【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习 理综 Word版含答案

目录【2014北京二模】北京市各区2014届高三二模考试理综物理部分朝阳区、东城区、海淀区、丰台区、西城区、昌平区昌平区2014届高三二模理综物理试题13．据《每日邮报》报道，英国一名13岁的小学生近日宣布自己在学校实验室实现了核聚变。

他表示用氘聚变氦的过程中检测到了中子，证明聚变成功，成为世界上实现聚变的最年轻的人。

下面列出的核反应方程，属于聚变的是（A）14．关于物体的内能、温度和分子的平均动能，下列说法正确的是（B）A．温度低的物体内能一定小B．温度低的物体分子运动的平均动能一定小C．外界对物体做功，物体的内能一定增加D．物体放热，物体的内能一定减小15．水中某一深处有一点光源S，可以发出a、b两种单色光，其由水中射出水面的光路如图1所示。

关于这两种单色光性质的比较，下列判断正确的是（A）A．a光的频率比b光的小B．a光的折射率比b光的大ab SC ．a 光在水中的传播速度比b 光的小D ．a 光在水中的波长比b 光的小16．位于x = 0处的波源从平衡位置开始沿y 轴正方向做简谐运动，振动周期为T =1s ，该波源产生的简谐横波沿x 轴正方向传播，波速为v =4m/s 。

关于x =5m 处的质点P ，下列说法正确的是（C ）A ．质点P 振动周期为1s ，速度的最大值为4m/sB ．质点P 开始振动的方向沿y 轴负方向C ． 某时刻质点P 到达波峰位置时，波源处于平衡位置且向下振动D ．质点P 沿x 轴正方向随波移动17．“马航MH370”客机失联后，我国已紧急调动多颗卫星，利用高分辨率对地成像、可见光拍照等技术对搜寻失联客机提供支持。

关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是（B ）A ．低轨卫星（环绕半径远小于地球同步卫星的环绕半径）都是相对地球运动的，其环绕速率可能大于7.9km/sB ．地球同步卫星相对地球是静止的，可以固定对一个区域拍照，但由于它距地面较远，照片的分辨率会差一些C ．低轨卫星和地球同步卫星，可能具有相同的速率D ．低轨卫星和地球同步卫星，可能具有相同的周期18．极板间距为d 的平行板电容器，充电后与电源断开，此时两极板间的电势差为U 1，板间电场强度大小为E 1；现将电容器极板间距变为12d ，其它条件不变，这时两极板间电势差为U 2，板间电场强度大小为E 2，下列说法正确的是（C ）A ．U 2 = U 1，E 2 = E 1B ．U 2 = 2U 1，E 2 = 2E 1C ．U 2 = U 1，E 2 = E 1D ．U 2 = U 1，E 2 = E 119．物理课上，教师做了一个奇妙的“电磁阻尼”实验。

绝密★启用前 机密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科综合（北京卷）本试卷共15页，300分。

考试时长150分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5第一部分（选择题 共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分，在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．蓝细菌（蓝藻）与酵母菌的相同之处是 A ．都有拟核B ．均能进行需（有）氧呼吸C ．都有线粒体D ．均能进行光合作用2．在我国北方，游泳爱好者冬泳入水后，身体立即发生一系列生理反应，以维持体温稳定。

此时，机体不会发生的反应是A ．兴奋中枢神经系统，加强肌肉收缩B ．通过反射活动引起皮肤毛细血管收缩C ．通过神经调节减少汗腺分泌D ．抑制垂体活动导致甲状腺激素分泌减少3．比较生物膜和人工膜（双层磷脂）对多种物质的通透性，结果如图，据此不能得出的推论是 A ．生物膜上存在着协助H 2O 通过的物质 B ．生物膜对++K Na Cl 、、的通透具有选择性 C ．离子以易化（协助）扩散方式通过人工膜 D ．分子的大小影响其通过人工膜的扩散速率4．为控制野兔种群数量，澳洲引入一种主要由蚊子传播的兔病毒。

引入初期强毒性病毒比例最高，兔被该毒性病毒感染后很快死亡，致兔种群数量大幅下降。

兔被中毒性病毒感染后可存活一段时间。

几年后中毒性病毒比例最高，兔种群数量维持在低水平。

由此无法推断出 A ．病毒感染对兔种群的抗性具有选择性 B ．毒性过强不利于毒性病毒与兔的寄生关系C ．中毒性病毒比例升高是因为兔抗病毒能力下降所致D ．蚊子在兔和病毒之间的协同（共同）进化过程中发挥了作用5．在25℃的实验条件下可顺利完成的是 A ．光合色素的提取与分离B ．用斐林（本尼迪特）试剂鉴定还原糖C ．大鼠神经细胞的培养D ．制备用于植物组织培养的固体培养基和的是6． 下列试剂中，标签上标注A ．25C H OHB ．3HNOC ．NaOHD ．HCl7．下列金属中，表面自然形成的氧化层能保护内层金属不被．．空气氧化的是 A ．KB ．NaC ．FeD ．Al8．下列电池工作时，O 在正极放电的是9．下列解释事实的方程式不正确．．．的是 A ．测0.1mol/L 氨水的pH 为11：+324NH H O NH +OH -⋅ƒB ．将Na 块投入水中，产生气体: 222Na+2H O=2NaOH+H ↑C ．将2CuCl 溶液做导电实验，灯泡发光：2+-2CuCl Cu +2Cl 通电D ．Al 片溶于NaOH 溶液中，产生气体：2222Al+2OH +2H O=2AlO +3H --↑10．下列说法正确的是A ．室温下，在水中的溶解度：丙三醇>苯酚>1-氯丁烷B ．用核磁共振氢谱不能区分3HCOOCH 和23HCOOCH CHA ．锌锰电池B ．氢燃料电池C ．铅蓄电池D ．镍镉电池C ．用23Na CO 溶液不能区分3CH COOH 和323CH COOCH CHD ．油脂在酸性或碱性条件下均可发生水解反应，且产物相同11．用右图装置（夹持、加热装置已略）进行实验，由②中现象，不能证实①中反应发生的是 ①中实验 ②中现象 A 铁粉与水蒸气加热 肥皂水冒泡 B 加热4NH Cl 和()2Ca OH 混合物酚酞溶液变红C 3NaHCO 固体受热分解澄清石灰水变浑浊 D石蜡油在碎瓷片上受热分解2Br 的4CCl 溶液褪色12．一定温度下，10mL 220.40mol/L H O 溶液发生催化分解。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科综合 物理试卷2015．5本试卷共16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共120分)本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13.【题文】在下列四个核反应方程中，符号“X”表示中子的是A.2712713012Al n Mg X +→+B.24241112Na Mg X →+C.9412426Be He C X +→+D.2392399293U Np X →+【答案】C【解析】本题主要考查核反应方程；由质量数与电荷守恒可判断选项C 中的X 是中子，故选项C 正确。

【题型】单选题【备注】【结束】14.【题文】一束光线从折射率为1.5的玻璃射向空气，入射角为45°。

下列四幅光路图中正确的是A B CD【答案】A【解析】本题主要考查光的全反射；由于,即C<，因此发生了全反射，故选项A正确。

【题型】单选题【备注】【结束】15.【题文】一列沿x轴负方向传播的简谐机械横波，波速为2m/s。

某时刻波形如图所示，下列说法中正确的是A.这列波的振幅为4cmB.这列波的周期为2sC.此时x = 4m处质点沿y轴正方向运动D.此时x = 4m处质点的速度为0【答案】B【解析】本题主要考查机械振动与机械波；由图可知振幅为2cm，选项A错误；由可得周期为2s，选项B 正确；由上坡下可知4cm的质点向下振动，选项C错误；该质点位于平衡位置，速度最大，选项D错误；本题正确选项为B。

【题型】单选题【备注】【结束】16.【题文】如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地球做匀速圆周运动。

则这两颗卫星相比A.卫星A的线速度较大B.卫星A的周期较大C.卫星A的角速度较大D.卫星A的加速度较大【答案】B【解析】本题主要考查万有引力定律；由知B的线速度大，故选项A错误；由可知A 的周期大，故选项B正确；由于角速度与周期成反比，故B的角速度大，选项C错误；由可知B的加速度大，故选项D错误；本题正确选项为B。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科综合试卷2014．5第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．下列四种现象中与光的干涉有关的是A．雨后空中出现彩虹B．肥皂泡的表面呈现彩色C．一束白光通过三棱镜后形成彩色光带D．一束白光通过很窄的单缝后在光屏上形成彩色光带14．图为氢原子的能级示意图。

现有大量的氢原子处于n=4的激发态，当这些氢原子向低能级跃迁时A．能发出3种不同频率的光B．能发出4种不同频率的光C．能发出5种不同频率的光D．能发出6种不同频率的光15．如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数比n1:n2=4:1，电阻R=55Ω。

原线圈两端接一正弦式交变电流，其电压的有效值为220V。

则原线圈中电流的大小为A．0.25A B．1.0AC．4.0A D．16A16．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为π8sin2x t(cm)，则A．质点的振幅为16cmB．质点的振动周期为2sC．在0~1s内，质点的速度逐渐减小D．在1~2s内，质点的动能逐渐减小17．如图1所示，矩形线圈位于一变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示。

用I表示线圈中的感应电流，取顺时针方向的电流为正。

则图3中的I-t图像正确的是18．2013年12月2日1时30分，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察。

嫦娥三号的部分飞行轨道示意图如图所示。

假设嫦娥三号在圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力。

下列说法中正确的是A ．嫦娥三号沿椭圆轨道从P 点运动到Q 点的过程中，速度逐渐变小B ．嫦娥三号沿椭圆轨道从P 点运动到Q 点的过程中，月球的引力对其做负功C ．若已知嫦娥三号在圆轨道上运行的半径、周期和引力常量，则可计算出月球的密度D ．嫦娥三号在椭圆轨道经过P 点时和在圆形轨道经过P 点时的加速度相等19．在课堂中，老师用如图所示的实验研究平抛运动。

图 32014年北京朝阳高三二模文综地理试题及答案北京市朝阳区高三年级第二次综合练习文科综合试卷 地理 2014.5第一部分 选择题（共35小题，共140分）1．图2中，圣若阿金地区A ．终年受赤道低压带控制，降水多B ．位于东南信风的迎风坡，降水多C ．受自南向北的暖流影响，湿度大D ．亚热带常绿硬叶林的分布范围广2.图2为南亚某岛示意图，图中 A.该岛的东、西岸各有一山脉纵贯 B.甲地1月份降水量比7月份的多 C.该岛的南北距离超过600千米 D.乙河水位季节变化小，水流平缓3．我国江南某林场有一树桩，一群大雁正向树桩M 侧方向 长途飞行（图3）。

此季节我国 A ．华北沙尘暴天气频发 B ．湖南省盛行西北季风影响 C ．西北山地雪线逐渐降低 D ．东北昼长夜短且昼渐短读南水北调中线示意图（图4），回答4～5题。

4.丹江口地区较北京A ．进入雨季晚B ．年降水量少C ．下渗作用弱D ．水资源丰富5.大量调水后，汉江的丹江口下游 A ．水体污染减轻B ．河流对地下水的补给减少图 3M光热足，年轮疏图 1 圣若阿金C．航运能力提高D．河流对河道侵蚀作用增强读丹霞地貌景观图（图5）及其形成示意图（图6），回答6～7题。

甲（甘肃张掖）乙（广东韶关）图5图66．丹霞地貌形成过程是A.固结成岩—风化、侵蚀—地壳抬升B.固结成岩—地壳运动、裂隙—侵蚀C.地壳下沉—侵蚀、搬运—固结成岩D.变质作用—风化剥蚀、搬运—堆积7．关于丹霞地貌的类型A.甲为干旱峰林型B.甲为湿润山地型C.乙为湿润峰林型D.乙为干旱峡谷型读图7，回答8～9题。

8．若①②③④表示不同历史阶段人口增长特点，则其发展顺序是A．①→②→③→④B. ①→④→②→③C. ④→①→②→③D. ④→③→②→①9．若①②③④为不同发展阶段的城市，则A. ①人口老龄化B. ②适宜发展劳动力密集型产业C．③城市化处于高水平的后期阶段D．④人口迁出量大于人口迁入量图7读某公司推出的旅游线路图（图8），回答10～11题。

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）本试卷共15页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Cl 35.5第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．下列说法中正确的是A．物体温度降低，其分子热运动的平均动能增大B．物体温度升高，其分子热运动的平均动能增大C．物体温度降低，其内能一定增大D．物体温度不变，其内能一定不变14．质子、中子和氘核的质量分别为m1、m2和m3。

当一个质子和一个中子结合成氘核时，释放的能量是（c表示真空中的光速）A．(m1+m2-m3)cC．(m1+m2-m3)c215．如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。

下列判断正确的是A．1、2两点的场强相等B．1、3两点的场强相等C．1、2两点的电势相等D．2、3两点的电势相等16．带电粒子a、b在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，它们的动量大小相等，a运动的半径理科综合能力测试（北京卷）第 1 页（共 10 页） B．(m1-m2-m3)c D．(m1-m2-m3)c2大于b运动的半径。

若a、b的电荷量分别为qa、qb，质量分别为ma、mb，周期分别为Ta、Tb。

则一定有A．qa < qb17．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。

t=0时刻的波形如图1所示，a、b是波上的两个质点。

图2是波上某一质点的振动图像。

下列说法中正确的是A．t=0时质点a的速度比质点b的大B．t=0时质点a的加速度比质点b的小C．图2可以表示质点a的振动D．图2可以表示质点b的振动18．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b > （C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5（B ）{}1,2,3,4,5,6（C ）{}2,3,4,5（D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞（C） （D）)+∞（7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如上表所示.若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元（C ）90万元（D ）100万元 （8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示， 则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x =； 22俯视图侧视图正视图（第12题图）④()sinf x x x=，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A2π=，3b=，△ABC的面积．（Ⅰ）求边a的长；（Ⅱ）求cos2B的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，2PA PD AD===．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E DF A--的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1xf x ax+=-+，a∈R．（Ⅰ）若曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线与直线e10x y++=垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的单调区间；（Ⅲ）设32ea<,当[0,1]x∈时，都有()f x≥1成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于,A B两点的直线l：()y kx m k=+∈R，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x，2x是函数2()f x x mx t=++的两个零点，其中常数m，t∈Z，设12()nn r rnrT x x n-*==∈∑N．（Ⅰ）用m，t表示1T，2T；（Ⅱ）求证：543T mT tT=--；（Ⅲ）求证：对任意的,nn T*∈∈N Z．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014.515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin2ABCS bc A∆=得，13sin23ABCS c∆2π=⨯⨯=．所以5c=．由2222cosa b c bc A=+-得，22235235cos493a2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a=．……………7分（Ⅱ）由sin sina bA B=3sin B=，所以sin14B=．所以271cos212sin98B B=-=．…………13分FABCDPE服务时间/小时16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以0031123323272354(0)()();(1)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=； 221330332336238(2)()();(3)()()5512555125P C P C ξξ==⋅===⋅=．随机变量ξ的分布列如右表。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB =，3(,0,22DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-， 所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <， 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k+=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分 （Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习英语学科测试2014. 5（考试时间120分钟满分150分）本试卷共12页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

例：What is the man going to read?A. A newspaper.B. A magazine.C. A book.答案是A。

1. What color trousers does the woman like?A. Brown.B. Blue.C. Gray.2. What will the two speakers do?A. Book air tickets.B. Have a holiday.C. Move to Florida.3. When will the next bus for Chicago leave?A. At 8:00.B. At 8:10.C. At 8:15.4. What will the man probably do this evening?A. Finish the term paper.B. Go to the football match.C. Make a plan for tomorrow.5. What’s the probable relationship between the two speakers?A. Teacher and student.B. Roommates.C. Classmates.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

2014朝阳二模2014.5 1．下列叙述对应有误．．的是A．载体蛋白：可帮助一些物质顺或逆浓度梯度跨膜运输B．磷脂双分子层：构成膜的基本支架并参与控制物质进出C．胰岛素与胰高血糖素：通过相互拮抗共同调节血糖的平衡D．含目的基因的T-DNA：可插入核基因组内并一定使目的基因表达2．右图分别为两种细胞器的部分结构示意图，其中分析错误．．的是A．图a表示线粒体，[H]与氧结合形成水发生在有折叠的膜上B．图b表示叶绿体，直接参与光合作用的膜上有色素的分布C．两图所示意的结构与A TP形成有关的酶都在内膜和基质中D．两图代表的细胞器都与能量转换有关并可共存于一个细胞3．下列关于生命体中螺旋结构的叙述，正确的是A．螺旋藻（一种蓝藻）细胞内含有叶绿体，可进行光合作用B．DNA分子的解螺旋，使螺旋化的染色体变成丝状的染色质C．DNA分子双螺旋结构的基本骨架由核糖和磷酸交替连接而成D．高温使某食物蛋白的螺旋结构变得伸展、松散，易被酶水解而易消化4．下图是生态系统能量流动的部分图解，N1-N6表示能量数值。

下列分析正确的是A．自然生态系统（N2/N1）×100%的值一般介于10%~20%之间B．若N6全部来自于N4，则蜣螂未获得初级消费者所同化的能量C．当某种初级消费者的种群数量达到K值时，此种群的增长速率最大D．散失的热能重新用于合成有机物，从而实现生态系统的物质循环5．下列关于高中生物学实验的原理、方法或选材的叙述，正确的是A．制作果醋时，通氧不足或温度过低会使发酵受影响B．利用稀释涂布平板法对细菌计数时需借助于显微镜C．只要生物材料中含丰富的葡萄糖和果糖，就可直接用于还原糖的鉴定D．利用二苯胺试剂鉴定细胞提取物，若产生蓝色变化即表明有RNA存在6. 在生活、生产中为增大反应速率而采取的措施合理的是 A. 食物放在冰箱中 B. 塑料制品中添加抑制剂 C. 在糕点包装内放置小包除氧剂 D. 燃煤发电时用煤粉代替煤7. 将装满气体X 的试管倒置于装有液体Y 的水槽中，下列说法合理的是8. 下列解释事实的方程式不准．．确．的是 A ．铝热法炼铁：Fe 2O 3 + 2Al ==== Al 2O 3 + 2FeB ．工业上用NH 3制备NO ：4NH 3 + 5O 2 ==== 4NO + 6H 2OC ．向受酸雨影响的湖泊中喷洒CaCO 3粉末：CO 32- + 2H +== H 2O + CO 2↑ D. 过氧化钠用于呼吸面具中作为氧气的来源：2Na 2O 2 + 2CO 2 ==2Na 2CO 3 + O 29. 粗制的CuSO 4·5H 2O 晶体中含有Fe 2+。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习英语学科测试2014. 5（考试时间120分钟满分150分）本试卷共12页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

例：What is the man going to read?A. A newspaper.B. A magazine.C. A book.答案是A。

1. What color trousers does the woman like?A. Brown.B. Blue.C. Gray.2. What will the two speakers do?A. Book air tickets.B. Have a holiday.C. Move to Florida.3. When will the next bus for Chicago leave?A. At 8:00.B. At 8:10.C. At 8:15.4. What will the man probably do this evening?A. Finish the term paper.B. Go to the football match.C. Make a plan for tomorrow.5. What‟s the probable relationship between the two speakers?A. Teacher and student.B. Roommates.C. Classmates.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos 2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--； （Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P ，1(,0,)22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-， 所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <， 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分 （Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T xT x =+，同理，44132T xT x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立． （2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。