全等三角形综合培优测试题

A B C D E F O 《全等三角形》培优练习题一、在较复杂图形中寻找所需全等三角形解决问题例1、已知：如图，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC 的中点，那么 △BMN 是等边三角形吗？说明理由．【对应练习】1、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE ，，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）当点B A D ，，在一条直线上，试说明：AM=AN ；（2）将A D E △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请 判断AM=AN 是否成立？并说明你的理由； (3)在旋转的过程中，设直线BE 与CD 相交于点P ，当90°<∠BAC<180°时，请直接 写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系. 二、通过证两次三角形全等解决问题例2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，且OA=OB ，OC=OD ，过O 作直线，交AC 于E ，交BD 于F 。

求证：OE=OF 。

【对应练习】2、如图，在Rt △AEB 和Rt △AFC 中，∠E ＝∠F ＝90°，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC ＝∠FAB ，AE ＝AF ．求证：MB=NCABC EM F DN C E N D A B M 图①C A EM B D N 图②O B A C DE 三、通过转化命题或添作辅助线减少证明三角形全等的次数，简化解题过程例3、已知AB=AC, ∠ABE=∠ACD, 求证: BD=CE.【对应练习】3、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。

四、动点问题例4、如图，△ABC 是边长为5cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．例5、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【对应练习】4、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q和点P都以3cm/s的速度运动，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P的运动速度为2cm/s，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度和运动时间t．5、如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起.现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动，且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点.请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．。

人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练（含答案）考点1 利用SSS求证三角形全等1．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．2．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：(1)△DCA≌△EBC；(2)AD//CE．3．已知：如图，已知线段AB、CD相交于点O、AD、CB的延长线交于点E、OA=OC、EA=EC，求证：∠A=∠C、考点2 利用SAS求证三角形全等4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，BF=CE，AB‖DE，求证：△ABC≅△DEF．5．在△ABC中,AD为边BC上的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.△ABC的面积与△ABE的面积相等吗?说明理由6．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC ＝DC，AC，BD相交于点O．(1)求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；(2)如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．考点3 利用AAS 或ASA 求证三角形全等7．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．（1）证明：BDA AEC ≌；（2）3BD =，4CE =，求DE 的长．8．如图，已知AD 为ABC ∆的中线，延长AD ，分别过点B ，C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥．求证：BED CFD ∆≅∆．9．如右图，已知,90AB AC BAC BE CE =∠=︒,⊥于点E ，延长BE CA 、相交于点F ，求证：ADC AFB ≌10．如图，已知E 、F 在AC 上，AD //CB ，且∠D=∠B ，AE=CF ．求证：DF=BE ．考点4 利用HL 求证三角形全等11．在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF ≌；（2）若30CAE ∠=︒，求ACF ∠度数．12．如图，已知AE =DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，且AB =EC ．求证：BC =AB ＋DC ．13．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．14．如图：AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD、求 .证：BE AC考点5 全等三角形综合15．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证：BM=CN；(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM、CN与AC之间的数量关系_______．(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，∠MAN+MPN=180°，若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为（6，0）、（0，6），P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM＝ON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．答案1．解：（1）证明：BF EC =∵，BF FC EC FC ∴+=+，BC EF ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ≅∆∆∴；（2）150BFD ∠=︒，180BFD DFE ∠+∠=︒， 30DFE ∴∠=︒，由（1）知，ABC DEF ∆≅∆，ACB DFE ∴∠=∠，30ACB ∴∠=︒．2.（1）证明：点C 是AB 的中点，AC BC ∴=；在DCA ∆与EBC ∆中，AD CE CD BE AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()DCA EBC SSS ∴∆≅∆，（2）证明：DCA EBC ∆≅∆，A BCE ∴∠=∠，//AD CE ∴．3.如图，连结OE在、OEA 和、OEC 中OA OC EA EC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩、、OEA、、OEC （SSS ）、、A ＝、C （全等三角形的对应角相等）4.∵BF=CE ，∴BF+FC=CE+FC ，即BC=EF ．∵AB ∥DE ，∴∠B=∠E ．在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）5.△ABC 与△ABE 的面积相等．理由：∵AD 为边BC 上的中线，∴BD=CD ，在△BDE 和△CAD 中，BD DC BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CAD、SAS、，BDE ABD CAD ABD S S S S +=+，即△ABC 与△ABE 的面积相等．6.(1)证明：①在△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）.②∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAO=∠DAO.∵AB=AD ，∠BAO=∠DAO ，OA=OA ，∴△ABO ≌△ADO （SAS ）.∴OB=OD ，AC ⊥BD.(2)筝形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积=12×AC×BO+12×AC×DO=12×AC×(BO+DO)=12×AC×BD=12×6×4=12. 7.（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∵AB AC ⊥，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在BDA 和AEC 中，90ADB CEA ABD CAEAB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BDA AEC AAS ≅；（2）∵BDA AEC ≅△△，∴BD AE =，AD CE =，∴7DE DA AE BD CE =+=+=．8.证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴ BD ＝CD ，∵ BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠E ＝∠CFD ＝90°在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，90BDE CDF E CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴ Rt △BDE ≌Rt △CDF （AA S ）9.、、BAC=90°，、、BAF=180°-、BAC=90°，、、BAF=、CAD ，、F+、ABF=90°，∵CE ⊥BE ，、、CEF=90°，、、F+、ACD=90°，、、ABF=、ACD ，在、ADC 和、AFB 中，BAF CAD AC ABACD ABF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， 、、ADC ≌、AFB （ASA ）．10.解：证明：∵AE=CF ，∴AE -EF=CF -EF即AF=CE ，∵AD ∥CB ，∴∠A=∠C ，在△ADF 和△CBE 中，A C AF CE DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CBE （ASA ），∴DF=BE ．11.（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB -∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°．12.∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，在Rt △AEB 和Rt △EDC 中，AB EC AE DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △EDC （HL ），∴DC=BE ，∵BC=BE+CE ，∴AB+DC=BC ．13.（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠DFC=∠BEC=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，CE CF BC CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ）；（2）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠CFA=∠CEA=90°，在Rt △AFC 和Rt △AEC 中，CF CE AC AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFC ≌Rt △AEC （HL ），∴AF=AE ，由（1）知Rt △BCE ≌Rt △DCF ，则BE=DF ，∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE 的长是15．14.证明： ∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°．又∵BF ＝AC ，FD ＝CD ，∴△RtADC ≌Rt △BDF （HL ）．∴∠EBC ＝∠DAC ．又∵∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＋∠ACD ＝90°．∴BE ⊥AC ．15.（1）证明：点P 为EAF ∠平分线上一点，PB AE ⊥于B ，PC AF ⊥于C ， PB PC ∴=，在Rt PBM ∆和Rt PCN ∆中，PB PC PM PN =⎧⎨=⎩， Rt PBM Rt PCN ∴∆≅∆，BM CN ∴=；（2）AM CN AC +=，理由如下：在Rt PBA ∆和Rt PCA ∆中，PB PC AP AP =⎧⎨=⎩， Rt PBA Rt PCA ∴∆≅∆，AB AC ∴=，AM CN AM BM AB AC ∴+=+==，故答案为：AM CN AC +=；（3）:2:1AC PC =，4PC =，8AC ∴=，PB AE ⊥，PC AF ⊥，90ABP ACP ∴∠=∠=︒，180MAN BPC ∴∠+∠=︒，又180MAN MPN ∠+∠=︒， MPB NPC ∴∠=∠，在PBM ∆和PCN ∆中，BPM CPN PB PCPBM PCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PBM PCN ∴∆≅∆，∴四边形ANPM 的面积=四边形ABPC 的面积1842322=⨯⨯⨯=． 16.解：（1）结论：PM ＝PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB ＝OA ＝6，∠AOB ＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝12AB＝PB＝P A，OP⊥AB，∠PON＝∠P AM＝45°，∴∠OP A＝90°，在△PON和△P AM中，ON AMPON PAMOP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON≌△P AM（SAS），∴PN＝PM，∠OPN＝∠APM，∴∠NPM＝∠OP A＝90°，∴PM⊥PN，PM＝PN．（2）结论：OD＝AE．理由如下：如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG＝∠BOD＝∠OFD＝90°，∴∠ODF+∠AOG＝90°，∠ODF+∠OBD＝90°，∴∠AOG＝∠DBO，∵OB＝OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G＝∠AEP，在△P AE和△P AG中，AEP GPAE PAGAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△P AE≌△P AG（AAS），∴AE＝AG，∴OD＝AE．。

三角形培优练习题1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点，求证:A 3 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC4 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C5 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD ,且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7 已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求DC10.如图，已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证：AD + BC=AB.11如图，△ ABC中，AD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B12 如图：AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证：人皿是厶ABC的中线。

E13已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB，垂足分别为D、E, BD、CE相交于点F。

求证：BE =CD.C14在厶ABC中，ACB 90 , AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D ,BE MN于E •⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ADC也CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,15 如图所示，已知AE! AB, AF丄AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF ( 2) EC丄BF请给出证明；若不成立，说明理由B C16.如图，已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？请说明理由17.如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明：连接BF 和EF。

人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定()A ．形状、大小均不相同B ．形状相同，但大小不同C ．大小相同，但形状不同D ．形状、大小均相同2. 如图1所示的图形中与图2中图形全等的是 ( )图1 图23. 如图，△ABC ≌△EDF ，DF=BC ，AB=ED ，AC=15，EC=10，则CF 的长是( )A .5B .8C .10D .154.如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使△ABC△△DEC ，不能添加的一组条件是( )A ．BC ＝EC ，△B ＝△E B ．BC ＝EC ，AC ＝DC C ．BC ＝DC ，△A ＝△DD ．△B ＝△E ，△A ＝△D5. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A．0.5 B．1C．1.5 D．26. 下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知△AOB，求作：△DEF，使△DEF＝△AOB.作法：(1)以__△__为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心，__○__长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心，__△__长为半径画弧交前弧于点F；(4)作__△__，则△DEF即为所求作的角．则下列回答正确的是()A．△表示点E B．○表示EDC．△表示OP D．△表示射线EF7. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．△A＝△D D．BF＝EC8. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-29. 如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN 的长度的取值范围为()A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤310. 如图，已知在四边形ABCD中，△BCD＝90°，BD平分△ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．4211. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为()A.6.5B.5.5C.8D.1312. 如图，∠AOB＝120°，OP平分△AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，△1＝△2，△A＝△D，要使△ABC△△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________(只需写出一个)．14. 如图所示，把△ABC沿直线AC翻折，得到△ADC，则△ABC△________，AB 的对应边是________，AC的对应边是________，△BCA的对应角是________.15. 已知△ABC的三边长分别是6，8，10，△DEF的三边长分别是6，6x－4，4x ＋2.若两个三角形全等，则x的值为________．16. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．17. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED 与AB相交于点G.若△ACD＝40°，则△AGD＝________°.18. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.19. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．20. 如图，AB△CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则△BPD的度数为________．21. 如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=.22. 如图所示，已知AD△BC，则△1＝△2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC△△CBA，理由是______，则△DCA＝△BAC，理由是__________________，则AB△DC，理由是________________________________．23. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，△A＝80°，△BDC＝120°，则△B＝________°.24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.三、作图题（本大题共2道小题）△，请根据“S 25. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知ABCAS”基本事实作出DEF△≌△．△，使DEF ABC26. 如图，已知△ABC.求作:直线MN，使MN经过点A，且MN∥BC.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)四、解答题（本大题共6道小题）27. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE△△CDF.28. 已知:如图12-3-12,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,.求证:.请你补全已知和求证,并写出证明过程.29. 如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2△3△4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)30. 如图，BD是△ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM△AD，PN△CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.31. 如图，已知△C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.(1)求△APB的度数．(2)求证：点P在△C的平分线上．(3)求证：△PD＝PE；△AB＝AD＋BE.32. 如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝AB，连接AG，AD.求证：(1)△BAD△△CGA；(2)AD △AG .人教版 八年级数学下册 第12章 全等三角形综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] ∵△ABC ≌△EDF ，AC=15，∴EF=AC=15. ∵EC=10，∴CF=EF -EC=15-10=5.4. 【答案】C5. 【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C 中添加△A ＝△D 不能判定△ABC△△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.8. 【答案】A[解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点 E.∵点D 的坐标是(0，-3)， ∴OD=3.∵AD 是△OAB 的角平分线， ∴ED=OD=3，即点D 到AB 的距离是3.9. 【答案】C[解析] 作PM ⊥OB 于点M.∵OP 平分∠AOB ,PE ⊥OA ,PM ⊥OB ,∴PM=PE=3.∴PN ≥3.10. 【答案】B[解析] 过点D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°， ∴DH ＝CD ＝4.∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB·DH ＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.11. 【答案】A[解析] 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △DFE 和Rt △DHG 中,∴Rt △DFE ≌Rt △DHG. 在Rt △ADF 和Rt △ADH 中,∴Rt △ADF ≌△ADH. 设△EDF 的面积为x.由题意得,38+x=51-x ,解得x=6.5,∴△EDF 的面积为6.5.12. 【答案】D【解析】如解图，①当OM 1＝2时，点N 1与点O 重合，△PMN 是等边三角形；②当ON 2＝2时，点M 2与点O 重合，△PMN 是等边三角形；③当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PMN 是等边三角形；④当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4(SAS)，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PMN 是等边三角形，此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D.二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】AB ＝DE(答案不唯一)14. 【答案】△ADCAD AC △DCA [解析] △ABC 与△ADC 重合，则△ABC△△ADC.15. 【答案】2[解析] 由全等三角形的对应边相等可知有以下两种情况：△4x ＋2＝10，解得x ＝2； 6x －4＝8， 解得x ＝2.由于2＝2，所以此种情况成立． △4x ＋2＝8，解得x ＝32； 6x －4＝10，解得x ＝73.由于32≠73，所以此种情况不成立． 综上所述，x 的值为2.16. 【答案】2.5[解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，△S △ABC ＝12×8·h＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.17. 【答案】40 [解析] 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，△△ABC△△DEC(SSS)． △△A ＝△D.又△△AFG ＝△DFC ，△△AGD ＝△ACD ＝40°.18. 【答案】12 [解析] 如图，连接BE.∵D 为Rt △ABC 中斜边BC 上的一点，过点D 作BC 的垂线，交AC 于点E ，∴∠A=∠BDE=90°.在Rt △DBE 和Rt △ABE 中，∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm ，∴DE=12 cm .19. 【答案】17 [解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA)．∴AB ＝ED ＝17米．20. 【答案】90° [解析] △点P 到AB ，BD ，CD 的距离相等，△BP ，DP 分别平分△ABD ，△BDC.△AB△CD ，△△ABD ＋△BDC ＝180°.△△PBD ＋△PDB ＝90°.故△BPD ＝90°.21. 【答案】 922. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行23. 【答案】20 [解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，△△BAD△△CAD(SSS)．△△BAD ＝△CAD ，△B ＝△C.△△BDF ＝△B ＋△BAD ，△CDF ＝△C ＋△CAD ，△△BDF ＋△CDF ＝△B ＋△BAD ＋△C ＋△CAD ，即△BDC ＝△B ＋△C ＋△BAC.△△BAC ＝80°，△BDC ＝120°，△△B ＝△C ＝20°.24. 【答案】16 [解析] ∵BF ∥AC ，∴∠EBF=∠EAD.在△BFE 和△ADE 中，∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD.∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5，∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】如图，DEF △即为所求．26. 【答案】解:如图所示，作∠MAB=∠B ，则直线MN 即为所求(其他方法合理也可).四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD.(2分)又∵E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴DE ＝DF.(4分)在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AD ＝CD∠ADE ＝∠CDF DE ＝DF，∴△ADE ≌△CDF(SAS )．(8分)28. 【答案】解:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,EPD=PE证明:∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO 和△PEO 中,∴△PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE.29. 【答案】解：(答案不唯一)如图，分别作△ACB 和△ABC 的平分线，相交于点P ，连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2△3△4.理由如下：如图，过点P 分别作PE△AB 于点E ，PF△AC 于点F ，PH△BC 于点H. △P 是△ABC 和△ACB 的平分线的交点，△PE ＝PF ＝PH.△S △PAB ＝12AB·PE ＝10PE ，S △PAC ＝12AC·PF ＝15PF ，S △PBC ＝12BC·PH ＝20PH ， △S △PAB △S △PAC △S △PBC ＝10△15△20＝2△3△4.30. 【答案】证明：△BD 是△ABC 的平分线，△△ABD ＝△CBD.在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，△ABD ＝△CBD ，BD ＝BD ，△△ABD△△CBD(SAS)．△△ADB ＝△CDB.△点P 在BD 上，PM△AD ，PN△CD ，△PM ＝PN.31. 【答案】解：(1)△AE ，BD 是△ABC 的角平分线，△△BAP ＝12△BAC ，△ABP ＝12△ABC.△△BAP ＋△ABP ＝12(△BAC ＋△ABC)＝12(180°－△C)＝60°.△△APB ＝120°.(2)证明：如图，过点P 作PF△AB ，PG△AC ，PH△BC ，垂足分别为F ，G ，H.△AE ，BD 分别平分△BAC ，△ABC ，△PF ＝PG ，PF ＝PH.△PH ＝PG.又△PG△AC ，PH△BC ，△点P 在△C 的平分线上．(3)证明：△△△C ＝60°，PG△AC ，PH△BC ，△△GPH ＝120°.△△GPE ＋△EPH ＝120°.又△△APB ＝△DPE ＝△DPG ＋△GPE ＝120°，△△EPH ＝△DPG.在△PGD 和△PHE 中，⎩⎨⎧△PGD ＝△PHE ＝90°，PG ＝PH ，△DPG ＝△EPH ，△△PGD△△PHE.△PD ＝PE.△如图，在AB 上截取AM ＝AD.在△ADP 和△AMP 中，⎩⎨⎧AD ＝AM ，△DAP ＝△MAP ，AP ＝AP ，△△ADP△△AMP.△△APD ＝△APM ＝60°.△△EPB ＝△MPB ＝60°.在△EBP 和△MBP 中，⎩⎨⎧△EPB ＝△MPB ，BP ＝BP ，△EBP ＝△MBP ，△△EBP△△MBP.△BE ＝BM.△AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.32. 【答案】证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.∴∠ABE ＝∠ACF.在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，∴△BAD ≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.∵∠AFG ＝90°，∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG.。

第十二章综合测试题（满分100分，时间90分钟）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．如右图所示，△ABCcn△BAD，如果,4,5,6cm AD cm BD cm AB ===那么BC 的长是( )．A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．无法确定2．到三角形三边距离相等的点是( )．A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．不能确定3．下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是( )．DE AB D A E B A =∠=∠∠=∠,,. EF AC F C D A B =∠=∠∠=∠,,.EF AC D A E B C =∠=∠∠=∠,,. D A ED BC DE AB D ∠=∠==,,.4．在△ABC 和///C B A ∆中，,,,,,///////a C B b C A a BC b AC C C ====∠=∠且,//a b a b -=- +=+/b a b ,/a 则这两个三角形( )．A ．不一定全等B ．不全等C ．全等，根据“ASA”D ．全等，根据“SAS”5．如右图所示，在△ABC 中，F E AC AB 、,=分别是AB 、AC 上的点，且、BF AF AE ,=CE 相交于点0，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有( )对．4.A5.B6.C7.D6．如下左图所示，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是( )．AC AB A =. 90.=∠BAC B AC BD C =. 45.=∠B D7．如下中图所示，BC 、AE 是锐角△ABF 的高，相交于点D ，若,2,7,===CF AF BF AD 则BD 的长为( )．2.A3.B4.C5.D8．如下右图所示，在△ABC 中，,90 =∠ABC 延长AB 至点E ，使,AC AE =过E 作AC EF ⊥于点F ，EF 交BC 于点G ，若,40 =∠C 则EAG ∠的度数是( )．25.A 20.B 30.C 35.D9．如右图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,,AD AB BAD ⋅>∠下列结论中正确的是( )CD CB AD AB A ->-. CD CB AD AB B -=-.CD CB AD AB C -<-. CD CB AD AB D --与.的大小关系不确定10.如右图所示，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为ADG DG DE F ∆=,,和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为( )．11.A 5.5.B 7.C 5.3.D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.已知，在△ABC 和△DEF 中，,,F C D A ∠=∠∠=∠需要增加条件=∠==B EF BC DF AC ③②;;.;DE AB E =∠④上述增加的条件中不能使DEF ABC ∆≅∆的是12.如右图所示，给出四个条件：.,,,FC FB AD AE CE BD AC AB ====④③②①请选出两个作为条件，余下两个作为结论组成一个正确的命题，用的形式写成 （只写一种即可）．13.如下左图所示，,2,4,43,21,//==∠=∠∠=∠BC AD BC AD 则AB 的值为14．如下中图所示，AC 平分AD CE D B BAD ⊥=∠+∠∠,180,于点,7,10,cm AB cm AD E ==那么DE的长度为 cm ．15．如下右图所示，0为C B ∠∠、的平分线的交点，BC OD ⊥于点,3,56,cm OD BAC D ==∠ 则BAE ∠= ，点0到AB 的距离是16.如下左图所示的4×4的正方形网格，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠765432117.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：,90 =∠=∠C B E 是BC 的中点，CED CD AB AD ∠+=,,35 =如下中图所示，则么EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小伟第一个得出正确答案， 是18．如下右图所示，直线AB 、ON 交于点Q ，且,OB OA =过A 、B 两点分别作OQ AM ⊥于点OQ BN M ⊥, 于点N ，若,4,9==BN AM 则MN 的长为19．下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、对应角的平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等，其中正确命题的个数有20.如右图所示，G 、H 分别是四边形ABCD 的边AD 、AB 上的点，090B DCB ,2=∠=∠=∠==D CB CD ,45, =∠GCH 则△AGH 的周长为三、解答题（21—25题每题5分，26—28题每题6分，29题7分）21．如右图所示，BC AB ⊥于点AC EF B ⊥,于点BC DF G ⊥,于点.,DF BC D =求证：.EF AC =22．如右图所示，,,AD CF AD BE ⊥⊥且,DF DE =请你判断AD 是△ABC 的中线，还是角平分线？请说明理由．23.如右图所示，.,,CAE BAD AE AC AD AB ∠=∠==求证：.DE BC =24．如右图所示，D 是BC 边上一点，.,,AE AC DE BC AD AB ===求证：.BAD CDE ∠=∠25．如右图所示，两车从路段A ，B 的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C ，D 两地，两车行进的路线平行，那么C ，D 两地到路段A ，B 的距离相等吗？为什么？26．如右图所示，在△ABE 和△ACD 中，给出四个论断：AN,;;===AM AE AD AC AB ③②①;,BE AE DC AD ⊥⊥④现将四个论断分别粘贴在四个学生的后背上，进行如下游戏：其中三个学生站在讲台的左边，另一个学生站在讲台的右边，要求以三个学生后背上的部分论断作为题设，另一个学生后背上的论断作为结论，使之成为一个真命题或题目，这个游戏可进行几轮？并对其中的一种情况进行证明．27.如右图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度，现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C ，该点可以直接到达A 与B 点，接着他量出AC 和BC 的距离并找出AC 与BC 的中点E 、F ，连接EF ，测量EF 的长，于是他便知道了水潭AB 的长等于2EF ，你还有比小军更简单的方法吗？简单说明理由．28．如右图所示，已知.,,90BC AB BE DB DBE ABC ===∠=∠(1)求证：.,CE AD CE AD ⊥=(2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变；则(1)中结论是否仍成立？请证明．29.如图(a)所示，△ABCcn△DEF，将△ABC 和△DEF 的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O.(1)当△DEF 旋转至图(b)位置时，点B(E)、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是(2)当△DEF 继续旋转至图(c)位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)在图(c)中，连接BO 、AD ，猜想BO 与AD 之间有怎样的位置关系？画出图形，写出结论，无需证明，。

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是()2. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE等于()A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS4. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°5. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是()A.点O在点A的南偏东60°方向上B.点B在点A的北偏东30°方向上C.点B在点O的北偏东60°方向上D.点B在点O的北偏东30°方向上6. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()7. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=°.10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.12. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．13. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．14. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题17. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．18. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.19. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，P是对角线AC上除A，C外的任意一点．求证：∠ABP ＝∠ADP.20. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.21. (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B.故选A.3. 【答案】A4. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．5. 【答案】D[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.6. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.7. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】125[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.10. 【答案】AB ＝AC11. 【答案】20[解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△BAD ≌△CAD(SSS)． ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠B ＋∠BAD ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， ∴∠BDF ＋∠CDF ＝∠B ＋∠BAD ＋∠C ＋∠CAD ， 即∠BDC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAC. ∵∠BAC ＝80°，∠BDC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝20°.12. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD ＝12AB·h12AC·h＝43.13. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．14. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS全等三角形的对应角相等内错角相等，两直线平行15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G ，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.18. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.19. 【答案】证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，CB ＝CD ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAP ＝∠DAP.在△BAP 和△DAP 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ， ∴△BAP ≌△DAP.∴∠ABP ＝∠ADP.20. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.21. 【答案】解：(1)证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∴∠CAE ＝∠ABD.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAC ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠EAC.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠EAC ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.。

BO D CE 图21、已知：如图1，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且∠B+∠D=180度，求证：AE=AD+BEABDCE 122如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由 3、（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.C BOD 图1 AE4．如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．5已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =12BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

6、.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．CB AE D图1 N M A B CDE M N 图2A C BE D N M 图3 A B C D EF7.如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：在下面两种条件下，线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明． ①AN NC =（如图②）； ②//DM AC （如图③）．附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．DACNM BACN MB① ②DACN M BDAB③ ④8直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90B C A α∠=∠= ，则EFAF -（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠< ，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．9如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动． 试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）A B C E F DD A B C EF A D F C E B图1 图2 图3A B C D EF图甲 图乙 F E AF E D C B A 图丙10如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GB图3NMB E ACD FG 图1。

A B CD E12A B CDEA BD CE .3421D CBA全等三角形综合试题1、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E 点，求证：CE=DE2、如图，已知AB=AD ，AC 平分∠DAB ，求证：EDC EBC ∠=∠。

3、已知如图，E.F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分.4、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论.5、如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.6、如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E.F 是BD上两点，且BF ＝DE ，则图中共有 对全等三角形.7、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三角形共有______对.8、两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边9、如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）A. 一定全等B. 一定不全等C. 不一定全等D. 面积相等 10、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等11、如图在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm则DEB ∆的周长是（ ）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9 cm12、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB 与CD 相等吗？请你说明理由.13、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

全等三角形培优综合练习题一、单选题1.如图，在中，是边上的高，，， .连接，交的延长线于点E，连接， .则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④2.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③3.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC.正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④5.如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF，BE=7.5，CF=6，则EF=( ).A. 2.5B. 2C. 1.5D. 17.如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（）A. B. C. D.8.如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON=90°，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM=12，OE=6，BH=3，DF=4，FN=8，图中阴影部分的面积为（）A. 30B. 50C. 66D. 809.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为（）A. B. C. D.10.如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP=180°，则下面三个结论：①AS=AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题1.在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .2.如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.3.如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则 .4.如图，在四边形中，于点，且平分，若的面积为，则的面积为 .5.如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为．6.如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD 和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是7.如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为52和36，则的面积为________．8.如图，，点是边上的点，平分，平分，有下列结论：①，② 为的中点，③ ，④ ，其中正确的有________.（填序号）三、解答题1.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．求证：AD＝2CE．2.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．3.提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4.如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．（1）.如图1，求证：CN＝BM；（2）.如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；（3）.如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．5.在正方形中，点、分别在边、上，且 .（1）.将绕点顺时针旋转，得到（如图，求证：；（2）.若直线与、的延长线分别交于点、（如图，求证：；（3）.将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图，直接写出线段、、之间的数量关系.6.如图，在，，，是上一点，于，是上一点，于．（1）.如图1，求证：；（2）.如图2，在射线上有一点，连接，，求的度数；（3）.在（2）的条件下，如图3，连接，若，求的长．7.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题．（1）.由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是．（2）.解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图3，在中，若是的中线，E是上一点，连接并延长交边于点F，且，求证：．（3）.如图4，在中，D是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由．8.在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作交AC于点F）（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．9.如图（1）[发现]：如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH= BC．（2）[拓展]：如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）[应用]：在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．10.如图（1）问题背景：如图①，在四边形中，．E，F 分别是上的点，且，请探究图中线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段之间的数量关系是________．（2）探索延伸：如图②，在四边形中，．E，F分别是，上的点，且．问（1）中的线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以60海里/小时的速度前进．2小时后，甲､乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．11.在中，，点是直线上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图1，当点在线段上，如果，则 ________度；（2）如图2，如果，求的度数是多少？（3）设，．①如图3，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线上移动，请直接写出，之样的数量关系，不用证明．12.（1）.猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出；（2）.探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）.解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由．13.据图回答问题：（1）感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF；（2）拓展：如图②，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN在内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点在D边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为________．答案解析部分一、单选题1. D2.C3.B4. B5.B6.C7.D8. B9.A 10.C二、填空题1.9＜AB＜192.①②③④3.18 14.205.86. 57. 88. ②③④三、解答题1.【答案】证明：延长AB、CE交于点F，∵∠ABC＝90°，CE⊥AD，∠ADB＝∠CDE，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠FAE，在△CAE和△FAE中，，∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∴AD＝CF＝2CE．2.【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，∴∠EFA=90°- ∠B．（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．3.【答案】证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PD；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE．4.【答案】（1）证明：∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠BOC－∠COM＝∠MON－∠COM，∴∠BOM＝∠CON，在△CON和△BOM中，，∴△CON≌△BOM（SAS），∴CN＝BM；（2）证明：连接AC，∵OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA，在△BOA和△COA中，，∴△BOA≌△COA（SAS），∴AB＝AC，∵△OMN是等腰直角三角形，∴∠ONM＝∠OMN＝45°，∵△CON≌△BOM，∴∠ONC＝∠OMB＝135°，∴∠ANC＝∠ONC－∠ONM＝135°－45°＝90°，∴AN2＋CN2＝AC2，∴AN2＋BM2＝AB2．（3）解：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下：∵，由勾股定理得：，∵，∴，由勾股定理得：，∵，∴，由勾股定理得：，∵AN2＋BM2＝AB2，∴，∴，∴以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形．5.【答案】（1）证明：如图1中，绕着点顺时针旋转，得到，，，，，在与中，，，，，.（2）证明：如图2中，设正方形的边长为 .将绕着点顺时针旋转，得到，连接 .则， .由（1）知，.，、、均为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，.（3）解：6.【答案】（1）证明：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．（3）解：延长、交于，过点作于，如图所示：由（1）（2）可证，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴≌（ASA），∴，∵都为等腰直角三角形，且BC为它们的公共斜边，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴．7.【答案】（1）（2）证明：如图，延长到点G，使，连接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：，，理由如下：如图，延长至点E，使，连接，由题意得，∴，，∵，∴，即∵，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，∴，∴，，∴，延长交于点，∵，∴，∴，∴，∴．8.【答案】（1）解：AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）解：当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°, ∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）解：CD的长为3或1如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°＋∠BEC．∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD－BC＝1，如图3，同理可得CD＝3，综上所述，CD的长为3或19.【答案】（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中，，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH= BC（2）解：∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC （SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三点共线，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH= BC，∴CE+2AH=CD（3）解：点A到BP的距离为：或．理由如下：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BP-BD=6-1=5，∵AH⊥DP，∴AH= DP= ；如图4，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH= DP= ．综上所述：点A到BP的距离为：或10.【答案】（1）EF=BE+DF（2）解：仍然成立．证明：如图1，延长到G，使，连接，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴（3）解：如图2，连接，延长､相交于点G．∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，∴，又∵，∴符合（2）中探索延伸中的条件，∴结论成立，即海里．答：此时两舰艇之间的距离是220海里．11.【答案】（1）90（2）解：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）解：①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．12.【答案】（1）（2）解：结论成立；理由如下：∵，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（3）解：为等边三角形，理由：由（2）得，，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，∴为等边三角形．13.【答案】（1）证明：∵AB⊥AD，BF⊥AF，∴∠DAG+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠B，在△ADG和△BAF中，，∴△ADG≌△BAF（AAS）；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，∠1=∠ABE+∠BAE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，∠1=∠BAC，∴∠ABE=∠CAF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）；（3）8。

第一章全等三角形综合提优卷（时间：60分钟满分：100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．有下列四种说法：①所有的等边三角形都全等；②两个三角形全等，它们的最大边是对应边；③两个三角形全等，它们的对应角相等；④对应角相等的三角形是全等三角形．其中正确的说法有( )．A．1个B．2个 C．3个 D．4个2．在△ABC和△A'B'C'中，下面能得到△ABC≌△A'B'C'的条件是( )．A．AB＝A'B'，AC＝A'C，∠B＝∠B'； B．AB＝A'B'，BC＝B'C，∠A＝∠A'； C．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠C＝∠C'； D．AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠B＝∠B' 3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A．PO B．PQ C．MO D．MQ4．如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA＝AB＝2BC，D为AB的中点，则下面式子中不能成立的是( )．A．∠1＋∠3＝90° B．DE⊥AC且DE＝ACC．∠3＝60° D．∠2＝∠35．如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD ＝1：7，则∠BAC的度数为( )．A．70° B．48° C．45° D．60°6．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )．A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等7．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是( )．第7题第8题第9题第10题A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB； D．DC＝BE8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE等于( )．A．1 B．3 C．2 D．2.59．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( )．A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中正确的是( )．A．AB－AD>CB－CD B．AB－AD＝CB－CDC．AB－AD<CB－CD D．AB－AD与CB－CD的大小关系不确定二、填空题（每题2分，共12分）11．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是_______．（填一个即可）第11题第13题第14题第15题12．在△ABC中，∠C＝30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB＝_______．13．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．①若MN＝EF，则MN⊥EF；②若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为正确的是_______．（填序号）14．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到_______位置时，才能使△ABC≌△QP A．15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝_______cm．16．将长度为20 cm的铁丝折成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数为_______．三、解答题（共58分）17．如图，方格中有一个△ABC，请你在方格内，画出满足条件A1B1＝AB，B1C1＝BC，∠A1＝∠A的△A1B1C1，并判断△A1B1C1与△ABC是否一定全等？18．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝C B．请你判断BE和DF的位置关系．19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．(1)说明△ABE≌△CAD的理由；(2)求∠BFD的度数．20．如图(1)，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN都是等边三角形．(1)求证：AN＝BM；(2)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图(2)所示），AN与BM的关系如何？请说明理由．21．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数．22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是AD中点，CE交BA延长线于点F．(1)试说明：CD＝AF；(2)若BC＝BF，试说明：BE⊥CF．24．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．(1)求证：AB⊥ED；(2)若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．25．某校七(1)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：①如图(1)所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB 之长，②如图(2)所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC ＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．阅读后回答下列问题：(1)方案①是否可行？答：_______，理由是_______；(2)方案②是否可行？答：_______，理由是_______；(3)方案②中作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是_______，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案②的结论是否仍成立，答：_______．26．已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为边AB的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F．当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图(1))，易证S△DEF＋S△CEF＝1S△AB C．2当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予说明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需说明．参考答案1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．C 10．A11．AB＝DC(答案不唯一)12．90°13．①②14．AC中点15．316．817．略18．BE∥DF19．(1)略(2)60°20．(1)略(2)AN＝BM．理由略．21．39°22．相等23．(1)易得△DEC≌△AEF，所以CD＝AF (2)说明△BEC≌△BEF，得BE⊥CF．24．25．(1)可行△ABC≌△DEC(2)可行△ABC≌△EDC(3)略26．图(2)成立；图(3)不成立．。

全等三角形专题培优测验总分： 110 分测验时光： 120 分钟卷I（选择题）一.选择题（共 10 小题,每小题2 分,共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形,则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不消失的是（）B.在一个三角形中,假如双方相等,那么它们所对的角也相等C.同位角相等,两直线平行3.已知：如图,,,,则不准确的结论是（）B.C.D.4.如图,是的中位线,延伸至使,衔接,则的值为（）A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,在轴.轴的正半轴上分离截取.,使;再分离以点.为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点．若点的坐标为,则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图,是等边三角形,,于点,于点,,则下列结论：①点在的角等分线上; ②;③;④．准确的有（）7.如图,直线..″暗示三条互订交叉的公路,现筹划建一个加油站,请求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）8.如图,是的角等分线,则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线,且比的周长大,则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合,那么它的三个内角中（）卷II（非选择题）二.填空题（共 10 小题,每小题2 分,共 20 分）11.问题情境：在中,,,点为边上一点（不与点,重合）,交直线于点,衔接,将线段绕点顺时针偏向扭转得到线段（扭转角为）,衔接．特例剖析：如图．若,则图中与全等的一个三角形是________,的度数为________．类比探讨：请从下列,两题中任选一题作答,我选择________题．：如图,当时,求的度数;：如图,当时,①猜测的度数与的关系,用含的式子暗示猜测的成果,并证实猜测;②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延伸线上”,其余前提不变,请直接写出的度数（用含的式子暗示,不必证实）12.如图,正方形纸片的边长为,点.分离在边.上,将.分离沿.折叠,点.正好都落在点处,已知,则的长为________．13.在中,为的等分线,于,于,面积是,,,则的长为________．14.在中,,的垂直等分线与地点的直线订交所得到锐角为,则等于________．15.如图,等分,于,于,,则图中有________对全等三角形．16.如图,在中,,点从点动身沿射线偏向,在射线上活动．在点活动的进程中,贯穿连接,并认为边在射线上方,作等边,贯穿连接．当________时,;请添加一个前提：________,使得为等边三角形;①如图,当为等边三角形时,求证：;②如图,当点活动到线段之外时,其它前提不变,①中结论还成立吗？请解释来由．17.如图,从圆外一点引圆的两条切线,,切点分离为,．假如,,那么弦的长是________．18.如图,在中,,,是的等分线,等分交于,则________．19.浏览下面材料：小聪碰到如许一个有关角等分线的问题：如图,在中,,等分,,求的长．小聪思虑：因为等分,所以可在边上取点,使,衔接．如许很轻易得到,经由推理能使问题得到解决（如图）．请答复：是________三角形．的长为________．参考小聪思虑问题的办法,解决问题：如图,已知中,,,等分,,．求的长．20.如图,在和中,,,若要用“斜边直角边．．”直接证实,则还需填补前提：________．三.解答题（共 7 小题,每小题10 分,共 70 分）21.如图,已知为等边三角形,为延伸线上的一点,等分,,求证：为等边三角形．22.尺规作图（不请求写作法,保存作图陈迹）如图,作①的等分线; ②边上的中线;22.一块三角形外形的玻璃决裂成如图所示的三块,请你用尺规作图作一个三角形,使所得的三角形和本来的三角形全等．（不请求写作法,保存作图陈迹．不克不及在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个,按请求进行下列绘图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格,再向上平移格后的．23.平行四边形中,,点为边上一点,贯穿连接,点在边地点直线上,过点作交于点．如图,若为边中点,交延伸线于点,,,,求;如图,若点在边上,为中点,且等分,求证：;如图,若点在延伸线上,为中点,且,问中结论还成立吗？若不成立,那么线段..知足如何的数目关系,请直接写出结论．24.如图,直线与轴.轴分离交于.两点,直线与直线关于轴对称,已知直线的解析式为,求直线的解析式;过点在的外部作一条直线,过点作于,过点作于,请画出图形并求证：;沿轴向下平移,边交轴于点,过点的直线与边的延伸线订交于点,与轴订交于点,且,在平移的进程中,①为定值;②为定值．在这两个结论中,有且只有一个是准确的,请找出准确的结论,并求出其值．25.如图：,,过点,于,于,．求证：．26.如图,点,在上,,,,与交于点．求证：;试断定的外形,并解释来由．27.如图,已知点是等分线上一点,,,垂足为.吗？为什么？是的垂直等分线吗？为什么？答案11.[“”,“”][“”]12.[“”]13.[“”]14.[“或”]15.[“”]16.[“;”][ "添加一个前提,可得为等边三角形;故答案为：;①∵与是等边三角形,∴,,,∴,即,在与中,,∴,∴;②成立,来由如下;∵与是等边三角形,∴,,,∴,即,在与中,,∴,∴．" ]17.[“”]18.[“”]19.[ "解：是等腰三角形,在与中,,∴,∴,,∵,∴,∴,∴是等腰三角形;" ][ "的长为,∵中,,,∴,∵等分,∴,在边上取点,使,衔接,则,∴,∴,∴,在边上取点,使,衔接,则,∴,,∵,∴,∴,∵,∴．" ]\"go题库\"20.[“”]21.证实：∵为等边三角形,∴,,即,∵等分,∴,在和中,,∴,∴,,又,∴,∴为等边三角形．22.解：如图所示：;如图所示：即为所求;;①如图所示：即为所求;②如图所示：即为所求;．．23.解：如图,在平行四边形中,,∴,∵在中,为的中点,,∴,又∵,∴,故可设,,则中,,解得,∴,又∵,,∴为的中点,∴;如图,延伸交的延伸线于点,则,∵,∴,又∵等分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴;若点在延伸线上,为中点,且,则中的结论不成立,准确结论为：．证实：如图,延伸交的延伸线于点,则,∵,∴,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴．24.解：∵直线与轴.轴分离交于.两点,∴,,∵直线与直线关于轴对称,∴∴直线的解析式为：;如图．．∵直线与直线关于轴对称,∴,∵与为象限等分线的平行线,∴与为等腰直角三角形,∴,∵,∴∴∴,,∴;①对,过点作轴于,直线与直线关于轴对称∵,,又∵,∴,则,∴∴∴∴∴．25.证实：衔接,∵,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,在和中,∴．26.证实：∵,∴,即．又∵,,∴,∴．解：为等腰三角形来由如下：∵,∴,∴,∴为等腰三角形．27.解：．来由：∵是的等分线,且,,∴,∴;是的垂直等分线．来由：∵,在和中,,∴,∴,由,,可知点.都是线段的垂直等分线上的点,从而是线段的垂直等分线．。

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C AD BCB ACD F2 1 E5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB C D B A B C D A9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

P D A C B FA E D CB P E DC BA D CB A求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

八年级数学《全等三角形》能力培优一•解答题(共8小题)1 •如图所示，一个四边形纸片ABCD / B=Z D=90°,把纸片按如图所示折叠, 使点B 落在AD边上的B'点，AE是折痕.(1)试判断B'与DC的位置关系；(2)如果/ C=130,求/ AEB的度数.2•已知：点A (4, 0),点B是y轴正半轴上一点，如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC.(1)当点B坐标为(0, 1)时，求点C的坐标；(2)如图2,以OB为直角边作等腰直角△ OBD,点D在第一象限，连接CD交y轴于点E.在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由.3. 如图，在△ ABC中，/ ACB=90, AC=BC E为AC边的一点，F为AB边上- 点，连接CF,交BE于点D且/ ACF W CBE CG平分/ ACB交BD于点G,（1）求证：CF=BG（2）延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP// AG交BE的延长线于点P, 求证：PB=CF+CF;4. 如图（1）, AB=CD AD=BC O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么/ 1与/2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的Z 1与/2的关系成立吗？请说明理由.5•如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设/ AED的度数为x, / ADE的度数为y,那么/ 1，/ 2的度数分别是多少? (用含有x或y的代数式表示)(3)Z A与/ 1 + Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.6. 在△ ABC中，AD是厶ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE// AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连接AF，求证：AF丄AD;(2)如图2, M为BC的中点，过M作MN // AD交AC于点N,若AB=4, AC=7 求NC的长.7. 如图，在Rt A ABC中，/ ABC=90, CD平分/ ACB交AB于点D, 点E，BF// DE交CD于点F.8 .已知：△ ABC内部一点O到两边AB AC所在直线的距离相等，且DE X AC 于OB= OC八年级数学《全等三角形》能力培优参考答案与试题解析一•解答题(共8小题)1 •如图所示，一个四边形纸片ABCD / B=Z D=90°,把纸片按如图所示折叠, 使点B 落在AD边上的B'点，AE是折痕.(1)试判断B'与DC的位置关系；S' D(2)如果/ C=130,求/ AEB的度数.B【分析】(1)由于AB'是AB的折叠后形成的，所以/ AB Ea=B=Z D=90 , A B Z E// DC;(2)利用平行线的性质和全等三角形求解.【解答】解：(1)由于AB'是AB的折叠后形成的，/ AB E=B=/ D=90，A B' E DC;(2)v折叠，•••△ABE^A AB，A/ AEB =AEB 即/ AEB= / BEB，2••• B' E DC,A/ BEB =C=130,A/ AEB=- / BEB =65°【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B点，则△ ABE^A AB，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解.2. 已知：点A (4, 0)，点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABC.(1)当点B坐标为(0, 1)时，求点C的坐标；(2)如图2,以0B为直角边作等腰直角△ OBD,点D在第一象限，连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由.【分析】(1)过C作CM丄y轴于M，通过判定△ BCM MA AB( AAS)，得出CM=BO=1, BM=AO=4,进而得到OM=3,据此可得C (- 13);(2)过C 作CM丄y 轴于M，根据△ BCM^A ABO,可得CM=BO, BM=OA=4, 再判定△ DBE^A CME (AAS，可得BE=EM,进而得到BE=-BM=2.【解答】解：(1)如图1,过C作CM丄y轴于M.•••CM 丄y 轴，•••/ BMC=Z AOB=90 ,•••/ ABC+Z BAO=90•Z ABC=90,•••Z CBM+Z ABO=90 ,•••Z CBM=Z BAO,在厶BCM与厶ABO中，'ZBIC=ZACBu ZCBJI=ZBAO,BC-ABL•••△BCM^A ABO (AAS),•CM=BO=1 BM=AO=4,•OM=3 ,• C (- 1 , - 3);(2)在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2,理由：如图2,过C作CM丄y轴于M ,由(1)可知：△ BCM^A ABO,••• CM=BO, BM=OA=4.•••△ BDO是等腰直角三角形，••• BO=BD / DBO=90 ,••• CM=BD, / DBE=Z CME=9°,在△DBE与△ CME中，'ZDBE=ZCME* ZDEB=ZCEM,L BD=IC•••△ DBE^A CME (AAS),••• BE=EM••• BE= BM=2.【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△ DBE^A CME是解第（2）题的关键.3. 如图,在厶ABC中,/ ACB=90 , AC=BC E为AC边的一点,F为AB边上点，连接CF,交BE于点D且/ ACF W CBE CG平分/ ACB交BD于点G,(1)求证：CF=BG(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP// AG交BE的延长线于点P, 求证：PB=CF+CF;(3)在(2)问的条件下，当/ GAC=2/ FCH时，若&AEG=3「, BG=6,求AC的长.【分析】(1)根据ASA证明△ BCG^A CAF贝U CF=BG(2)先证明△ ACG^A BCG 得/ CAG=/ CBE再证明/ PCG/ PGC即可得出结论；(3)作厶AEG的高线EM,根据角的大小关系得出/ CAG=30,根据面积求出EM 的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG BE的长，所以CE=+「，根据线段的和得出AC的长.【解答】证明：(1)如图1,v/ ACB=90, AC=BC•••/ A=45 ,v CG平分/ ACB•••/ ACG/ BCG=45 ,•••/ A=/ BCG在厶BCG^n^ CAF中,'ZA=ZBCG•v QBC ,2 AC F二Z CBE•••△ BCG^A CAF( ASA),••• CF=BG(2)如图2, v PC// AG ,•••/ PCA=/ CAQv AC=BC / ACG=/ BCG CG=CG•••△ ACG^A BCQ•••/ CAGK CBEvZ PCG= PCA+Z ACGK CAG45°/ CBE+45°,/ PGC Z GCBV CBE=Z CB^45°,•••Z PCG=Z PGC••• PC二PGv PB二BGPG BG=CF•PB=C+CP(3)如图3,过E作EM丄AG,交AG于M , V SAE(= -AG?EM=V3,2由(2)得：△ ACG^A BCG•BG=AG=6•-X 6X EM=3「,2EM=「,设Z FCH=x ,则Z GAC=2x ,•Z ACF=Z EBC=Z GAC=2x ,vZ ACH=45 ,•2x+x=45 ,x=15 ,•Z ACF=Z GAC=30 ,在Rt A AEM 中,AE=2EM=2「,AM=T：：*W J■:V T>-=3 ,•M是AG的中点，•AE二EG=2「,•BE二BGEG=62V5 ,在Rt A ECB中, Z EBC=30 ,•CE= BE=3F「,•AC二AHEC=2「+3+「=3「+3.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明厶BC3A CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，禾用到&AEG=3匚列式是突破口.4•如图（1），AB=CD AD=BC O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么/ 1与/2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的Z 1与/2的关系成立吗？请说明理由.【分析】（1）证明三角形ACD和CAB全等•根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD// BC,也就得出/ 1二/ 2 了.（2）（3）和（1）的证法完全一样.【解答】解：/ 1与/2相等.证明：在厶ADC与厶CBA中,'AD=BC“ CD-AB ,L AC=CA•••△ADC^A CBA (SSS•••/ DAC=/ BCA ••• DA/ BC.•••/ 1=Z 2.②③图形同理可证，△ ADW A CBA得到/ DACN BCA贝U DA// BC, /仁/2.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键.5. 如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设/ AED的度数为x, / ADE的度数为y,那么/ 1，/ 2的度数分别是多少？ (用含有x或y的代数式表示)(3)Z A与/ 1 + Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.【分析】(1)根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；(2)根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；(3)根据(2)中的表示方法，可以求得/ 1+Z 2，再找到/ A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系.【解答】解：(EAD^A EA'D,其中/ EADN EA'D, / AED=/ A'ED, / ADE= / A'D E;(2)Z 1= 180°- 2x,Z 2=180°- 2y;(3)vZ 1 + Z2=360°-2 (x+y) =360°-2 (180°-/ A) =2/ A. 规律为：/ 1+Z 2=2Z A.【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质.6. 在△ ABC中，AD是厶ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE// AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连接AF, 求证：AF丄AD;(2)如图2, M为BC的中点，过M作MN // AD交AC于点N,若AB=4, AC=7 求NC 的长.【分析】（1）推出/ 3=Z E,推出AC=AE根据等腰三角形性质得出AF丄CE根据平行线性质推出即可；（2）延长BA与MN延长线于点E,过B作BF/ AC交NM延长线于点F,求出BF=CN AE=AN, BE=BF 设CN=x 贝U BF=x AE=AN=A G CN=7- x , BE=AB F AE=¥7-x.得出方程4+7 - x=x.求出即可.【解答】（1证明：：AD ABC的角平分线,•••/ 仁/ 2.••• CE// AD ,•••/ 仁/ E, / 2二/ 3.•••/ E=Z 3.••• AC=AE••• F为EC的中点，••• AF丄EC,••• AD// EC,•••/ AFE=/ FAD=90.••• AF丄AD.(2)解：延长BA与MN延长线于点E,过B作BF/ AC交NM延长线于点F , •••/ 3=/ C, / F=/ 4••• M为BC的中点••• BM=CM.NF二厶在厶BFM和厶CNM中，・Z3二ZCBH=CML•••△BFM^A CNM (AAS ,••• BF=CN••• MN // AD,•••/ 仁/ E,Z 2=Z 4=Z 5.•••/ E=Z 5=Z F.••• AE=AN BE=BF设CN=x 贝U BF=x AE=AN=AC- CN=7- x, BE=ABAE=¥7 —x.••• 4+7 - x=x.解得x=5.5.平行【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定, 线的性质等知识点的综合运用.7. 如图，在Rt A ABC 中，/ ABC=90 , CD 平分/ ACB 交AB 于点D , DE X AC 于点E, BF// DE交CD于点F.【分析】根据角平分线的定义得到/ 仁/2,根据角平分线的性质得到DE=BD / 3=Z 4,由平行线的性质得到3=Z 5，于是得到结论.【解答】证明：：CD平分/ ACB•••/ 仁/ 2,T DE 丄AC,/ ABC=90••• DE=BD / 3=/4,••• BF/ DE,•••/ 4=/ 5,•••/ 3=/ 5,• BD=BF【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质, 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.8 .已知：△ ABC内部一点0到两边AB AC所在直线的距离相等,且OB=OC求证：AB=AC【分析】证明Rt A BOF^ Rt A COE根据全等三角形的性质得到/ FBON ECQ 根据等腰三角形的性质得到/ CBO=/ BCO得到/ ABC=/ ACB,根据等腰三角形的判定定理证明结论.【解答】证明：在Rt A BOF和Rt A COE中，fOF=OE(OB=OC••• Rt A BOF^ Rt A COE•••/ FBO=/ ECO••• OB=OC•••/ CBO=/ BCQ•••/ ABC=/ ACB••• AB=AC【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键.。

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：全等三角形一、单选题1．如图，在 中， ， ，边 的垂直平分线交 于点 ，垂足Rt △ABC ∠A =90°∠B =30°BC AB E 为点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）D CE AE =2BEA ．3B ．C ．4D ．3232．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为（ ）A ．1B ．C ．D ．5432433．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm4．如图，在 中， ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两ΔABC ∠BAC =116°A ，B 12AB弧相交于点 ，作直线 ，交 于点 ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为D ，E DE BC M A C 12AC半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交 于点 ；连接 、 ，则 P ，Q PQ BC N AM AN ∠MAN 的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．52∘50∘58∘64∘5．下列说法错误的是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．全等三角形的周长相等C ．面积相等的三角形全等D ．面积不等的三角形不全等6．如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，且EH=EB.下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC ；③BE+CH=AE ；④△AEC 是等腰直角三角形.你认为正确的序号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④7．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ）A ．B ．C ．1D ．122228．下列命题错误的是（ ）A ．直径是弦B ．若a+b>0 ，则a >0 ，b >0C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．矩形的对角线互相平分9．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）A．n B．n﹣1C．4（n﹣1）D．4nA B C10．在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位△ABC置是在的（ ）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点D．三边上高所在直线的交点11．下列命题是假命题的是（ ）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等12．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（ ）A．∠DAE=∠CBE B．△DEA不全等于△CEBC．CE=DE D．△EAB是等腰三角形二、填空题ΔABC∠BAC=106°EF MN AB AC13．如图所示，在中，，、分别是、的垂直平分线，点E N BC∠EAN=、在上，则 .Rt△ABC∠ACB=90∘BC=614．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于CD=5AE=E，若，则 .∠ABC15．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交∠A=60°∠ACP=24°∠ABP于点P.若，，则的度数为 .RtΔABC∠B=90°ED AC AC D BC 16．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于E∠BAE=10°∠C点 . 已知，则的度数为 .317．已知，如图在坐标平面内，OA⊥OC，OA=OC，A（，1），则C点坐标为　．18．如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，已知BC＝10，△BDC的周长为25，则AC＝ .三、综合题19．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B 的坐标为（3，1），求点M的坐标．20．如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择　题A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②若图2中的DB′∥A′C′，写出平移的距离．B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，写出此时平移的距离．21．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．22．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC 交AC的延长线于G，（1）求证：BF=CG；（2）若AB=7，AC=3，求AF的长．23．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．224．如图，边长为2 的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F，连接CQ．求证：（1）CQ=AP；（2）△APB∽△CEP．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】B 13．【答案】32°14．【答案】25415．【答案】32°16．【答案】40°17．【答案】（﹣1， ）318．【答案】1519．【答案】（1）解：△AOG 的形状是等腰三角形，理由如下：∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠GOA ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠CAO=∠GAO ，∴∠GOA=∠GAO ，∴AG=OG ，∴△AOG 是等腰三角形（2）解：如图1，接连BC ，过O 作OE ⊥AB 于E ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， ∵B 、C 关于y 轴对称，AC ∥y 轴，∴AC ⊥BC ，在Rt △COD 和Rt △BOE 中，，{DO =OE CO =BO ∴△COD ≌△BOE （HL ），∴∠DCO=∠EBO ，∴∠BAC+∠BOC=180°，设∠BAO=∠CAO=x ，∠OBC=∠OCB=y ，∴2x+∠BOC=180°，又∵2y+∠BOC=180°，∴x=y ，故∠OAC=∠OBC ，∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO ⊥OB（3）解：如图2，连BC ，作MF ⊥x 轴于F ，BH ⊥x 轴于H ， 则∠ACB=90°，∵∠ACM=45°，∴CM 平分∠ACB ，又AM 平分∠BAC ，∴BM 平分∠ABC ，设∠ABM=∠CBM=z ，由（2）可得∠OMB=x+z ，∠OBM=y+z=x+z ∴∠OMB=∠OBM ，∴OM=OB∴△OBM 为等腰直角三角形，∵ ，{∠MFO =∠BHO =900∠FMO =∠BOH OM =OB ∴△OMF ≌△OBH （AAS ），∴OF=BH=1，MF=OH=3，∴M （﹣1，3）20．【答案】（1）解：证明：如图1中，∵BC ⊥AM ，BD ⊥AN ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABC ≌△ABD ，∴AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴AB 垂直平分线段CD ．（2）解：A ：①△A′B′C′如图所示；②作DH ⊥AB 于H ． 在Rt △ABD中，AB ＝10，BD ＝BC ＝6， ∴AD ＝ ＝8， ∵cos ∠DAH ＝ ＝ ， ∴AH ＝ 102−62AH AD =AD AB 45 ， ∵DB′∥AC ， ∴∠AB′D ＝∠CAB ， ∵∠CAB ＝∠DAB ， ∴∠DAB ＝∠AB′D ，325∴DA ＝DB′，∵DH ⊥AB′， ∴AH ＝HB′， ∴AB′＝ ， ∴BB′＝AB′﹣AB ＝ ﹣10＝ ， ∴645645145平移的距离为 ， B ：①△A′B′C′如图所示： ②作C′H ⊥AP 于H ． 145∵∠ABD ＝∠C′BB′＝∠C′B′A′， ∴C′B ＝C′B′， ∵C′H ⊥BB′， ∴BH ＝HB′， ∵cos ∠A′B′C′＝， ∴ ， ∴HB′＝ ， ∴BB′＝2B′H ＝ ， ∴平移的距离为 ． 故答HB ′B ′C ′=B ′C ′A ′B ′HB ′6=610185365365案为A 或B ， ， ．14536521．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∠AOB=90°∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON ，∴△OAM ≌△OBN （ASA ），∴OM=ON ；（2）解：如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E 为OM 的中点，∴HM=4，则OM= =2 ，22+425∴MN= OM=2 ．21022．【答案】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，∵ED ⊥BC ，D 为BC 中点，∴BE=EC ，∵EF ⊥AB EG ⊥AG ，且AE 平分∠FAG ，∴FE=EG ，在Rt △BFE 和Rt △CGE 中，，{BE =CE EF =EG ∴Rt △BFE ≌Rt △CGE （HL ），∴BF=CG ．（2）解：在Rt △AEF 和Rt △AEG 中，，{AE =AE EF =EG ∴Rt △AEF ≌Rt △AEG （HL ），∴AF=AG ，∵Rt △BFE ≌Rt △CGE （HL ），∴BF=CG ，∴AB+AC=AF+BF+AG﹣CG=2AF ，∴2AF=10，∴AF=523．【答案】（1）证明：∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD ，∵CB=CD ，CB=BF ，∴BF=CD ，在△ABF 和△ACD 中，，{AB =AC ∠ABF =∠ACD BF =CD ∴△ABF ≌△ACD （SAS ），∴AD=AF（2）解：四边形ABNE 是正方形；理由如下：证明：由（1）知，AF=AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB=∠DAC ，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD ，在△AEF 和△ABD 中， ，{AE =AB ∠EAF =∠BAD AF =AD ∴△AEF ≌△ABD △AEF ≌△ABD （SAS ），∴BD=EF ；∵CD=CB ，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，∵∠EAB=90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE=AB ，∴四边形ABNE 是正方形24．【答案】（1）解：如图，∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ，∴BP=BQ ，∠PBQ=90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA=BC ，∠ABC=90°．∴∠ABC=∠PBQ ．∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC ，即∠ABP=∠CBQ ．在△BAP 和△BCQ 中，∵ ，{BA =BC ∠ABP =∠CBQ BP =BQ ∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．∴CQ=AP ；（2）解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC= ∠BAD=45°，∠BCA= ∠BCD=45°，1212∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，∵△PBQ 是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP ，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB ∽△CEP。