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递归数列知识点总结一、递归数列的定义递归数列是指数列中的每一项都是前面几项的某种函数表达式，是按照规则进行递推得到的。
递归数列通常以一定的初始条件为起点，通过递推关系式生成后续的项，是由其前面的项推出该项的一个数列。
常见的递归数列可以表示为：1. 根据数学关系式写出一个函数表达式，然后根据递推公式得到后续的项，如斐波那契数列等。
2. 递归数列将问题不断地分解，直至问题的规模足够小，利用这个最小规模问题的解，逆推得到当前规模问题的解。
二、递归数列的性质1. 递归数列常常具有固定的递推关系式，可以根据递推关系式求解数列的任意项。
2. 递归数列的数项通常与前面的若干项有关，通过递推关系式可以将数列的每一项都表示为前面若干项的函数表达式。
3. 递归数列通常需要一定的初始条件，通过递推关系式得到数列中的后续项。
三、递归数列的求解方法1. 直接利用递归关系式递推得到数列的任意项。
2. 利用递推关系式，通过迭代计算数列的任意项。
3. 利用递推关系式，建立数列的通项公式，从而直接求解数列的第n项。
四、递归数列的应用1. 递归数列在组合数学和概率论中有广泛的应用，如二项式系数、排列组合问题等。
2. 递归数列在计算机科学中有重要的应用，如斐波那契数列、汉诺塔等问题。
3. 递归数列在统计学中也有应用，如泊松分布、二项分布等。
五、递归数列的实例1. 斐波那契数列斐波那契数列是经典的递归数列，它的定义是：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)。
其通项公式为：F(n)=((1+√5)^n-(1-√5)^n)/(2^n*√5)。
斐波那契数列在计算机科学、金融数学等领域有重要的应用。
2. 阶乘数列阶乘数列的定义是：n的阶乘表示为n!=1*2*3*...*n，0的阶乘为1。
阶乘数列递推关系式为：n!=n*(n-1)!。
阶乘数列在概率统计中有重要的应用。
3. 几何数列几何数列是指两个相邻项的比值为常数的数列，其通项公式为：an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
递归数列及其性质1．递归数列及其性质1．对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方n N a ＝（f a ，a ，，a ）k k*n n﹣1 n﹣2 n﹣k程，由阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列．若是k k a，a ，，a k f1 2 k线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题．2．求递归数列的常用方法：①公式法：{a } a d a ＝a （n﹣m）d是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；n 1 n m是等比数列{a } ，首项为a ，公比为q ，则其通项为푎푛=푎푚푞푛―푚；n 1푆1，(푛=1)已知数列的前项和为，则={n S S푆푛―푆푛―1，(푛≥2)．n n②迭代法：迭代恒等式：；a a a a a a a a a a a a＝（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n﹣2 n﹣3 3 2 2 1 1푎푛푎푛―1푎푛―2푎푛―3푎3푎2迭乘恒等式：=푎푛―3×a 푎푛―4×⋯×0푎푛―1×푎푛―2×푎2×푎1×a1，；（）ann迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；a＝b，a ＝a （f n）a1 n 1 n n类型二：已知求通项；a＝b，a ＝（f n） a a1 n 1 n n③待定系数法：类型三：已知，求通项；a＝b，a ＝pa q1 n 1 n④特征根法：类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为，其特征方程为，x 2＝px 1 qx（n 1，p、q为常数q 0）x2＝pxq n n n其根为特征根．（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确、x ＝A n B（n n 1）A、Bn定；1/ 2（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确x ＝[A B（n﹣1）]n﹣（1 n 1）A、Bn定．典型例题：已知数列满足求数列的通项．{a } *a1＝2，a2＝3，a n2＝3a n﹣12a（n n N ）{a }a n nn解：其特征方程为，解得，令，x2＝3x﹣2x1＝1，x2＝2 a ＝A1n B2nn퐴=1푎1=퐴+2퐵=2푎2=퐴+4퐵=3，得到{ 由{퐵=1，2所以＝．a 1 2n﹣1n2/ 2。
高三数学第二轮复习递归数列 人教版1.迭代加法使用于能变形为a n -a n-1=f(n)或a n+1-a n =f(n)的数列.例:已知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +2n ,n ∈N *求a n . 解:由题意知: a n+1-a n =2n 且a 1=2 ∴a 2-a 1=2×1a 3-a 2=2×2 ……a n -a n-1=2(n-1)以上各式相加得:a n -a 1=2[1+2+3+…+(n -1)] ∴a n =n 2-n+2.思考:若具有a n+1-a n =f(n)我们宜用迭代加法， 若具有a n+1+a n =f(n)我们如何处理呢？ 我们看∵a n+1+a n =f(n)……① ∴a n +a n-1=f(n-1)……②①-②得a n+1-a n-1= f(n)- f(n-1)故原数列中每隔一项抽出组成的新数列可使用迭代加法. 例、（天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S =_ ___.例：（江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有：2121222113()3()22n n n n S S ----=⋅-=-⋅23232224113()3()22n n n n S S -----=⋅-=-⋅ ………3342112()3().22S S -=⋅-=-⋅2123321233222111111113[()()()]3[()()()]2222222111()111122434[()]2()(1).1224214n n n n n n n n S S n -----∴=-+++=-++++-=-⋅=--⋅=-+≥-同理考虑奇数项有：222121113()3().22n nn n S S ---=-=⋅22222123113()3()22n n n n S S -----=⋅-=⋅……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S222222112212212122212122211111113[()()()]2()(1).22221112()(2())43()(1).2221112()(2())43()(1).2221.n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++---∴=++++=-≥∴=-=---+=-⋅≥=-=-+--=-+⋅≥==综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n)1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n nn n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n nn所以,)21(311---⋅-=-n n n b b ,)21(3221----⋅-=-n n n b b………23213(),2b b -=-⋅-212222111()1114423[()()()]3122212n n n n b b b ----⋅∴=-+++=-⨯-).3()21(32312≥⋅+-=-n b n 又11221351,1,22a S a S S ===-=--=-1211225(1)1,(1)2b a b a ∴=-=-=-=-∴1153113()43()(1)2222n n nb n --=--+⋅=-+⋅≥ ∴11(1)4(1)3(1)()2nnnn n n a b -=-=--+⋅-⋅31143(),,2143(),.2n n n n --⎧-⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数 例:已知数列{a n }的相邻两项a n 、a n+1是方程x 2+3nx+C n =0的两根,n ∈N *,当a 1=1时,求C 1+C 2+…+C 2p 的值. 解:由题意知a 2n-1、a 2n 是方程 x 2+3(2n-1)x+C 2n-1=0的两根∴a 2n-1+a 2n =-3(2n-1)…………① 同理a 2n +a 2n+1=-3·2n………② ②-①得a 2n+1-a 2n-1 =-3 ∴奇数项通项为a 2n-1=4-3n 偶数项通项为a 2n =-1-3n 据题意C 2k-1=a 2k-1·a 2k =9k 2-9k-4C 2k =a 2k ·a 2k+1=9k 2-1 ∴C 1+C 2+…+C 2p=(C 1+C 3+…+C 2p-1)+(C 2+C 4+…+C 2p ) =…… = p 2 (12p 2+9p-13). 2.迭代乘法 使用于能变形为a n+1a n=f(n)的数列. 例:已知数列{a n }中, a 1=2, a n+1= n+1n ·a n ,n ∈N*, 求a n .解: 由题意知 a n+1 a n = n+1n∴a 2 a 1 =21 a 3 a2 = 32……a n a n-1 =nn-1以上各式相乘得a na 1=n ∴a n =2n.3. 深层迭代法 (对a n = pa n-1+f(n)型) 当p=1时,可用迭代加法; 当p≠1时,可用深层迭代法. 例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2), 求a n . 解:∵a n =- 1 3 a n -1+23 (n≥2)∴a n =- 1 3 (- 1 3 a n-2+ 2 3 )+23=(- 1 3 )2a n -2+(- 1 3 )· 2 3 +23 =……=(- 1 3 )n-1a 1+(- 1 3 )n-2· 2 3 +…+(- 1 3 )· 2 3 +23 =12 [(- 1 3 )n-1+1].4.由递推公式构造辅助数列 类型一a n = pa n-1+q 型 可构造成等比辅助数列:a n - q 1-p =p(a n-1- q 1-p)证明：由a n -x=p(a n-1-x) 则a n =pa n-1-px+x 令x-px=q 得x=q 1-p.例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2)求a n .解:由a n =- 1 3 a n-1+23 (n≥2)得a n - 1 2 =- 1 3 ( a n-1- 1 2 )而a 1=1 ∴{a n -1 2 }是以12 为首项以- 13为公比的等比数列 故a n - 1 2 = 1 2 (- 1 3 )n-1∴a n = 1 2 (- 1 3 )n -1+12.类型二:递推公式中含有a n 、a n-1、a n-2连续三项的一次关系式时, 通常拆分中间项,使之与前后两项分别结合, 变形为形式a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2),进而构造辅助等比数列. 当不容易变形时,可用待定系数法. 比如,对于a n =4a n-1-4a n-2 可令a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2) 整理得a n =(p+q)a n-1-pqa n-2 于是有p+q=4且pq=4 可得p=q=2故可变形为a n -2a n-1=2(a n-1-2a n-2). 进而构造辅助等比数列.例（广东卷，10）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212nn n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则=1x ( )（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５类型三:形如k ·a n+12 +t ·a n+1·a n +p ·a n 2=0递推公式是关于a n+1、a n 的二次齐次式,可以同除以a n 2,得 a n+1 a n 的一元二次方程.构造 a n+1a n=f(n)形式,进而用迭代乘法. 练习:设{ a n }是首项为1的正数列且(n +1)a n +12=na n 2- a n +1·a n , n ∈N* 求a n . 答案: a n =1n.类型四:形如k ·a n+1 +t ·a n+1·a n -k ·a n =0(t ·k≠0) 可以同除以a n+1·a n 得:k a n+1 - ka n=t .进而构造等差辅助数列.递推公式的特点是a n+1与a n 都是一次,系数相反,含交叉项a n+1·a n ,无常数项. 例(重庆卷，文22)数列{a n }满足a 11且8a n 1 a n 16a n 12a n 50 (n ≥1)。
