新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(三十九) 正切函数的性质与图象

第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象课时跟踪检测一、选择题1．下列各点中，可作为函数y ＝tan x 的对称中心的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，0 B.⎝⎛⎭⎫π4，1 C.⎝⎛⎭⎫－π4，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0答案：D2．函数y ＝sin x ＋tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋22，2＋22 解析：∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数， y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数， ∴y ＝sin x ＋tan x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数． ∴当x ＝－π4时，y min ＝－22－1＝－2＋22，当x ＝π4时，y max ＝22＋1＝2＋22.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋22，2＋22. 答案：D3．下列不等式正确的是( ) A ．tan 47π>tan 37πB ．tan 25π<tan 35πC ．tan ⎝⎛⎭⎫－137π<tan ⎝⎛⎭⎫－158πD ．tan ⎝⎛⎭⎫－134π>tan ⎝⎛⎭⎫－125π 解析：tan ⎝⎛⎭⎫－134π＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4＝－1. tan ⎝⎛⎭⎫－125π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 25π<－1. ∴tan ⎝⎛⎭⎫－125π<tan ⎝⎛⎭⎫－134π. 故选D. 答案：D4．下列函数中，同时满足①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |答案：A5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫23π，0，故C 、D 不正确，又x 2－π3≠±π2，得x ≠53π，且x ≠－π3，故A 正确． 答案：A6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：∵函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上递减，则ω必小于0，而当|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0. 答案：B 二、填空题7．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的单调增区间为________． 解析：由k π－π2<π2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得－53＋2k <x <13＋2k (k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎫2k －53，2k ＋13(k ∈Z ) 8．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于________．解析：由图象知周期T ＝π2＝πω，∴ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫3π8，0，A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，∴tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0.而|φ|<π2，∴3π4＋φ＝π，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan2x ＋π4.又过(0,1)点，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 39．若－1＜tan x ≤3，则x 的取值范围是________． 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，tan π3＝ 3. 又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∴当－π2＜x ＜π2时，满足－1＜tan x ≤3的x 的取值范围是－π4＜x ≤π3.∵y ＝tan x 的周期为π， ∴－π4＋k π＜x ≤π3＋k π(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，π3＋k π(k ∈Z ) 三、解答题10．求函数y ＝3－tan 2x 的定义域． 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－tan 2x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z . 11．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤ 3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图． 解：(1)由x 2－π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z ，无单调减区间．(2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤ 3， 得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π，k ∈Z ，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .(3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3，令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3， 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点的坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线的方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图所示)．12．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最大值和最小值及相应的x 的值． 解：∵－π3≤x ≤π4，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∴－3≤tan x ≤1.∵y ＝sin 2x ＋cos 2xcos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1，∴当tan x ＝－1时，y min ＝1， 此时x ＝－π4，当tan x ＝1时，y max ＝5， 此时x ＝π4.考题过关13．(2017·河北省衡水中学测试)已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π12解析：由2×π12＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，φ＝－π6.答案：A。

正切函数的性质与图象(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(多选题)在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 内单调递减的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x【解析】选B 、D.由函数周期为π可排除A.D 选项中y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 可变形为y ＝－tan⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 时，2x ∈(0，π)，x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，此时B ，D 中函数均是减函数．2．已知函数y ＝tan (2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 ，则φ可以是( )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】选A.因为函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 ，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ ＝0，所以π6 ＋φ＝k π，k ∈Z ， 所以φ＝k π－π6 ，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6 .3．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为( )A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z }B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2 ，k ∈Z }C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4 ，k ∈Z }D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z }【解析】选A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π，x ≠k π＋π2，2x ≠k π＋π2 (k ∈Z )得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π2，x ≠k π2＋π4， 所以x ≠2k 4 π且x ≠2k ＋14 π，x ≠k π4，k ∈Z .4．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－53π，2k π＋π3 ，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋53π ，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－53π，k π＋π3 ，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋53π ，k ∈Z 【解析】选A.由－π2 ＋k π<12 x ＋π3 <π2 ＋k π，k ∈Z ，解得－53 π＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .5．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选 C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示)，可以看到在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 内二者有三个交点．6．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4 ，则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】选C.由题意可得f (x )的周期为π4 ，则πω ＝π4，所以ω＝4.【补偿训练】函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4 与函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( )A ．±1B ．1C ．±2D ．2 【解析】选A.π|ω| ＝2π|－2|，ω＝±1. 二、填空题(每小题5分，共10分)7．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.【解析】因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6，所以f (－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5. 答案：－58．－tan 6π5 与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π5 的大小关系是________．【解析】－tan 6π5 ＝－tan π5 ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5 ＝－tan 13π5 ＝－tan 3π5 .因为0＜π5 ＜π2 ＜3π5＜π， 所以tan π5 ＞0，tan 3π5 ＜0，所以－tan π5 <－tan 3π5 ，即－tan 6π5＜tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π5 .答案：－tan 6π5 ＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5 三、解答题(每小题10分，共20分)9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．【解析】定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为(－∞，＋∞)；周期为π2；对应图象如图所示：10．若函数f (x )＝2tan (ωx －π3)(ω＜0)的最小正周期为2π，求f (x )的单调区间．【解析】因为f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3 (ω＜0)的最小正周期为2π，所以π|ω| ＝2π，所以|ω|＝12 .又因为ω＜0，所以ω＝－12 .即f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π3 ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 .由k π－π2 ＜12 x ＋π3 ＜k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－53 π＜x ＜2k π＋π3 (k ∈Z )，所以函数f (x )的单调减区间为(2k π－53 π，2k π＋π3)(k ∈Z ). 【补偿训练】求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4 的单调区间及最小正周期．【解析】y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4 ，由k π－π2 <12 x －π4 <k π＋π2 (k ∈Z )，得2k π－π2 <x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4 的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π ，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 ＝2π. (35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2 的奇函数D ．周期为π2的偶函数【解析】选D.f (－x )＝|tan (－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2 .2．函数f (x )＝lg tan x 的定义域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2 (k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4 (k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π2 (k ∈Z ) 【解析】选A.f (x )有意义时，⎩⎪⎨⎪⎧lg tan x ≥0tan x ＞0 ，所以tan x ≥1，解得k π＋π4 ≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2 (k ∈Z ).3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 内单调递减，则( )A ．0＜ω≤1B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1【解析】选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 内是减函数，所以ω<0且T ＝π|ω| ≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.【补偿训练】函数y ＝|tan (x ＋π4 )|的单调增区间为( )A ．(k π－π2 ，k π＋π2 )(k ∈Z )B ．(k π－3π4 ，k π＋π4 )(k ∈Z )C ．(k π，k π＋π2 )(k ∈Z )D ．[k π－π4 ，k π＋π4 )(k ∈Z )【解析】选 D.令t ＝x ＋π4 ，则y ＝|tan t |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2 (k ∈Z ).由k π≤x ＋π4<k π＋π2，得k π－π4≤x <k π＋π4(k ∈Z ).Ｋ4．已知函数f (x )＝A tan (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2 ，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24 ＝( )A ．2＋3B ．3C ．33D ．2－3 【解析】选B. 由图象可知：T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8 ＝π2 ，所以ω＝2，所以2×π8 ＋φ＝k π＋π2 (k ∈Z ).又|φ|<π2 ，所以φ＝π4 .又f (0)＝1，所以A tan π4 ＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4 ＝tan π3 ＝3 .二、填空题(每小题5分，共20分)5．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号). ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为{x |x ≠π4 ＋k π2，k ∈Z }．【解析】令x ∈(0，π2 )，则x 2 ∈(0，π4 )，所以y ＝tan x 2 在(0，π2)上单调递增，①正确；tan (－x 2 )＝－tan x 2 ，故y ＝tan x 2 为奇函数，②正确；T ＝πω ＝2π，所以③不正确；由x 2 ≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．答案：①②6．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________．【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象(图略)知，同时单调递增的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π (k ∈Z )和⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π，2k π＋3π2 (k ∈Z ). 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π (k ∈Z )和⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π，2k π＋3π2 (k ∈Z )7．若函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 内是减函数，则ω的取值范围为________．【解析】由题意知其周期T ≥π，即π|ω| ≥π.所以|ω|≤1，又函数为减函数，所以ω<0. 故－1≤ω＜0. 答案：[－1，0)8．若tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ≤1，则x 的取值范围是________． 【解析】令z ＝2x －π6 ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 上满足tan z ≤1的z 的值是－π2 <z ≤π4 ，在整个定义域上有－π2 ＋k π<z ≤π4 ＋k π，解不等式－π2 ＋k π<2x －π6 ≤π4 ＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24 ＋k π2，k ∈Z . 答案：－π6 ＋k π2 <x ≤5π24 ＋k π2 ，k ∈Z三、解答题(共30分)9．(10分)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4 ，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．【解析】y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝ (tan x ＋1)2＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4 ，所以tan x ∈[]－3，1 . 所以当tan x ＝－1时，即x ＝－π4 时，y 取最小值1；当tan x ＝1时，即x ＝π4 时，y 取最大值5.10．(10分)已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 .(1)求f (x )的定义域、值域．(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．【解析】(1)由12 x －π3 ≠π2 ＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3 ＋2k π，k ∈Z .所以定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12 ＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2 ＋k π<12 x －π3 <π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3 ＋2k π<x <5π3 ＋2k π，k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π (k ∈Z ).11．(10分)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[]－1，3 ，其中θ∈(－π2 ，π2 ).(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值．(2)求θ的取值范围，且使y ＝f (x )在区间[－1，3 ]上是单调函数．【解析】(1)当θ＝－π6 时f (x )＝x 2－233 x －1＝(x －33 )2－43 ，x ∈[－1，3 ]，所以当x ＝33 时f (x )的最小值为－43 ，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ，所以原函数的图象的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3 ]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tanθ≥3 ，即tan θ≥1或tan θ≤－3 ，所以π4 ＋k π≤θ＜π2 ＋k π或－π2＋k π＜θ≤－π3 ＋k π，k ∈Z .又θ∈(－π2 ，π2 )，所以θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。

5.4.3 正切函数的性质与图象基础巩固1.函数y=2tan (2x +π3)的定义域为( ) A.{x |x ≠π12}B.{x |x ≠-π12} C.{x |x ≠π12+kπ,k ∈Z}D.{x |x ≠π12+kπ2,k ∈Z}2.函数y=tan (12x -π3)在一个周期内的图象是( )3.函数y=lg tan x 的单调递增区间是( ) A.(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z ) B.(kπ,kπ+π2)(k ∈Z ) C.(2kπ-π2,2kπ+π2)(k ∈Z ) D.(k π,k π+π)(k ∈Z )4.如图所示,函数y=√3tan (2x +π6)的部分图象与坐标轴分别交于点D ,E ,F ,则△DEF 的面积为( )A.π4B.π2C.πD.2π5.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得的线段长为π4,则f(π4)的值是()A.0B.1C.-1D.π46.函数y=3tan(x+π3)的图象的对称中心的坐标为.7.已知函数f(x)=tan(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为2π,则f(π6)=.8.比较大小:tan(-2π7)tan(-π5).9.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-π4,π4]的值域.能力提升1.已知函数y=tan ωx在区间(-π2,π2)内单调递减,则()A.0<ω≤1B.-1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤-12.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是()3.(多选题)下列关于函数y=tan(x+π3)的说法错误的是()A.在区间(-π6,5π6)内单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点(π4,0)成中心对称D.图象关于直线x=π6成轴对称4.若tan(2x-π6)≤1,则x的取值范围是.5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-π2,π2)(x1≠x2),给出下列结论:①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);③f(0)=1;④f(x1)-f(x2)x1-x2>0;⑤f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.当f(x)=tan x时,正确的结论为(填序号).6.已知函数f(x)=3tan(π6-x 4 ).(1)求它的最小正周期和单调递减区间;(2)试比较f(π)与f(3π2)的大小.7.已知函数f(x)=a sin(ωx+π3)(ω>0),g(x)=b tanωx-π3(ω>0),它们的周期之和为3π2,且f(π2)=g(π2),f(π4)=-√3g(π4)+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.参考答案基础巩固1. D2. A3. B4. A5. A6.(kπ2-π3,0)(k∈Z)7. 18. <9-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1. 令tan x=t ,则t ∈[-1,1].∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-π4时,y min =-4,当t=1,即x=π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4].能力提升1. B2. D3. ACD4. {x |-π6+kπ2<x ≤5π24+kπ2,k ∈Z}5.①④6.解(1)因为f (x )=3tan (π6-x 4)=-3tan x4−π6, 所以最小正周期T=π14=4π.由k π-π2<x 4−π6<k π+π2(k ∈Z ),得4k π-4π3<x<4k π+8π3(k ∈Z ).因为y=3tan (x 4-π6)在区间4k π-4π3,4k π+8π3(k ∈Z )内单调递增, 所以f (x )=3tan (π6-x4)在区间(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z )内单调递减. 故函数f (x )的最小正周期为4π,单调递减区间为(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z ). (2)f (π)=3tan (π6-π4)=3tan (-π12)=-3tan π12,f (3π2)=3tan (π6-3π8)=3tan (-5π24)=-3tan 5π24, 因为0<π12<5π24<π2,且y=tan x 在区间(0,π2)内单调递增,所以tan π12<tan 5π24,所以f (π)>f (3π2).7,可得{2πω+πω=3π2,asin (ωπ2+π3)=btan (ωπ2-π3),asin (ωπ4+π3)=-√3btan (ωπ4-π3)+1,解得{ω=2,a =1,b =12,故f(x)=sin(2x+π3),g(x)=12tan(2x-π3).当kπ-π2<2x-π3<kπ+π2(k∈Z),即kπ2−π12<x<kπ2+5π12(k∈Z)时,g(x)单调递增.所以g(x)的单调递增区间为(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).。

新教材高中数学课时跟踪检测（三十九）正弦函数、余弦函数的性质（二）新人教A 版必修第一册课时跟踪检测（三十九） 正弦函数、余弦函数的性质（二）A 级——学考水平达标练1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1,3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3＞sin 2C ．sin 75π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2＞cos 1解析：选D ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0＜2－π2＜1＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＞cos 1，即sin 2＞cos 1.故选D.3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π 解析：选C 函数y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0，－cos x ，cos x <0，图象如下图所示：单调减区间有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，…，故选C.4．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，kπ＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) 解析：选A 由题意可知14T ＝π2，所以T ＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)．故选A.5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12解析：选B 依题意得f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值．因此|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12T (k ∈Z)．∴当k ＝0时，|x 1－x 2|min ＝12T ＝12×2ππ2＝2.故选B.6．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为________．解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的图象，如图．由图象可知，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝4π3时，y min ＝－32，所以函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤4π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 7．函数y ＝sin 2x －cos x ＋1的最大值为________．解析：y ＝sin 2x －cos x ＋1＝－cos 2x －cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋94，∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－12时，y 取最大值94.答案：948．已知函数f (x )＝－sin 2ωx (ω＞0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，则ω的值为________．解析：依题意得T 4≥π2，即T ≥2π，从而0＜ω≤12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω×5π4＝0，即sin 5ωπ2＝0， ∴5ωπ2＝k π(k ∈Z)，解得ω＝25k (k ∈Z)． 由0＜ω≤12知，ω＝25.答案：259．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z)．(2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的最大值为( )A ．1B ．32C ． 3D ．2解析：选D 由π6＋x 与π3－x 互余，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故f (x )的最大值为2，故选D.2．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：依题意得T 2≥π2⇒T ≥π，又ω＞0，所以2πω≥π⇒0＜ω≤2.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π3＜ωx ＋π3＜ωπ＋π3， 由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π3≥π2，ωπ＋π3≤3π2⇒13≤ω≤76. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，763．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝－a sin x 取得最大值时x 的值．解：(1)当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.当b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)知a ＝12，所以函数y ＝－a sin x ＝－12sin x ，所以当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数y ＝－a sin x 取得最大值．4．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )图象的对称轴．所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．解析：由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，且2是它的一个周期．因为函数f (x )是偶函数且在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞π2，即π2＞α＞π2－β＞0， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β， 且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]， 所以f (sin α)＞f (cos β)． 答案：f (sin α)＞f (cos β)。

5．4.3 正切函数的性质与图象[目标] 1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．[重点] 正切函数的性质．[难点] 正切函数的图象、性质及其应用．知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线．[答一答]1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2,k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知,两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线,写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π,k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π2<x <k π,k ∈Z }．(3)满足tan x >0的集合为{x |k π<x <k π＋π2,k ∈Z }．知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z }．(2)值域是R ,即正切函数既无最大值,也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数,最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数．(5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2,k π＋π2),k ∈Z 内是增函数．(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称,正切曲线都是中心对称图形,其对称中心坐标是(k π2,0)(k ∈Z ),正切函数无对称轴．[答一答]4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π,π2＋k π),k ∈Z 内都是增函数,但在整个定义域上不具有单调性．5．正切函数图象与x 轴有无数个交点,交点的坐标为(k π,0)(k ∈Z ),因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π,0)对称,还关于点(π2＋k π,0)(k ∈Z )对称,因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2,0)(k ∈Z )．类型一 利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2,k ∈Z 得,x ≠k π＋π4,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ,其值域为(－∞,＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得,tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知,在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上,满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3,所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ,其值域为[0,＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组),然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想,把tan x 看作可取任意实数的自变量.[变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ,x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π,∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4,k ∈Z ,即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ,y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增,∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增, ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二 正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ,作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图,如图所示,易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地,函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0,ω>0)的最小正周期为T ＝πω,常常使用此公式来求周期,也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2,则a ＝±23. 解析：T ＝π|3a |＝π2,所以a ＝±23.类型三 正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2,k ∈Z 得,2k π－π2<x <2k π＋3π2,k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2,k ∈Z ,无单调递减区间． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5, 又0<π4<2π5<π2,而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增, 所以tan π4<tan 2π5,所以－tan π4>－tan 2π5,即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体,利用y ＝tan x 的单调性求解,但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－95π.解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6,由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2,k ∈Z ,得4k π－4π3<x <4k π＋8π3,k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3,k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4, tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5, 又0<π5<π4<π2,y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增, ∴tan π5<tan π4,∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四 正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2,已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意,知函数f (x )的最小正周期T ＝π2,即π|ω|＝π2.因为ω>0,所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称,所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2,k ∈Z , 即φ＝k π2＋π4,k ∈Z .因为0<φ<π2,所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π,k ∈Z ,得－3π4＋k π<2x <k π＋π4,k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2,k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛－3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2,k ∈Z ,无单调递减区间．(3)由(1),知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3, 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π,k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2,k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0,不但包含y ＝tan x 的零点,而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点. [变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0,若－π2<θ<π2,求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0,其中k ∈Z ,所以2x ＋θ＝k π2,令x ＝π3,得θ＝k π2－2π3,k ∈Z .又－π2<θ<π2,当k ＝1时,θ＝－π6,当k ＝2时,θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1．若tan x ≥0,则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2,得x ＝k π6＋π12,令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3．函数y ＝1tan (π－x )是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )．解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知,同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x ),x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ,在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数,所以值域为(－3,1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z },值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π,函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增,不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．。

课时跟踪检测（三十九） 正切函数的性质与图象A 级——学考合格性考试达标练1．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，函数y ＝tan |x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．无法确定解析：选B 函数y ＝tan |x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是偶函数．其图象关于y 轴对称．故 选B.2．函数y ＝ tan x ＋1的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎭⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎭⎫k π－π4，＋∞(k ∈Z ) 解析：选B 由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得x ∈⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )．3．已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的最小正周期为π2，则正数ω＝( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C ∵ω>0，∴T ＝πω＝π2，∴ω＝2，故选C. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：选A 由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D ． 将x ＝2π3代入函数式中，得tan ⎝⎛⎭⎫12×2π3－π3＝tan 0＝0.故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫2π3，0.故选A. 5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8 解析：选C 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8. 6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是___________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π6的值域是________． 解析：由0<x ≤π6得0<x 2≤π12，从而π4<x 2＋π4≤π3. ∴tan π4<tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4≤tan π3， 即1<tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4≤ 3. 故填(1, 3 ]．答案：(1, 3 ]9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝tan 2x －tan x 1－tan x； (2)f (x )＝x tan 2x ＋x 4.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2（k ∈Z ），tan x ≠1得 x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )． 即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )tan[2(－x )]＋(－x )4＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )，所以函数是偶函数．10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数．所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tanπ4<tan 2π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4<tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．(0，0)解析：选C 因为y ＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z .令k ＝0，得⎝⎛⎭⎫－2π3，0.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．－2D ．3解析：选A 设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0.故选A.4．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0B ．－33C ．－1D ． 3解析：选A 由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ4＝4，即f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增正确； tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确． 答案：①②6．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________． 解析：∵tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角， ∴2k π＋6π5＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z ) 7．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域；(2)求不等式f (x )≤ 3的解集．解：(1)根据函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3， k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式f (x )≤ 3，即tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤ 3， 所以k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 8．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的最小正周期，图象的对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．解：(1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π. 令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，得x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，得x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，得x ＝－π3. ∴函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图，如图所示． C 级——拓展探索性题目应用练已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值． 解：(1)法一：∵y ＝tan x 的最小正周期是π.∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的最小正周期是π2. (2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称，∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z )，∴φ＝k π4－π6(k ∈Z )． 令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z )， 解得－43＜k ＜83，k ∈Z . ∴k ＝－1，0，1，2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12，π3.。

课时跟踪检测（四十） 正切函数的性质与图象A 级——学考水平达标练1．函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )为奇函数，故排除B 、C ，当x →π2时，f (x )→－∞，选D. 2．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.3．下列函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的为( )A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin x2解析：选A 由π为周期，可排除D 项；A 项，易知y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4上单调递增，而⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4的一个子区间，所以y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；C 选项中的函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故排除C ；B 项，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得π4＜2x ＋π4＜5π4，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不单调，排除B ，故选A. 4．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A ∵1＋tan 2x ＞|tan x |≥－tan x ，∴f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.5．下列不等式中，成立的是( ) A ．tan 4π7＞tan 3π7B ．tan 2π5＜tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8D ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5 解析：选D tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7＜tan 3π7；tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＜tan 2π5；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7＞tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＞tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5， 又tan 2π5＞tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＜tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π4. 6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期为________．解析：y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝⎩⎪⎨⎪⎧tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ，－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π－π4，k ∈Z ，其图象如图所示：由图象知y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期为π.答案：π7．函数y ＝tan ()cos x 的值域是________．解析：∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1. 答案：[－tan 1，tan 1]8．若tan x ＞tan π5且x 是第三象限角，则x 的取值范围是________．解析：∵tan x ＞tan π5＝tan 6π5且x 是第三象限角，∴2k π＋6π5＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z)，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z) 9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x ＋tan x ；(2)f (x )＝tan 2x －tan x1－tan x.解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称．因为f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝sin x ＋tan x 是奇函数． (2)由题意，得tan x ≠1，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称．所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．10．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω＞0，所以ω＝2，所以f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z.又0＜φ＜π2，所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)令－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π＜2x ＜k π＋π4，k ∈Z ，即－3π8＋k π2＜x ＜π8＋k π2，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间．B 级——高考水平高分练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象大致是( )解析：选D 令x ＝3π4，则y ＝－2，排除A 、B 、C ，故选D.2．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________.解析：直线x ＝π2＋n π，n ∈Z 与函数y ＝tan x 的图象不相交，由题意可知，2×k π2＋π4＝π2＋n π，n ∈Z ， 得到k ＝n ＋14，n ∈Z ，而|k |≤1，故n ＝0或－1， 所以k ＝14或k ＝－34.答案：14或－343．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性． 解：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，k π－π2＜x ＜k π(k ∈Z )，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，图象的对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． 解：(1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z)． (2)令x 2－π3＝0，得x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，得x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，得x ＝－π3.∴函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图，如图所示．5．是否存在实数a ，且a ∈Z ，使得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－ax 在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在，请说明理由．解：∵y ＝tan θ在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上为增函数，∴a ＜0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，58π，∴－ax ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a 8π，－5a 8π，∴π4－ax ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－a8π，π4－5a 8π，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π－π2≤π4－a8π(k ∈Z )，k π＋π2≥π4－58a π(k ∈Z ).解得－25－8k5≤a ≤6－8k (k ∈Z)．令－25－8k5＝6－8k ，解得k ＝1，此时－2≤a ≤－2，∴a ＝－2＜0，∴存在a ＝－2∈Z ，满足题意．。

课时作业50正切函数的性质与图象【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．函数y ＝tan ()A.π4B.π2C ．πD ．2π2．函数y ＝tan ∈－π4，π4且x ≠()A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)3．函数y ＝tan ()A ．(0,0)D ．(π，0)4．下列各式中正确的是()A ．tan735°>tan800°B ．tan1<tan2C ．tan 5π7<tan4π7D ．tan 9π8<tanπ75．函数y ＝tan(sin x )的值域是()A.－π4，π4B.－22，22C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1]6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ>0，|φy ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ()A ．3 B.3C ．1D.337．已知函数f (x )＝f (π－x )，且当x －π2，f (x )＝x ＋tan x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b8．已知函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)φ＝()A.π6B ．－π6C.π3D ．－π3二、填空题9．函数f (x )＝tan 的定义域是10．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f 的值为.三、解答题11．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．12．已知x ∈－π3，π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出f (x )取最大值和最小值时相应的x 值．13．(多选题)下列各项中，是函数f (x )＝x 1在(0，π)上的零点的是()A.π24B.π12C.7π24D.13π2414．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2－π2，x 1≠x 2)，给出下列结论，正确的是()A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)B ．f (－x 1)＝f (x 1)C.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0D ．f >f (x 1)＋f (x 2)2(x 1x 2>0)15．已知函数f (x )＝a g (x )＝b k >0)，它们的周期之和为3π2，且f ＝g ，f ＝－3·g ＋1，则f (x )＝；g (x )的单调递增区间为．16．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ－π2，(1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．课时作业50正切函数的性质与图象【解析版】时间：45分钟一、选择题1．函数y ＝tan(D )A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：函数y＝tan 的最小正周期为π12＝2π.2．函数y ＝tan∈－π4，π4且x ≠(B )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2，∴值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．3．函数y ＝tan(C )A ．(0,0)D ．(π，0)解析：令x ＋π5＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ，∴函数y ＝tan－π5，k ∈Z )．令k ＝2，可得函数的一个对称中心4．下列各式中正确的是(D )A ．tan735°>tan800°B ．tan1<tan2C ．tan 5π7<tan4π7D ．tan 9π8<tanπ7解析：tan 9π8＝tan π8<tan π7，故选D.5．函数y ＝tan(sin x )的值域是(C )A.－π4，π4 B.－22，22C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1]解析：∵－1≤sin x ≤1，而－π2<－1≤sin x ≤1<π2，∴tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即函数值域为[－tan1，tan1]．6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ>0，|φy ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (A )A ．3 B.3C ．1D.33解析：由题意知，T 2＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π2，∴ω＝πT＝2.又图象过点5π12，0∴5π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又图象过点(0,1)，∴A tan π6＝1，∴A ＝3，∴f (x )＝3tan 2x ＋π6∴f π12＝3tan π3＝3.故选A.7．已知函数f (x )＝f (π－x )，且当x ∈－π2，π2f (x )＝x ＋tan x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则(D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b解析：∵函数f (x )＝f (π－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．又当x ∈－π2，π2f (x )＝x ＋tan x ，故f (x )在－π2，π2a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，可得f (2)>f (1)>f (3)，即b >a >c .故选D.8．已知函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)φ＝(B )A.π6B ．－π6C.π3D ．－π3解析：正切曲线相邻两个对称中心的距离d ＝T2，∴函数f (x )的周期T ＝2d ＝2π，即πω＝π，解得ω＝1，∴f (x )＝tan(x ＋φ)．又∵函数f (x )＝tan(x ＋φ)且5π3－2π3＝π＝T ，∴2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π6，k ∈Z .又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6.故选B.二、填空题9．函数f(x )＝tan{x |x ≠k π＋π3，k ∈f 3.解析：由题意知x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π＋π3(k ∈Z )．故f (x )|x ≠k π＋π3，k ∈Z＝3.10．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f0.解析：∵f (x )的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长度即为f (x )＝tan ωx 的一个周期，∴πω＝π4，ω＝4，因此tanπ＝0.三、解答题11．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间．解：由y ＝|tan x |＋tan x 知y，x π－π2，k x ，x ∈k π，kπ(k ∈Z )．其图象如图所示．所以值域：[0，＋∞)；周期性：T ＝π；单调递增区间为k π，kπk ∈Z .12．已知x ∈－π3，π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出f (x )取最大值和最小值时相应的x 值．解：f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，因为x ∈－π3，π4，所以tan x ∈[－3，1]．所以当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，f (x )min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，f (x )有最大值，f (x )max ＝5.13．(多选题)下列各项中，是函数f (x )＝x 1在(0，π)上的零点的是(AD )A.π24B.π12C.7π24D.13π24解析：令f (x )＝0得x 1，∴2x ＋π6＝π4＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π24＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π24，当k ＝1时，x ＝13π24.故选AD.14．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2－π2，x 1≠x 2)，给出下列结论，正确的是(AC )A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)B ．f (－x 1)＝f (x 1)C.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0D ．f >f (x 1)＋f (x 2)2(x 1x 2>0)解析：由于f (x )＝tan x 的周期为π，故A 正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故B 不正确；C 表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间－π2，故C 正确；由函数f (x )＝tan x 的图象可知，函数－π2，>f (x 1)＋f (x 2)2，在区间<f (x 1)＋f (x 2)2，故D 不正确．15．已知函数f (x )＝ag (x )＝bk >0)，它们的周期之和为3π2，且ff 3·1，则f (x )＝x g (x )－π12，k π2＋k ∈Z )．解析：根据题意，可得＋πk ＝3π2，b＝－3b1，＝2，＝1，＝12，故f (x )＝x g(x )＝12tan x 令k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z ，所以g (x )的单调递增区间为－π12，k π2＋k ∈Z )．16．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ－π2，(1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1－43.∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值233.(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ－π2，∴θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，。

5.4.3 正切函数的性质与图象基础达标练1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤π4，且x ≠0的值域是( ) A ．『－1,1』B ．『－1,0)∪(0,1』C ．(－∞，1』D ．『－1，＋∞)2．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数3．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间『0,2π)上的解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．24．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π4， π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．『－tan 1，tan 1』 D ．以上均不对5．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12， 0则φ可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π126．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________，函数f (x )的最小正周期是________． 7．在(0,2π)内，使tan x ＞1成立的x 的取值范围为_______． 8．－tan6π5与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5的大小关系是________． 9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4， π4的值域．10．求函数y ＝12tan ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心．素养提升练1．下列各点中，不是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的图象的对称中心的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π8，0B ．⎝⎛⎭⎫－π8，0C ．⎝⎛⎭⎫π4，0D ．⎝⎛⎭⎫－38π，0 2．y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3， 0，若－π2＜θ＜π2，则θ＝( ) A ．－π6B ．π3C ．－π6或π3D ．π6或－π33．(多选题)y ＝tan x2满足下列哪些条件( )A ．在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B ．为奇函数C ．以π为最小正周期D ．定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π2，k ∈Z 4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.5．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的『解 析』式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤ 3的解集．——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．B 2．D『『解 析』』f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，故为偶函数，T ＝π2.3．B『『解 析』』由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )， 又∵x ∈『0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.4．C『『解 析』』∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在『－1,1』上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1. 5．A『『解 析』』因为图象过点⎝⎛⎭⎫π12， 0，所以0＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ.所以tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0, 所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，所以φ可以是－π6. 6．3π2『『解 析』』函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－π6＝tan π3＝3；函数f (x )的最小正周期是π2. 7．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π『『解 析』』利用y ＝tan x 图象位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知． 8．－tan6π5＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5 『『解 析』』－tan6π5＝－tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5. ∵0＜π5＜π2＜3π5＜π，∴tan π5＞0＞tan 3π5，则－tan 6π5＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 9．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈『－1,1』． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为『－4,4』．10．解 由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠k π5＋π20，k ∈Z }．由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z .故函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π5－3π20， k π5＋π20，k ∈Z . 由5x ＋π4＝k π2得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，故函数图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π10－π20， 0，k ∈Z . 素养提升练1．C『『解 析』』令π4－2x ＝k π2，k ∈Z ，得x ＝π8－k π4.令k ＝0，得x ＝π8；令k ＝1，得x ＝－π8；令k＝2，得x ＝－3π8.2．C『『解 析』』函数y ＝tan x 的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2， 0，其中k ∈Z ，故令2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，则θ＝k π2－2π3，k ∈Z .又－π2＜θ＜π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.3．AB『『解 析』』当x ∈⎝⎛⎭⎫0， π2时，y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎫0， π2上单调递增正确；tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2，故y ＝tan x 2为奇函数，因此A ，B 正确；T ＝π|ω|＝2π，所以C 不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以D 不正确． 4．0『『解 析』』由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)． 因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ，即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 3，得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .。