郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义(7-12章)【圣才出品】
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郑君里《信号与系统》(第3版)配套题库【考研真题+模拟试题】【圣才出品】
第 7 章 离散时间系统的时域分析
一、填空题
1．周期分别为 3 和 5 的两个离散序列的卷积和的周期性为______。[北京航空航天大学
2007 研]
【答案】7
【解析】对于线性卷积，若一个周期为 M，另一个周期为 N，则卷积后周期为 M+N
－1，所以T T1 T2 1 3 5 1 7 。
2．某线性时不变（LTI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为
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Y z z 6z 1 8z 2 3z 3
根据时域卷积定理可得：
H
z
z
6 z 1 z
8z2 2 z1
3z 3
使用长除法可得：
H z 1 2z 1 3z 2
取逆变换可得：
h[n] n 2 n 1 3 n 2
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yzs (0) 1, yzs (1) 1/ 2, yzs (2) 5/ 4, yzs (3) 13/ 8, yzs (4) 29 /16, yzs (5) 93/ 32 （2）零输入响应 yzi (n) 的递推方程可以化简为
由于
x[n] u[n 1] u[n] u[n 1] u[n 2]
u[n 1] u[n 1] u[n] u[n 2]
此式又可以写成：
x[n] n 1 2 n n 1 X z z 2 z 1
由题意可知：
yn x n*h n n 1 6 n 1 8 n 2 3 n 3
yzi (n) 0.5 yzi (n 1)
(n)
1 0
(n (n
0)
。当
0)
郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题(系统的状态变量分析)【圣才出品】
用图 12-6 的流图形式模拟该系统，列写对应于图 12-6 形式的状态方程，并求1 ， 2，0，1，2 与原方程系数之间关系。
(2)给定系统用微分方程描述为
求对应于(1)问所示状态方程的各系数。
图 12-6 解：（1）由图 12-6 可知状态方程为
利用梅森公式可得，图 12-6 所示系统的系统函数为 其对应的微分方程为 对比原方程得
图 12-9 解：由图 12-9 知，可选电容两端的电压、流经电感的电流为状态变量，分别设为
1(t)、2(t)、3(t)、4(t) ， 如 图 12-10 所 示 。 设 三 个 回 路 电 流 分 别 为 i1(t)、i2(t)、i3(t)，则有
由 KCL 得方程组
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12-12 已知线性时不变系统的状态转移矩阵为：
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求相应的 A。 解：（1）设
由状态转移矩阵 (t) 的性质知：
所以
又 所以
对应可得
，解得
所以
。
（2）设
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图 12-4 解：首先由系统方框图 12-4 画出系统信号流图，如图 12-5 所示。
图 12-5
选各延时器的输出作为状态变量 1、2、3 ，可得状态方程为
输出方程为：
。
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12-6 (1)给定系统用微分方程描述为
解：将 H ( p) 作部分分式展开，可得
表示成信号流图如图 12-2 所示。
取积分器的输出为状态变量，有
(2)给定系统用微分方程描述为
求对应于(1)问所示状态方程的各系数。
图 12-6 解：（1）由图 12-6 可知状态方程为
利用梅森公式可得，图 12-6 所示系统的系统函数为 其对应的微分方程为 对比原方程得
图 12-9 解：由图 12-9 知，可选电容两端的电压、流经电感的电流为状态变量，分别设为
1(t)、2(t)、3(t)、4(t) ， 如 图 12-10 所 示 。 设 三 个 回 路 电 流 分 别 为 i1(t)、i2(t)、i3(t)，则有
由 KCL 得方程组
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12-12 已知线性时不变系统的状态转移矩阵为：
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求相应的 A。 解：（1）设
由状态转移矩阵 (t) 的性质知：
所以
又 所以
对应可得
，解得
所以
。
（2）设
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图 12-4 解：首先由系统方框图 12-4 画出系统信号流图，如图 12-5 所示。
图 12-5
选各延时器的输出作为状态变量 1、2、3 ，可得状态方程为
输出方程为：
。
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12-6 (1)给定系统用微分方程描述为
解：将 H ( p) 作部分分式展开，可得
表示成信号流图如图 12-2 所示。
取积分器的输出为状态变量，有
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第7章 离散时间系统的时域分析【圣才
重难点导学
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一、离散时间信号——序列
1．离散信号的表示方法
（1）数字序列于有规则的函数，如
；
（3）波形表示法，用线段的长短表示各序列值的大小。
2．离散信号的运算
（1）加法
（2）乘法
这是实际应用中简便而有效的方法。
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四、离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 1．单位样值响应
离散时间系统在 (n) 作用下的响应称为单位样值响应 h(n) 。需要说明的是：
（1）对于求 h（n），边界条件中必须有一项是 n≥0 的； （2）单位样值的激励作用等效为一个起始条件 h(0)＝1。 2．因果性、稳定性 （1）因果系统是指输出变化不领先于输入变化的系统。对于线性时不变系统是因果系 统的充要条件为 （2）稳定性的充要条件为
3．分别求零输入响应和零状态响应
零输入响应：输入为零，差分方程为齐次解，即
，C 由起始状态确定；零状态
响应：起始状态为零，即
，用卷积法或经典法求
解。
可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响
应。
4．变换域方法
类似于连续时间系统分析中的拉氏变换方法，利用 z 变换方法解差分方程有许多优点，
（2）单位阶跃序列：
或
；
（3）矩形序列：
或
；
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（4）斜变序列：
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；
（5）单边指数序列：
；
（6）正弦序列
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一、离散时间信号——序列
1．离散信号的表示方法
（1）数字序列于有规则的函数，如
；
（3）波形表示法，用线段的长短表示各序列值的大小。
2．离散信号的运算
（1）加法
（2）乘法
这是实际应用中简便而有效的方法。
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四、离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 1．单位样值响应
离散时间系统在 (n) 作用下的响应称为单位样值响应 h(n) 。需要说明的是：
（1）对于求 h（n），边界条件中必须有一项是 n≥0 的； （2）单位样值的激励作用等效为一个起始条件 h(0)＝1。 2．因果性、稳定性 （1）因果系统是指输出变化不领先于输入变化的系统。对于线性时不变系统是因果系 统的充要条件为 （2）稳定性的充要条件为
3．分别求零输入响应和零状态响应
零输入响应：输入为零，差分方程为齐次解，即
，C 由起始状态确定；零状态
响应：起始状态为零，即
，用卷积法或经典法求
解。
可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响
应。
4．变换域方法
类似于连续时间系统分析中的拉氏变换方法，利用 z 变换方法解差分方程有许多优点，
（2）单位阶跃序列：
或
；
（3）矩形序列：
或
；
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（4）斜变序列：
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；
（5）单边指数序列：
；
（6）正弦序列
郑君里《信号与系统》(第3版)名校考研真题(离散傅里叶变换以及其他离散正交变换)
，则
Y
e j
Y0 e j2kπ
k
，所以
yn
k
y0
n ej2kn
sin(πn/3) 2 πn
四、计算题
1．已知如图 9-2（a）所示的离散时间函数 x（n）
（1）求 x（n）的离散时间傅里叶变换
（2）以周期 N=100，把 x（2n）开拓为一个周期性信号
①画出周期信号
的波形图；
②把
展开成离散傅里叶级数，并画出频谱图。
8/8
再以 N=10 为周期开拓为周期序列
，如图 9-2（c）所示。
②令
，将
展开为离散傅里叶级数，即
式中，
，将 N=10 并令
数字角频率代入上式，得
当 k=0 时，
；k=1 时，
；k=2 时，
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当 k=3 时，
；k=4 时，
；k=5 时，
当 k=6 时，
；k=7 时，
；k=8 时，
当 k=9 时，
一个周期的图形如图 9-2（d）所示。
③系统的
，则由对称性质，该离散系统的频率响应函数
一
定是频域的周期函数，周期为 2n。
将
加 在 这样 一个 系统 的输 入端 ，只 有它 的直 流分 量， 基波 分量 （k=1），
，二次谐波分量（k=2），0.4πrad 可以通过该系统，其他的谐波分量均被滤除。
c
≤
≤π π c
，当
c
减小时，
该滤波器的单位冲激响应是更远离原点( )。[华南理工大学 2008 研]
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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第12章 系统的状态变量分析【圣才出
台
d dt
2
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
y t
3 t cy t
c a
dvC1 t
dt
dvC2 t
dt
R0 R1
R0 R2
vC1 t vC1 vC2 t vC
t vC2 t et 2 t vC1 t e t
将状态变量 λ1（t）＝vC1（t），λ2（t）＝vC2（t）及各参数代入上述方程组，得
&1 t 21 t 2 t et &2 t 1 t 22 t et
12.1 复习笔记
一、状态变量分析法基本概念（见表 12-1-1） 优点：①有效处理多输入—多输出系统；②有利于分析系统内部特性。
表 12-1-1 状态变量分析法基本概念
二、连续系统与离散系统状态方程的建立 如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合， 方程形式与建立方法如表 12-1-2 所示。
0 2
，
B
1 1
，C
1
1。
12-3 给定系统微分方程表达式如下
a
d3 dt 3
y t b
d2 dt 2
y t c
d dt
y t
dy t
0
选状态变量为
1 t ay t
2
t
a
d dt
y t
by
t
3
t
a
d2 dt 2
y t b
d dt
Hale Waihona Puke y t cy t 输出量取 r t dy t 。
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郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义(1-6章)【圣才出品】
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f t f (t nT ) n 0 , 1, 2 ,
b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例 （1）指数信号： f (t) Keat , a R ； （2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ； （3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ； （4）抽样信号： Sa(t) sin t ；
（2）积分
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òt f t( )dt -¥
3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号 奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括 斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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f t f (t nT ) n 0 , 1, 2 ,
b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例 （1）指数信号： f (t) Keat , a R ； （2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ； （3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ； （4）抽样信号： Sa(t) sin t ；
（2）积分
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3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号 奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括 斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 离散时间系统的时域分析【圣才
图 7-2-2
7-3 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝sin（nπ/5）； （2）x（n）＝cos（nπ/10－π/5）； （3）x（n）＝（5/6）nsin（nπ/5）。 解：各序列图形如图 7-2-3（a）～（c）所示。
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（2）x（n）＝－nu（－n）；
（3）x（n）＝2－nu（n）；
（4）x（n）＝（－1/2）－nu（n）；
（5）x（n）＝－（1/2）nu（－n）；
（6）x（n）＝（1/2）n＋1u（n＋1）。
解：各序列图形如图 7-2-2（a）～（f）所示。
（4）x（n）＝（－2）nu（n）；
（5）x（n）＝2n－1u（n－1）；
（6）x（n）＝（1/2）n－1u（n）。
解：各序列图形如图 7-2-1（a）～（f）所示。
图 7-2-1 【总结】离散序列波形即离散时刻之间隔均匀且线段的长短代表各序列值的大小。
7-2 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝nu（n）；
n1
y n h n mx m
x n
m0
h 0
7.2 课后习题详解
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7-1 分别绘出以下各序列的图形。
（1）x（n）＝（1/2）nu（n）；
（2）x（n）＝2nu（n）；
（3）x（n）＝（－1/2）nu（n）；
3
33
y
2
2
1 3
y
郑君里《信号与系统》(第3版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
目 录第一部分 名校考研真题第7章 离散时间系统的时域分析第8章 z变换、离散时间系统的z域分析第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交变换第10章 模拟与数字滤波器第11章 反馈系统第12章 系统的状态变量分析第二部分 课后习题第7章 离散时间系统的时域分析第8章 z变换、离散时间系统的z域分析第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交变换第10章 模拟与数字滤波器第11章 反馈系统第12章 系统的状态变量分析第三部分 章节题库第7章 离散时间系统的时域分析第8章 z变换、离散时间系统的z域分析第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交变换第10章 模拟与数字滤波器第11章 反馈系统第12章 系统的状态变量分析第四部分 模拟试题第一部分 名校考研真题 说明：本部分从指定郑君里主编的《信号与系统》（第3版）为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第7章 离散时间系统的时域分析一、填空题1．周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期性为______。
[北京航空航天大学2007研]【答案】7【解析】对于线性卷积，若一个周期为M，另一个周期为N，则卷积后周期为M+N－1，所以。
2．某线性时不变（L TI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为则该系统的单位脉冲响应为______。
[北京交通大学研]【答案】【解析】本题考查离散时间系统的单位脉冲响应。
用表示单位阶跃响应，由于利用线性和时不变特性可得二、判断题一个离散时间信号实际上就是一组序列值的结合{x（n）}。
（ ）[南京大学2010研]【答案】√【解析】离散时间函数，只有在某些离散时给出函数值，只是在某些离散瞬时给出函数值。
因此，它是时间不连续的“序列”的。
三、选择题1．信号的周期是（ ）。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 傅里叶变换【圣才出品】
表 3-1-4 时域及频域抽样
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5） 表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱 设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。 为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。 若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二 次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
7 / 111
3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5） 表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱 设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。 为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。 若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二 次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
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3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。
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重难点导学
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一、离散时间信号——序列
1．离散ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号的表示方法
（1）数字序列表示法，如
；
（2）函数表示法，适用于有规则的函数，如
；
（3）波形表示法，用线段的长短表示各序列值的大小。
2．离散信号的运算
（1）加法
这是实际应用中简便而有效的方法。
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四、离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 1．单位样值响应
离散时间系统在 (n) 作用下的响应称为单位样值响应 h(n) 。需要说明的是：
（1）对于求 h（n），边界条件中必须有一项是 n≥0 的； （2）单位样值的激励作用等效为一个起始条件 h(0)＝1。 2．因果性、稳定性 （1）因果系统是指输出变化不领先于输入变化的系统。对于线性时不变系统是因果系 统的充要条件为 （2）稳定性的充要条件为
（3）分配律
（4）筛选特性
3．卷积计算 离散卷积过程：序列反褶移位相乘取和，分为三种方法：
单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。
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（3）稳定的因果系统
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五、卷积（卷积和） 1．卷积和定义 卷积和的表达式为
卷积和可以表述为反褶、平移、相乘、取和。 2．离散卷积的性质 （1）交换律
（2）结合律
为非周期的。
③数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率可以连续变化，且
。
④离散信号
与连续信号
的关系与区别
a．关系
离散点 nT 上的正弦值
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令
，则离散正弦信号为
b．区别
的单位为弧度/秒，是连续域的正弦频率；
（2）乘法
（3）移位 右移位与左移位分别为
（4）反褶
（5）差分 前向与后向差分分别为
（6）累加
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（7）尺度压缩、扩展
（8）序列的能量
3．常用离散信号 （1）单位样值信号 ①表达式
或 ②时移性
③抽样性 ④利用单位样值信号表示任意序列
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态响应法、交换域方法。
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1．迭代法
差分方程本身是一种递推关系。迭代法是解差分方程的基础方法，但得不到 y（n）的
解析式。
2．时域经典法
（1）齐次解
由差分方程确定特征方程，解出特征根，得到 y（n）的解析式，再由边界条件确定常
3．分别求零输入响应和零状态响应
零输入响应：输入为零，差分方程为齐次解，即
，C 由起始状态确定；零状态
响应：起始状态为零，即
，用卷积法或经典法求
解。
可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响
应。
4．变换域方法
类似于连续时间系统分析中的拉氏变换方法，利用 z 变换方法解差分方程有许多优点，
（正弦序列频率）,
。
（7）复指数序列
①表达式
的单位为弧度，是离散域的频率
②复序列用极坐标表示
其中
，
。
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二、离散时间系统的数学模型—差分方程 1．线性时不变离散时间系统
对于给定系统，若 x1(n), y1(n) 和 x2 (n), y2 (n) 分别代表两对激励与响应，则当激励序 列 c1x1(n) + c2 x2 (n) 时（c1，c2 为常数），系统的响应为 c1 y1(n) + c2 y2 (n) ，则此系统称为 线性离散时间系统；对于给定系统，若激励 x(n) 产生响应 y(n) ，则激励 x(n - N ) 产生响 应 y(n - N ) ，则此系统称为时不变系统。
2．由微分方程导出差分方程
若已知微分方程为
，则令 t＝nT，可得差分方程为
3．由系统框图写差分方程 系统框图得到的差分关系式如图 7-1、7-2、7-3 所示。
图 7-1 延时器
图 7-2 加法器
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图 7-3 乘法器 4．差分方程的特点 （1）输出序列的第 n 个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关， 每个输出值必须依次保留； （2）差分方程的阶数：等于差分方程中未知（输出）序列变量序号的最高和最低值之 差。如果一个系统的第 n 个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分 方程就是几阶的； （3）微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解； （4）差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对 应关系。 三、常系数线性差分方程的求解 常系数线性差分方程的求解方法包括：迭代法、时域经典法、分别求零输入响应与零状
数。
根据特征根，解有三种情况：
①无重根，即
，则表达式为
②有重根，假定α1 是 K 重根，相应于α1 的部分将有 K 项，即
③有共轭复数根，齐次解的形式可以是等幅、增幅或衰减等形式的正弦（余弦）序列。 （2）特解
表 7-1 线性时不变系统输入与输出
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第 7 章 离散时间系统的时域分析[视频讲解] 7.1 本章要点详解 本章要点
■离散时间信号——序列 ■离散时间系统的数学模型——差分方程 ■离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 ■卷积（卷积和） ■解卷积（反卷积）
（2）单位阶跃序列：
或
；
（3）矩形序列：
或
；
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（4）斜变序列：
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；
（5）单边指数序列：
；
（6）正弦序列
①表达式
②正弦序列周期性的判别
a．
是正整数，若
则正弦序列是周期的。
b．
为有理数，
仍为周期的，周期
。
c． 为无理数，
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一、离散时间信号——序列
1．离散ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号的表示方法
（1）数字序列表示法，如
；
（2）函数表示法，适用于有规则的函数，如
；
（3）波形表示法，用线段的长短表示各序列值的大小。
2．离散信号的运算
（1）加法
这是实际应用中简便而有效的方法。
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四、离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 1．单位样值响应
离散时间系统在 (n) 作用下的响应称为单位样值响应 h(n) 。需要说明的是：
（1）对于求 h（n），边界条件中必须有一项是 n≥0 的； （2）单位样值的激励作用等效为一个起始条件 h(0)＝1。 2．因果性、稳定性 （1）因果系统是指输出变化不领先于输入变化的系统。对于线性时不变系统是因果系 统的充要条件为 （2）稳定性的充要条件为
（3）分配律
（4）筛选特性
3．卷积计算 离散卷积过程：序列反褶移位相乘取和，分为三种方法：
单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。
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（3）稳定的因果系统
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五、卷积（卷积和） 1．卷积和定义 卷积和的表达式为
卷积和可以表述为反褶、平移、相乘、取和。 2．离散卷积的性质 （1）交换律
（2）结合律
为非周期的。
③数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率可以连续变化，且
。
④离散信号
与连续信号
的关系与区别
a．关系
离散点 nT 上的正弦值
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令
，则离散正弦信号为
b．区别
的单位为弧度/秒，是连续域的正弦频率；
（2）乘法
（3）移位 右移位与左移位分别为
（4）反褶
（5）差分 前向与后向差分分别为
（6）累加
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（7）尺度压缩、扩展
（8）序列的能量
3．常用离散信号 （1）单位样值信号 ①表达式
或 ②时移性
③抽样性 ④利用单位样值信号表示任意序列
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态响应法、交换域方法。
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1．迭代法
差分方程本身是一种递推关系。迭代法是解差分方程的基础方法，但得不到 y（n）的
解析式。
2．时域经典法
（1）齐次解
由差分方程确定特征方程，解出特征根，得到 y（n）的解析式，再由边界条件确定常
3．分别求零输入响应和零状态响应
零输入响应：输入为零，差分方程为齐次解，即
，C 由起始状态确定；零状态
响应：起始状态为零，即
，用卷积法或经典法求
解。
可以利用求齐次解的方法得到零输入响应，利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响
应。
4．变换域方法
类似于连续时间系统分析中的拉氏变换方法，利用 z 变换方法解差分方程有许多优点，
（正弦序列频率）,
。
（7）复指数序列
①表达式
的单位为弧度，是离散域的频率
②复序列用极坐标表示
其中
，
。
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二、离散时间系统的数学模型—差分方程 1．线性时不变离散时间系统
对于给定系统，若 x1(n), y1(n) 和 x2 (n), y2 (n) 分别代表两对激励与响应，则当激励序 列 c1x1(n) + c2 x2 (n) 时（c1，c2 为常数），系统的响应为 c1 y1(n) + c2 y2 (n) ，则此系统称为 线性离散时间系统；对于给定系统，若激励 x(n) 产生响应 y(n) ，则激励 x(n - N ) 产生响 应 y(n - N ) ，则此系统称为时不变系统。
2．由微分方程导出差分方程
若已知微分方程为
，则令 t＝nT，可得差分方程为
3．由系统框图写差分方程 系统框图得到的差分关系式如图 7-1、7-2、7-3 所示。
图 7-1 延时器
图 7-2 加法器
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图 7-3 乘法器 4．差分方程的特点 （1）输出序列的第 n 个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关， 每个输出值必须依次保留； （2）差分方程的阶数：等于差分方程中未知（输出）序列变量序号的最高和最低值之 差。如果一个系统的第 n 个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分 方程就是几阶的； （3）微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解； （4）差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对 应关系。 三、常系数线性差分方程的求解 常系数线性差分方程的求解方法包括：迭代法、时域经典法、分别求零输入响应与零状
数。
根据特征根，解有三种情况：
①无重根，即
，则表达式为
②有重根，假定α1 是 K 重根，相应于α1 的部分将有 K 项，即
③有共轭复数根，齐次解的形式可以是等幅、增幅或衰减等形式的正弦（余弦）序列。 （2）特解
表 7-1 线性时不变系统输入与输出
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第 7 章 离散时间系统的时域分析[视频讲解] 7.1 本章要点详解 本章要点
■离散时间信号——序列 ■离散时间系统的数学模型——差分方程 ■离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应 ■卷积（卷积和） ■解卷积（反卷积）
（2）单位阶跃序列：
或
；
（3）矩形序列：
或
；
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（4）斜变序列：
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；
（5）单边指数序列：
；
（6）正弦序列
①表达式
②正弦序列周期性的判别
a．
是正整数，若
则正弦序列是周期的。
b．
为有理数，
仍为周期的，周期
。
c． 为无理数，