2018届高三好教育云平台5月份内部特供卷高三理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2=230A x x x --≤，(){}=ln 2B x y x =-，则A B =（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C2．下列命题中，正确的是（ ） A ．0x ∃∈R ，003sin cos 2x x +=B ．复数1z ，2z ，3z ∈C ，若()()2212230z z z z -+-=，则13z z = C ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充要条件 D ．命题“x ∃∈R ，220x x --≥”的否定是：“x ∀∈R ，220x x --<” 【答案】D3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ） A ．1415B ．115C ．29D ．79【答案】A4．若()1e ,1x -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln e x c =，则（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A5．设πsin d a x x =⎰，则6⎛⎝的展开式中常数项是（ ） A ．160 B ．160- C ．20- D ．20【答案】B6．执行如图所示的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C ．AD ．A【答案】D8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos a c Cb B-=，4b =，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A9．已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则20183a a +=（ ）A ．52B C D 【答案】C10．已知()2cos sin f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 既是偶函数又是周期函数B ．()f x 的最大值是1C ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图像关于直线πx =对称【答案】B11．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y ++=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．)3,⎡+∞⎣【答案】C12．已知函数()ln ,0e 2ln ,ex x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．()2e,2e e + B ．212e,2e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ C ．21e,2e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．21e,2e e e ⎛⎫++⎪⎝⎭【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设x ，y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为________．【答案】3-14．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且1=a ，21-=a b ，则=b _________．15．已知A ，B ，C ，D的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是________．【答案】2016．已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是_______．【答案】⎣ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4a ，7a ，12a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <． 【答案】（1）()21*n a n n =+∈N ；（2）见解析． 【解析】（1）因为{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=，由4a ，7a ，12a 成等比数列，得27412a a a =⋅， 即()()()211211117d d d +=-⋅+，0d ≠，2d ∴=，111423a ∴=-⨯=，故()21*n a n n =+∈N ． （2）证明：()()122n n n a a S n n +==+，()11111222n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 1211111111111111232435112n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111311131221242124n n n n ⎡⎤⎛⎫=+--=-+< ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭， 故34n T <． 18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥； （2）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（3）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ． 【答案】（1）0.7；（2）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（3）见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤0.030100.025100.015100.7=⨯+⨯+⨯=．（2）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=， 所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（3）由题意及（2）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=； 当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=； 当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=； 当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=； 所以T 的分布列为：所以，()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AB DC ∥，22AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点，（1）证明：BE DC ⊥；（2）若点F 为棱PC 上一点，且BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得：()1,0,0B ，()0,0,2P ，()2,2,0C ，()1,1,1E ，()0,2,0D ，()0,1,1BE ∴=，()2,0,0DC =，0BE DC ∴⋅=，即BE DC ⊥．（2）()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =，由点F 在棱PC 上，设()2,2,2CF CP λλλλ==--，()01λ≤≤，()12,22,2BF BC CF λλλ∴=+=--，BF AC ⊥，()()2122220BF AC λλ∴⋅=-+-=，解得：34λ=，113,,222BF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭． 设平面FAB 的法向量为()1,,x y z =n ，则1101130222AB x BF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ，不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的一个法向量()20,1,0=n，则121212cos ,⋅<>===⋅n n n n n n易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为10． 20．（12分）如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点1F ，2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 不同四点，直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率1k ，2k ，3k ，4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x轴重合时，AB =3CD =， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出M ，N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22132x y +=；（2） 【解析】（1）当1l 与x 轴重合时，12340k k k k +=+=，即34k k =-，2l ∴垂直于x轴，得2AB a ==，223b CD a ==，得a =b =，∴椭圆E 的方程为：22132x y +=． （2）焦点1F ，2F 坐标分别为()1,0-，()1,0，当直线1l 斜率存在，2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0， 当直线1l 斜率不存在，2l 斜率存在时，P 点坐标为()1,0-，当直线1l 、2l 斜率均存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设()11,A x y ，()22,B x y ，()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222111236360m x m x m +++-=， 则211221623m x x m +=-+，2112213623m x x m -⋅=+， 121212112112121212111422y y x x x x mk k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 同理可得2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+，()()1212212212442022m m m m m m m m ∴-=-⇒⋅+-=--， 由题意知210m m -≠，1220m m ∴⋅+=．设(),P x y ，则+2=01+1y yx x ⋅-，即()22112y x x +=≠±，当直线1l 斜率存在，2l 斜率不存在时，当直线1l 斜率不存在，2l 斜率存在时，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ， 使得PM PN +为定值，定值为 21．（12分）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-， （1）若3a =，2b =，求()h x 的极值；（2）若函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）()23ln 22h x x x x =--，()0,x ∈+∞，()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+'∴=--==，()0,x ∈+∞， 令()()()3110x x h x x --+'∴==得：13x =，当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()15=ln 336h x h ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭极大值，()h x 极小值不存在．（2）函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=， ()()2212111222ln ln 22a ah x h x x x bx x x bx ∴-=---++ ()()22121212ln ln 02a x x x xb x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x '''=-=-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x +⎛⎫'∴=-+ ⎪+⎝⎭，()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'∴-=--- ⎪+⎝⎭()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()112211211222212ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--=-++．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t -=-<<+， ()()()()222141011t r t t t t t--'∴=-=<++，()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '∴->， 又120x x -<，()00h x '∴<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求α的值．【答案】（1）见解析；（2）π4α=或3π4． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=， 24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<）代入曲线2:4C x y =． 22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===， cos 2α∴=±，又0πα≤<，π4α∴=或3π4． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1．（1）证明：22a b +=（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩， 显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即22a b +=． （2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab +≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。
