典型习题和题例分析与解答
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材料力学典型例题及解析 12.冲击问题典型习题解析
击构件瞬间的速度为 υ
，只须将前面（a）式右端改为
1 2
⋅
Pυ2 g
= Vε
，即可导出 kd
=
υ2 。 g∆st
（4）、前面推导过程中，冲击物的势能取为 Ep = P(h + ∆d ) ，一般情况下 ∆d << h ，可将其忽
略，取 Ep = Ph ，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对 kd 有什么影响。
所以本问题的动载荷因数为： kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h = 1+ ∆st
1+
2
× 440 ×10 −3 2 ×10 −3 m
m
= 22
讨论：（1）、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大 kd 倍，则变形、应力、应变也同样被放大 kd 倍。所以有σ d = kdσ st 。有了 kd 很
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即 Ek = Vε 。
解：设小球离开木拍瞬间速度为υ ，则其动能 Ek
=
1 2பைடு நூலகம்
W g
υ 2 ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
Vε
=
1 2
F ⋅ ∆L ，其中
F
为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
3
所以 F
=σ
A
=
Eε
A=
∆L L0
EA ，于是Vε
=
∆d
=
∆d ∆st
P 。定义
∆d ∆st
= kd 为动载荷因数，则有
Fd P
=
∆d ∆st
= σd σ st
五年级简易方程典型练习题
五年级简易方程典型练习题知识分析】大家在课堂上已经学了简单的解方程,现在我们学习比较复杂的解方程。
首先,我们要对方程进行观察,将能够先计算的部分先计算或合并,使其化简,然后求出X 的值。
【例题解读】例 1 解方程：6X+9X-13=17【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X,因此，可以将原方程转化成15X-13=17从而顺利地求出方程的解。
解：6X+9X-13=17,15X-13=1715X=30X=2 。
例2 解方程：10X-7=4.5X+20.5【分析】方程的两边都有X运用等式的性质，我们先将方程的两边同时减去4.5X然后再在两边同时加上7,最后求出X.解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+75.5X=27.5,X=5.【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12解方程:13X+4X-19.5=40解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9解方程练习课【巩固练习】1、解方程：7（2X-6）=842、解方程5（X-8）=3X3、解方程4X+8=6X-44、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7列方程解应用题知识分析】大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的,现在可好啦！我们学习了列方程解应用题, 就可以轻松地解决类似于这样的应用题。
【例题解读】例题 1 今年王老师的年龄是陈强的 3 倍,王老师6 年前的年龄和陈强10 年后的年龄相等,陈强和王老师今年各是多少岁？【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄,我们不妨设今年陈强的年龄是X岁王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10 年后的年龄相等”这个数量关系式,列出方程。
解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10,2X=16,X=83X=3X 8=24答：陈强今年8 岁,王老师今年24岁。
小学五年级数学易错题库练习题分析及解答
小学五年级数学易错题库练习题分析及解答1.题例：做一种奶油蛋糕，每个要7.5克奶油，50克奶油最多可以做成多少个这样的蛋糕？50÷0.75=66.666…≈67（个）2.错误原因分析：该题在求蛋糕个数取近似值时，许多同学往往根据四舍五入法，取近似值，而不考虑实际生活情况，得67个蛋糕。
而实际生活中在做完66个整蛋糕后，剩下的50克奶油并不够做一个完整的蛋糕。
3.解题思路点拨：该题在解题时应考虑实际生活情况，每个蛋糕要7.5克奶油，50克奶油能做50÷0.75=66（个）……50（克），剩下的50克奶油并不够做一个完整的蛋糕，应该舍去，用去尾法解决该题。
4.解题过程：50÷0.75≈66（个）答：50克奶油最多可以做成66个这样的蛋糕。
5.变式矫正:（1）每套衣服用布2.2米，50米布最多可以做多少套这样的衣服？（2）每个足球45元，汪叔叔用300元最多可以买多少个这样的足球？（3）每个油壶可装3千克油，装40千克油需准备多少个这样的油壶？（4）一堆货物13.6吨，如果用载重量4吨的卡车装运，至少要几次才能运完？（5）幼儿园买了50个蛋糕，每8个装一盒，至少要用多少个这样的盒子？02小学五年级数学下册易错题填空类（一）1．把5米长的绳子平均剪成4段，每段长（）米，每段是全长的（）。
2．把3kg水果平均分给4个小朋友，每个小朋友分得这3kg 水果的（），每个小朋友分到（）kg。
3．王师傅8分钟制作了5个零件，他每分钟能制作（）个零件，制作一个零件要（）分钟4．把5米长的绳子剪去米，还剩下（）米。
5米长的绳子剪去它的，还剩下（）米。
5、的分子加上9，分母加（）分数的大小才不会变。
6．同时是2、3倍数的最小三位数是（），同时是2、3、5倍数的最小三位数是（），同时是2、3倍数的最大两位数是（），同时是3、5倍数的最大两位数是（），同时是2、3、5倍数的最大两位数是（），100以内最大的质数是（），50以内最大的质数是（）。
材料力学典型例题与详解(经典题目)
= 3.64
2、按挤压强度条件确定铆钉数：挤压面面积 A = δ d ，铆钉挤压强度条件为
σ bs
=
Fb Abs
=
F nδ d
≤ [σ
bs]
得
n
≥
δ
d
F [σ
bs
]
=
10
× 10 −3
m
×
160 ×103 20 ×10−3 m
N × 320
× 10 6
N/m 2
= 2.5
两者取大值，最后确定铆钉数 n = 4。
衡条件得 F 作用截面上侧轴力为
FNB +
=
L a2ρ 2
=
4 m × (0.2 m)2 2
× 20 × 103
N/m 3
= 1.6 × 103 N = 1.6 kN
然后将杆沿 F 作用截面（B-B）下侧截开，设截面上轴力为压力 FNB− ，研究上半部分
杆段。这时杆段受本身重量作用和集中力 F 作用，所以由静力平衡条件得 F 作用截面下侧 轴力为
FNB−
=
L a2ρ 2
+
F
=
4 m × (0.2 m)2 2
× 20 ×103
N/m 3
+ 10 ×103
N = 11.6 ×103 N = 11.6 kN
4、计算 A-A 截面轴力：从 A-A 截面将杆截开，设截面上轴力为压力 FNA ，则 FNA 应与该杆
上所有外力平衡。杆所受外力为杆的自重和集中力 F ，杆段自重为 La 2 ρ ，方向向下。于是
2 图示石柱桥墩，压力 F = 1000 kN，石料密度 ρ = 25 kN / m3 ，许用应力 [σ ] =1 MPa。试 比较下列三种情况下所需石料体积。（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等 强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力 [σ ] ）。 解题分析：设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。可以想象，在桥墩顶截面只 有压力 F 作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力 F 外，还承受桥墩本身重量，该处轴力 最大。当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。如果采用阶梯型石柱，需 考虑每段的强度。如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。 解：1、采用等截面石柱
典型例题解析(化学分析部分)
分析化学典型例题解析（化学分析部分）例 1. 分析某药物的含氮量，测定数据如下：37.45%，37.20%，37.50%，37.30%，37.25%。
计算平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差，如果真实含量为37.38%，求其绝对误差和相对误差。
[解题分析]该题的主要目的是练习掌握有关误差的基本概念及计算 [解题演示]5%25.37%30.37%50.37%20.37%45.37++++=∑=n x x i 每一次测定值与平均值之差 D 1=x 1-x =37.45%-37.34%=+0.11% 相同的计算方法得d 2= -0.14% d 3=+0.16% d 4= -0.04% d 5=-0.09% 平均偏差 5%09.0%04.0%16.0%14.0%11.0++++=∑=nd d i =0.11%相对平均偏差%29.0%100%34.37%11.0%100=⨯=⨯=x d r d 标准偏差15%)09.0(%)04.0(%)16.0()14.0(%)11.0(1222222--+-++-+=-∑=n d s i 相对标准偏差 %35.0%100%34.37%13.0%100=⨯=⨯=x s s r 绝对误差 %04.0%38.37%34.37=-=-=真实T x E a 相对误差%1.0%100%38.37%04.0%100=⨯=⨯=真实T E a [解题评注] 计算此类习题，误差的基本概念和公式，特别是它们之间的区别与联系要清楚。
该类型的习题是加深理解误差基本概念的较好的题型。
例2 某试样甲乙二人的分析结果分别为甲：40.15%，40.15%，40.14%，40.16% 乙：40.25%，40.01%，40.01%，40.26%问：谁的结果可靠，为什么？[解题分析] 该题目的目的是比较甲、乙两个人的分析结果的可靠性，由于题目并未知试题的真实值，故该题目只能从精密度的角度来考核结果。
(完整版)等差数列典型例题及分析
第四章 数列[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
小学四年级奥数巧算年龄例题及练习题-精华版
小学四年级奥数巧算年龄例题及练习题【篇一】例题：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。
几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁。
所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。
练习题：1、妈妈今年36岁，儿子今年12岁。
几年后妈妈年龄是儿子的2倍？2、小强今年15岁，小亮今年9岁。
几年前小强的年龄是小亮的3倍？3、爷爷今年60岁，孙子今年6岁。
再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？【篇二】例题：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。
再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁，再求80比54多80－54=26岁。
26里面包含多少个2，就是经过的年数。
所以，再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
练习题：1、蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。
再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁？2、林星今年8岁，爸爸今年34岁。
当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少岁？3、今年爸爸56岁，儿子30岁。
当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁？【篇三】例题：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。
妈妈和女儿今年各多少岁？分析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁。
于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。
所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁，妈妈今年是9×4=36岁。
练习题：1、今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。
爸爸和儿子今年各是多少岁？2、今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。
第二章习题解答.doc
8第二章 高频小信号放大器典型例题分析与计算例2-1 图2-18所示电路为一等效电路，其中L =0.8uH,Q 0=100,C =5pF,C 1 =20pF,C 2 =20pF,R =10k Ω,R L =5k Ω，试计算回路的谐振频率、谐振电阻。
题意分析 此题是基本等效电路的计算，其中L 为有损电感，应考虑损耗电阻0R (或电导0g )。
解由图2-18可画出图2-19所示的等效电路。
图2-18 等效电路 图2-19 等效电路(1)回路的谐振频率0f由等效电路可知L =0.8H μ，回路总电容C ∑为12122020515(pF)2020C C C C C C ∑⨯=+=+=++则0f ==45.97(MHz)=(2)R L 折合到回路两端时的接入系数p 为211212121112C C p C C C C C C ωω===++则9()2233110.50.0510s 510L P R -=⨯=⨯⨯ 电感L 的损耗电导0g 为0660011245.97100.810100g LQ ωπ-==⨯⨯⨯⨯⨯ ()643.3010s -=⨯总电导 23-3031110.0433100.05101010L g g P R R ∑-=++=+⨯+⨯⨯ ()30.193310s -=⨯谐振电阻 ()P 1 5.17k R g ∑==Ω例2-2 有一个RLC 并联谐振电路如图2-20所示，已知谐振频率f 0=10MHz,L =4μH ,Q 0=100,R =4k Ω。
试求(1)通频带20.7f ∆;(2)若要增大通频带为原来的2倍，还应并联一个多大电阻?题意分析 此题是一个RLC 并联谐振电路的基本计算，了解通频带的变化与回路电阻的关系。
解 (1)计算通频带电感L 的损耗电导0g 为 图2-20 RLC 并联谐振回路066001121010410100g LQ ωπ-==⨯⨯⨯⨯⨯()639.810s -=⨯回路总电导6031139.810410g g R ∑-=+=+⨯⨯ ()6289.810s -=⨯10回路的有载品质因数L Q 为666011g 21010410289.810L Q L ∑ωπ--==⨯⨯⨯⨯⨯⨯13.74=回路通频带()()6600.7101020.72810Hz 0.728MHz 13.74L f f Q ∆⨯===⨯= (2)若通带增大一倍，即20.71.456MHz f ∆=，计算应再并多大电阻R '根据题意要求通频带增大一倍，则回路的有载品质因数应减小一倍，即16.872LL Q Q '== 对应的'g ∑应该增大一倍，即 ()6'2579.610s g g ∑∑-==⨯ 因为0'11g g R R∑=++' 所以0''11g g g g R R ∑∑∑⎛⎫=-+=- ⎪'⎝⎭()6289.810s -=⨯则 3.45k R '=Ω图2-21 单调谐放大电路11例2-3 单调谐放大器如图2-21所示。
材料力学典型例题及解析 1.拉伸应力典型习题解析
轴向拉压应力与材料的力学性能典型习题解析1 图示直杆截面为正方形，边长a =200 mm ，杆长L = 4 m ，F = 10 kN ，材料密度3m /kN 20=ρ. 考虑杆的自重，计算1-1和2 -2截面轴力，并画轴力图。
解题分析：杆的自重为体积力。
当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。
为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和A-A 截面。
解：1、计算1-1截面轴力：从1-1截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为1N F ，为压力（见图b ），则1N F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重，大小为ρ24a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得 042N1=+−ρa L F N 800N/m 1020m 2.0m 2.04m 44332N1=××××==ρa L F 2、计算2-2截面轴力：从2-2截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为N2F ，为压力（见图c ），则N2F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重和集中力F ，杆段自重为ρ243a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得(c)(a) (b)题1图(d)kN 12.4N 104.12N/m 1020m 2.0m 2.04m43N 10104333332N2=×=×××××+×=+=ρa L F F 3、计算集中力F 作用截面上的轴力：首先将杆沿力F 作用截面（B-B ）上侧截开，设截面上轴力为压力+B F N ，研究上半部分杆段。
由于只受本身重量作用，所以由静力平衡条件得F 作用截面上侧轴力为kN 1.6N 106.1N/m 1020)m 2.0(2m 4233322N =×=×××==+ρa L F B 然后将杆沿F 作用截面（B-B ）下侧截开，设截面上轴力为压力−B F N ，研究上半部分杆段。
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5．3 典型习题和题例分析与解答题5．1 假设指令的解释分取指、分析和执行3步，每步的时间相应地为t取指、t分析、t执行，(1)分别计算下列几种情况下，执行完100条指令所需时间的一般关系式；i.顺序方式；ii.仅“执行x”与“取指x剩”重叠，iii.仅“执行x”、“分析r+：”，“取指。
+：”重叠．(2)分别在t取指＝t分析＝2，t执行＝l及t取指＝t执行＝5，t分析 =2两种情况下，计算出上述各结果。
[分析] 可先按指令间所要求的时间关系画出指令间的时间重叠关系图，由图就可以列出各种情况下，计算100条指令所需时间的一般关系式。
再将给出的时间值代入，实际完成100条指令所需的时间就可以求得。
*顺序方式工作的时间关系如图5．1所示。
取指k分析k执行k取指k+1分析k+1执行k+1取指k+2分析k+2执行k+2图顺序方式工作的时间关系图仅“执行k”与“取指k+1”、重叠方式工作的时间关系如图5．2所示．取指k分析k执行k取指k+1分析k+1执行k+1'取指k+2分析k+2执行k+2图5．2 仅“执行k”，与“取指k+1”重叠方式工作的时间关系图仅“执行k”、“分析k+1”、“取指k+2”重叠方式工作的时间关系如图5．3所示．取指k分析k执行k取指k+1分析k+1执行k+1^取指k+2分析k+2执行k+2图5．3 仅“执行k”、“分析k+1”、“取指k+2”重叠方式工作的时间关系图[解答] (1)计算执行完100条指令所需要的时间：(i)顺序方式工作时为100(t t t⨯++取指分析执行）(ii)仅“执行k”，与“取指k+1”重叠方式工作时为—{}10099maxt t t t t++⨯+取指分析取指执行执行，(iii)仅“执行k”、“分析k+1”、“取指k+2”重叠方式工作时为{}{}{} max98max max,t t t t t t t t t ++⨯++取指分析取指取指分析执行执行分析执行，，，(2)当t取指＝t分析＝2、t执行＝l时，代入上面的各式，可求得100条指令执行所需要的时间是：顺序方式工作时为500。
仅“执行k”，与“取指k+1”重叠方式工作时为401。
仅“执行k ”、“分析k+1”、“取指k+2”重叠方式工作时为203。
【当 t 取指＝t 执行＝5，t分析 =2，代入上面的各式，可求得100条指令执行所需要的时间是：顺序方式工作时为1200。
仅“执行k”，与“取指k+1”重叠方式工作时为705。
仅“执行k ”、“分析k+1”、“取指k+2”重叠方式工作时为510。
题5．2 流水线由4个功能部件组成，每个功能部件的延迟时间为△t 。
当输。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ① ②图5．4 题5. 2的流水时空图所以，按周期性工作时的流水线平均吞吐宰为： 《 105147p T t t==∆∆题5．3 有一个浮点乘流水线如图5．5(a)所示，其乘积可直接返回输入端或暂存于相应缓冲寄存器中，画出实现A*B*C*D 的时空图以及精入端的变化，并求出该流水线的吞吐率和效率；当流水线改为图5．5(b)形式实现同一计算时，求该流水线的效率及吞吐率。
[分析] 为了减少运算过程中的操作数相关，A*B*C*D 应改为采用((A*B) * (C*D))的算法步骤进行运算。
[解答] 按图5．5(a)组织．实现A*B*C ，D 的时空关系如图5．6所示。
-吞吐率 313p T t =∆效率 35531313t t η⨯∆==⨯∆流水按图（b ）组织时，实现A*B*C*D 的时空关系如图所示。
吞吐率 311p T t =∆效率 35531111t t η⨯∆==⨯∆题5．4 一个4段的双输入端规格化浮点加法流水线，每段经过时间10ns ，输出可直接返回输入或将结果暂存于相应缓冲器中，问最少需经多少时间能求出10∑ii=1A，并画出时空图。
[分析] 为了避免流水线的先写后读相关，使流水线性能尽可能高，需将10∑i i=1A调整成$((((1A +2A )+(3A 十4A ))十(j t 9A +10A ))+((5A +6A )+(7A +8A ))) 的算法步骤来进行。
[解答] 按((((1A +2A )+(3A 十4A ))十(8A 9A +10A ))+((5A +6A )+(7A +8A ))) 流水的时空图如图5．8所示．由图5．8之时空图可知，求10∑i i=1A 所需要的最少时间为170ns 。
题 为提高流水线的效率可用哪两种主要途径来克服速度瓶颈现有3段流水线各段经过的时间依次为△t 、3△t 、△t 。
|(1)分别计算在连续输入3条指令时和30条指令时的吞吐率和效率。
(2)按两种逾径之一改进，画出你的流水线结构示意图．同时计算连续输入3条指令和30条指令时的吞吐率和效率。
(3)通过对(1)、(2)两小题的计算比较可得出什么结论[分析] 根据题意可以看出，原3段的流水线工作起来仍可看成是一条线性流水线只是其中经过时间为3△t 的段是瓶颈段，所以可以按1(1)p miji nT t n t==∆+-∆∑及 11(1)mii mi j i n t m t n t η==•∆=⎡⎤∆+-∆⎢⎥⎣⎦∑∑来求得p T 和η.其中，n 为连续输入的指令数，m 为3个段，，△1t ＝△t ，2t ＝3△t ，△3t =△t, △j t 为瓶颈段经过时间，本题的△j t 为3△t 。
在改进流水性能时，无论是将瓶颈段2段细分成3个时间分别为△t 的子段，还是用3个瓶颈段2段并联，计算吞吐率、效率时，只需将公式中的m 由3改成5，△j t 改成，△i t 即可。
…[解答] 提高流水线效率，消除速度瓶颈主要有将瓶颈段再细分以及重复设置多个颈段并联工作，给其轮流分配任务的两种途径。
(1)在3段流水线，各段经过时间依次为△t 、3△t 、△t 的情况下，连续流入3条指令时，将n=3，m ＝3，△1t ＝△t ，2t ＝3△t ，△3t =△t, △j t =3△t 代入，可得吞吐率p T ，和效率η为13352311(1)p miji nT t t tt n t====∆+⨯∆∆∆+-∆∑1135531111(1)mii m i j i n t t t m t n t η==•∆⨯∆===⨯∆⎡⎤∆+-∆⎢⎥⎣⎦∑∑而连续流入30条指令时，只需将上式之n 改为30，其它参数不变，得 31303015529346(301)p iji T t t tt t====∆+⨯∆∆∆+-∆∑3052539246t t η⨯∆==⨯∆ 。
(2)若采取将2段细分成3个子段，每个子段均为△t ，构成的流水线结构如图5．92所示。
连续流入3条指令时，将n ＝3，m ＝5，△i t ＝△j t ＝△t 代入，得 51333527(31)p iii T t t tt t====∆+∆∆∆+-∆∑5133515575717ii t t tt tη=•∆⨯∆===⨯∆⨯∆∆∑连续流入30条指令时，将n=30代入，其它参数不变，有 5130301552917(301)p iii T t t tt t====∆+∆∆∆+-∆∑"3051553417t t η⨯∆==⨯∆若采取将3个2段并联构成的流水线，其构成如图5．10所示。
连续流入3条指令及流入30条指令时的吞吐率p T ，和效率η所计算的结果分别与子过程细分的相同。
（3）将（1）题的计算结果进行比较可以看出，只有当连续流入流水线的联指令越多时，流水线的实际吞吐率和效率才会提高。
将(1)、(2)题的计算结果进行比较，同样可以看出，无论采用瓶颈子过程再细分，还是将多个瓶颈子过程并联来消除流水线瓶颈，都只有在连续流入流水线的指令数越多时才能使实际吞吐率和效率得到显著的提高。
若连续流入流水线的指令数太少，消除流水线瓶颈虽可以提高流水线的实际吞吐率p T ，而效率η却可能下降。
题 有一个双输入端的加一乘双功能静态流水线，由经过时间为△t 、2△t 、2△t 、△t 的l 、2、3、4四个子过程构成．加按1—2—4连接，乘按1—3—4连接，流水线，S 出设有数据缓冲器，也可将数据直接返回输入．现要执行A*（B+C*（D+E*F ））+G*H的运算，请调整计算顺序，画出能获得吞吐率尽量高的流水时空图，标出流水线入，出端数据的变化情况，求出完成全部运算的时间及此期间流水线的效率．如对流水线瓶颈子过程再细分，最少只需多少时间可完成全部运算若子过程3不能再细分，只能用并联方法改进，问流水线的效率为多少 ）[分析] 因为是加一乘双功能静态流水线，为了能有高的吞吐率，应减少流水线的功能切换次数。
因此，宜将算法调整成先一连串的乘，然后再切换成一连串的加．这样，将计算式展开成 ：A*B+A*C*D+A*C*E*F+G*H对于该表达式的计算，自然应先进行乘法流水．为了减少因先写后读相关而等待的时间，应尽量安排对计算式子项数量多的乘法先进行操作．此外，由于流水线中瓶颈子过程为 2△t ，所以，流水输入端最快也只能每隔2△t 输入一组数据。
[解答] 根据题意，对算法经调整后，能使流水吞吐宰尽量高的流水时空图如图所示。
图中已标出了流水线入、出端的数据变化情况．根据图5．11的流水时空图，可以看出，完成全部运算的时间为2△t 。
在此期间的流水线效率1122334455667788)))))))a b a b a b a b a b a b a b a b •+•+•+•+•+•+•+•（（（（（（（如果现在将瓶颈子过程2和3均细分成两个子过程．则时空图如图5．12所示。
…图5．12 子过程细分后的沈水线时空图由田5．12可见，完成全部运算最少需要18△t 的时间即可。
现在若干过程3不能再细分了，只能用2个子过程3通过并联来改进，则其时空图如图5．13所示。
完成全部运算时的流水线效率241216183t t t η∆+∆==⨯∆题 现在长度为8的向量A 和B ，请分别画出在下列4种结构的处理器上求点积A •B 的时空图，并求完成全部结果的最少时钟拍数。
设处理器中每个部件的输出均可直接送到任何部件的输入端或存入缓冲器，其间的传送延时不计，指令和源操作数均能连续提供。
（1）… （2） 处理器有一个乘法部件和一个加法部件，不能同时工作，部件内也只能顺序方式工作，完成一次加法或乘法均只需5拍；（3） 与（1）基本相同，只是乘法部件和加法部件可并行；（4） 处理器有一个乘、加功能静态流水线，乘、加均由5个部件流水段构成，各段经过时间要1拍；（5） 处理器有乘、加两条流水线，可同时工作，各由5段构成，每段经过时间为1拍。
[分析] 长度为8的向量A 和B 的点积为811223344556677881i i i A B a b a b a b a b a b a b a b a b a b =•=•=+++++++∑共需做8次乘法和7次加法。