离散型随机变量的概率分布
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第二节常见离散型随机变量的概率分布
例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
2.2 离散型随机变量的概率分布
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
2 3 2
注:若将本例中的"有放回"改为"无放 将本例中的"有放回"改为" 那么各次试验条件就不同了, 回",那么各次试验条件就不同了,不是贝 努里概型,此时,只能用古典概型求解. 努里概型,此时,只能用古典概型求解
C C P(X=2)= ≈ 0.001 P { X = 0} P { X = 1}
= 1 C 0.01 × 0.99 C 0.01 × 0.99
0 20 0 20 1 20 1
19
≈ 0.0169 重贝努利概型, (2)这是 )这是n=80重贝努利概型,参数为 重贝努利概型 参数为p=0.01,需维 , 修的机床数X~B(80, 0.01),故不能及时维修的概率为 修的机床数 故不能及时维修的概率为
eλ = ∑
k=0
λk
k!
某射手连续向一目标射击, 例4. 某射手连续向一目标射击,直到命中为 已知他每发命中的概率是p, 止 , 已知他每发命中的概率是 , 求所需射击 发数X 的概率函数. 发数 的概率函数 显然, 可能取的值是1,2,… , 解: 显然,X 可能取的值是 为计算 P(X =k ), k = 1,2, …, , , 设 Ak = {第k发命中 ,k =1, 2, …, 发命中}, 第 发命中 , 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
"使用到 使用到1000小时已坏" 小时已坏" 使用到 小时已坏 视为事件A,每次试验, 视为事件 )3+3(0.8)(0.2)2 ,每次试验 =(0.2 A发生的概率为 发生的概率为0.8 发生的概率为
离散型随机变量的概率分布
用随机变量表示随机事件:
在灯泡寿命试验中， {灯泡的寿命不低于1000小时} 可用随机变量X表示为{X≥1000}
用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到 120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}
在投硬币试验中， {正面朝上}可以表示为{X=1} 一般地：{X=k} ，{X ≤a} ，{a＜X≤b}表示一个随机 事件。
C130
X
0
1
2
3
pk
1
6
1
3
1
2
10
30
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
P{X 1} p, P{X 0} q 1 p
( 0＜p＜1，p+q=1) 则称 X 服从0-1分布（p为参数）, 也称为贝努里分布.
50次射击试验中命中的次数等都可以用一个随机变量X
来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；
(2) 一个传呼台单位时间内接到的传唤次数，城市某 十字路口一分钟内通过的机动车数、单位时间内到达 某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X来表示， 它所有可能的取值为一切非：h）是一个可以在 (0, +∞)上取值的随机变量，{X>10000}表示“电视机使用 寿命超过10000 h”这一事件．类似的，测量的误差X也 是一个随机变量，它可能的取值为(﹣∞,﹢∞)上任意实 数，{︱x︱ <0.1 }表示“测量的误差在(-0.1, 0.1)内”．
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
离散型随机变量的概率分布
概率函数具有下面两条性质 ：
(1) pn 0 n 1, 2,
(2) pn 1
n
凡满足上述两条性质的 任意一组 pn , n 1,2, 都可
以成为一个d .r .v .的概率分布。称之为离 散型 概率分布。
对于集合 xn : n 1,2, 中的任何一个子集 A，事件
“X 在A 中取值”，即事件“ X A”的概率为 P ( X A) Pn
xnA
例1：做一次试验，其结果只有两种，成功和失败，
若令成功的概率为 p，用 X表示试验成功的次，则 X的分
布律为：
X P
0
1 p
1
p
此类试验即为伯努利试验，此分布称为0-1分布。
不难求出X的分布函数
例2：设d.r.v.X的概率分布为：
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复 的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这n次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各次试验的结果互不影响 . 实际模型 设事件A在一次试验中发生的概率为 p, (0 p 1), 令X = “n次试验中A事件发生的次数”， 现独立地重复试验n次，
X P
-1 0.3
0 0.3
1 0.2
2 0.2
P ( X 1, X 0) P ( X 1 X 0) P ( X 0) P ( X 1) 0.3 3 1 P ( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{ X a } 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
(1) pn 0 n 1, 2,
(2) pn 1
n
凡满足上述两条性质的 任意一组 pn , n 1,2, 都可
以成为一个d .r .v .的概率分布。称之为离 散型 概率分布。
对于集合 xn : n 1,2, 中的任何一个子集 A，事件
“X 在A 中取值”，即事件“ X A”的概率为 P ( X A) Pn
xnA
例1：做一次试验，其结果只有两种，成功和失败，
若令成功的概率为 p，用 X表示试验成功的次，则 X的分
布律为：
X P
0
1 p
1
p
此类试验即为伯努利试验，此分布称为0-1分布。
不难求出X的分布函数
例2：设d.r.v.X的概率分布为：
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复 的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这n次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各次试验的结果互不影响 . 实际模型 设事件A在一次试验中发生的概率为 p, (0 p 1), 令X = “n次试验中A事件发生的次数”， 现独立地重复试验n次，
X P
-1 0.3
0 0.3
1 0.2
2 0.2
P ( X 1, X 0) P ( X 1 X 0) P ( X 0) P ( X 1) 0.3 3 1 P ( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{ X a } 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
离散型随机变量的概率分布
n次试验中A发生的总次数，则
X的可能值为 0,1,2,…,n, 且
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1,2,...,
n
称 X ~ B(n, p) 二项分布
n重
A发生的概率
证明：指定的k次（如前k次）让A发生，其余
的（n-k）为 A发生
而事件A在n次试验中发生k次的方式为：C
k n
P(X
§2 离散型随机变量的概率分布
主要内容
一、离散型随机变量的定义及其分布律 二、常用分布 三、常用分布之间的联系
一、离散型随机变量的定义及其分布
1. 定义 如果随机变量X所有可能值是有限个或无限可 列个，则称X为离散型随机变量。 2. 概率分布
要掌握一个离散型随机变量的分布，必须
且只需知道以下两点
(1) X所有可能的取值: x1, x2, , xk ,
例 2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为 0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾 的概率.
解: P( X 3) 0.8k e
k3 k!
查表
0.0474
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三. 常用分布的联系 1. 0-1分布和B(n,p)
X ~ B(n, p)中，当n 1时，X ~ 0 1分布，且X分解为
2
b 3 2b 1
1
2 3
b 1 2
练习1: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a , k 1,2, ,10. 10
试求常数a. (a 1)
练习2: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k 0,1,2,...., 0为常数。
第二节离散型随机变量的概率分布(分布律)
例6. 将一枚均匀骰子抛掷 3 次， 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
解: 显然， X的概率函数是：
1 k 5 3 k P {X k } C ( ) ( ) , 6 6
k 3
k 0 ,1, 2 , 3
概率统计
3
0 .
定理
设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 p 1)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
概率统计
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
Pn ( k) C p (1 p )
k n k
n k
k 0,1,2
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
记为: 列表:
X～B(n, p)
概率 Pn ( k ) 就等于二项式 [(1 p) px ]n 的展开式中 x k 注 ▲ 显然它满足： 的系数，这也是二项分布的名称的 P ( X k ) 0, 由来.
k C n p k (1 p)n k ( p q )n 1 k 0 n
概率统计
例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个目 标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
思考题： 从中抽取3只，求次品数不大于1只 例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 的概率有多大？ 求：他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 12 22 答案： P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1) 解： X 可能取值为 0、1、2 则： 35 35
问:希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
解: A : 发射 5 发炮弹就炸毁了目标
离散型随机变量的概率分布
例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期 医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工 是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为 0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求 相应的概率。
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”, P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
(k 1,2, )
若随机变量 X 的分布律为
X 1 2 k , p q 1, pk p qp qk1 p
k0 k!
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量简介离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。
在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。
在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。
二、伯努利分布伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。
它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。
该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布的概率质量函数如下：P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。
三、二项分布二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。
它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。
每次实验都有两个可能结果：成功和失败。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。
泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。
泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）内事件的平均发生次数。
五、几何分布几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
几何分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。
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解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
3.二项分布
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P{X = a} = 1 则称 X 服从 a处的退化分布.
2.两点分布（Bernoulli分布)
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当e 当e
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
显然，这时F(x)是一个跳跃函数，它在每个xi 处有跳跃度p(xi).
例 一袋中装有同质的3个白球和2个黑球，X表示 从中任取2个球中的白球数，试写出X的概率分布律 及分布函数.
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布
设随机变量 X 只取常数a，即
1.5 离散型随机变量及其分布律
一、概率分布律及分布函数 二、常见的离散型随机变量
一、概率分布律及分布函数
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
P{ X xk } pk , k 1, 2, . 称此为离散型随机变量X 的分布律.
说明
(1) pk 0, k 1,2, ;
(2) pk 1. k 1
离散型随机变量的分布律也可表示为 X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
例 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只. 问20只元件 中恰有k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?