北师大版九年级数学上 相似三角形

一对一教案
学生 学 校 年 级 九年级
教师 授课日期
授课时段
课题 相似三角形
重点 难点
重点：掌握相似多边形和相似三角形的性质，运用相似三角形的判定解决问题。

难点：运用相似三角形的判定解决问题。

教学步骤及教学内容
一、课前检测：
1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 是CD 的中点， EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。

求证：AG = DG 。

2．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于E ，EF//AB 交BC 于F 。

（1）求证：BF=CF ；
（2）图中与DE 相等的线段有 ； （3）图中与EF 相等的线段有 ；
（4）连结DF ，则DF 与AC 的位置关系是 ，数量关系是 。

3.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F
，，求EF 的长。

O
F
E
D C
B
A
A
B
C
D
F
E A B C
D G F
E
三、主要练习： 【知识点】：
相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。

在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

【例题】：
1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______．
2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ．
3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”)
4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE=
2
1
AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．
【课堂练习】：
1．下面图形是相似形的为 ( )
A ．所有矩形
B ．所有正方形
C ．所有菱形
D ．所有平行四边形
2．下列说法正确的是 ( )
A ． 对应边成比例的多边形都相似
B ． 四个角对应相等的梯形都相似
C ． 有一个角相等的两个菱形相似
D ． 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”)
4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长．
F E
D
C
B
A
【知识点】：
1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【例题】：
1、两个直角三角形一定是相似图形……………………（）
2、两个等边三角形一定是相似图形……………………（）
3、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
【课堂练习】：
1、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形……（）
2、对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等…………………………………………………（）
3、从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
【知识点】：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)
【例题】已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，
求CDF S ∆．
（2）有两个三角形△ABC 和△A ’B ’C ’，︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ，请问这两个三角形相似吗？
【课堂练习】：
1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．
求证：△PFA ∽△ABE ；
2、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2
1
=。

求证：△ABF ∽△CEB;
【知识点】：
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
【例题】：1、如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．
2、如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．这两个三角形
相似吗？
第21题图 F
A
D
E B C
【课堂练习】、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=
【知识点】：判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
【例题】：1、如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
求证：EF∥BC.
【课堂练习】如图，已知△ABC的边AB＝3
2，AC＝2，BC边上的高AD＝3．求BC的长；
四、课后练习：
1．下列说法正确的是( )
A．所有的三角形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似
2．下列四组图形中必相似的是( )
A．有一组邻边相等的两个平行四边形 B．有一个角相等的两个等腰梯形
C．对角线互相垂直的两个矩形 D．对角线互相垂直且相等的两个四边形．
3、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．
（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．
第4题 B
C D E A
4、图为❒ABC 与❒DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。

若❒ABC 与❒DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

5、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
6、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 。

D
C
B
A。