湖南省2019届中考数学总复习专题训练08二次函数与几何图形综合题练习

2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。

二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x 的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A 在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B 在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+P A的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q 分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO ＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN ⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD 于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠F AO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，。

二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题081.[2018·贺州]如图ZT8-1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(-1,4).(1)求A,B两点的坐标.(2)求抛物线的表达式.(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B,D两点间的一个动点(点P不与B,D两点重合),PA,PB与直线DE分别交于点F,G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图ZT8-12.[2018·连云港] 如图ZT8-2①,图形ABCD 是由两个二次函数y 1=kx 2+m (k<0)与y 2=ax 2+b (a>0)的部分图象围成的封闭图形,已知A (1,0),B (0,1),D (0,-3). (1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD 是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD 上),并说明理由;(3)如图②,连接BC ,CD ,AD ,在坐标平面内,求使得△BDC 与△ADE 相似(其中点C 与点E 是对应顶点)的点E 的坐标.图ZT8-23.[2018·益阳] 如图ZT8-3,已知抛物线y=12x 2-32x-n (n>0)与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C. (1)如图①,若△ABC 为直角三角形,求n 的值;(2)如图①,在(1)的条件下,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的对称轴上,若以BC 为边,以点B ,C ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标;(3)如图②,过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ,交y 轴于点E ,若AE ∶ED=1∶4,求n 的值.图ZT8-34.[2018·齐齐哈尔] 综合与探究:如图ZT8-4①所示,直线y=x+c 与x 轴交于点A (-4,0),与y 轴交于点C ,抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A ,C. (1)求抛物线的表达式;(2)点E 在抛物线的对称轴上,求CE+OE 的最小值;(3)如图②所示,M 是线段OA 上的一个动点,过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P ,N.①若以C ,P ,N 为顶点的三角形与△APM 相似,则△CPN 的面积为 ;②若点P 恰好是线段MN 的中点,点F 是直线AC 上一个动点,在坐标平面内是否存在点D ,使以点D ,F ,P ,M 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图ZT8-45.[2018·潍坊] 如图ZT8-5①,抛物线y 1=ax 2-12x+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C 0,34,抛物线y 1的顶点为G ,GM ⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的解析式.(2)如图②,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图ZT8-56.[2018·乐山]如图ZT8-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C0,-43.,OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=34(1)求抛物线的解析式.(2)动点P从点B出发,沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.①在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.②在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图ZT8-6参考答案1.解:(1)由抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A ,B 两点(A 在B 的左侧),且OA=3,OB=1,得点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).(2)设抛物线的表达式为y=a (x+3)(x-1). 把点C 的坐标代入函数表达式,得a (0+3)(0-1)=3. 解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x 2-2x+3.(3)EF+EG=8(或EF+EG 是定值).理由如下:过点P 作PQ ∥y 轴,交x 轴于Q ,如图.设P (t ,-t 2-2t+3),则PQ=-t 2-2t+3,AQ=3+t ,QB=1-t.∵PQ ∥EF ,∴△AEF ∽△AQP.∴EE EE =EEEE ,∴EF=EE ·EE EE =(-E 2-2E +3)×23+E =23+E×(-t 2-2t+3)=2(1-t ). ∵PQ ∥EG ,∴△BEG ∽△BQP.∴EE EE =EEEE. ∴EG=EE ·EE EE =(-E 2-2E +3)×21-E=2(t+3).∴EF+EG=2(1-t )+2(t+3)=8.2.解:(1)∵二次函数y 1=kx 2+m 的图象经过点A ,B ,∴{E +E =0,E =1.解得{E =-1,E =1.∴二次函数y 1=kx 2+m 的解析式为:y 1=-x 2+1. ∵二次函数y 2=ax 2+b 的图象经过点A ,D ,∴{E +E =0,E =-3.解得{E =3,E =-3.∴二次函数y 2=ax 2+b 的解析式为y 2=3x 2-3.(2)设M (x ,-x 2+1)为第一象限内的图形ABCD 上一点,M'(x ,3x 2-3)为第四象限内的图形ABCD 上一点, ∴MM'=(1-x 2)-(3x 2-3)=4-4x 2.由抛物线的对称性知,若有内接正方形,则2x=4-4x 2, 即2x 2+x-2=0.解得x=-1+√174或x=-1-√174(舍),∵0<-1+√174<1,∴存在内接正方形,此时其边长为-1+√172.(3)在Rt △AOD 中,OA=1,OD=3,∴AD=√EE 2+EE 2=√10,同理CD=√10.在Rt △BOC 中,OB=OC=1,∴BC=√EE 2+EE 2=√2. ①如图①,当△DBC ∽△DAE 时,∵∠CDB=∠ADO , ∴在y 轴上存在一点E 满足条件.由EE EE =EEEE ,得√10=√10EE. ∴DE=52.∵D (0,-3),∴E 0,-12.由对称性知,在直线DA 右侧还存在一点E'使得△DBC ∽△DAE', 连接EE',交DA 于点F ,作E'M ⊥OD ,垂足为M ,连接E'D.①∵E ,E'关于DA 对称,∴DF 垂直平分EE'.∴△DEF ∽△DAO. ∴EE EE =EE EE =EE EE ,即√10=EE 3=EE1.∴DF=3√104,EF=√104. ∵S △DEE'=12DE ·E'M=EF ·DF=158, ∴E'M=32.又DE'=DE=52,在Rt △DE'M 中,DM=√EE '2-E 'E 2=2,∴OM=1,得E'32,-1.所以,使得△DBC ∽△DAE 的点E 的坐标为0,-12或32,-1.②如图②,当△DBC ∽△ADE 时,有∠BDC=∠DAE ,EE EE =EE EE ,即√10=√10EE,得AE=52.当E 在直线DA 左侧时,设AE 交y 轴于点P ,作EQ ⊥AC ,垂足为Q.②∵∠BDC=∠DAE=∠ODA , ∴PD=PA.设PD=x , 则PO=3-x ,PA=x.在Rt △AOP 中,由PA 2=OA 2+OP 2,得x 2=(3-x )2+1. 解得x=53. ∴PA=53,PO=43. ∵AE=52,∴PE=56.∵OP ∥EQ ,∴EE EE =EEEE . ∴OQ=12.又EE EE =EE EE =23,∴QE=2.∴E -12,-2. 当E'在直线DA 右侧时,∵∠DAE'=∠BDC , 又∠BDC=∠BDA , ∴∠BDA=∠DAE'.∴AE'∥OD.∴E'1,-52.∴使得△DBC ∽△ADE 的点E 的坐标为-12,-2或1,-52.综上,使得△BDC 与△ADE 相似(其中点C 与点E 是对应顶点)的点E 有4个,其坐标为0,-12或32,-1或-12,-2或1,-52.3.解:(1)若△ABC 为直角三角形,则△AOC ∽△COB.∴EE EE =EEEE ,即OC 2=OA ·OB. 由抛物线y=12x 2-32x-n (n>0),可得OC=n ,OA ·OB=2n.∴n 2=2n.解得n 1=2,n 2=0(舍去). ∴n=2.(2)由(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=32,抛物线的解析式为y=12x 2-32x-2.令y=0,得12x 2-32x-2=0,解得x 1=-1,x 2=4, ∴A (-1,0),B (4,0).设点P m ,12m 2-32m-2.当直线PQ ∥BC ,点P 在点Q 的左侧时(如图①所示), 当△BOC 平移到△QNP 的位置时,四边形PQBC 为平行四边形, 此时NQ=OB ,即32-m=4,m=-52,12m 2-32m-2=398,此时点P 的坐标为-52,398;当点P 在点Q 的右侧时(如图①所示), 同理可得m-32=4,m=112,12m 2-32m-2=398,此时点P 的坐标为112,398.综上所述,满足条件的点P 的坐标为-52,398,112,398.(3)如图②,过点D 作DF ⊥x 轴,垂足为F ,则AO ∶OF=AE ∶ED=1∶4. 设A (a ,0),B (b ,0), 则AO=-a ,OF=-4a. ∵AD ∥BC , ∴∠OBC=∠DAO. ∵∠BOC=∠AFD=90°, ∴△BOC ∽△AFD.∴EE EE =EE EE, 即E EE =E -4E -E. ∴E EE =E -5E. 由题意,得ab=-2n.∴E E =-E 2. ∴DF=-5a ·E E =-5a ·-E 2=52a 2.∵点A ,D 在抛物线上,∴{12E 2-32E -E =0,12×16E 2-32×(-4E )-E =52E 2. 解得{E =-32,E =278.∴n 的值为278. 4.解:(1)将A (-4,0)代入y=x+c ,得c=4.∴点C 的坐标为(0,4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x 2+bx+c ,得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x 2-3x+4.(2)如图所示,作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C',连接OC'交直线l 于点E ,连接CE ,此时CE+OE 的值最小,且CE+OE=OC'.抛物线的对称轴为直线x=--32×(-1)=-32,则C'C=3,在Rt △C'CO 中,由勾股定理,得OC'=√EE '2+EE 2=5.∴CE+OE 的最小值为5.(3)①由题意易知△APM 为等腰直角三角形.设M (a ,0),则N (a ,-a 2-3a+4),P (a ,a+4).当△AMP ∽△CNP 时,EE EE =EE EE ,得4+E -E =E +4-E 2-3E +4-(E +4),解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).∴CN=3,PN=3.∴△CPN 的面积为12·CN ·PN=92.当△AMP ∽△NCP 时,EE EE =EE EE , 得√(-E 2-3E +4-4)2+(-E )2=√2(4+E )-E 2-3E +4-(E +4),解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去). ∴CN=CP=2√2.∴△CPN 的面积为12·CN ·PC=4. 故答案为92或4.②存在.D 1-2+3√22,3√22,D 2-2-3√22,-3√22,D 3(-4,3),D 412,32.理由如下:当点P 是线段MN 的中点时,-a 2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.∴M (-1,0),P (-1,3),N (-1,6).设F (f ,f+4),过点M 作AC 的平行线,易知此直线的解析式为y=x+1.易知PM=3,当PM 为菱形的边时,作PF=PM ,过F 作FD ∥PM ,交直线y=x+1于点D , ∴D (f ,f+1).∴32=2(f+1)2,解得f=-2±3√22.则D 1-2+3√22,3√22,D 2-2-3√22,-3√22.∵PM=AM=3,∴当点F 与点A 重合时,过点F 作DF ∥PM (D 在x 轴上方),且DF=PM , 连接DP ,可得出四边形DPMF 为菱形.∴点D 的坐标为(-4,3).当PM 为菱形的对角线时,作PM 的垂直平分线,交直线AC 于点F ,作点F 关于PM 的对称点D ,连接MF ,MD ,PD ,此时四边形DMFP 为菱形.将y=32代入直线AC 的解析式可得x=-52,∴点F 的坐标为-52,32.∵直线PM 的解析式为x=-1,∴点D 的坐标为12,32.综上所述,满足条件的点为D 1-2+3√22,3√22,D 2-2-3√22,-3√22,D 3(-4,3),D 412,32.5.解:(1)将B (1,0)和C 0,34代入抛物线y 1=ax 2-12x+c ,得 {E -12+E =0,E =34.解得{E =-14,E =34.所以抛物线的解析式为y 1=-14x 2-12x+34.由题意可知平移后抛物线y 2的顶点为B (1,0),故抛物线y 2的解析式为y 2=-14(x-1)2,即y 2=-14x 2+12x-14.(2)存在.令y 1=0,解得x=-3或x=1.由题意知B (1,0),故A (-3,0).设T (1,t ),又C 0,34,所以AC 2=32+342=15316,AT 2=(1+3)2+t 2=t 2+16,CT 2=12+t-342=t 2-32t+2516.①若AC=AT ,则t 2+16=15316,方程无解,故此时不存在;②若AC=CT ,则t 2-32t+2516=15316,解得t=3±√1374,此时点T 的坐标为1,3+√1374或1,3-√1374;③若AT=CT ,则t 2-32t+2516=t 2+16,解得t=-778,此时点T 的坐标为1,-778.故点T 的坐标为1,3+√1374或1,3-√1374或1,-778. (3)由题意知G (-1,1),则AM=2,GM=1. 若△PQR 与△AMG 全等,则PQ=1,QR=2或PQ=2,QR=1. 分类一:若QR=2,由抛物线y 2的对称轴为直线x=1,得点Q 的横坐标为0或2. ①当x=0时,y 1=34,y 2=-14,此时PQ=34--14=1,满足题意,则P 0,34,R 2,-14,直线PR 的解析式为y=-12x+34.②当x=2时,y 1=-54,y 2=-14,此时PQ=-14--54=1,满足题意,则P 2,-54,R 0,-14,直线PR 的解析式为y=-12x-14.分类二:若QR=1,由抛物线y 2的对称轴为直线x=1,得点Q 的横坐标为12或32.①当x=12时,y 1=716,y 2=-116,此时PQ=716--116=12≠2,不满足题意.②当x=32时,y 1=-916,y 2=-116,此时PQ=-116--916=12≠2,不满足题意.综上所述,满足题意的直线PR 的解析式为y=-12x+34或y=-12x-14.6.解:(1)∵OA=1,OB=4,∴A (1,0),B (-4,0).设抛物线的解析式为y=a (x+4)(x-1).∵C 0,-43在抛物线上,∴-43=a×4×(-1).解得a=13.∴抛物线的解析式为y=13(x+4)(x-1),即y=13x 2+x-43.(2)①存在t ,使得△ADC 与△PQA 相似.其理由如下: 在Rt △AOC 中,OA=1,OC=43,则AC=53,tan ∠ACO=EE EE =34.又∵tan ∠OAD=34,∴∠OAD=∠ACO.在Rt △AOD 中,tan ∠OAD=34,OA=1,∴OD=34.∴CD=43-34=712.在△AQP 中,AP=AB-PB=5-2t ,AQ=t.由∠PAQ=∠ACD ,要使△ADC 与△PQA 相似,只需EE EE =EE EE 或EE EE =EEEE ,则有5-2E 1E 1=71253或5-2E 2E 2=53712,解得t 1=10047,t 2=3534.∵t 1<2.5,t 2<2.5,∴存在t=10047或3534,使得△ADC 与△PQA 相似.②存在t ,使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大,其理由如下: 作PF ⊥AQ 于点F ,CN ⊥AQ 于点N ,如图所示.在Rt △APF 中,∵tan ∠PAF=34,∴sin ∠PAF=35.∴PF=AP ·sin ∠PAF=35(5-2t ).在Rt △AOD 中,由AD 2=OD 2+OA 2,得AD=54.在△ADC 中,由S △ADC =12AD ·CN=12CD ·OA ,得CN=EE ·EE EE =712×154=715. ∴S △APQ +S △CAQ =12AQ (PF+CN )=12t [35(5-2E )+715]=-35t-1392+169135. ∵0<139<52,∴当t=139时,△APQ 与△CAQ 的面积之和最大.。

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

函数与几何综合
1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；
（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．。

中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝12x2的图象，C2是函数y＝－12x2的图象，则图中阴影部分的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π2．如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l⊙x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2√3，则MN的长为（）A．2√6B．4√2C．5D．63．如图，已知⊙ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣24．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC →CB方向运动到点B．设⊙APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．5．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。

已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。

设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m²)，则y关于x的函数表达式是()A．y=-x²+50x B．y= −12x²+24xC．y= −12x2+25x D．y= −12x2+26x7．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊙BD，CE= 12BD．若⊙ABD的周长为20cm，则⊙BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）2−10x+100B．S=2x2−40x+200A．S=14xC．S=x2−20x+100D．S=x2+20x+1008．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12B．18C．24D．369．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若⊙ABC与⊙ABD的面积比为1：4，则k值为（）A．1B．12C．43D．4510．半径是3的圆，如果半径增加2x，那么面积S和x之间的函数关系式是（）A．S＝2π（x＋3）2B．S＝9π＋xC．S＝4πx2＋12x＋9D．S＝4πx2＋12πx＋9π11．设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M ,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 () A．y=−3(x−1)2+1B．y=2(x−0.5)(x+1.5)C．y=13x 2−43x+1D．y=(a2+1)x2−4x+2(a为任意常数)12．已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x−7)，y=b(x+1)(x−15)的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b(x+1)(x−15)的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）．A．向左平移4单位B．向右平移4单位C．向左平移8单位D．向右平移8单位二、填空题13．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE⊙AC，交y2于点E，则DE ＝．14．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是cm2．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，⊙AOC=60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊙AB时，CE的长为。

二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题081.[xx·贺州]如图ZT8-1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y 轴交于点C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(-1,4).(1)求A,B两点的坐标.(2)求抛物线的表达式.(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B,D两点间的一个动点(点P不与B,D两点重合),PA,PB与直线DE分别交于点F,G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图ZT8-12.[xx·连云港]如图ZT8-2①,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封闭图形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3).(1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;(3)如图②,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.图ZT8-23.[xx·益阳]如图ZT8-3,已知抛物线y=x2-x-n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.图ZT8-34.[xx·齐齐哈尔]综合与探究:如图ZT8-4①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的表达式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图②所示,M是线段OA上的一个动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为;②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图ZT8-45.[xx·潍坊]如图ZT8-5①,抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C0,,抛物线y1的顶点为G,GM ⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图②,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图ZT8-56.[xx·乐山]如图ZT8-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C0,-,OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=.(1)求抛物线的解析式.(2)动点P从点B出发,沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.①在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.②在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图ZT8-6参考答案1.解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).(2)设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1).把点C的坐标代入函数表达式,得a(0+3)(0-1)=3.解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值).理由如下:过点P作PQ∥y轴,交x轴于Q,如图.设P(t,-t2-2t+3),则PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t.∵PQ∥EF,∴△AEF∽△AQP.∴=,∴EF===×(-t2-2t+3)=2(1-t).∵PQ∥EG,∴△BEG∽△BQP.∴=.∴EG===2(t+3).∴EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.2.解:(1)∵二次函数y1=kx2+m的图象经过点A,B,∴解得∴二次函数y1=kx2+m的解析式为:y1=-x2+1.∵二次函数y2=ax2+b的图象经过点A,D,∴解得∴二次函数y2=ax2+b的解析式为y2=3x2-3.(2)设M(x,-x2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M'(x,3x2-3)为第四象限内的图形ABCD上一点,∴MM'=(1-x2)-(3x2-3)=4-4x2.由抛物线的对称性知,若有内接正方形,则2x=4-4x2,即2x2+x-2=0.解得x=或x=(舍),∵0<<1,∴存在内接正方形,此时其边长为.(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,∴AD==,同理CD=.在Rt△BOC中,OB=OC=1,∴BC==.①如图①,当△DBC∽△DAE时,∵∠CDB=∠ADO,∴在y轴上存在一点E满足条件.由=,得=.∴DE=.∵D(0,-3),∴E0,-.由对称性知,在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE',连接EE',交DA于点F,作E'M⊥OD,垂足为M,连接E'D.①∵E,E'关于DA对称,∴DF垂直平分EE'.∴△DEF∽△DAO.∴==,即==.∴DF=,EF=.∵S△DEE'=DE·E'M=EF·DF=,∴E'M=.又DE'=DE=,在Rt△DE'M中,DM==2,∴OM=1,得E',-1.所以,使得△DBC∽△DAE的点E的坐标为0,-或,-1.②如图②,当△DBC∽△ADE时,有∠BDC=∠DAE,=,即=,得AE=.当E在直线DA左侧时,设AE交y轴于点P,作EQ⊥AC,垂足为Q.②∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,∴PD=PA.设PD=x,则PO=3-x,PA=x.在Rt△AOP中,由PA2=OA2+OP2,得x2=(3-x)2+1.解得x=.∴PA=,PO=.∵AE=,∴PE=.∵OP∥EQ,∴=.∴OQ=.又==,∴QE=2.∴E-,-2.当E'在直线DA右侧时,∵∠DAE'=∠BDC,又∠BDC=∠BDA,∴∠BDA=∠DAE'.∴AE'∥OD.∴E'1,-.∴使得△DBC∽△ADE的点E的坐标为-,-2或1,-.综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E有4个,其坐标为0,-或,-1或-,-2或1,-.3.解:(1)若△ABC为直角三角形,则△AOC∽△COB.∴=,即OC2=OA·OB.由抛物线y=x2-x-n(n>0),可得OC=n,OA·OB=2n.∴n2=2n.解得n1=2,n2=0(舍去).∴n=2.(2)由(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=,抛物线的解析式为y=x2-x-2.令y=0,得x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0),B(4,0).设点P m,m2-m-2.当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧时(如图①所示),当△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,此时NQ=OB,即-m=4,m=-,m2-m-2=,此时点P的坐标为-,;当点P在点Q的右侧时(如图①所示),同理可得m-=4,m=,m2-m-2=,此时点P的坐标为,.综上所述,满足条件的点P的坐标为-,,,.(3)如图②,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,则AO∶OF=AE∶ED=1∶4.设A(a,0),B(b,0),则AO=-a,OF=-4a.∵AD∥BC,∴∠OBC=∠DAO.∵∠BOC=∠AFD=90°,∴△BOC∽△AFD.∴=,即=.∴=.由题意,得ab=-2n.∴=-.∴DF=-5a·=-5a·-=a2.∵点A,D在抛物线上,∴解得∴n的值为.4.解:(1)将A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.∴点C的坐标为(0,4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图所示,作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C',连接OC'交直线l于点E,连接CE,此时CE+OE的值最小,且CE+OE=OC'.抛物线的对称轴为直线x=-=-,. 则C'C=3,在Rt△C'CO中,由勾股定理,得OC'==5.∴CE+OE的最小值为5.(3)①由题意易知△APM为等腰直角三角形.设M(a,0),则N(a,-a2-3a+4),P(a,a+4).当△AMP∽△CNP时,=,得=,解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).∴CN=3,PN=3.∴△CPN的面积为·CN·PN=.当△AMP∽△NCP时,=,得=,解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).∴CN=CP=2.∴△CPN的面积为·CN·PC=4.故答案为或4.②存在.D1,,D2,-,D3(-4,3),D4,.理由如下:当点P是线段MN的中点时,-a2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.∴M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).设F(f,f+4),过点M作AC的平行线,易知此直线的解析式为y=x+1.易知PM=3,当PM为菱形的边时,作PF=PM,过F作FD∥PM,交直线y=x+1于点D,∴D(f,f+1).∴32=2(f+1)2,解得f=.则D1,,D2,-.∵PM=AM=3,∴当点F与点A重合时,过点F作DF∥PM(D在x轴上方),且DF=PM,连接DP,可得出四边形DPMF为菱形.∴点D的坐标为(-4,3).当PM为菱形的对角线时,作PM的垂直平分线,交直线AC于点F,作点F关于PM的对称点D,连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP为菱形.将y=代入直线AC的解析式可得x=-,∴点F的坐标为-,.∵直线PM的解析式为x=-1,∴点D的坐标为,.综上所述,满足条件的点为D1,,D2,-,D3(-4,3),D4,.5.解:(1)将B(1,0)和C0,代入抛物线y1=ax2-x+c,得解得所以抛物线的解析式为y1=-x2-x+.由题意可知平移后抛物线y2的顶点为B(1,0),故抛物线y2的解析式为y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.令y1=0,解得x=-3或x=1.由题意知B(1,0),故A(-3,0).设T(1,t),又C0,,所以AC2=32+2=,AT2=(1+3)2+t2=t2+16,CT2=12+t-2=t2-t+.①若AC=AT,则t2+16=,方程无解,故此时不存在;②若AC=CT,则t2-t+=,解得t=,此时点T的坐标为1,或1,;③若AT=CT,则t2-t+=t2+16,解得t=-,此时点T的坐标为1,-.故点T的坐标为1,或1,或1,-.(3)由题意知G(-1,1),则AM=2,GM=1.若△PQR与△AMG全等,则PQ=1,QR=2或PQ=2,QR=1.分类一:若QR=2,由抛物线y2的对称轴为直线x=1,得点Q的横坐标为0或2.①当x=0时,y1=,y2=-,此时PQ=--=1,满足题意,则P0,,R2,-,直线PR的解析式为y=-x+.②当x=2时,y1=-,y2=-,此时PQ=---=1,满足题意,则P2,-,R0,-,直线PR的解析式为y=-x-.分类二:若QR=1,由抛物线y2的对称轴为直线x=1,得点Q的横坐标为或.①当x=时,y1=,y2=-,此时PQ=--=≠2,不满足题意.②当x=时,y1=-,y2=-,此时PQ=---=≠2,不满足题意.综上所述,满足题意的直线PR的解析式为y=-x+或y=-x-.6.解:(1)∵OA=1,OB=4,∴A(1,0),B(-4,0).设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1).∵C0,-在抛物线上,∴-=a×4×(-1).解得a=.∴抛物线的解析式为y=(x+4)(x-1),即y=x2+x-.(2)①存在t,使得△ADC与△PQA相似.其理由如下:在Rt△AOC中,OA=1,OC=,则AC=,tan∠ACO==.又∵tan∠OAD=,∴∠OAD=∠ACO.在Rt△AOD中,tan∠OAD=,OA=1,∴OD=.∴CD=-=.在△AQP中,AP=AB-PB=5-2t,AQ=t.由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC与△PQA相似,只需=或=,则有=或=,解得t1=,t2=.∵t1<2.5,t2<2.5,∴存在t=或,使得△ADC与△PQA相似.②存在t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大,其理由如下:作PF⊥AQ于点F,CN⊥AQ于点N,如图所示.在Rt△APF中,∵tan∠PAF=,∴sin∠PAF=.∴PF=AP·sin∠PAF=(5-2t).在Rt△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=.在△ADC中,由S△ADC=AD·CN=CD·OA,得CN===.∴S△APQ+S△CAQ=AQ(PF+CN)=t=-t-2+.∵0<<,∴当t=时,△APQ与△CAQ的面积之和最大.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

1. 如图，抛物线y ＝c ax ax +-22(a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 最小，并求出点K 的坐标；(3)已知D 是OA 的中点，点P 在第一象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线，交直线AC 于点F ，连接OF ，DF .当OF ＝DF 时，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．第1题解图①设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得,294⎪⎩⎪⎨⎧=+-=b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==4217b k ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ， ∵D 是OA 的中点，第1题解图②∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ，∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ， 将点A (4，0)，C (0，4)代入， 得直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)， 设P (t ，－122t ＋t ＋4)，则－122t ＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．2.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为x＝－1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当P A⊥NA，且P A＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形P ABC的面积最大时，求四边形P ABC面积的最大值及此时点P的坐标．第2题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为直线x＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(－1，4)；(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，如解图，作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴交于点Q，连接AC、OP，第2题解图∵点P在y＝－x2－2x＋3上，∴设点P(x，－x2－2x＋3)，①∵P A ⊥NA ，且P A ＝NA ，∴∠P AD ＋∠APD ＝∠P AD ＋∠NAQ ＝90°， ∴∠APD ＝∠NAQ ，又∵∠PDA ＝∠AQN ＝90°， ∴△P AD ≌△ANQ (AAS )， ∴PD ＝AQ ， 即－x 2－2x ＋3＝2，解得x 1＝2－1(舍去)，x 2＝－2－1， ∴P (－2－1，2)；②∵△ABC 的面积为定值，∴△APC 面积最大时，四边形P ABC 面积最大， ∵S AOC △＝12×3×3＝92，S OCP △＝32|x |＝－32x ，S OAP △＝12×3×|y p |＝－32x 2－3x ＋92，∴S APC △＝S OAP △＋S OCP △－S AOC △ ＝－32x 2－3x ＋92－32x －92＝－32(x ＋32)2＋278，∴当x ＝－32时，S APC △取得最大值，最大值为278，此时P (－32，154)，∴S PABC 四边形＝S ABC △＋S APC △＝12×4×3＋278＝758，∴四边形P ABC 面积的最大值为758，此时点P 的坐标为(－32，154)．3.在直角坐标系xOy 中，A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图所示的△BCD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)连接AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标； (3)现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．第3题图解：(1)∵A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化得到△BCD ， ∴BD ＝OA ＝2，CD ＝OB ＝1，∠BDC ＝∠AOB ＝90°， ∴C ()1，1，设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y ＝a 2x ＋bx ＋c ，则,210⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-c c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22123c b a ，∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝－322x ＋12x ＋2；(2)如解图①，设直线PC 与AB 交于点E ，∵直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，第3题解图①∴BE AE ＝13或BEAE＝3， 过点E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ， ∴△BEF ∽△BAO ，∴BO BFBA BE AO EF ==， ∴当BE AE ＝13时，2EF ＝34＝1BF ，∴EF ＝32，BF ＝34，∴点E 的坐标为(－14，32)．设直线PC 的解析式为y ＝mx ＋n ，由E ，C 两点坐标可求得其解析式为y ＝－25x ＋75，∴－32x 2＋12x ＋2＝－25x ＋75，∴x 1＝－25，x 2＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(－25，3925)，当BEAE ＝3时，同理可得点P 的坐标为(－67，2349)；(3)设△ABO 平移的距离为t ，△111O B A 与△112D C B 重叠部分的面积为S ， 可由已知求出直线A 1B 1的解析式为y ＝2x ＋2－t ，11B A 与x 轴的交点坐标为(22-t ，0)． 直线21B C 的解析式为y ＝12x ＋t ＋12，21B C 与y 轴交点坐标为(0，t ＋12).①如解图②所示，当0<t <35时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为四边形．第3题解图②设11B A 与x 轴交于点M ，21B C 与y 轴交于点N ，11B A 与21B C 交于点Q ，连接OQ ，由⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=t x y t x y 212122，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=35334t y t x ， ∴点Q 的坐标为(334-t ，35t)， ∴S ＝S QMO △＋S QNO △ ＝343)21(21352221tt t t -⨯+⨯+⨯-⨯＝－1312t 2＋t ＋14，∵－1312＜0，∴S 最大值=ab ac 442-＝2552；②如解图③所示，当35≤t<45时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为直角三角形.第3题解图③设11B A 与x 轴交于点H , 11B A 与11D C 交于点G ， 则G (1－2t ，4－5t )，1D H ＝22t -＋1－2t ＝254t -，1D G ＝4－5t ， ∴S ＝121D H ·1D G ＝25421t -⨯(4－5t )＝14(4－5t )2，∴当35≤t<45时，S 的最大值为14，综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为2552.4.如图，抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积；(3)在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝c bx x ++2a 上，∴,850⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a cc b a 解得,541⎪⎩⎪⎨⎧==-=c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x ＋4x ＋5； (2)如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ，第4题解图∴S MCB △＝S MCN △＋S MNB △＝12MN ·OB .∵y ＝－2x ＋4x ＋5 ＝－(x －5)(x ＋1) ＝－(x －2)2＋9，∴M (2，9)，B (5，0)，由B ，C 两点的坐标易求得直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋5， 当x ＝2时，y ＝－2＋5＝3，则N (2，3)， 则MN ＝9－3＝6， 则S MCB △＝12×6×5＝15；(3)在抛物线上存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积． ∵A (－1，0)，B (5，0)， ∴AB ＝6，∵S PAB △＝S MCB △，∴12×6×|p y |＝15， ∴|p y |＝5，即p y ＝±5. 当p y ＝5时，－2x ＋4x ＋5＝5， 解得1x ＝0，2x ＝4；当p y ＝－5时，－2x ＋4x ＋5＝－5， 解得3x ＝2＋14，4x ＝2－14.故在抛物线上存在点1P (0，5)，2P (4，5)，3P (2＋14，－5)，4P (2－14， －5)，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积．5.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的对称轴为直线x ＝3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)根据题意得，ab2 ＝3， 即b ＝－6a ，则抛物线的解析式为y ＝ax 2－6ax ＋4，将B (8，0)代入得，0＝64a －48a ＋4，解得a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，由抛物线解析式可知：当x ＝0时，y ＝4，即点C (0，4)， 将B (8，0)，C (0，4)代入得,48⎩⎨⎧==+d d k 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=d k ∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设点M 的横坐标为x (0＜x ＜8)，则点M 的纵坐标为－14x 2＋32x ＋4，点N 的纵坐标为－12x ＋4，∵点M 在抛物线上，点N 在线段BC 上，MN ∥y 轴， ∴MN ＝－14x 2＋32x ＋4－(－12x ＋4)＝－14x 2＋32x ＋4＋12x －4＝－14x 2＋2x＝－14(x －4)2＋4，∴当x ＝4时，MN 的值最大，最大值为4；(3)存在．如解图，过点C 作CD ⊥对称轴于点D ，连接AC . 令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴A (－2，0)， 又∵C (0，4)，由勾股定理得，AC ＝2242+＝25，第5题解图∵抛物线对称轴为直线x ＝3， 则CD ＝3，D (3，4)． ①当AC ＝CQ 时，DQ ＝22CD CQ -＝223)52(-＝11，当点Q 在点D 的上方时，点Q 到x 轴的距离为4＋11， 此时，点Q 1(3，4＋11)，当点Q 在点D 的下方时，点Q 到x 轴的距离为4－11， 此时，点Q 2(3，4－11)；②当AQ ＝CQ 时，点Q 为对称轴与x 轴的交点，AQ ＝5，CQ ＝2243+＝5， 此时，点Q 3(3，0)； ③当AC ＝AQ 时，∵AC ＝25，点A 到对称轴的距离为5，25＜5， ∴不可能在对称轴上存在Q 点使AC ＝AQ ，综上所述，当点Q 的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ 为等腰三角形．6.如图，一次函数y ＝23x －4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .经过点B 、C 的抛物线c bx ax y ++=2也经过点A (－2，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点D (4，k )在抛物线上，点F 为抛物线上一动点，在y 轴上是否存在点E ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)由y ＝23x －4可知B (6，0)，C (0，－4)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －6)， 将点C 的坐标代入，求得a ＝13，∴抛物线的解析式为y ＝132x －43x －4；(2)设点M 的坐标为(m ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，如解图①，第6题解图①∵点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(6，0)， ∴AB ＝8，AM ＝m ＋2， ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴AB AM CO NH = ∴824+=m NH ， ∴NH ＝22+m ， ∴S CMN △＝S ACM △－S AMN △＝12AM ·CO －12AM ·NH＝12(m ＋2)(4－22+m ) ＝－14m 2＋m ＋3＝－14(m －2)2＋4，∴当m ＝2时，S CMN △有最大值为4， 此时，点M 的坐标为(2，0)； (3)∵点D (4，k )在抛物线 y ＝13x 2－43x －4上， ∴当x ＝4时，y ＝－4， ∴D (4，－4)，设点F 的坐标为(m ，n )，点E 的坐标为(0，t )，由题意得：①若AF 为平行四边形的边，如解图②，则有：第6题解图②,⎩⎨⎧-=--=-A E F D AE F D x x x x y y y y 即,24-4-⎩⎨⎧=-=m t n∵n ＝13m 2－43m －4，∴,2443431-4-2⎪⎩⎪⎨⎧=-=++m t m m 解得：m ＝2，n ＝－163，t ＝43.∴1E (0，43)，1F (2，－163)；②若AF 为平行四边形的对角线，如解图③，则有：第6题解图③,⎩⎨⎧-=--=-AE DF AE DF x x x x y y y y 即,244⎩⎨⎧=-=+m tn∵n ＝13m 2－43m －4，∴,244434312⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--m t m m 解得m ＝6，n ＝0，t ＝4， ∴2E (0，4)，2F (6，0)，综上所述，存在1E (0，43)，1F (2，－163)或2E (0，4)，2F (6，0)使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形．7.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，∴,0390-1-⎩⎨⎧=++-=+c b c b 解得,32⎩⎨⎧==c b∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)如解图①，连接PC 、PE.第7题解图①∵抛物线对称轴为直线 x ＝－a b 2＝）（1-22⨯-＝1， ∴当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)， 将B (3，0)和D (1，4)分别代入，得，⎩⎨⎧+=+=n m n m 430解得⎩⎨⎧=-=62n m ， 则y ＝－2m ＋6，设点P 坐标为(m ，－2m ＋6)， ∵C (0，3)，E (1，0)， ∴由勾股定理可得：PC 2＝m 2＋[3－(－2m ＋6)]2， PE 2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2， 又∵PC ＝PE ，∴m 2＋(3＋2m －6)2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2， 解得m ＝2，则-2m+6＝－2×2＋6＝2， ∴点P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M 坐标为(a ，0)，则点G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)． 如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ，第7题解图②|2－a |＝|－a 2＋2a ＋3|， ①2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)，解得a ＝1±212，②2－a ＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．8.如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)与x 轴交于另一个点A (32，0)，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B (2，t )．(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；(3)如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把B (2，t )代入y ＝x 得t ＝2， ∴B (2，2)，把A (32，0)，B (2，2)代入y ＝bx ax +2得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22402349b a b a ， 解得⎩⎨⎧-==32b a ，∴抛物线的表达式为y ＝22x －3x ； (2)设点C 坐标为(x ，2x 2－3x )，如解图①，过点C 作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，第8题解图①则S BOC △＝S CQFB 四边形－S BOF △－S COQ △，即2)]32(2)[2(2x x x --+－12×2×2－12x (－2x 2＋3x )＝2，解得x ＝1.把x ＝1代入y ＝2x 2－3x ，得y ＝2－3＝－1， ∴C (1，－1)；(3)如解图②，连接OM ，AB ，设MB 交y 轴于点N ，第8题解图②∵B (2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°， 在△AOB 和△NOB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NBO ABO OBOB NOB AOB ， ∴△AOB ≌△NOB (ASA )， ∴ON ＝OA ＝32，∴N (0，32)，设直线BN 表达式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的表达式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线表达式可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x x y x y 3223412，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=324583y x ， ∴M (－38，4532)，∵C (1，－1)，∴∠COA ＝∠AOB ＝45°，且B (2，2)， ∴OB ＝22，OC ＝2， ∵△POC ∽△MOB ，∴OCOB OPOM =＝2，∠POC ＝∠BOM ，当点P 在第一象限时，如解图③，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，第8题解图③∵∠COA ＝∠BOG ＝45°，∠POC ＝∠BOM ， ∴∠MOG ＝∠POH ，且∠PHO ＝∠MGO ， ∴△MOG ∽△POH ， ∴OH OG PH MG OP OM ==＝2， ∵M (－38，4532)，∴MG ＝38，OG ＝4532，∴PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (4564，316)；当点P 在第三象限时，如解图④，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，第8题解图④同理可求得PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (－316，－4564)；综上，存在满足条件的点P ，其坐标为(4564，316)或(－316，－4564)．9.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x ＝2. (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，∴C (0，3)，B (3，0)，∵抛物线的对称轴为：x ＝2，∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得340a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得，11a k =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3. (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，又∵B (3，0)、C (0，3)，∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322=+）（，BC ＝23183322==+，又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2， ∴△PBC 是直角三角形．∴S PBC △＝12PB ·BC ＝12×2×23＝3.(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3， 于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQBABP BC =时，△QBP ∽△ABC ， 则m-=32223，解得，m ＝73， ∴Q (73，0)；②当BP BA BQ BC =时，△PBQ ∽△ABC ，则22323=-m ，解得，m ＝0， ∴Q (0，0)，综上所述，存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (73，0)或Q (0，0)．10.如图，已知抛物线与x 轴交于A (－1，0)，B (4，0)，与y 轴交于C (0，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)H 是C 关于x 轴的对称点，P 是抛物线上的一点，当△PBH 与△AOC 相似时，求符合条件的P 点的坐标(求出两点即可)；(3)过点C 作CD ∥AB ，CD 交抛物线于点D ，点M 是线段CD 上的一动点，作直线MN 与线段AC 交于点N ，与x 轴交于点E ，且∠BME ＝∠BDC ，当CN 的值最大时，求点E 的坐标．第10题图解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －4)(a ≠0)，将C (0，－2)代入得：－2＝－4a ，解得a ＝12， ∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋1)(x －4)，即y ＝12x 2－32x －2； (2)∵C (0，－2)，H 是C 关于x 轴的对称点，∴H (0，2)，又∵A (－1，0)，B (4，0)，∴OA ＝1，OC ＝OH ＝2，AC ＝AH ＝5，OB ＝4，BH ＝52，AB ＝5， ∴AB AC HB OC AH AO ==＝51， ∴△AOC ∽△AHB ，∴P 1(－1，0)，即P 1点与A 点重合；如解图所示作C 点关于抛物线对称轴的对称点D ，连接HD 、BD ，则D (3，－2)，BD ＝AC ＝AH ＝5，CD ＝3，根据勾股定理得：HD ＝22CD HC +＝53422=+ ∴DH ACBH OC BD OA ==＝51，∴△AOC ∽△DBH ，∴P 2(3，－2)，即P 2点与D 点重合.第10题解图(3)∵CD ∥AB ，∴∠OEM ＝∠CMN ，∠BMD ＝∠EBM ， 又∵∠BME ＝∠BDC ，∴∠CMN =∠OEM ＝180°－∠BME －∠BMD ， ∠DBM ＝180°－∠BMD －∠BDM ，∴∠CMN ＝∠DBM ，根据抛物线的对称性可知：∠BDM ＝∠MCN ，∴△MNC ∽△BMD ， ∴BD CMDM CN=，设CM ＝n ，则M 点坐标为(n ，－2)，又∵B (4，0)，C (0，－2)，D (3，－2)， 则CN ＝BD DM CM ⋅＝ 5209)23(555535522+--=+-n n n (0<n <3)∴当n ＝32，即M 为CD 中点时，CN 的值最大， ∴M (32，－2)，∴2BM ＝414，∵∠OEM ＝∠CMN ＝∠DBM ，∠BME ＝∠BDC ， ∴△BME ∽△MDB ， ∴BM BEDM BM =，∴BE ＝DM BM 2＝41432＝416，∴OE ＝BE -OB ＝416－4＝176， ∴E (－176，0).。