2018年高中数学北师大版必修五：第1章 §1-1.1 数列的概念包含解析

1．1 数列的概念学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一 数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？梳理 (1)按____________排列的____________叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的____．(2) 数列的一般形式可以写成________________________________简记为________，其中数列的第1项a 1，也称________；a n 是数列的第n 项，也叫数列的________． 知识点二 通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？梳理 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．数列的通项公式就是相应函数的解析式．不是所有的数列都能写出通项公式．思考2 数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二 数列的通项公式的应用 引申探究对于例2中的{a n }． (1)求a n ＋1； (2)求a 2n .例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N ＋.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．反思与感悟 在通项公式a n ＝f (n )中，a n 相当于y ，n 相当于x ，求数列的某一项，相当于已知x 求y ，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N ＋，那么1120是这个数列的第______项．1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝n ＋1，n ∈N ＋ C ．a n ＝n ＋2，n ∈N ＋ D ．a n ＝2n ，n ∈N ＋3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n2n －1，n ∈N ＋，则a 1＝________；a n ＋1＝________.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．答案精析问题导学 知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理 (1)一定次序 一列数 项(2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， {a n } 首项 通项 知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2如图，数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且是连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． 题型探究例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n，n ∈N ＋.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N ＋.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)nn ×(n ＋1)，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)， 79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，79×(104－1)， 所以，它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N ＋.例2 解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解 (1)a n ＋1＝(－1)n ＋1[(n ＋1)＋1][2(n ＋1)－1][2(n ＋1)＋1]＝(－1)n ＋1(n ＋2)(2n ＋1)(2n ＋3). (2)a 2n ＝(－1)2n (2n ＋1)(2×2n －1)(2×2n ＋1)＝2n ＋1(4n －1)(4n ＋1).跟踪训练2 10 解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10. 当堂训练(－1)n(n＋1) 1．D 2.B 3.12n＋1。

第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列4、通项公式法:如数列的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65 (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，a n ＝n ＋2)1(1n -+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，a n ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。

§1数列1．1数列的概念1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重、难点)[基础·初探]教材整理1数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．1．数列的有关概念2.(1)一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；(2)字母表示：上面数列也记为{a n}．3．数列的分类判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2，－2,5，－3可以构成数列．( ) (2)1,2,3,4,5,6,7是无穷数列．( ) (3)数列中的项不能相等．( )【解析】 (1)由数列的概念知该列数可以构成数列． (2)是有穷数列，要表示无穷数列，应把“…”放在“7”后． (3)由数列的概念知，数列中的项可以相等． 【答案】 (1)√(2)× (3)× 教材整理2 通项公式阅读教材P 5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题． 1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作是定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(1)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2＋2n ＋1，则数列中的第4项为________． (2)若数列的通项公式为an ＝2n －1，则a n ＋1＝________. 【解析】 (1)当n ＝4时，a 4＝3×42＋2×4＋1＝57. 【答案】 57(2)a n ＋1＝2(n ＋1)－1＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1[小组合作型]。