安徽省滁州市2020-2021学年度上学期期末试卷数学(理科)试题 (含答案)

2020-2021学年安徽省滁州市南谯区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.对抛物线y=−x2+4x−3而言，下列结论正确的是()A. 开口向上B. 与y轴的交点坐标是(0,3)C. 与两坐标轴有两个交点D. 顶点坐标是(2,1)3.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1=y2>y3B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y3>y1=y24.如图，在△ABC中，AB=3，BC=5.2，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为()A. 0.8B. 2C. 2.2D. 2.85.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(−6,4)，B(−3,0).以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为12的位似图形△OCD，则点C坐标为()A. (2,−1)B. (3,−2)C. (32,−32) D. (32,−1)6.如图，已知点A为反比例函数y=kx(x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为()A. 3B. −3C. 6D. −67.若ad=bc(b≠d)且a，b，c，d均为正数，则下列结论不成立的是()A. ab =cdB. a−cb−d=abC. a+1b+1=c+1d+1D. a+bb=c+dd8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且OC//DB，连接AD、CD，若∠C=28°，则∠A的大小为()A. 30°B. 28°C. 24°D. 34°9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过(−1,0)和(0,−1)两点，则抛物线y=cx2+bx+a的图象大致为()A.B.C.D.10.正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为()A. 8B. 6C. 4D. 2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.抛物线y=−(x+2)2的顶点坐标是______．12.如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割(AC<BC)，已知AB=160cm，BC的长约为______cm.(结果精确到0.1cm)13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan B的值为______．14.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AB边上动点，把△ADP沿DP折叠得△A′DP，射线DA′交射线AB于点Q，(1)当Q点和B点重合时，PQ长为______；(2)当△A′DC为等腰三角形时，则DQ长为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.计算：2sin245°−6cos30°+3tan45°+4sin60°．x2+bx+c的图象经过16.如图，二次函数y=−12A(2,0)、B(0,−4)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．17.如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=m的图象交于A、B两点．x(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出使y1<y2的自变量x取值范围．18.如图，在网格图中(小正方形的边长为1)，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；(3)请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标．19.2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功．北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到C地区进行研学活动，已知C地位于A地的正北方向，且距离A地24千米．由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7，√2≈1.4，√3≈1.7)20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．(1)若AB=6，AC=8，求BD长；(2)求证：AB⋅AF=AC⋅DF．⏜的中点，过C点的21.如图，AB是⊙O的直径，点C，M为⊙O上两点，且C点为AM切线交射线BM、BA于点E、F．(1)求证：BE⊥FE；⏜的长度．(2)若∠F=30°，MB=2，求BM22.如图，已知抛物线y1=a(x−1)(x−5)和直线y2=−ax−a(其中a>0)相交于A，B两点，抛物线y1与x轴交于C，D两点，与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交于E，F两点．(1)若G的坐标为(0,5)，求抛物线y1解析式和直线y2解析式；(2)求证：直线y2=−ax−a始终经过该抛物线y1的顶点；(3)求AB+EF的值．AF23.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为△ABC的中线BD上的一点，将线段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段EF，恰EF经过点C．(1)若∠CAF=α，则∠CBE=______(用α的代数式表示)．(2)如图2，过点C作CH//AE，交AF于点H，连接BH交EF于点G，①求证：AF=BH；②若CF=2，求EG的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．本题主要考查了中心对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等．2.【答案】D【解析】解：A、二次项系数a=−1<0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；B、当x=0时，y=−3，抛物线与y轴交点坐标为(0,−3)，结论错误，不符合题意；C、Δ=42−4×(−1)×(−3)=4>0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；D、由y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1知，抛物线顶点坐标为(2,1)，结论正确，符合题意；故选：D．根据Δ的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．3.【答案】A=1，【解析】解：二次函数y=−x2+2x+c的图象的对称轴为直线x=−22×(−1)而P1(−1,y1)和P2(3,y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5,y3)到直线x=1的距离为4，所以y 1=y 2>y 3．故选：A ．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4.【答案】C【解析】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∴AB =AD =3，∵∠B =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =3，∴CD =BC −BD =5.2−3=2.2，故选：C ．由旋转的性质可得AB =AD =3，可证△ABD 是等边三角形，可得BD =AB =3，即可求解．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵△OAB 的顶点为O(0,0)，A(−6,4)，B(−3,0)，以点O 为位似中心，在第四象限内作与△OAB 的位似比为12的位似图形△OCD ，∴点C 坐标为：[−6×(−12),4×(−12)]，即(3,−2)．故选：B ．直接利用位似图形的性质得出对应点坐标与位似比的关系．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6.【答案】D【解析】解：∵AB⊥y轴，∴S△OAB=12|k|，∴12|k|=3，∵k<0，∴k=−6．故选：D．再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7.【答案】C【解析】解：由ad=bc(b≠d)且a，b，c，d均为正数，可得：ab =cd，故A正确；∴a−cb−d =ab，故B正确；∴a+bb =c+dd，故D正确；不能得出a+1b+1=c+1d+1，故C错误；故选：C．由四条线段a、b、c、d成比例，根据成比例线段的定义解答．此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．8.【答案】D【解析】解：∵OC//BD，∴∠C=∠CDB=28°，∴∠COB=2∠CDB=56°，∴∠COB=∠B=56°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°−56°=34°，故选：D．证明∠COB=∠OBD=56°，再证明∠ADB=90°，即可求出∠DAB．本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(−1,0)和(0,−1)两点，∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a−b+c=0，a>0，b<0，c=−1，<0，交y轴正半轴，∴抛物线y=cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x=−b2c当x=−1时，y=c−b+a=0，∴抛物线y=cx2+bx+a经过点(−1,0)，故选：B．根据题意得到a−b+c=0，a>0，b<0，c=−1，即可得到抛物线y=cx2+bx+a<0，交y轴正半轴，经过点(−1,0)，据此即可判断．的开口向下，对称轴直线x=−b2c本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，判断出a、b、c以及a−b+c的符号是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=45°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴PM=DM，设PM=DM=x，则AM=4−x，∵AP=PF，∴AM=FM=4−x，∴AF=2(4−x)，∵S△APF=12AF⋅PM，∴S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴当x=2时，S△APF有最大值4，故选：C．作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x，则AM=4−x，根据等腰三角形的性质即可得出AF=2(4−x)，由三角形面积公式得出S△APF=12×2(4−x)⋅x=−x2+4x=−(x−2)2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】(−2,0)【解析】解：∵抛物线y=−(x+2)2，∴该抛物线的顶点坐标为(−2,0)，故答案为：(−2,0)．根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】98.9【解析】解：∵点C为线段AB的黄金分割点(AC<BC)，AB=160cm，∴BC=√5−12AB=√5−12×160≈98.9，故答案为：98.9．利用黄金分割的定义得到BC=√5−12AB，再把AB=160cm代入后进行计算即可．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．13.【答案】12【解析】解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E=90°．∵EC=√12+22=√5，BE=√22+42=2√5，∴tanB=ECBE =12．故答案为：12．如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E=90°.利用勾股定理求出EC，EB，可得结论．本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】10324√55或64√5555【解析】解：(1)如图1：当Q点与B点重合时，QD=DB=√CD2+BC2=√62+82=10，由翻折变换可得，AD=A′D=8，AP=A′P，∴BA′=10−8=2，设PQ=x，则AP=A′P=6−x，在Rt△PBA′中，由勾股定理得，A′P2+A′B2=PB2，即(6−x)2+22=x2，解得x=103，即PQ=103，故答案为：103；(2)①当A′D=A′C=8时，如图2，过点A′作A′M⊥CD于M，则DM=MC=12CD=3，在Rt△A′DM中，A′M=√A′D2−DM2=√82−32=√55，∵∠DAQ=∠A′MD=90°，∠AQD=∠MDA′，∴△AQD∽△MDA′，∴DQA′D =ADA′M，即DQ8=8√55，解得DQ=64√5555；②当A′C=DC=6时，如图3，过点C作CN⊥DQ于N，则DN=A′N=12A′D=4，在Rt△CDN中，由勾股定理得，CN=√CD2−DN2=√62−42=2√5，∵∠DAQ=∠CND=90°，∠AQD=∠NDC，∴△AQD∽△NDC，∴CNAD =CDDQ，即2√58=6DQ，解得DQ=24√55，③A′D=AD=8，CD=6，所以A′D≠CD，综上所述，DQ的长为24√55或64√5555．(1)根据勾股定理求出BD，即DQ，进而求出A′B，即A′Q，在直角三角形PQA′中，设未知数，列方程求解即可；(2)分三种情况进行解答，即A′D=A′C，A′C=CD，A′D=CD，分别画出相应的图形，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可．本题考查翻折变换，矩形、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，分情况讨论解答以及作高构造直角三角形是解决问题的关键．15.【答案】解：原式=2×(√22)2−6×√32+3×1+4×√32=2×24−3√3+3+2√3 =1−3√3+3+2√3=4−√3．【解析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提．16.【答案】解：(1)把A(2,0)、B(0,−4)代入y =−12x 2+bx +c ，得：{−12×22+2b +c =0c =−4， 解得{b =3c =−4， ∴这个二次函数的解析式为y =−12x 2+3x −4．(2)∵该抛物线对称轴为直线x =−32×(−12)=3，∴点C 的坐标为(3,0)，∴AC =OC −OA =3−2=1，∴S △ABC =12×AC ×OB =12×1×4=2．【解析】(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,−4)两点，两点代入y =−12x 2+bx +c ，算出b 和c ，即可得解析式．(2)先求出对称轴方程，写出C 点的坐标，计算出AC ，然后由面积公式计算值．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法．17.【答案】解：(1)由图象知反比例函数y 2=m x 的图象经过点A(2,1)，∴1=m 2，∴m =2，∴反比例函数解析式为；y 2=2x ；∵反比例函数y 2=2x 的图象经过点B(−1,n)，∴n =−2，∴B(−1,−2)，由图象知一次函数y 1=kx +b 的图象经过点A(2,1)，B(−1,−2)，∴{2k +b =1−k +b =−2，解得{k =1b =−1， ∴一次函数解析式为y 1=x −1．(2)由图象可得使y 1<y 2的自变量x 取值范围是x <−1或0<x <2．【解析】(1)通过读图，可得A 、B 点的坐标，进而可用待定系数法确定两个函数的解析式．(2)结合两个函数的图象和A 、B 点的坐标，找出当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量x 的取值范围即可．此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作；(2)如图，△A 2B 2C 2为所作；(3)△A 2B 2C 2三个顶点的坐标分别为A 2(6,0)，B 2(6,4)，C 2(2,6)．【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；(2)(3)根据关于原点为位似中心的点的坐标特征，把A 、B 、C 的横纵坐标都乘以−2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了平移变换．19.【答案】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，则BD=√3x，∴tan∠BCD=tan37°=BDCD =√3x24−x≈0.7，解得x=7，∴AB=2x=14(千米)，答：A、B两地的距离为14千米．【解析】如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x，解直角三角形即可得到结论．此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．20.【答案】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC=√62+82=10，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠CAB=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△CBA∽△ABD，∴BDAB =ABBC，∴BD6=610，∴BD=3.6；(2)证明：由(1)知：BD：AD=AB：AC①，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED=AE=EC，∴∠C=∠EDC=∠FAD=∠BDF，又∵∠F为公共角，∴△DBF∽△ADF，∴BD：AD=DF：AF②，由①②得，AB：AC=DF：AF，∴AB⋅AF=AC⋅DF．【解析】(1)由勾股定理得BC=10，再证明△ABD∽△CBA，由此可得BD=3.6；(2)因为DE是AC边上的中线，所以DE=CE=AE，所以△FDB∽△FAD，所以有DFAF =BDAD，又因为DFAF =BDAD，所以DFAF=ABAC即AB⋅AF=AC⋅DF．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解决此题的关键是分别证明出DFAF =BDAD和DFAF=BDAD．21.【答案】(1)证明：连接OC，∵FC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∵点M是AM⏜的中点，∴∠EBC=∠OBC，∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBC=∠OCB，∴OC//BE，∴BE⊥FE；(2)解：连接OM，∵∠F =30°，∠E =90°，∴∠FBE =60°，又∵OM =OB ，∴△OBM 为等边三角形，∴BM =OB =2，∴BM⏜的长为60⋅π⋅2180=23π．【解析】(1)连接OC ，由切线的性质得出∠OCF =90°，由圆周角定理得出∠EBC =∠OBC ，由平行线的性质可得出结论；(2)连接OM ，证明△OBM 为等边三角形，则得出BM =OB =2，由弧长公式可得出答案．此题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．22.【答案】(1)解：把G(0,5)代入抛物线解得a =1，∴抛物线解析式为y 1=(x −1)(x −5)=x 2−6x +5，直线解析式为y 2=−x −1；(2)证明：∵y 1=a(x −1)(x −5)与x 轴交点为(1,0)和(5,0)，∴其对称轴为直线x =3，顶点坐标为(3,−4a)，∵x =3时，y 2=−3a −a =−4a ，∴直线y 2=−ax −a 始终经过该抛物线的顶点；(3)解：过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N 两点，令y2=−ax−a中y=0，解得x=−1，即E(−1,0)，再联立两个解析式a(x−1)(x−5)=−ax−a解得x1=2，x2=3，∴M(2,0)，N(3,0)，∵OF//AM//BN，∴EF：FA：AB=EO：OM：MN=1：2：1，=1．∴AB+EFAF【解析】(1)把G(0,5)代入抛物线解得a=1，即可得抛物线y1解析式和直线y2解析式；(2)求出抛物线顶点，代入直线验证即可；(3)先求出E(−1,0)，M(2,0)，N(3,0)，再由OF//AM//BN得EF：FA：AB=EO：OM：MN=1：2：1，即可求出AB+EF的值．AF本题主要考查了抛物线与x轴交点、一次函数与x轴交点、抛物线与一次函数的交点，熟悉求函数与坐标轴交点坐标、两函数的交点的坐标是解决本题的关键．23.【答案】2α【解析】解：(1)∵D为AC的中点，∠AEC=90°，∴AD=DE=DC，∴∠DAE=∠AED，∵AE=EF，∴∠EAF=45°，∴∠EAD=45°−α，∴∠DEA=∠EAD=45°−α，∴∠BCA=90°，∵∠EDC=90°−2α，∴∠CBE=2α；故答案为：2α；(2)①∵CH//AE，∴∠FCH=∠FEA=∠BCA=90°，∴∠CHF=∠EAF=45°，∴CH=CF，在△ACF和△BCH中，∠ACF=∠BCH，BC=AC，CH=CF，∴△ACF≌△BCH(SAS)，∴AF=BH；②由△ACF≌△BCH得∠CAF=∠CBH，又由(1)可知∠CBE=2∠CAF，∴∠CAF=∠EBG，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，即∠BEG=∠ACF，∴△BEG∽△ACF，由BC=2DC=2DE，可设BC=2x，则CD=DE=x，BE=(√5−1)x，∴BEBC =(√5−1)2，∴EGCF =BEAC=BEBC=(√5−1)2，∵CF=2，∴EG=√5−1．(1)由直角三角形的性质得出AD=DE=DC，由等腰三角形的性质得出∠EAF=45°，由直角三角形的性质可得出答案；(2)①证明△ACF≌△BCH(SAS)，由全等三角形的性质得出AF=BH；②证明△BEG∽△ACF，由相似三角形的性质得出答案．此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．。

OP AB（O为原点）AC，EC⊥平面ABCD，AB【解析】解法一：由解得71141767482141314722S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩1408492449a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以；21408212024217249249S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭解法二：，，7127S a a a =++⋅⋅⋅+1478914777S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯，所以，，成等差数21141516217714S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯7S 147S S -2114S S -列，公差为，由等差中项定义得，即49d ()147721142S S S S S -=+-，解得.故选：B()21272484872S ⨯-=+-2172S =6.【答案】A【解析】因为PF ⊥x 轴，所以P .又OP ∥AB ，所以，即b =c .2b b a a =于是b 2=c 2，即a 2=2c 2.所以.22c e a ==7.【答案】C【解析】因为△ABF 2的周长为8，所以|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8⇒|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=8⇒（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=8，由椭圆的定义可知，|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ，所以2a +2a =8⇒a =2，由题意可得，23ab ππ=解得，3b =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为.22143x y +=8.【答案】C【解析】设点，由题意知，(),P x y 222122222223y y y y b k k a y x a x a x a ab ⋅=⋅====-+-所以其渐近线方程为，故选C.3y x =±9.【答案】D【解析】由得，22214b e a =+=3ba =则双曲线的渐近线方程为，3y x =±即，抛物线的焦点坐标为，30x y ±=2C 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则有，解得，22p =8p =故抛物线C 2的方程为x 2=16y .10.【答案】A11.【答案】C【解析】∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5，不妨令|AB |=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得|BF 1|-|BF 2|=2a ，|AF 2|-|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3-4=5-|AF 1|，∴|AF 1|=3，∴2a =|AF 2|-|AF 1|=2，∴a =1，|BF 1|=6.在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=36+16=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，13,13c e ∴=∴=12.【答案】D【解析】设点P （x 0，y 0），由于点P 是抛物线x 2=8y 上任意一点，则x =8y 0（y 0≥0），∵点A （0，3），则|PA |2=x +（y 0-3）2=8y 0+（y 0-3）2=y +2y 0+9，由于点Q 是圆x 2+（y -2）2=1上任意一点，要使的值最小，∴2||PA PQ则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，PQP PQ则，()()222max 00000||218213PQ x y y y y =+-+=+-+=+.()()()222000000003431229||1234333y y y y PA y PQ y y y +-++++∴≥==++-+++，经检验满足条件，()()()000012123234333y y y y ++≥+⋅=++ 的最小值为.2||PA PQ∴434-【解析】如图，抛物线焦点为联立消去y 得x 2-2px -p 2=0，∴x 1=（1+）p ，x 2=（1-）p .2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22∴|AD |+|BC |=y 1+y 2=x 1++x 2+=2p +p =3p ，|CD |=|x 1-x 2|=2p .2p 2p2由S 梯形ABCD =（|AD |+|BC |）·|CD |=·3p ·2p =12，解得p 2=4，∴p =±2.121222∵p >0，∴p =2.17.【答案】（1）方程m ：（a +2）x +（1-2a ）y +4-3a =0可化为a （x -2y -3）+（2x +y +4）=0，要使a 有无穷多个解，必须有解得230,240,x y x y --=⎧⎨++=⎩1,2.x y =-⎧⎨=-⎩无论a 取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m 过定点M （-1，-2）.（2）设直线n ：，1x ya b +=则解得121,14,2a b ab --⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,4,a b =-⎧⎨=-⎩故直线n ：，即2x +y +4=0.124x y+=--所以当直线n 为2x +y +4=0时，三角形的面积为4.18.【答案】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得4x 2+4（m -1）x +m 2=0，22,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩由根与系数的关系，得x 1+x 2=1-m ，x 1·x 2=，24m ∴|AB |=|x 1-x 2|=21k +()22121214k x x x x ++-==，222+()22144m m --⨯()512m ⨯-∵|AB |=3，∴=3，解得m =-4.5()512m -5（2）设P （a ，0），P 到直线AB 的距离为d ，则d ==，()2220421a --+-225a -又S △ABP =|AB |·d ，则d =，∴=，122ABP S AB ⋅ 225a -2935⨯∴|a -2|=3，∴a =5或a =-1，故点P 的坐标为（5，0）或（-1，0）.19.【解析】（1）由题意得S n =n 2+2n ，当n >1时，a n =S n -S n -1=（n 2+2n ）-[（n -1）2+2（n -1）]=2n +1；当n =1时，a 1=S 1=3，满足上式，所以a n =2n +1（n ∈N *）.（2）由题意得b n =3n -1，又由（1）可知a n =2n +1，故a n b n =（2n +1）3n -1，所以T n =3×30+5×31+7×32+…+（2n +1）×3n -1，3T n =3×31+5×32+7×33+…+（2n +1）×3n ，两式相减，得-2T n =3+2（31+32+33+…+3n -1）-（2n +1）×3n=3+2×-（2n +1）×3n ，-13(1-3)1-3n =-2n ·3n所以T n =n ·3n .20.【答案】解（1）设点F （c ，0），因为直线AF 的斜率为，A （0，-2），233所以，.2233c=3c =又因为，b 2=a 2-c 2，32c a=解得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为.2214x y +=（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx -2，联立消去得，221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()221416120k x kx +-+=当，即时，.()2Δ16430k =->234k >1212221612,1414k x x x x k k +==++所以()22121214PQ k x x x x =++-∴·=0，∴AC⊥BF.=2（a n +a n -1）-1，=2（a n +1+a n ）-1，2-1n c 2n c 两式相减得，=2[（a n +1-a n ）+（a n -a n -1）]=2（c n +c n -1），得c n -c n -22-1n n c c -1=2（n ≥2）.故{a n +1-a n }是等差数列.（2）因为（a 2-a 1）2=2（a 2+a 1）-1，a 1=1，且a 2>a 1，所以a 2=4，故c 1=a 2-a 1=3，所以c n =c 1+（n -1）×2=2n +1，n ∈N *，所以a n =（a n -a n -1）+（a n -1-a n -2）+…+（a 2-a 1）+a 1=（2n -1）+（2n -3）+…+3+1=n 2.故b n =-，222211(1)n n n n +=+21(1)n +b 1+b 2+…+b n =+…+-.222211111223-+-21n 221(2)(1)(1)n n n n +=++。

2020-2021学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）（一模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >x 2−6}，B ={x|2x <4√2}，则A ∩B =( )A. (−3,52)B. (−2,52)C. (−3,2)D. (−2,2)2. 已知复数a+i2−i 是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于( )A. −2B. 2C. 12D. −13. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为( )A. 16B. 25C. 36D. 494. 为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间[10,110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为( )A. 60B. 65C. 66.25D. 72.255. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则( )A. 若m//α，n ⊂α，则m//nB. 若α∩β=m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥αC. 若m//α，n//β，m//n ，则α//βD. 若m ⊥α，n ⊥β，n ⊥m ，则α⊥β6. 在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师.若甲不分配到A 班，丁不分配到D 班，则分配方案的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 247. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π))的最小正周期为π2，若将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则φ=( )A. π6B. π3C. π2D. 2π38. 已知a =(23)13，b =(49)15，c =log 93，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <c <aD. b <a <c9. 已知点M 为抛物线x 2=8y 准线上一点，点F 为焦点，O 为坐标原点，A 在抛物线上，且|AF|=10，则|MA|+|MO|的最小值为( )A. 16B. 8√2+2C. 4√13D. 8√210. 已知函数f(x)={x +1x ,x <0lnx,x >0，则方程f(f(x))+3=0的解的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 在等差数列{a n }中，a8a 7<−1，且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n <0时，n 的最大值为( )A. 7B. 8C. 13D. 1412. 已知函数f(x)=e −x −e x−2+12x ，则不等式f(2020+x)+f(2021−2x)≤1的解集是( )A. (−∞,4039]B. [4039,+∞)C. (−∞,4042]D. [4042,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(4,3)，则|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0,y 0)是单位圆O 上第一象限内的点，∠xOP =α，若cos(α+π3)=−1114，则x 0的值为______ ． 15. 已知双曲线x 24−y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，且∠F 1AB =π3，则△ABF 1的面积为______ ．16. 已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，沿DE 把△DCE 折起，使点C 到达点F 的位置，且BE ⊥FE ，则三棱锥F −ABE 的外接球的表面积为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2sin 2B +sin 2C =2sin 2A .(1)若B =π3，c =2，求△ABC 的面积； (2)求tanAtanB 的值．18.智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是1．4(1)补全2×2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；(2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望．，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，已知三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，SB=SC=4，点D为SC的中点，DA=2．(1)求证：平面SAB⊥平面ABC；(2)求二面角S−AB−D的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(4,0)，短轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点T(0,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT中点为P，线段BT中点为Q，且|OP|=|OQ|(O为坐标原点)，求所有满足条件的直线l方程．21.已知函数f(x)=e x+ax(其中e≈2.718为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当0≤a≤1，证明：f(x)+12x2+732>0．参考数据：ln2≈0.693．22. 平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =t +2y =−t +4(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(2−cos2θ)=3． (1)求直线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 2上的动点到直线C 1距离的取值范围．23. 已知函数f(x)=2|x −1|+|x +2|．(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x>x2−6}={x|−2<x<3}，B={x|2x<4√2}={x|x<52}，∴A∩B={x|−2<x<5}=(−2,5).故选：B．求出集合A，B，利用交集能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵a+i2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(a+2)i5=2a−15+a+25i是纯虚数，∴{2a−1=0a+2≠0，解得a=12．故选：C．3.【答案】B【解析】解：S=0，n=0，第一次执行循环体后，a=1，S=1，n=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，a=3，S=4，n=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，a=5，S=9，n=3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，a=7，S=16，n=4，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，a=9，S=25，n=5，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：[10,60)的频率为(0.004+0.012)×25=0.4，[60,85)的频率为0.016×25=0.4，∴该样本数据的中位数的估计值为：×25=66.25．60+0.5−0.40.4故选：C．由频率分布直方图得[10,60)的频率为0.4，[60,85)的频率为0.4，由此能求出该样本数据的中位数的估计值．本题考查该样本数据的中位数的估计值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n与α相交但不一定垂直，故B错误；在C中，若m//α，n//β，m//n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥m，则n和α平行或n在α内，又n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：D．在A中，m与n平行或异面；在B中，n与α相交但不一定垂直；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲分配到D班，剩下三人全排列即可，有A33=6种情况，②若甲不分配到D班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到D 班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法， 此时有2×2×2=8种分配方法， 则一共有6+8=14种不同的分配方法， 故选：B ．根据题意，按甲的分配方法分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列的应用，注意要按甲是否分到D 班进行讨论，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：函数f(x)=√3sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π))的最小正周期为π2， 则2πω=π2， 解得ω=4．将f(x)=√3sin(4x +φ)的图象向右平移π6个单位长度后， 得到g(x)=√3sin(4x −2π3+φ)，由于所得图象对应的函数为偶函数， 故−2π3+φ=kπ+π2，整理得φ=kπ+7π6，当k =−1时，φ=π6． 故选：A ．直接利用正弦型函数的性质和函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵1=(23)0>a =(23)13>b =(49)15=(23)25>23，c =log 93=12， ∴c <b <a ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由抛物线的方程可得：F(0,2)，准线方程为：y =−2， 设点A 的坐标为(x,y)，则由|AF|=10=y +2，所以y =8，代入抛物线方程可得：x =±8，不妨设A(8,8)， 原点O 关于准线的对称点为N(0,−4)， 则|MA|+|MO|=|MA|+|MN|，当A ，M ，N 三点共线时，|MA|+|MN|最小， 最小值为|AN|=√82+(8+4)2=4√13， 故选：C ．求出抛物线的准线方程，求出原点关于准线的对称点N ，由抛物线的定义求出点A 的坐标，再利用三点共线即可求解．本题考查了抛物线的性质，涉及到线段和的最小值问题，考查了学生的数形结合思想，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={x +1x ,x <0lnx,x >0， 由f(x)=−3，当x >0，即lnx =−3，解得x =1e 3，当x <0时，则有x +1x =−3，解得x =−3±√52，∵f(f(x))+3=0即f(x)=1e 3，或f(x)=−3±√52， 由f(x)=1e 3，可得lnx =1e 3，此方程只有一个根， 又x <0时，f(x)=x +1x ≤−2，故f(x)=−3+√52仅在x >0时有一个根，f(x)=−3−√52在x <0时有两个根，在x >0时有一个根，综上，方程f(f(x))+3=0有五个根，故选：C ．先研究f(x)=−3时方程根的情况，从而推测出f(f(x))+3=0内层f(x)的值，然后研究相关方程得出根的个数．本题考查函数的零点与方程根的关系，研究出函数f(x)的性质，是解答本题的关键，本题考查了转化的思想，方程的思想，对数函数与对勾函数的性质，综合性强，较难．11.【答案】C【解析】解：因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最小值，则d >0，又a8a 7<−1，所以a 7<0，a 8>0，所以a 7+a 8>0， 又S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0，S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)>0，所以当S n <0时，n 的最大值为13． 故选：C ．利用前n 项和S n 有最小值，得到d >0，再结合a8a 7<−1，可得到a 7<0，a 8>0，a 7+a 8>0，利用求和公式以及等差数列的性质可得S 13<0，S 14>0，从而得到答案．本题考查了等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握等差数列的公式以及相关性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e −x −e x−2+12x ，∴f(2−x)=e −(2−x)−e (2−x)−2+12(2−x)=e x−2−e −x +1−12x ， 则f(x)+f(2−x)=1，即是f(x)关于(1,12)对称，由f(2020+x)+f(2021−2x)≤1得f(2021−2x)≤1−f(2020+x)=f(2−(2020+x))=f(−x −2018)，f′(x)=−e −x −e x−2+12，令g(x)=f′(x)=−e −x −e x−2+12，g′(x)=e −x −e x−2，为减函数，且当x <1时，g′(x)>0，f′(x)单调递增， 当x >1时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，即当x =1时，f′(x)取得极大值f′(1)=−2e −1+12<0， 即f′(x)<0恒成立，则f(x)在R 上是减函数，则不等式f(2021−2x)≤f(−x−2018)，等价为2021−2x≥−x−2018，即x≤2021+2018=4039，即不等式的解集为(−∞,4039]，故选：A．根据条件得到f(x)+f(2−x)=1，然后将把不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件得到f(x)+f(2−x)=1，以及求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】3√5【解析】【分析】本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．根据题意，求出a⃗−b⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(4,3)，则a⃗−b⃗ =(−3,−6)，则|a⃗−b⃗ |=√9+36=3√5，故答案为：3√5．14.【答案】17【解析】解：因为点P(x0,y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP=α，所以α是第一象限角，且x0=cosα，y0=sinα，因为cos(α+π3)=−1114<0，所以α+π3为第二象限角，所以sin(α+π3)=√1−cos2(α+π3)=5√314，故x0=cosα=cos[(α+π3)−π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3 =−1114×12+5√314×√32=17．故答案为：17．利用点P(x0,y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP=α，从而确定α为第一象限角，利用同角三角函数关系求出sin(α+π3)的值，再利用任意角的三角函数的定义得到x0=cosα，结合角的变换，将α转化为已知的角α+π3表示，运用两角差的余弦公式求解即可得到答案．本题考查了三角函数的求值问题，涉及了任意角三角函数的定义、同角三角函数关系的应用、两角差的余弦公式的应用，解题的关键是将α转化为已知的角α+π3表示，属于中档题．15.【答案】16√3【解析】解：由题意知，|F1F2|=2√4+8=4√3，设|AF2|=m，由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a=4，∴|AF1|=m+4，在△AF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1|⋅|AF2|=(m+4)2+m2−(4√3)22(m+4)⋅m=cosπ3，化简得，m2+4m−32=0，解得m=4或−8(舍负)，∴|AF2|=4，|AF1|=8，∴|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，即AB⊥F1F2，∴|AB|=2|AF2|=8，∴△ABF1的面积为12|F1F2|⋅|AB|=12×4√3×8=16√3．故答案为：16√3．设|AF2|=m，由双曲线的定义可得|AF1|=m+4，在△AF1F2中，由余弦定理列得关于m的方程，解之后，再由勾股定理的逆定理可推出AB⊥F1F2，故S=12|F1F2|⋅|AB|，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：以C 为坐标原点，CD ，CB 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则E(0,2，0)，D(4,0，0)，B(0,4，0)，A(4,4，0)，F(x,y ，z)， 由折叠性质可得，|EF|=2，|FD|=4，DF ⊥EF ，BE ⊥EF ，则有{x 2+(y −2)2+z 2=4(x −4)2+y 2+z 2=16x(x −4)+y(y −2)+z 2=0−2(y −2)=0，解得x =1，y =2，z =√3， 设三棱锥F −ABE 的外接球的半径为r ，球心为(a,b ，c)，则有{ (a −4)2+(b −4)2+c 2=r 2a 2+(b −4)2+c 2=r 2a 2+(b −2)2+c 2=r 2(a −1)2+(b −2)2+(c −√3)2=r2， 解得a =2，b =3，c =0，r 2=5，所以三棱锥F −ABE 的外接球的表面积为S =4πR 2=20π． 故答案为：20π．建立空间直角坐标系，设F(x,y ，z)，利用折叠性质可得|EF|=2，|FD|=4，DF ⊥EF ，BE ⊥EF ，然后列出方程组求出F 的坐标，设三棱锥F −ABE 的外接球的半径为r ，球心为(a,b ，c)，利用球心到各顶点的距离等于半径，列出方程组，求解即可得到半径，利用球的表面积公式求解即可．本题考查了球的理解和应用，涉及了三棱锥外接球的求解、空间两点间距离公式的应用，解题的关键是掌握球的相关性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为满足2sin 2B +sin 2C =2sin 2A ，由正弦定理，2b 2+c 2=2a 2， 即a 2−b 2=12c 2， 若B =π3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得b 2=a 2+c 2−ac ， 所以ac =32c 2， 由于c =2， 所以ac =6，所以S△ABC=12acsinB=3√32．(2)由a2−b2=12c2，所以tanAtanB =sinAcosBsinBcosA=a⋅c2+a2−b22acb⋅b2+c2−a22bc=a2+c2−b2b2+c2−a2=32c212c2=3．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出三角形的面积；(2)利用三角函数的关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．18.【答案】解：(1)因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是14，所以经常应用智慧课堂的概率是34，又城市学校中经常应用智慧课堂的有60所学校，所以城市学校共有6034=80所以所以得2×2列联表，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=160(20×40−40×60)2100×60×80×80=323=10.667>7.879.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关;(2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2．P(X=0)=C40C22C62=115，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C42C2C62=25．所以X的分布列为：X 的数学期望E(X)=0×115+1×815+2×25=43．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验思想的应用，是中档题． (1)利用已知条件填写列联表，求出K 2，即可判断是否有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关． (2)X 的可能取值为0，1，2.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.【答案】(1)证明：因为SC =4，点D 为SC 的中点，所以SD =DC =2，又AC =DA =2，所以△ADC 是等边三角形，所以∠DCA =π3， 由余弦定理可得SA =2√3，所以SC 2=SA 2+AC 2，SA ⊥AC ． 又△SAB ≌△SAC ，得SA ⊥AB ， 又AB ∩AC =A ，AB 、AC ⊂平面ABC ， 所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC ．(2)解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(1,√3,0)，S(0,0，2√3)，所以D(12,√32,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)为平面ABD 的法向量， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y +√3z =0，令z =1，得m⃗⃗⃗ =(0,−2,1)． 而平面SAB 的一个法向量n ⃗ =(0,1，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√55． 设二面角S −AB −D 的平面角为θ，则二面角S −AB −D 的正弦值为sinθ=2√55)=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出SA ⊥AC ，SA ⊥AB ，从而SA ⊥平面ABC ，由此能证明平面SAB ⊥平面ABC ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S −AB −D 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意得{ c =42b =4a 2=b 2+c 2，解得{c =4b =2a =20，所以椭圆C 的方程为：x 220+y 24=1 (2)因为直线l 过点T(0,1)，若l ⊥x 轴，则A 、B 是C 的短轴端点，显然不满足条件， 所以设直线l 方程为：y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1≠x 2， 则有y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，先把C 的方程化为x 2+5y 2=20，再联立方程得，{x 2+5y 2=20y =kx +1⇒(1+5k 2)x 2+10kx −15=0⇒x 1+x 2=−10k1+5k 2， 由|OP|=|OQ|，和中点坐标公式得，(x12)2+(y 1+12)2=(x22)2+(y 2+12)2， 所以(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−(y 1−y 2)(y 1+y 2+2)⇒(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−k(x 1−x 2)[k(x 1+x 2)+4]，所以(x 1+x 2)+k 2(x 1+x 2)+4k =0⇒−10k1+5k 2−10k 31+5k 2+4k =0，解得k 1=0，k 2=√155，k 3=√155， 所以l 方程为：y =1、y =√155x +1和y =−√155x +1．故答案为：(1)椭圆C 的方程为：x 220+y 24=1，(2)直线l 方程为：y =1、y =√155x +1和y =−√155x +1．【解析】本题考查用待定参数法求椭圆方程和直线方程，考查了直线与椭圆位置关系问题，属中档题． (1)用待定参数法求解，(2)设直线方程，联立方程组，利用|OP|=|OQ|以及中点坐标公式，解方程组，用待定系数法解求解直线方程．21.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x +a ，①当a ≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R 上单调递增； ②当a <0时，由f′(x)=0，解得x =ln(−a)， 当x <ln(−a)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x>ln(−a)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(−∞,ln(−a))单调递减，在(ln(−a),+∞)单调递增，(2)证明：①当x≥0时，显然有f(x)+12x2+732>0；②当x<0时，令g(a)=f(x)+12x2+732=xa+e x+12x2+732，则函数g(a)在0≤a≤1时单调递减，所以只需证明g(1)>0，即e x+12x2+x+732>0，令ℎ(x)=e x+12x2+x+732(x<0)，则φ(x)=ℎ′(x)=e x+x+1，显然φ(x)单调递增，又φ(−2)<0，φ(−1)>0，所以存在唯一x0∈(−2,−1)，使φ(x0)=0，当x∈(−∞,x0)时，φ(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，φ(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(x0)，因为φ(x0)=0，所以e x0+x0+1=0，即e x0=−(x0+1)，所以ℎ(x)≥ℎ(x0)=e x0+12x02+x0+732=−(x0+1)+12x02+x0+732=12x02−2532，又因为ln4=2ln2=2×0.693>54，所以e54<4，所以φ(−54)=1e54−14>0，从而x0∈(−2,−54)，所以12x02−2532>12×(−54)2−2532=0，则ℎ(x)>0，故待证不等式成立．【解析】(1)求出函数f(x)的定义域，求出导函数，对a的取值进行分类讨论，分别研究导函数的正负判断函数的单调性；(2)构造关于a的函数g(a)=f(x)+12x2+732=xa+e x+12x2+732，利用其单调性，将问题转化为证明g(1)>0，构造函数ℎ(x)=e x +12x 2+x +732(x <0)，利用导数研究其单调性，可得存在唯一x 0∈(−2,−1)，ℎ(x)≥ℎ(x 0)，利用e x 0=−(x 0+1)，结合ln4=2ln2=2×0.693>54，得到e 54<4，从而确定x 0∈(−2,−54)，分析可证明12x 02−2532>12×(−54)2−2532=0，从而得出证明． 本题考查了导数的综合应用，涉及了利用导数研究函数的单调性的应用、利用导数构造函数证明不等式问题，综合性强，对学生的思维能力要求很高，属于难题．22.【答案】解：(1)∵直线C 1的参数方程为{x =t +2y =−t +4(t 为参数)，∴消去参数t ，得C 1的普通方程为x +y −6=0． ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ2(2−cos2θ)=3， ∴2ρ2−ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=3，∴C 2的直角坐标方程为2(x 2+y 2)−(x 2−y 2)=3， 即x 23+y 2=1．(2)曲线C 2的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，设C 2上的动点为M(√3cosα,sinα)， 则C 2上的动点到C 1距离d =√3cosα+sinα−6|√2=|2sin(α+π3)−6|√2．∵2sin(α+π3)∈[−2,2]，则C 2上的动点到C 1距离的最大值是4√2，最小值是2√2，∴C 2上的动点到C 1距离的取值范围是[2√2,4√2]．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数之间的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1){x =t +2y =−t +4(t 为参数)，消去参数t ，得C 1的普通方程．曲线C 2的极坐标方程，通过极坐标与直角坐标的互化，化为普通方程即可．(2)曲线C 2的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)，设C 2上的动点为M(√3cosα,sinα)，利用点到直线的距离，结合三角函数的最值求解最值，得到范围即可．23.【答案】解：(1)由不等式f(x)≥6，可得f(x)=2|x −1|+|x +2|≥6，所以{x ≤−22−2x −x −2≥6或{−2<x <12−2x +x +2≥6或{x ≥12x −2+x +2≥6解得x ≤−2或x ≥2，所以原不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞).(2)因为f(x)=2|x −1|+|x +2|={−3x,x ≤−2−x +4,−2<x <13x,x ≥1，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=3，要f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，只需3≥m +2m ，即m 2−3m+2m≤0，所以{(m −1)(m −2)≤0m >0或{(m −1)(m −2)≥0m <0，解得1≤m ≤2或m <0，所以实数m 的取值范围为(−∞,0)∪[1，2]．【解析】本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． (1)由不等式f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可．(2)将f(x)写为分段函数的形式，然后求出f(x)的最小值，f(x)≥m +2m 对任意x ∈R 恒成立，只需3≥m +2m ，转化求解m 的范围即可．。

安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学试题参考答案1．B 【思路点拨】首先解出两个集合，再根据交集的定义求A B【解析】22660x x x x >-⇔--<，解得：23x -<<， 即{}23A x x =-<<，5222x<=，解得：52x <，即52B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，52,2AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故选：B2．D 【思路点拨】由复数除法化简复数为代数形式，然后由复数的分类求解．【解析】2()(2)222122(2)(2)555a i a i i a ai i i a a i i i i ++++++-+===+--+，它为纯虚数， 则2105a -=且205a +≠，解得12a =． 故选：D ．3．B 【思路点拨】模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件得出结论．【解析】程序运行时变量值在循环体变化如下：1,1,1a S n ===，判断不满足4?n >；3,4,2a S n ===，判断不满足4?n >；5,9,3a S n ===，判断不满足4?n >；7,16,4a S n ===，判断不满足4?n >；9,25,5a S n ===，满足4?n >，输入25S =．故选：B ．4．C 【思路点拨】频率分布直方图中求出频率0.5对应的数值即可得．【解析】由频率分布直方图在区间[10,60)上的频率为(0.0040.012)250.4+⨯=，中位数在[60,85)上，设中位数为x ，600.50.4250.01625x --=⨯，解得66.25x =． 故选：C ．5．D 【思路点拨】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，即可判断各选项是否正确.【解析】对于A ，若//m α，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误； 对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若//m α，//n β，//m n ，则//αβ，或平面α与平面β相交，所以C 错误； 选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确. 故选:D.【名师指导】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．B 【思路点拨】先分配甲，按甲分到D 班和不分到D 班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．【解析】甲分到D 班，有336A =种方法；甲分到B 或C 班，有方法数1122228C C A =，总共有方法数为6814+=种． 故选：B ．【名师指导】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，安排甲时需分类讨论：甲安排在D 班时，另外三人随便安排即可，甲安排在BC 两班之一，由丁只有两个班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论． 7．B 【思路点拨】由函数()()x f x ωϕ=+()()0,0,ωϕπ>∈的最小正周期为2π可计算出4ω=，然后根据三角函数图象的平移变换规律及三角函数的图象与性质得到关于ϕ的方程，即可得解． 【解析】由题意得242πωπ==，故()()4f x x ϕ=+，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数24463y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，由243y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数得232k ππϕπ-+=+，k ∈Z 得76k πϕπ=+，k ∈Z ， ()0,ϕπ∈，6π=ϕ，故选：B ．【名师指导】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学推理学习情境．考查逻辑思维能力和运算求解能力． 8．B 【思路点拨】计算出12c =，然后由指数函数和幂函数的性质比较,a b 与12的大小．【解析】91log 32c ==，121553422933b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11554119322b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<． 故选：B ．【名师指导】本题考查幂和对数的大小，掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题关键．能利用函数单调性的利用单调性比较，不能利用函数的单调性的或不同类型的数的可以与中间值如0或1等比较，本题对数值为12，然后把幂与12比较可得． 9．C 【思路点拨】由10AF =求出A 点坐标，求出O 关于准线的对称点P ，线段PA 的长就是所求最小值．【解析】易知抛物线28x y =的焦点为(0,2)F ，准线为:2l y =-，设(,)A x y ，不妨设0x >，210AF y =+=，8y =，则2864x y ==，8x =，O 关于准线l 的对称点为(0,4)P -，MA MO MA MP AP +=+≥，当且仅当,,A M P 三点共线时，等号成立，AP ==所以|MA |+|MO |的最小值为 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查直线上动点到两定点距离和的最小值问题，根据是平面上两点间线段最短，解题方法是利用对称性求出其中一个定点关于定直线的对称点，然后求出这个对称点与另一定点的距离即为最小值．10．C 【思路点拨】确定函数()f x 的性质，作出函数()f x 的图象，解方程(())30f f x +=时，先确定()3=-f t 的解t ，并确定解的范围，然后再研究()f x t =的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用．【解析】作出函数()f x 的图象，0x <时，1()2f x x x=+≤-（1x =-时取等号），(,1)-∞-上()f x 递增，(1,0)-上()f x 递减，(0,)+∞上()f x 递增，由图象可知()3=-f t 有三个解123,,t t t ，不妨设12310t t t <-<<<，由于1(2)232f -=-->-，因此12t <-， 于是1()f x t =有3个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有一个解，共5个解． 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查方程的根与函数零点个数问题，解题方法是用换元法把方程的解的个数转化转化为函数图象与直线交点个数，转化是解决这类问题的关键．11．C 【思路点拨】分析出等差数列{}n a 的公差大于零，由87<1a a -分析出70a <，780a a +>，可得出130S <，140S >，进而可得出结果.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，87<1a a -，所以，8787710a a aa a ++=<，可得()7780a a a +<，由于等差数列的前n 项和n S 有最小值，且2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则02>d，即0d >， 所以，78a a <，若70a >，则870a a >>，这与()7780a a a +<矛盾，所以，70a <，780a a +>， 则()113137131302a a S a +==<，()()114147814702a a S a a +==+>，因此，当0n S <时，n 的最大值为13.故选：C.【名师指导】方法点睛：对于等差数列前n 项和的最值，可以利用如下方法求解： （1）将n S 表示为有关n 的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理； （2）从项的角度出发：①若n S 有最大值，只需将数列{}n a 中所有的非负项全部相加； ②若n S 有最小值，只需将数列{}n a 中所有的非正项全部相加.12．A 【思路点拨】利用导数确定函数是减函数，证明()(2)1f x f x +-=，这样不等式可化为12()()f x f x ≤形式再利用单调性可解．【解析】22111()()22x xx x e f x eee e --'=--+=-++，212x x e e e e+≥=，（当且仅当21xx e e e=，即1x =时等号成立）， 所以21()02f x e '≤-+<．所以()f x 是减函数．2211()(2)(2)22x x x x f x f x e e x e e x ---+-+-=-++-+-1=，即1()(2)f x f x -=-， 不等式(2020)(20212)1f x f x ++-≤化为(20212)1(2020)(22020)f x f x f x -≤-+=--，又()f x 递减，所以2021222020x x -≥--，解得4039x ≤． 故选：A ．【名师指导】方法点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的性质，首先利用导数确定函数的单调性，然后对函数式进行变形得()(2)1f x f x +-=，这是解题的关键．由此性质不等式可化为(20212)(2018)f x f x -≤--，这样再利用单调性解出不等式．13【思路点拨】求出a b -，再由模的坐标表示计算．【解析】由题意(3,5)a b -=--==14．17【思路点拨】设角α为锐角，利用同角三角函数的基本关系可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可求得0cos x α=的值. 【解析】不妨设α为锐角，即02πα<<，所以，5336πππα，所以，sin 314πα⎛⎫+==⎪⎝⎭ 所以，01cos cos cos 33233x ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112147⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：17.15．【思路点拨】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【解析】由已知224,8a b ==，所以4823c =+=，即12(23,0),(23,0)F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=， 12113sin 32832322AF F S mn π==⨯⨯=△． 故答案为：83．【名师指导】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16．20π．【思路点拨】证明EF ⊥平面ADF ，从而得EF AF ⊥，再由90ABE ∠=︒，得AE 的中点O 是三棱锥F ABE -的外接球的球心，求出球半径后可得表面积．【解析】∵BE EF ⊥，//AD BE ，∴EF AD ⊥，又EF FD ⊥，AD FD D =，,AD FD ⊂平面ADF ，∴EF ⊥平面ADF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴EF AF ⊥，而90ABE ∠=︒，∴AE 的中点O 到四点,,,A B E F 的距离相等，即为三棱锥F ABE -的外接球的球心，AE 为球直径，又22224225AE AB BE =+=+=，∴外接球表面积为()22445202AE S πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：20π．【名师指导】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是找到外接球球心，求得球的半径．一般三棱锥外接球球心一定在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．如果三棱锥的面是直角三角形，则外心更易找到，从而外接球球心也易找到． 17．【思路点拨】（1）首先根据正弦定理，边角互化，可得22212a b c -=，再结合余弦定理求得ac ，最后计算ABC 的面积；（2）首先将正切化为正余弦，再利用正余弦定理化为边，最后代入22212a b c -=，化简求值. 【解析】（1）因为2222sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理，22222b c a +=，即22212a b c -=，若3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又22212a b c -=，所以232ac c =，而2c =，所以6ac =，所以1sin 22ABCSac B ==. （2）由22212a b c -=，知222222222222223tan sin cos 2231tan sin cos 22a c b c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c bc+-+-=====+-+-. 【名师指导】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．【思路点拨】（1）首先计算城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数，再补全22⨯列联表，并根据参考数据计算2K ，和临界数据比较，作出判断；（2）首先根据列联表分析，在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，再利用超几何分析求分布列和数学期望.【解析】（1）设城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数为n ，则1604n n =+，解得：20n =，再根据22⨯列联表依次补全表格()22160204040603210.6677.8791006080803K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X 的可能取值为0，1，2.()0242261015C C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()204226225C C P X C ===. 所以X 的分布列为：X 的数学期望()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】关键点点睛：本题第二问的关键是根据列联表，可知偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，然后可知抽取的6人中的农村和城市学校个数，再按照超几何分布列表计算.19．【思路点拨】（1）要证明面面垂直，首先SAC 中求SA ，利用边长证得SA AC ⊥，再利用三角形全等，可证明SA ⊥平面ABC ；（2）方法一，向量坐标法，以A 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，分别求平面ABD 和SAB 的法向量,m n，利用公式cos ,m n m n m n⋅=求解；方法二，几何法，利用垂直关系作出二面角的平面角，直接求正弦值.【解析】（1）因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC 是等边三角形，所以3DCA π∠=，所以SA =，所以222SC SA AC SA AC =+⊥，.又SAB SAC ≌，得SA AB ⊥，又AB AC A ⋂=，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC .（2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3,0)C ，3)S ，所以13(3)22D ，， 所以(2,0,0)AB =，13322AD =(，). 设(,,)m x y z =为平面ABD 的法向量，由0,0.m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20,1330.22x yx z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令1z =,得()0,2,1m =-.而平面SAB 的一个法向量(0,1,0)n =，所以25cos ,5m n m n m n⋅==-. 设二面角S AB D --的平面角为θ，则5sin 5θ=. 方法2：取AC 中点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，过点E 作EF AB ⊥于F ，连接DF ，DFE ∠为二面角D AB C --的平面角.在Rt DEF △中，3DE =32EF =，152DF =，所以5cos EF DEF DF ∠==， 因为二面角S AB D --的平面角与二面角D AB C --的平面角互余， 所以二面角S AB D --5【名师指导】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20．【思路点拨】（1）分别求,b c ，再利用222a b c =+，求椭圆方程；（2）首先设直线l 方程为：+1y kx =，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用两点间距离表示22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再化简，代入根与系数的关系求k . 【解析】（1）由已知得24b =，得2b =，4c =，22220a b c =+=，所以椭圆C 的方程为221204x y +=. （2）易知直线l 斜率存在，设直线l 方程为：+1y kx =. 联立2212041x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(15)10150k x kx ++-=，则2400600k ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221015k x x k +=-+，1221515x x k =-+. ∵OP OQ =，∴22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即：[]12121212()()()()4x x x x k x x k x x -+=--++.∵12x x ≠，∴21212()()40x x k x x k ++++=， ∴3221010401515k k k k k --+=++，解得10k =，2k =，3k = 所以满足条件的直线l 方程为：1y =、1y x =+和1y x =+. 【名师指导】关键点点睛：本题考查直线与圆锥曲线相交问题，常规步骤是直线与椭圆联立后得到根与系数的关系后，利用两点距离得到22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简是关键，利用平方差公式和点在直线上化简，求值.21．【思路点拨】（1）求出导函数()'f x ，按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）0x ≥时不等式成立，在0x <时，首先217()232f x x ++作为a 的函数是递减的，只要证明1a =时不等式成立即可，为此令()217232x h x e x x =+++（0x <），求出导函数()h x '，为了确定它的正负，需要对其进行再次求导（再引入一个函数，求导），由零点存在定理确定()h x '的零点0x 的范围，得min 0()()h x h x =，再证明最小值0()0h x >，可能要对0x 进一步缩小，才可得证．【解析】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+. ①当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=得()ln x a =-，且()ln x a <-时()0f x '<，()f x 单调递减；()ln x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增.综上，0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；0a <时，()f x 在()(),ln a -∞-单调递减，在()()ln ,a -+∞单调递增. （2）证明：①当0x ≥时，显然有()2170232f x x ++>； ②当0x <时，令()()221717232232x g a f x x xa e x =++=+++在01a ≤≤时单调递减，所以只需证明()10g >，即2170232x e x x +++>. 令()217232x h x e x x =+++（0x <），则()()1x x h x e x ϕ'==++，显然()x ϕ单调递增（()10xx e ϕ'=+>），()20ϕ-<，()10ϕ->，所以存在唯一()02,1x ∈--，使()00x ϕ=，且()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()h x 单调递减；()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>，()h x 单调递增，所以()()0h x h x ≥.因为()00x ϕ=，所以0010x e x ++=，即()001xe x =-+， 所以()()()0222000000017171251232232232x h x h x e x x x x x x ≥=+++=-++++=-. 又因为5ln 42ln 220.6934=≈⨯>，所以544e <，所以54511044e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，从而052,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以220125152502322432x ⎛⎫->⨯--= ⎪⎝⎭. 所以()0h x >，故待证不等式成立.【名师指导】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是转化．首先分类，0x ≥时不等式恒成立，在0x <时，先把参数a 作为主元，讨论后发现只要1a =时不等式成立即可，1a =时，引入新函数，求其最小值，证明最小值大于0，证明时由于最小值点不能求出，因此设为0x ，由零点存在定理得出0x 的范围，然后证明出结论．22．【思路点拨】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【解析】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=．∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=． （2）曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C上的动点为,sin M αα）， 则2C 上的动点到1C距离|2sin()6|d πα+-==．∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C距离的最大值是∴2C 上的动点到1C距离的取值范围是⎡⎣． 【名师指导】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【解析】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增， 所以min ()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤， 所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <， 所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【名师指导】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。

安徽省滁州市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“3πα=”是“()tan πα-=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．与双曲线2212x y -=共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是（ ）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．2222193x y +=D ．22163x y +=3．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．2B ．43C ．53D ．954．一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是（ ）A ．64πB ．32πC ．16πD ．8π5．生物等级性考试成绩位次由高到低分为A ､B ､C ､D ､E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加生物等级性考试的学生中抽取300人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．95B ．144C ．120D ．1656．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右顶点分别为A ､B ，右焦点为F ，过点F与x 轴垂直的直线与双曲线在第四象限交于点C ，若AFC △为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．7．“脱口秀大赛”上选手的分数分为观众评分和嘉宾评分.组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.嘉宾评分的平均数为1x ，观众评分的平均数为2x ，中位数为x 中，则下列选项正确的是（ ）A ．12x x x >>中B ．21x x x >>中C ．12x x x >>中D ．21x x x >>中8．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+9．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，1CC ，若点M 为11A B 的中点，则直线AM 与平面1ABC 所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π10．已知圆22:1C x y +=，从点()2,0A 观察点()2,B b -，若视线不被圆C 挡住(视线所在直线与圆C 无公共点)，则实数b 的取值范围是（ ）A ．((),-∞-⋃+∞B ．(-C ．,,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,33⎛- ⎝⎭11．函数()sin cos f x x x ωω=+，0>ω，当[]0,1x ∈时，()f x 恰好取到5个最大值，则实数ω的取值范围是（ ） A ．925,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1927,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3341,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4150,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4时，直线l 的斜率为（ ）A ．2±B ．±C ．8±D ．±二、双空题13．命题“0x ∀≥，sin cos 1x x +≤”的否定是___________，且是___________命题(填：真､假).三、填空题14．设向量a ，b 满足2a =，1b =，()3a a b ⋅-=，则cos ,a b =___________. 15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，又称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为___________.16．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，AG =，4BC =，则ABC ∆面积的最大值为____四、解答题17．设p ：“关于x 的不等式20x ax a -+>的解集为R ”；q ：“函数()2xf x x a=+-在区间()0,2上有零点”.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围.18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率.（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其它市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？ 19．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为4+C 的方程；（2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为矩形，且122AA AC ==，平面11AA B B ⊥平面11ACC A ，AB =14BAA π∠=.（1）证明：AB ⊥平面11BA C .（2）求异面直线CB 与1AC 所成角的余弦值.（3）线段1A B 上是否存在一点D ，使得平面1DAC 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，求出1A D DB 的值；若不存在，请说明理由.22．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -，离心率为2，经过F 的直线FM 与圆2224a x y +=的上半圆相交并截圆所得的线段长为b ，直线与椭圆交于x 轴上方一点M ，且2FM =.（1）求椭圆的方程；（2）A ，B ，C ，D 为椭圆上四个动点，且AC ，BD 交于原点O ，设()11,A x y ，()22,B x y ，且12124x x y y =，判断AB BC k k +的值是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.。

滁州市2020学年度第一学期期末联考高 二 数 学(理科) 一、选择题1.若集合2{|20}A x x x =-<，则R C A =（ ） A. (0，2) B. [0，2]C. (),0-∞D. [)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|0A x x =<或2}x >，根据集合的补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合2{|20}{|0A x x x x x =-<=<或2}x >，所以{|02}[0,2]R C A x x =≤≤=，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，熟记集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.已知命题p ：0x ∀>，20x x -<，则p ⌝是（ ） A. 0x ∀>，20x x ->B. 0x ∀>，20x x -≥C. 00x ∃>，0020xx -≥D. 00x ∃>，0020xx ->【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是存在性命题，即可得到命题的否定形式，得到答案. 【详解】根据全称命题的否定是存在性命题，可得命题“:0,20x p x x ∀>-< ”， 则:0,20x p x x ⌝∃>-≥，故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.3.若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）A. 79B. 79.5C. 80D. 81.5【答案】A 【解析】 【分析】由给定的茎叶图得到原式数据70,71,72,76,82,82,85,87，再根据中位数的定义，即可求解.【详解】由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：70,71,72,76,82,82,85,87， 再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为7682792+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.4.设抛物线214y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，则“||3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案. 【详解】由题意，抛物线214y x =可化24x y =，则24p =，即2p =，设点P 的坐标为(,)x y ，因为3PF =，根据抛物线的定义可得，点P 到其准线的距离为32py +=，解得2y =，即点P 到x 轴的距离为2，所以充分性是成立的；又由若点P 到x 轴的距离为2，即2y =，则点P 到其准线的距离为213+=， 根据抛物线的定义，可得点P 到抛物线的焦点的距离为3，即3PF =，所以必要性是成立的，即“3PF =”是“点P 到x 轴的距离为2”的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ） A. 006 B. 041C. 176D. 196【答案】B 【解析】 【分析】求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足104n -，即可出判定，得到答案.【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为2001020=， 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足6(1)10104n n +-⨯=-，其中n N +∈，其中当4n =时，抽取号码为36；当18n =时，抽取的号码为176；当20n =时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.在等差数列{}n a 中，11a =，且21a a -，31a a -，41a a +成等比数列，则5a =（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由213141,,a a a a a a --+成等比数列，求得2d =，再由等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由213141,,a a a a a a --+成等比数列，则()()()2312141a a a a a a -=-+， 即()()2223d d d =⋅+，解得2d =或0d =（舍去）， 所以5141429a a d =+=+⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.命题p ：函数21y x ax =-+在(1, )+∞上是增函数. 命题q ：直线20x y a --=在x 轴上的截距大于0. 若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≥B. 0a ≤C. 02a <<D.02a <≤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求得命题p 为真命题时，2a ≤，命题q 为真命题时，0a >，再根据p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题，即可求解.【详解】由二次函数的性质，可得函数21y x ax =-+在(1,)+∞是增函数，则12a≤，即2a ≤，即命题p 为真命题时，则2a ≤；由直线20x y a --=在x 轴上的截距为a ，因为截距大于0，即0a >， 即命题q 为真命题时，则0a >；又由p q ∧为真命题，即,p q 都是真命题， 所以实数a 的取值范围是02a <≤，故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距，以及简单的复合命题的真假判定与应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）A. 4πB.3πC.2πD.1π【答案】D 【解析】 【分析】根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ===， 故选D.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数(2)10101化为十进制数(注：01234(2)101011202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)，那么处理框①内可填入（ ）A. 2S S i =+B. S S i =+C. 21S S i =+-D.2S S i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由二进制数化为十进制数，得出(2)1010121=，得到运行程序框输出的结果，验证答案，即可求解.【详解】由题意，二进制数()210101化为十进制数43210(2)10101120212021221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即运行程序框输出的结果为21，经验证可得，处理框内可填入2S S i =+，故选D.【点睛】本题主要考查了二进制与十进制的转化，以及循环结构的程序框图的计算与输出，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A.155B.15105 D.3010【答案】D 【解析】 【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-u u u v 和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-u u u v u u u u v u u u u v.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =r，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =r.设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，则1130sin 30n A E n A Eθ⋅===⋅u u u v v u u u v v 故选D.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.设双曲线22221(0,?0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，且25AF BF ==，则此双曲线的离心率为（ ）A. 32B.43C. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和题设条件25AF BF ==，得到255,2b AF ac BF a =+===，进而求得2,3a c ==，最后利用离心率的公式，即可求解.【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得左焦点为(,0)F c -，右顶点为(,0)A a ，又由过F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ，则2(,)bB c a-±，又因为25AF BF ==，即255,2b AF ac BF a =+===，且222c a b =+，解得2,3,a c b ===， 所以双曲线的离心率为32c e a ==，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12.设函数1,0()2,? 0xx x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则22()x f x 的取值范围是（ ）A. 1[0,?)2B. 1(0,?)4C. 1(0,?]2D. 1(0,?]4【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-，再利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，如图所示，可得当0x <时，021x <<，当01x <≤时，0()1f x ≤≤，当1x ≥时，()0f x ≥， 结合图象可得201x <<，22()1f x x =-，所以222222222111()(1)()(0,]244x f x x x x x x =-=-+=--+∈，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的图象和题设条件，求得22201,()1x f x x <<=-是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13.向量(1, 3)a =-r ，(, 2)b x =r ，且a b ⊥r r，则a b -=r r _________. 【答案】52【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直关系，求得6x =，进而得到a b +r r的坐标，利用模的计算公式，即可求解.【详解】由向量()1,3a =-v ，(),2b x =v ，且a b ⊥vv ，即320x -+⨯=，解得6x =，所以(5,5)a b +=v v ，所以a b +==vv 【点睛】本题主要考查了向量的垂直关系的应用，以及向量的坐标运算和向量的模的计算，着重考查了计算与求解能力，属于基础题.14.若椭圆C ：2221(0)1x y m m m+=>+的焦距为，则椭圆C 的长轴长为_________.【答案】【解析】 【分析】根据椭圆的性质222a c b -=，列出方程求得m 的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，椭圆222:1(0)1x y C m m m+=>+的焦距为则221m m +-=，解得2m =，所以215m +=，所以椭圆C 的长轴长为=【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.【解析】【分析】由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2283s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1(4042404344)436a +++++=，解得49a =，所以方差为2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=，所以样本的标准差为2213s =. 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，2PA =，则异面直线AC 与PB 所成角的余弦值为_________.【答案】3714【解析】 【分析】以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求得向量,OA PB u u u v u u u v的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以,OA OB 分别为,x y 轴，以过O 点平行与PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则333(,0,0),(0,(,0,2)222A B P ，所以33(,0,0),(2)22OA PB ==--u u u v u u u v ，设AC 与PB 所成的角为θ，则cos OA PB OA PBθ⋅==⋅u u u v u u u vu u u v u u u v所以AC 与PB所成的角的余弦值为14. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17.在ABC ∆中，角, , A B C 的对边分别为, , a b c，且sin cos 0a B A =. (1)求A 的大小；(2)若a =3b =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23A π=；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sinB ≠0求出tan A =定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．【详解】（1）由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =， ∵sin 0B ≠，∴sin 0A A +=，∴tan A = ∵0A π<<，∴23A π=（2）∵22222cos3a cb bc π=+-，7a =，3b =， ∴23400c c +-=，解得5c =或8c =-（舍），∴12sin 23ABC S bc π∆== 13153352⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.【答案】（1）20；（2）710【解析】 【分析】（1）选取的市民年龄在[]40,45内的频率，即可求出人数；（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A 1，A 2，A 3从第4组选2人，记为B 1，B 2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.【详解】（1）由题意可知，年龄在[]40,45内的频率为0.0250.1P =⨯=， 故年龄在[]40,45内的市民人数为2000.120⨯=.（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为1A ，2A ，3A ，第4组的2名分别为1B ，2B ，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.其中第4组的2名1B ，2B 至少有一名被选中的有：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，所以至少有一人的年龄在[)35,40内的概率为710. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.19.商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A 按以下单价进行试售，得到如下数据：(1)求销量y 关于x 的线性回归方程；(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程.，已知每件商品A 的成本是10元，为了获得最大利润，商品A 的单价应定为多少元？(结果保留整数)(附：1122211()()()nni ii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ∧====---==--∑∑∑∑，a y b x ∧∧=-.【答案】（1） 2.7100.9y x ∧=-+；（2）24.【分析】（1）根据表格中的数据，利用公式，求得ˆˆ2.7,100.9ba =-=，即可得到回归直线的方程；（2）由（1）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意得1516171819605855534917,5555x y ++++++++====，所以515222154648517552.7,55( 2.7)17100.91ˆ45ˆ55175i ii ii x y xybay bx xx ==--⨯⨯===-=-=--⨯=-⨯-∑∑， 所以y 关于x 的线性回归方程为 2.710.9ˆ0yx =-+； （2）由题意得，获得的利润2(10) 2.7127.91009z x y x x =-=-+-， 所以当127.9245.4x =≈时，z 取得最大值， 所以单价定为24元，可获得最大利润.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥，2AB AD =，且PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)若二面角P BC D --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）105.【分析】（1）先由PD ⊥底面ABCD ，得到PD BC ⊥，再在平行四边形ABCD 中，得到BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）知，分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求得平面PBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 因为平行四边形ABCD 中，//,AD BC AD BD ⊥，所以BC BD ⊥， 因为PD BD D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD . （2）由（1）知，BC ⊥平面PBD ，所以PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，即6PBD π∠=，分别以,,DA DB DP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 设2BD =，则1AD PD ==,则(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1)A B C P -,所以(1,0,1),(1,0,0),(0,2,1)AP BC BP =-=-=-u u u v u u u v u u u v，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00200x n BC y z n BP ⎧-=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩u u u v v u u u v v ，令1y =，得(0,1,2)n =r ，所以AP 与平面PBC 所成角的正弦值为10sin 25AP n AP nθ⋅===⨯⋅u u u v v u u u v v .【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.已知圆22:2210C x y x y ++-+=和抛物线2:2(0)E y px p =>，圆C 与抛物线E 的准线交于M 、N 两点，MNF ∆的面积为p ，其中F 是E 的焦点. （1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点O 的动直线l 交该抛物线于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，设点Q 为圆C 上任意一动点，求当动点Q 到直线l 的距离最大时直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）520y x =- 【解析】 【分析】（1）由题意表示MNF ∆的面积，解出p 值，即可求出抛物线的方程；（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22111x y ++-=，圆心坐标为()1,1-.抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，将2p x =-代入圆方程，得1y =，∴2MN =MNF ∆的面积为p =，∴2p =，∴抛物线E 的方程为24y x =.（2）设l 的直线方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组得：24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得2440y my t --=， 令216440m t ∆=+⨯>，得20m t +>.由韦达定理得121244y y my y t +=⎧⎨=-⎩，①则()()1212x x my t my t =++= ()221212m y y mt y y t +++.由于0OA OB ⋅=u u u v u u u v，可得12120x x y y +=.即()()22121210m y y mt y y t ++++=，②将①代入②整理得()40t t -=.由于0t ≠得4t =，则直线l 过定点()4,0N ， 当CN l ⊥时，圆心到直线的距离取得最大值， 此时101145CN k -==---，则直线l 的斜率为5k =， 所以直线l 的方程为520y x =-.【点睛】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点?22与点(1,?2--.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过定点1(0,)2-，且斜率为()10k k -≠，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，O 为坐标原点，求k 的取值范围及AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=；（2）k ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，2. 【解析】 【分析】（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立方程组，由>0∆，即2221k m +>，以及根与系数的关系，得到线段AB 的中点坐标，代入直线方程l 方程，求得2122k m +=，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，得到AOB S ∆的表达式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得2222231441214a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 所以>0∆，即2221k m +>，……….①且2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++， 所以线段AB 的中点横坐标02212km x k =-+，纵坐标为00212my kx m k =+=+， 将00,x y 代入直线l 方程112y x k =--，可得2122k m += ……… ②，由①②可得232k <，又0k ≠，所以(k ∈⋃，又AB ==且原点O 到直线AB的距离d =，所以2122(12)AOBm S AB d k ∆==+==所以1m =时，AOB S ∆最大值2，此时2k =±，所以2k =±时，AOB S ∆最大值2. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。

滁州市六校2020~2021学年高一年级第一学期调研考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写淸楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．． 4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一~五章5.3．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}210A xx =-=∣，则A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1,1}A -2．()cos 240︒-=A ．2-B ．2C ．12-D ．123．已知01x <<，则(33)x x -的最大值为A ．12B ．14C ．23D ．344．下列函数是单调增函数的是A ．2()3f x x =B ．()f x =C ．41()f x x =D ．3()f x x -=5．已知函数()321()1m f x m m x -=--是幂函数，则m =A ．0B ．1-C ．2D ．2或1-6．已知函数()f x =()2021g x x =，则下列结论正确的是A ．()()()h x f x g x =+是奇函数B ．()()()h x f x g x =是偶函数C ．()()()2021h x f x g x =+-既是奇函数又是偶函数D ．()2()3()h x f x g x =-是非奇非偶函数7．若关于x 的不等式26240mx mx ++>的解集为{ 2}x x a x a <>+或，则实数m 的值是A ．1B ．2C ．3D ．4．8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()34xf x =+，则(1)(0)f f -+=A ．7-B ．7C ．1-D ．19．在同一平面直角坐标系中，函数1()(0)af x x x =>，1()log 2a g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0 1)a a >≠且的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．10．已知函数()lg f x x =+的零点为a ，设3a b =，ln c a =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<11．若函数(2)(1),()2log (1),a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩，在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(0,1)12．已知关于x 的方程221xm m -=-有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的半径为________． 14．若角θ的终边经过点(1,)(0)P m m -≠，且sin 2θ=，则m =________． 15．已知集合{,}A x x m m =≥∈Z ∣，{}121x B x+=>∣，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则m 的最小值是________．16．已知函数2223,2,()log ,2,x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （1）计算：122log 89-+；（2）已知3tan 4α=，求cos(2)sin()cos cos()2παπαπαπα-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值．18．（本小题满分12分）设集合{213}A x m x m =-+<<-+∣，{216}B x x =≤+≤∣． （1）若1m =，求A B ⋂，A R；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知函数()xxf x a a-=-(0 1)a a >≠且，8(1)3f =．（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）求不等式(1)(43)0f x f x ++->的解集． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()f x x mx =+，函数()f x 在y 轴左侧的图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论关于x 的方程()0f x a -=的根的个数．21．（本小题满分12分）已知函数()212()log 23f x x ax =-+．（1）当2a =时，求()f x 的定义域和单调区间；（2）若()f x 在[1,2]内为单调函数，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩， 由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．2020~2021学年高一年级第一学期调研考试·数学试卷参考答案、提示及评分细则1．B集合{1,1}A =-，则A ∅⊆，选项A 错误，1A ∈，选项B 正确；{1}A -⊆，{1,1}A -=，选项C ，D 错误．故选B ．2．C()()cos 240cos 360120cos120︒︒︒︒-=-+=()1cos 18060cos602︒︒︒=-=-=-，故选C ．3．D2(1)3(33)3(1)324x x x x x x +-⎡⎤-=-≤⋅=⎢⎥⎣⎦（当且仅当12x =时，取“=”）故选D ．4．B 易知()f x =[0,)+∞内单调增．故选B ．5．D由函数()321()1mf x m m x -=--是幂函数，则211m m --=，解得=2m 或1m =-．故选D ．6．B要()f x 有意义，则290x -≥，所以33x -≤≤，所以()f x =()2021g x x =都是偶函数，所以()()()2021h x f x g x x =+=是偶函数，()()()2021h x f x g x x ==是偶函数，()()()2021f x g x h x =+-是偶函数，()2()3()h x f x g x =-是偶函数．故选B ．7．C∵不等式26240mx mx ++>的解集为{ 2}x x a x a <>+∣或， ∴a ，2a +是关于x 的方程2624=0mx mx ++的两个实根，且0m >， ∴(2)6a a ++=-，且24(2)a a m+=，解得4a =-，3m =．故选C ．8．A因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =． 又()1(1)(1)347f f -=-=-+=-， 所以(1)(0)707f f -+=-+=-．故选A ．9．A当1a >时，101a<<，幂函数1()af x x =在(0,)+∞上单调递增且增速越来越慢，1()log (1)2a g x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1(0)log 02a g =<；当01a <<时，11a>，幂函数1()af x x =在(0,)+∞上单调递增且增速越来越快，1()log (01)2a g x x a ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是单调递减，且1(0)log 02a g =>．只有A 符合题意．故选A ．10．B由已知得lg a =，数形结合得01a <<，则1b >，0c <，所以c a b <<．故选B ．11．C 由题意，函数在(,)-∞+∞上单调递增，∴()1,20,210,2a a a a ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪-⨯-≤⎩解得423a ≤<，即4,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故选C ． 12．B因为方程有两个不相等的实数根，所以()2xf x m =-的图象如下图所示：由图像可知，若方程221xm m -=-有两个不等实根，则021m m <-<，解得112m <<．故选B ． 13．3扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =．14．1±由题意，得r =2=． 因为0m ≠，所以1m =±．15．01211x x +>⇒>-，则由题意得1m >-，所以m 能取的最小整数是0．16．[2,3)当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当2x >时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥∴101a<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17．解：（1）原式121123434339=+-=+-=-．（2）原式cos sin 1tan sin cos tan 1αααααα--==++31143714-==+． 18．解：（1）因为{213}A x m x m =-+<<-+∣，{216}{15}B x x x x =≤+≤=≤≤∣∣，（1）若1m =，{12}A x x =-<<∣，则{12}A B x x ⋂=≤<∣．{ 1 2}A x x x =≤-≥R∣或．（2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，①当A =∅时，213m m -+≥-+，即2m ≤-；②当A ≠∅时，213,211,35,m m m m -+<-+⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩解得20m -<≤，综上，实数m 的取值范围是(,0]-∞．19．解：（1）18(1)3f a a =-=，解得13a =-（舍去）或3a =， 所以()33xxf x -=-．因为() f x 的定义域为R ，且()33()xx f x f x --=-=-，所以() f x 为奇函数（2）因为3xy =在R 上单调增，3xy -=在R 上单调减，所以()33xxf x -=-在R 上单调递增，不等式(1)(43)0f x f x ++->，即(1)(43)f x f x +>--． 因为() f x 为奇函数，所以(1)(34)f x f x +>- 又因为() f x 为增函数，所以134x x +>-，解得25x >， 所以不等式(1)(43)0f x f x ++->的解集为2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 20．解：（1）由图可知2(2)(2)(2)0f m -=-+⨯-=，解得2m =．设0x >，则0x -<，∵函数() f x 是定义在R 上的偶函数， 且当0x ≤时，2()2f x x x =+，∴22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=， ∴2()2(0)f x x x x =->．∴222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩．（2）作出函数() f x 的图象如图所示：min ()(1)(1)1f x f f =-==-．由图可知，当1a <-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为0； 当0a >或1a =-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为2； 当10a -<<时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为4； 当0a =时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为3．21．解：令223u x ax =-+，12log y u =．（1）当2a =时，243u x x =-+，由0u >，得3x >或1x <．故() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞⋃+∞．因为12log y u =单调减，243u x x =-+的图象开口向上，所以()212()log 43f x x x =-+的单调递增区间(,1)-∞，单调递减区间为(3,)+∞．（2）①当() f x 在[1,2]内为单调增函数，则2,4430,a a ≥⎧⎨-+>⎩无解，舍去． ②当() f x 在[1,2]内为单调减函数，则1,1230,a a ≤⎧⎨-+>⎩得1a ≤． 由①②，得1a ≤．22．解：（1）当050x <<时，22()6100102003000104003000L x x x x x x =⨯---=-+-；当50x ≥时，1000010000()6100601900030006000L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． ∴2104003000,050,()100006000,50,x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当050x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，当20x =时，max ()(20)1000L x L ==； 当50x ≥时，10000()60006000L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭60002005800=-=，当且仅当10000x x=，即100x =时， max ()(100)58001000L x L ==>．∴当100x =，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元．。

数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{|lg 0}A x x =<，则U A =ð（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|0x x ≤或1}x ≥ C ．{|0 x x <或1}x > D ．{|0}x x ≤【答案】B【解析】首先利用对数函数的性质求出集合A ，然后再利用集合的补集运算即可求解. 【详解】R U =Q .{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<，{|0U A x x ∴=≤ð或1}x ≥故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集运算以及对数函数的性质，属于基础题. 2．已知角α的终边上有一点(3,4)P ，则tan α=（ ）A ．43B ．43-C ．34-D ．34【答案】A【解析】利用三角函数的定义tan yxα=即可求解. 【详解】因为角α的终边上有一点(3,4)P ，所以4tan 3α=， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，需熟记定义，属于基础题. 3．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)2【答案】D4．函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的对称轴方程为（ ）A ．()382k x k Z ππ=+∈B ．()8x k k Z ππ=+∈C ．()42k x k Z ππ=+∈D ．()82k x k Z ππ=+∈ 【答案】D5．已知向量()1,2a =，()1,0b =，()3,4=c ，若λ为实数，()a b c λ+∥，则λ= A ．2 B ．1 C ．12 D ．14【答案】C 6．若sin 2sin 2παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．43 B ．43-C ．34D ．34-【答案】B7．若ln x π=，51log 3y =，12z e -=，则（ ） A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x <<【答案】D8．已知平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||2b =r ，则||a b +r r 等于（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】A9．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是减函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，(3)f 的大小关系是（ ）A ．5(3)(2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭B ．5((3)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭C ．5(3)(2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5((3)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭【答案】C10．已知122a <<，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D11．若函数()sin 3f x x x ωω=-(,0)x R ω∈>满足()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C12．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C二、填空题13．在ABC V 中已知90A ︒=，(2,3)AB =u u u r，(3,)AC k =u u u r ，则实数k =________.【答案】-2 14．设3sin7a π=，cos 7b π=，tan 3c π=，则,,a b c 之间的大小关系是________.（用“<”连接）.【答案】b a c <<15．某停车场规定：停车第一个小时收费6元，以后每个小时收费4元；超过5个小时，以后每个小时收费5元；不足一小时按一小时计算一天内60元封顶小林与小曾在该停车场当天分别停车6.5小时、13小时，则他们两人在该停车场共需交停车费________元. 【答案】9216．如图在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边CD ，AD 的中点连接AE ，BF 交于点G .若AG AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r(,)R λμ∈，则λμ+=________.【答案】35【解析】延长CD ，BF 交于点H ，可得HFD BFA ∆≅∆，ABG EHG ∆∆:，从而23AG GE =，根据22()55AG AE AD DE ==+u u u r u u u r u u u r u u u r即可求解.【详解】如图延长CD ，BF 交于点H ，易证HFD BFA ∆≅∆.所以DH AB =.又易证ABG EHG ∆∆:.所以2132AG AB AB GE HE AB AB ===+. 则22()55AG AE AD DE ==+u u u r u u u r u u u r u u u r 21125255AD AB AB AD ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r . 所以15λ=，25μ=，35λμ+=.故答案为：35【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及向量共性定理，属于基础题.三、解答题17．已知函数()lg(1)f x x =++的定义域为A ，集合{|||2}B x x =≤. （1）求A ； （2）求A B I【答案】（1）( 1.2)A =-；（2）(1,2)A B =-I 【详解】 （1）据题意，得1020x x +>⎧⎨->⎩，12x ∴-<<，( 1.2)A ∴=-.（2）据（1）求解知，(1,2)A =-.又{|||2}{|22}B x x x x =≤=-≤≤Q ，(1,2)A B ∴=-I .18．在ABC ∆中，1AB =，AC =，45BAC ︒∠=，M 为BC 的中点.（1）试用AB u u u r ，AC u u ur 表示AM u u u u r ；（2）求AM 的长.【答案】（1）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ；（2）2AM =u u u u r【详解】（1）Q M 为BC 中点，12BM BC ∴=u u u u ru u ur ， 12AM AB BM AB BC ∴=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 1()2AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2AB AC =+u u ur u u u r .（2）()222211||()244AM AB AC AB AC AB AC=+=++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ221121cos 454︒⎡⎤=++⨯⎣⎦54=.AM ∴=u u u u r . 19．已知函数()sin 2,4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭[0,]x π∈.（1）用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （2）写出sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是由sin y x =的图象经过怎样的变换得到的. 【答案】（1）图见解析；（2）见解析 【详解】 （1）列表如下：24x π-4π-2π π32π 74π x8π 38π 58π 78π πy22-0 1 0-122- 22-作图如下：（2）将sin y x =的图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的号信（纵坐标不变）， 得到sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象. 20．已知函数()22xxf x k -=+⋅（1）若()f x 为奇函数，求k 的值（2）若()4f x ≥在R 上恒成立，求k 的最小值 【答案】（1）1-；（2）4 【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以()00f =. 即1+k=0，则k=-1.（2）由()4f x ≥，得2?24x x k -+≥，即()2242x x k ≥-+⋅.设20x t =>，()24g t t t =-+.则()()max 24244g t g ==-+⨯=. 因为()2242xx k ≥-+⋅在R 上恒成立，所以()max 4k g t ≥=.故k 的最小值为4.21．已知向量2,cos 2)a x x =r ，(cos 2,cos 2)b x x =-r1()2f x a b =⋅+r r .（1）求不等式1()2f x ≥的解集；（2）设,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）,()12242k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1{1},12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭U 【详解】（1）2cos 2)a x x =⋅r Q ，(cos 2cos 2)b x x =⋅-r，1()2f x a b ∴=⋅+r r 212cos 2cos 22x x x =-+1cos 41422x x +=-+1114cos 4222x x =--+sin 46x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.1()2f x ∴≥，即1sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由5242666k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈. 得12242k k x ππππ+≤≤+，k Z ∈.1()2f x ∴≥的解集为,()12242k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）62x ππ<<Q，114266x πππ∴<-<. 令46t x π=-，作出函数sin y t =，11,26t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图象：由图可知，当1m =-或112m -≤<时，sin y t =，1126t ππ⎛⎫∈⋅ ⎪⎝⎭与y m=的图象有一个交点，即方程()f x m =有一个实根.∴所求实数m 的取值范围为1{1},12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭U .22．已知函数2()1f x x bx =-+的最小值为0(0)b >. （1）求b 的值； （2）若不等式()339xxx f k ≥⋅+对[ 1.1]k ∈-恒成立，求x 的取值范围；（3）若函数()((|ln |))h x f f m x =-的零点之积大于2，求m 的取值范围.【答案】（1）2b =；（2）(,1]-∞-；（3）ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）222()1124b b f x x bx x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭Q 的最小值为2104b -=.又0,b >2b ∴=.（2）Q 不等式()339xx xf k ⋅+…对[ 1.1]k ∈-恒成立， ∴不等式32310x x k ⋅+⋅-≤对[ 1.1]k ∈-恒成立.设函数()3231x x p k k =⋅+⋅-，则(1)32310x x p =+⋅-≤， 解得1x ≤-，即x 的取值范围为(,1]-∞-.（3）令()0h x =，得(|ln |)1f m x -=.则|ln |0m x -=或|ln |2m x -=，解得1e m x =，22e m x -=，23e m x +=，而()((|ln |))h x f f m x =-的零点之积大于2. 则223123e ee e 2m m m m x x x -+⋅⋅=⋅⋅=>. 解得ln 23m >，故m 的取值范围为ln 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.。

安徽省滁州市2020-2021学年一年级上学期数学期末试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、填一填 (共3题；共8分)1. （2分）在横线上填上“>”、“<”或“＝”．（1） 3＋0________2＋0（2） 1＋2________4－1（3） 4＋5________4－1（4） 5－0________0＋42. （3分） (2020一上·盘县期末)（1）有________ 个；有________ 个；有________ 个；有________ 个。

（2）比多________ 个，比少________ 个。

3. （3分）看图回答（1）小花是左边数起第________个，右边数起第________个。

（2）右边数起第6个，就是左边数起第________个，这个小朋友是________。

（3）丁一的左边是________，右边是________。

二、选一选 (共4题；共8分)4. （2分）“44=8”，在里应填的运算符号是（）A . ＋B . －C . ×D . ÷5. （2分）同样一块糖，放在哪杯水里，水最甜？（）A .B .C .6. （2分）动物园里来了4只动物，他们分别是大象，长颈鹿，老虎和熊猫。

已知大象比熊猫重，长颈鹿比老虎轻，熊猫比老虎重。

（1）（）最重。

A . 大象B . 长颈鹿C . 老虎D . 熊猫（2）（）最轻。

A . 大象B . 长颈鹿C . 老虎D . 熊猫7. （2分）在0，3，8，18，11，20中，最小的数是（）。

A . 3B . 11C . 20D . 0三、算一算 (共3题；共7分)8. （5分） (2019一上·鄞州期末) 直接写出得数。

3+5= 10-5= 7+4= 0+6= 13-10=9-7= 8+3= 8-4= 14-4= 6+7=5+8= 7-4= 9+9= 8+7= 10-0=6-3= 12+3= 9-5= 7-7= 9+8=7+（）=16 （）-10=2 6+（）=14 8-（）=3 19-（）=10 5+（）=12 （）-6=2 （）+2=11 4+7+6= 13-3-6= 5-2+9= 7-5+6=8-1+2= 4+5+9= 10-3-5= 9+8-10=9. （1分）在横线里填上“>”“<”或“=”。

安徽省滁州市2020-2021学年四年级上学期数学期末试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、计算题．（42分） (共3题；共30分)1. （5分） (2016四上·玉林期末) 直接写出计算结果。

75×2=________420÷60=________96÷24=________34×6=________40×15=________880÷20=________360+40=________602×39≈________478÷81≈________2. （5分） (2019四下·通榆期末) 列竖式计算下面各题，并验算（1） 254＋297＝（2）754÷29＝（3）102×85＝3. （20分） (2020三下·秦皇岛期末) 脱式计算。

（1）678+12×25（2）17×（216÷6）二、填空题．（19分） (共11题；共20分)4. （2分）量一量下面各角的度数，再写出它们的名称．________ ________5. （2分） (2020四上·白云期末) 量出如图所示的角度，并判断是哪一种角．∠1＝________°，________角．6. （2分） 8毫升=________立方厘米0.09立方分米=________毫升32平方分米=________平方厘米4立方米60立方分米=________立方米．7. （1分）观察后，分一分。

互相平行的是： ________互相垂直的是： ________8. （2分） (2019五下·景县期末) 条形统计图分为________和________。

安徽省滁州市2020-2021年三年级上学期数学期末试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、我会认真算一算（40分） (共4题；共40分)1. （10分） (2020三上·城关期末) 估一估．（1）83×6≈（2）308×8≈（3）197+212≈（4） 603﹣94≈2. （12分） (2019三上·诸暨期末) 直接写出得数。

107×5= 460+400= 1300×6=298×5≈503-497= 650-605= 320×3=702+297≈+ = - = 1- = 601-398≈3. （6分）笔算①25×6=②156×4=③432×5=④57÷9=⑤64÷7=⑥58÷6=4. （12分） (2020三上·邛崃期末) 脱式计算．（1）36×4﹣85（2） 124+256+409（3） 712﹣346﹣235二、我会用心填一填．（21分） (共10题；共21分)5. （4分） (2018三上·青岛期末) 在横线是填上合适的单位名称。

（1）一个铅球重4________。

（2）一个篮球重650________。

（3）一辆卡车重15________。

（4）吃一顿饭用30________。

（5）小朋友每天至少要睡9________。

（6）小明跑100米用了22________。

6. （3分） (2020四下·成华期末) 一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是________米。

7. （2分） (2018五下·云南期末) 一根绳子第一次用去米，第二次用去的比第一次多米，两次共用去________米。

安徽省滁州市2020-2021学年三年级上学期数学期末试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、你能按要求计算的。

（34分） (共3题；共34分)1. （16分） (2019三上·余杭期末) 直接写出得数。

67+33= 56-25= 23+66= 398+109≈440-170= 150+90= 400×5= 603-189≈300-210= 0×616=125×4=198×3≈+ = - = 1- = 304×6≈2. （16分） (2020三上·句容期中) 用竖式计算，带★的要验算。

①637×3 =②5×605=③450×6=④488÷4=⑤45÷2=⑥★367÷3=3. （2分） (2020三下·高密期末) 直接写出得数。

40×30=360÷9=24×20=480÷4= 126÷3=50×70= 0÷8=25×8=0.8+0.3= 1-0.4= 3.5+5= 6.5-4.2=19×31≈5×99≈197÷4≈321÷8≈二、相信你能正确填写的。

（共27分） (共12题；共27分)4. （5分）(2020·丰润) 在横线上填上合适的计量单位唐山到石家庄的铁路长498________，一个足球场的面积是7500________，一台电冰箱的容积是240________，一头牛的体重约是200________。

5. （4分） (2019四下·龙岗期末) 在横线上填上合适的小数。

2米5厘米=________米 3吨68千克=________吨6. （2分） (2020三上·云岩期末) 按要求画一画。

2020-2021学年安徽省滁州市马岗中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列三个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b；③从总体中抽取的样本(x1，y1)，(x2，y2)，…(x n，y n)，则回归直线必过点其中正确的个数有：A.0个B.1个C.2个D.3个参考答案：B2. 已知命题p：?x∈R，x2﹣3x+2=0，则?p为( )A．?x?R，x2﹣3x+2=0 B．?x∈R，x2﹣3x+2≠0C．?x∈R，x2﹣3x+2=0 D．?x∈R，x2﹣3x+2≠0参考答案：D【考点】四种命题；命题的否定．【专题】常规题型．【分析】根据命题p：“?x∈R，x2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题p：“?x∈R，x2﹣3x+2=0”是特称命题∴?p：?x∈R，x2﹣3x+2≠0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题，属基础题．3. 设A是正方体的一条棱，这个正方体中与A平行的棱共有（）A 、 1条 B、 2条 C、 3条 D 、 4条参考答案：C略4. 4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是A. 12B. 10C. 8D. 6参考答案：A【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得结果．【详解】解：4种不同产品排成一排所有的排法共有种，其中甲、乙两种产品相邻的排法有种，故甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有种．故选A．【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．5. 以下关于排序的说法中，正确的是（）A．排序就是将数按从小到大的顺序排序B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮参考答案：C6. 直线的斜率是( )A. B. C. D.参考答案：A7. 已知圆O：；直线过点（0，3），倾斜角为，在区间（0，π）内随机取值，与圆O相交于A、B两点，则|AB|≤的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C8. 椭圆的中心在原点，左右焦点在轴上，分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于（）A． B．C． D．参考答案：D试题分析：如图所示，设椭圆的方程为，所以时，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，故选D．考点：椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，直线的斜率公式，椭圆的几何性质等知识点的综合考查，本题的解答中根据椭圆的标准方程表示椭圆的交点及顶点坐标，再根据椭圆的方程，已知椭圆上的点的横坐标求出其纵坐标，根据两点坐标求直线的斜率，以及两平行直线的斜率的关系，即可求解离心率，属于基础题．9. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25参考答案：B【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，故2.02比较适合，故选：B．10. 已知直线，当k变化时，所有直线都过定点（）A． B． C．（3，1） D．（2，1）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=x2+3，则f（x）在（2，f（2））处的切线方程为．参考答案：4x﹣y﹣1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导函数，得到f′（2），再求出f（2），代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x2+3，得f′（x）=2x，∴f′（2）=4，又f（2）=7，∴f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=4（x﹣2），即4x﹣y﹣1=0．故答案为：4x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．12. 已知函数，，若存在两切点，，，使得直线AB与函数和的图象均相切，则实数a的取值范围是_________.参考答案：【分析】利用导数求得点处的切线方程，联立方程组，根据判别式，令，得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，点在函数的图象上，令，则点，又由，则，所以切线方程，即，联立方程组，整理得，则，令，整理得，且，构造函数，则，，可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在单调递减，又由，所以，解得．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．13. 曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．考点：导数的几何意义；直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．解答：解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）S=，故答案为：．点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．14. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为____________.参考答案：略15. ．已知命题与命题都是真命题, 则实数的取值范围是.参考答案：略16. 已知椭圆，焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF2=60°，则= 。

2020-2021学年安徽省滁州市城西中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 化简式子的结果为（）A．1 B．﹣1 C．tanαD．﹣tanα参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式化简可得答案．【解答】解：由=．故选：D．2. 设x>0，则y＝3－3x－的最大值是()A．3B．3－2C．3－2D．－1参考答案：C解析：选C.y＝3－3x－＝3－(3x+)≤3－2 ＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．3. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE 所成角的正弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．【详解】在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，连接，则为直角三角形，不妨设，则，所以,故选：B．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 在△ABC中，，则的值为A． B． C．D．参考答案：D5. 已知集合A={x|x2一x一6=0}，B={x|ax+6=0}，若A∩B=B，则实数a不可能取的值为( )A.3 B．2 C．0 D．-2参考答案：B6. 给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是⑤函数的值域是其中正确命题的个数为：A． 3 B． 2 C． 1 D． 0参考答案：D7. 半径为1cm，中心角为150o的弧长为（）A． B． C． D．参考答案：D8.参考答案：C 9. 设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．【解答】解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．10. 函数（且）.当时，恒有，有( )A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．在上是减函数参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）若点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则的值为．参考答案：考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据三角函数的定义，是300°角的正切值，求解即可．解答：点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则的值就是：tan300°=所以=tan300°=﹣tan60°=故答案为：﹣点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力．12. 一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为______. 参考答案：.【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积.【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为则可设：，三式相乘可知长方体的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.13. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为．参考答案：1，根据单调性有，解得，故，解得，当时，.14. 下面程序的功能是____________.参考答案：求使成立的最大正整数加1。

2021年安徽省滁州市示范中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域为 ( ）A． B． C． D．参考答案：A2. 如图放置的边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴（含坐标原点）上滑动，则的最大值为( )(A) (B) （C） (D)参考答案：D略3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．4. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A． B． C．D．参考答案：A5. 函数的最小正周期为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B6. 是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A本题主要考查一元二次不等式的解法及充要条件的判断．难度较小．解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立，而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立，故选A．7.经过椭圆的右焦点任作弦，过作椭圆右准线的垂线，垂足为，则直线必经过A．B．C．D．参考答案：答案：B8. 已知全集U＝R，A＝{x｜<0}，B＝{x｜≤1}，则（C uA）∩B＝（）A．（1，＋∞） B．[1，＋∞）C．（－∞，0）∪（1，＋∞） D．（－∞，0）∪[1，＋∞）参考答案：D略9. 函数的图象是（）参考答案：C 10. 从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：克的苹果数约占苹果总数的A．10% B．30% C．60% D．80% 参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_____.参考答案：略12. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为．参考答案：由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其体积为.故答案为：13. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项是；参考答案： 1514. 二项式的展开式前三项系数成等差数列，则 .参考答案：二项式的通项公式为，所以展开式的前三项为，即，因为前三项系数成等差数列，所以，解得或（舍去）。

安徽省滁州市 20212021 学年高一数学上学期期末考试 试题（含解析）数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A.B.C.D.【答案】D2. 已知角 的始边是 轴的正半轴，终边通过点 ，且A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意可知，故.，则（）3. 运算：（）A. 3 B. 2 C.D.【答案】D【解析】原式.4. 已知向量，若A.B. 9 C. 13 D.【答案】C【解析】由于两个向量垂直，故，则5. 若幂函数的图象过点 ，则满足A.B.【答案】BC.D.（），故 的实数 的取值范畴是（. ）-1- / 9【解析】依题意有，，.6. 函数的最大值是 （ ）A.B.C. 1 D.【答案】B【解析】，故最大值为 .7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是 （ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 选项为偶函数， 选项为非奇非偶函数. 选项在 为减函数，在为增函数. 选项在上为增函数，符合题意.【点睛】本题要紧考查函数的奇偶性和单调性.判定函数的奇偶性，第一判定函数的定义域是 否关于原点对称， 选项定义域明显不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后运算 ，化简后看等于 依旧 .函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.8. 若， 是第二象限角，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由于角为第二象限角，故，因此，，故【点睛】本题要紧考查同角三角函数的差不多关系式，考查二倍角公式和两角差的正弦公式. 第一依照角 的正弦值和所在的象限，求得 角的余弦值，然后利用二倍角公式求得 的正弦 值和余弦值，最后利用两角差的正弦公式展开所求式子，代入已知数值即可求得最后结果.9. 函数的零点为 ，则 （ ）A.B.C.D.【答案】C-2- / 9【解析】，，故函数的零点在区间10. 在平行四边形中， 是 中点， 是 中点，若A.B.C.D.【答案】A【解析】连接 ，由于 为 中点，故. ，则（ ）.11. 曲线，曲线，下列说法正确的是 （ ）A. 将 上所有点横坐标扩大到原先的 2 倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 个单位，得到B. 将 上所有点横坐标缩小到原先的 ，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 个单位，得到C. 将 上所有点横坐标扩大到原先的 2 倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 个单位，得到D. 将 上所有点横坐标缩小到原先的 ，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 个单位，得到 【答案】B 【解析】由于 位得到 .故选 . 12. 若不等式，故第一横坐标缩小到原先 得到，再向左平移 个单对任意的恒成立，则的取值范畴是 （ ）-3- / 9A.B.C.D.【答案】D 【解析】当 时，原不等式化为 ，不恒成立，排除 ，故选 .第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.13. 若，则__________．【答案】【解析】分子分母同时除以 得，解得，故.14.，则__________．【答案】【解析】，，故原式 .15. 若函数在 是单调函数，则实数的取值范畴是__________．【答案】【解析】由于函数为二次函数，对称轴为 ，只需对称轴不在区间 上即可，即或，解得.【点睛】本题要紧考查二次函数单调区间的知识.关于二次函数来说，它的单调区间要紧由开 口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题 目只需要区间上的单调函数，不需要递增依旧递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.16. 已知函数在区间 内单调递减，则 的最大值为__________．【答案】1【解析】，依照单调性有，解得，故-4- / 9，解得，当 时， ................三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范畴．【答案】（1） 【解析】【试题分析】（1）第一求得；（2） ，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【试题解析】 解： （1）， ；（2）∵，∴，∵，∴，∴．18. 已知向量．（1）若与 共线，求 的值；（2）记，求 的最大值和最小值，及相应的 的值．【答案】（1） （2）当 时， 取得最大值 2；当 时， 取得最小值-1．【解析】【试题分析】（1）利用两个向量共线，则有，解方程求得 的值.（2）利用向量坐标运算化简 【试题解析】，进而求得 的最大值和最小值，及相应的 的值.-5- / 9解：（1）∵与 共线，∴，∴，∵，∴ ；（2），∵，∴，∴，∴，当即 时， 取得最大值 2；当，即 时， 取得最小值-1．19. 已知函数的图象过点 ．（1）若，求实数 的值；（2）当时，求函数 的取值范畴．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将点 代入函数，由此求得的值，进而得出 的表达式.解方程，可求得实数 的值.（2）将 分离常数，得到，它在 上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域. 【试题解析】解：（1），∴，，∴，∴；（2） 明显 在 ∵ ∵，与上差不多上减函数，，∴ 在上是减函数，，∴．20. 函数的部分图象如图所示．（1）求 的值； （2）求图中 的值及函数 的递增区间．-6- / 9【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）依照图像最大值求得 ,依照可求得 ，在依照图像上一个点，可求得 的值.（2）利用 求出 ，利用周期为 可求得的值.将余弦函数的单调递增区间，求得 的范畴即函数的递增区间. 【试题解析】解：（1）由图知，∴ ，∴，代入又，∴，且 ，∴；（2）由（1）知，由，∴，由得，∴ 的单调增区间为．21. 已知 差不多上锐角，．（1）求 （2）求的值； 的值．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】先求得 、 、 和求得 的值；（2）利用求得【试题解析】解：因为 差不多上锐角，的值.（1）利用 的值.-7- / 9因此，且，因此，（1）；（2）．【点睛】本题要紧考查同角三角函数关系，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查化归与 转化的数学思想方法.先依照题目所给定两个角是锐角和两个正弦值，求得相应的余弦值和倍 角的余弦值和正弦值.然后将所求角转化为已知角，最后利用两角和与差的公式求解出结果.22. 已知函数．（1）求证： 是奇函数； （2）判定 的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范畴．【答案】（1）见解析（2）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判定故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上差不多上减函数.利用定义法，运算，由此判定出函数的单调性.（3）依照函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得 .【点睛】本题要紧考查函数奇偶性的判定，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的 奇偶性和单调性求参数的取值范畴.判定函数的奇偶性第一要求出函数的定义域，看定义域是 否关于原点对称，然后再判定 与 的关系，进而判定函数的奇偶性.定义法判定函数的单调性，需运算的值来判定.【试题解析】（1）证明：由，得 ，∵，∴ 是奇函数；-8- / 9（2）解： 的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理， 在上也是减函数；（3） 是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴ ，即．-9- / 9。