幂法和反幂法求矩阵特征值课程

矩阵最大特征值求法矩阵最大特征值求法矩阵最大特征值是矩阵理论中的重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。

在实际应用中，我们需要求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量，以便对矩阵进行分析和处理。

本文将介绍两种常用的矩阵最大特征值求法：幂法和反迭代法。

一、幂法幂法是求解矩阵最大特征值和对应特征向量的一种常用方法。

其基本思想是：对于一个矩阵A，我们可以随机选择一个向量x0，然后通过不断迭代，使得向量x0趋近于矩阵A的最大特征值所对应的特征向量。

具体步骤如下：1. 随机选择一个向量x0，使其满足||x0||=1。

2. 对向量x0进行迭代，得到向量x1，即x1=Ax0。

3. 对向量x1进行归一化，得到向量x2，即x2=x1/||x1||。

4. 重复步骤2和步骤3，直到向量x收敛于矩阵A的最大特征值所对应的特征向量。

在实际应用中，为了提高计算效率，我们可以对向量x进行正交化处理，即每次迭代后，将向量x与前面所有的向量进行正交化，以避免向量的线性相关性对计算结果的影响。

二、反迭代法反迭代法是一种基于幂法的改进算法，它可以求解矩阵的任意一个特征值和对应的特征向量。

其基本思想是：对于一个矩阵A和一个已知的特征值λ，我们可以通过反迭代法，求解出矩阵A中与特征值λ最接近的特征值和对应的特征向量。

具体步骤如下：1. 随机选择一个向量x0，使其满足||x0||=1。

2. 对向量x0进行迭代，得到向量x1，即x1=(A-λI)-1x0，其中I为单位矩阵。

3. 对向量x1进行归一化，得到向量x2，即x2=x1/||x1||。

4. 重复步骤2和步骤3，直到向量x收敛于矩阵A中与特征值λ最接近的特征向量。

在实际应用中，我们可以通过多次迭代，求解出矩阵A中多个特征值和对应的特征向量，以便对矩阵进行更全面的分析和处理。

总结矩阵最大特征值求法是矩阵理论中的重要内容，幂法和反迭代法是常用的求解方法。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并注意算法的收敛性和计算效率。

矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。

矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。

幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。

其基本思想是任取一个非零的初始向量。

由所求矩阵构造一向量序列。

再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。

反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。

本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。

计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。

然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。

关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximum characteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iteration methods;目录1 引言 (1)2 相关定理。

求矩阵特征值算法及程序简介1.幂法1、幂法规范化算法（1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ，误差eps ；（2）1⇐k ； （3）计算)1()(-⇐k k A Vμ；（4）)max (,)max ()1(1)(--⇐⇐k k k k V m V m ；（5）k k k m V /)()(⇐μ；（6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止；（7）1+⇐k k ,转（3）注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。

本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x];a=Input["系数矩阵A="];u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u];eps=Input["误差精度eps ="];nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]];If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u;m0=fmax[u]; m1=fmax[v];t=Abs[m1-m0]//N; k=0;While[t>eps&&k<nmax, u=v/m1; v=a.u; k=k+1;m0=m1;m1=fmax[v];t=Abs[m1-m0]//N;Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]]说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。

1、用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量。

function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc=1;jd=jd*0.1;state=1;V=V0;while((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V;[m j]=max(abs(Vk));mk=m*sign(Vk(j));tzw=abs(lambda-mk);Vk=(1/mk)*Vk;txw=norm(V-Vk);Wc=max(txw,tzw);V=Vk;lambda=mk;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;endif(Wc<=jd)disp('迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：')elsedisp('迭代次数k已经达到最大迭代次数max1，主特征值的迭代值lambda，主特征向量的迭代向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：')endVk=V;k=k-1;Wc;>> A=[1 -1;2 4];>> V0=[1,1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =33lambda =3.0000Vk =-0.50001.0000Wc =8.6919e-007>> [V,D]=eig(A)V =-0.7071 0.44720.7071 -0.8944D =2 00 3>> Dzd=max(diag(D))Dzd =3>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =1.7384e-006>> wuV=V(:,2)./VkwuV =-0.8944-0.8944>> A=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =3lambda =9Vk =0.50000.50001.0000Wc =>> [V,D]=eig(A)V =0.7071 0.5774 0.4082-0.7071 0.5774 0.40820 -0.5774 0.8165D =-1.0000 0 00 -0.0000 00 0 9.0000>> Dzd=max(diag(D))Dzd =9>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =>> wuV=V(:,2)./VkwuV =1.15471.1547-0.5774>> A=[1 2 2;1 -1 1;4 -12 1];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k已经达到最大迭代次数max1，主特征值的迭代值lambda，主特征向量的迭代向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =100lambda =-0.0909Vk =1.00001.00001.0000Wc =1.9582>> [V,D]=eig(A)V =0.9045 -0.7255 -0.72550.3015 -0.2176 - 0.0725i -0.2176 + 0.0725i-0.3015 0.5804 - 0.2902i 0.5804 + 0.2902iD =1.0000 0 00 -0.0000 + 1.0000i 00 0 -0.0000 - 1.0000i>> Dzd=max(diag(D))Dzd =1.0000>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =1.0909>> wuV=V(:,2)./VkwuV =-0.7255-0.2176 - 0.0725i0.5804 - 0.2902i（4）>> A=[-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =22lambda =6.0000Vk =1.00000.7143-0.2500Wc =8.1744e-007>> [V,D]=eig(A)V =0 0.7974 0.66670 0.5696 0.33331.0000 -0.1994 -0.6667D =2.0000 0 00 6.0000 00 0 3.0000>> Dzd=max(diag(D))Dzd =6.0000>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =8.1744e-007>> wuV=V(:,2)./VkwuV =0.79740.79740.79742、用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量。

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。

2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。

2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

第九章矩阵特征值与特征向量的计算教学目的与要求:掌握用幂法和反幂法求矩阵特征值与特征向量的方法,了解 Jacobi 方法的适用范围和使用方法。

重点和难点:幂法和反幂法■ 教学内容:§1 幂法和反幂法一、幂法幂法的基本思想是给定初始向量(00≠x , 由迭代公式产生向量序列(1( (0,1, 2, +==L k k x Ax k {}(k x :上述向量称为迭代向量。

(1(0(22(0( (0 ⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩LLLLk k x Ax x A x x A x 于是由上式得(1 ( 1(01111( λ++++k i u ======∑∑nnk k k k i i i i i i x Ax A x A a u a 11121112211[]λλλλλ+++⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠L k k k n n n a u a u a u设 ,由10a ≠1(2,3, , i i n λλ>=L 得 1 1lim 0λλ+→∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠k i i i k a u ,于是 121lim 0λλ+→∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑k ni i i k i a u故只要 k 充分大,就有 (1111111121[]λλλ+++=⎛⎞=+≈⎜⎟⎝⎠∑nk k k i i i i 1λx a u a u a u 因此, 可以近似作为与(1 +k x 1λ相应的特征向量。

下面我们通过特征向量来计算特征值1λ。

用 ( k i x 表示的第 i 个分量,由于( k x (1 1111(111( ( λλ++≈k k i i k k i i x a x a u u ,所以 (11( (1,2, , λ+≈=L k i k ix i n x 上式这种由已知非零向量及矩阵 (0x A 的乘幂构造向量序列 kA {}( k x 用来计算矩阵 A 按模最大的特征值1λ与对应的特征向量的方法称为幂法。

例 1 用幂法的规范运算求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。