专题三：特殊四边形判定探索专题四：中心对称图形学习策略1、关注学生的生活经验，提供丰富的感性材料。

2、重数学实践活动，突出几何探索过程。

3、理解教材，恰当把握教学要求。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1.理解并掌握探索特殊四边形平行的概念和平行四边形对边、对角相等、对角线互相平分的性质．平行线之间的距离的定义2.会用探索特殊四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题.过程与方法：1.经历探索特殊四边形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法2．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题情感态度与价值观：经历探索的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识。

. 对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）1. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线的概念；探索并掌握多边形内角和与外角和的公式。

2. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

特殊的平行四边形适用年八年级下册级所需时8课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用广泛的一种图形，本单元是在学生已经学习了三角形相关知识、平行四边形的定义、性质及判定的基础上进行学习的。

平行四边形的性质和判定定理以及探究的模式为进一步学习特殊四边形奠定了基础。

本单元的主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和判断四边形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的条件。

有些内容在前两个学段学生已有接触，但还十分肤浅。

本单元不是对以前知识的简单复习，而是同类知识的螺旋上升。

特殊平行四边形与梯形的概念与性质是学好本单元的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本单元的教学重点。

与基本图形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，学生要正确理解证明的本身，需要一个较长的过程，是本章主要的教学难点。

本单元包括个专题：专题一：矩形、菱形、正方形的性质及判定；专题二：梯形的性质及判定。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力。

2、进一步掌握矩形、菱形以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。

3、体会在证明的过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

过程与方法：1、经历探索菱形、矩形、正方形的形成过程，培养观察能力及信息技术应用能力。

2、经历探索并证明各种特殊平行四边形，体会并掌握转化、归纳、类比等数学思想方法。

情感态度与价值观：1．通过特殊平行四边形的学习，体会数学在生活中的应用的广泛性。

2.通过探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，培养学生的思维能力。

平行四边形主题单元设计与思维导图适用年八年级级所需时课内共用5课时间主题单元学习概述“平行四边形”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“探究判定”三部分，这与课本的内容安排有所不同。

教材的编写顺序是“平行四边形及其性质、判定”、“矩形定义、性质、判定”、“菱形的定义、性质、判定”顺次展开，是先学特殊的四边形---平行四边形的定义、性质、判定，再学特殊的平行四边形的定义性质和判定.而新的结构是一种专题式设计，更多考虑到知识之间的关联，打破教材的原有安排，平行四边形、矩形、菱形、正方形等有关的概念放在一起作为专题一集中处理，把具有探究性的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理作为专题二集中处理，把平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理作为专题三集中处理，这是考虑到平行四边形与特殊平行四边形等概念与概念之间、性质与性质之间、判定与判定之间都有紧密的联系，符合学生的“最近发展区”认识规律。

比如学完平行四边形的边、角、对角线的性质后，学生自然会想到特殊平行四边形矩形、菱形、正方形的边、角、对角线有哪些特殊的性质？因此，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，从而更好的展示数学知识的整体性。

主题单元规划思维导图主题单元目标知识与技能:1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念.2.理解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系.过程与方法：1.探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理.3.体会并掌握转化、类比等数学思想方法.情感态度与价值观：1.通过平行四边形等概念的学习过程，体会数学知识来源于生活.2.通过平行四边形及特殊平行四边形的性质、判定的推导过程，培养学生思维的严谨性和逻辑性.3.通过研究平行四边形及特殊平行四边形的对称性，让学生体会数学和生活中的“对称美”.对应课标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分3.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等、对角线互相垂直；正方形具备矩形和菱形的一切性质4.探索并证明矩形、菱形、正方形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形等主题单元问题设计1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分3.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等；菱形的四条边相等、对角线互相垂直；正方形具备矩形和菱形的一切性质4.探索并证明矩形、菱形、正方形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形等专题划分专题一：平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念（1课时）专题二：探究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（2课时）专题三：探究平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定（2课时）.......其中，专题（或专题二中的活动1 作为研究性学习）专题一平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念所需课时课内1课时专题学习目标1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念2.理解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系专题问题设计1.什么叫平行四边形、矩形、菱形、正方形？2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系？所需教学环境和教学资源1.多媒体教室2.几何画板3.画图工具及一些细木条学习活动设计第一课时平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念活动1.说说生活中的平行四边形生活中有哪些平行四边形的例子？由于学生对生活中的平行四边形的例子比较熟悉，小学里对平行四边形也有了初步的认识，本活动主要在于唤起学生的好奇心和学习的兴趣。