粒子群算法在曲线拟合中的应用

粒子群算法解决函数优化问题1、群智能算法研究背景粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是由Kennedy 和Eberhart 在研究鸟类和鱼类的群体行为基础上于1995 年提出的一种群智能算法，其思想来源于人工生命和演化计算理论，模仿鸟群飞行觅食行为，通过鸟集体协作使群体达到优。

PSO算法作为一种新的群智能算法，可用于解决大量非线性、不可微和多峰值的复杂函数优化问题，并已广泛应用于科学和工程领域，如函数优化、神经网络训练、经济调度、模式识别与分类、结构设计、电磁场和任务调度等工程优化问题等。

PSO算法从提出到进一步发展，仅仅经历了十几年的时间，算法的理论基础还很薄弱，自身也存在着收敛速度慢和早熟的缺陷。

如何加快粒子群算法的收敛速度和避免出现早熟收敛，一直是大多数研究者关注的重点。

因此，对粒子群算法的分析改进不仅具有理论意义，而且具有一定的实际应用价值。

2、国内外研究现状对PSO算法中惯性权重的改进：Poli等人在速度更新公式中引入惯性权重来更好的控制收敛和探索，形成了当前的标准PSO算法。

研究人员进行了大量的研究工作，先后提出了线性递减权值( LDIW) 策略、模糊惯性权值( FIW) 策略和随机惯性权值( RIW) 策略。

其中，FIW 策略需要专家知识建立模糊规则，实现难度较大，RIW 策略被用于求解动态系统，LDIW策略相对简单且收敛速度快，任子晖，王坚于2009 年，又提出了基于聚焦距离变化率的自适应惯性权重PSO算法。

郑春颖和郑全弟等人，提出了基于试探的变步长自适应粒子群算法。

这些改进的PSO算法既保持了搜索速度快的特点, 又提高了全局搜索的能力。

对PSO算法的行为和收敛性的分析：1999 年采用代数方法对几种典型PSO 算法的运行轨迹进行了分析，给出了保证收敛的参数选择范围。

在收敛性方面Fransvan den Bergh引用Solis和Wets关于随机性算法的收敛准则，证明了标准PSO算法不能收敛于全局优解，甚至于局部优解；证明了保证收敛的PSO算法能够收敛于局部优解，而不能保证收敛于全局优解。

pso算法的曲线拟合方法
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）通常用于全局优化问题，而不是直接用于曲线拟合。

曲线拟合通常涉及调整参数以最小化数据与拟合曲线之间的误差。

如果你想使用PSO 进行曲线拟合，你可以将问题定义为一个优化问题，其中目标是最小化拟合曲线与实际数据之间的误差。

以下是一个简单的使用PSO 进行曲线拟合的步骤：
1. 定义问题：将曲线拟合问题定义为一个目标函数最小化的问题。

目标函数可以是实际数据与拟合曲线之间的误差，例如均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）。

2. 粒子表示：定义粒子表示参数的集合，这些参数是你要调整的曲线拟合模型的参数。

3. 初始化粒子群：随机生成一组粒子，每个粒子表示曲线拟合模型的一个参数组合。

4. 定义适应度函数：将目标函数作为适应度函数，这个函数的值越小表示粒子的拟合效果越好。

5. 更新粒子位置：使用PSO 算法的更新规则，根据当前位置和速度更新粒子的位置。

在这里，位置表示参数的值。

6. 迭代：重复更新粒子位置的步骤，直到达到一定的迭代次数或满足停止条件。

7. 选择最优解：从所有粒子中选择适应度最佳的粒子，它的参数即为曲线拟合的最优参数。

8. 得到拟合曲线：使用最优参数得到拟合曲线，与实际数据进行比较。

这是一个基本的框架，实际应用中需要根据具体问题进行调整和优化。

PSO 的优势在于可以处理高维度的参数空间和非线性优化问题，但它并不总是适用于所有类型的曲线拟合问题。

在某些情况下，其他优化算法，如梯度下降法或遗传算法，可能更合适。

基于粒子群算法-最小二乘支持向量机算法的磁化曲线拟合王娟;刘明光【摘要】Magnetization curve was strongly nonlinear function.It was important to improve the accuracy of the magnetization curve fitting for the model of electrical equipment containing ferromagneticmaterial.Therefore,a method of magnetization curve fitting based on PSO-LSSVM algorithm was proposed.The method used particle swarm optimization algorithm to solve the LSSVM parameters selection problem.The simulation results showed that PSOLSSVM algorithm could obtain optimal LSSVM parameters and the magnetization curve used PS0-LSSVM algorithm has high fitting accuracy.%磁化曲线是强非线性函数,提高磁化曲线的拟合精度对含有铁磁材料的电气设备建模准确性至关重要.提出了一种基于粒子群算法-最小二乘支持向量机(PSO-LSSVM)算法的磁化曲线拟合方法.该方法用粒子群优化算法解决了最小二乘支持向量机(ISSVM)参数的选择问题.仿真结果显示PSO-LSSVM算法能获得最优的LSSVM参数,且采用PSO-LSSVM算法拟合的磁化曲线与实际测量的磁化曲线基本无偏差,拟合精度较高.【期刊名称】《电机与控制应用》【年(卷),期】2017(044)007【总页数】4页(P26-29)【关键词】磁化曲线;最小二乘支持向量机;粒子群算法;曲线拟合;参数优化【作者】王娟;刘明光【作者单位】北京交通大学电气工程学院,北京100044;北京交通大学电气工程学院,北京100044【正文语种】中文【中图分类】TM301.2在对含有铁磁材料的电气设备如变压器、电动机、发电机等进行仿真建模时，一个必须要考虑的问题就是对磁化曲线的准确描述。

粒子群算法在神经网络非线性函数拟合中的应用一、本文研究和解决的问题在自动控制问题中，系统辨识的目的是为了建立被控对象的数学模型。

多年来，控制领域对于复杂的非线性对象的辨识一直未能很好的解决，神经网络所具有的非线性特性和学习能力使其在系统辨识方面有很大的潜力。

为解决具有复杂的非线性、不确定性和不确知对象的辨识问题开辟了一条有效的途径。

基于神经网络的系统辨识是以神经网络作为被辨识对象的模型，利用其非线性特性，可建立非线性系统的静态或动态模型。

理论上，多层前馈神经网络能够以任意精度逼近任意非线性映射。

但传统神经网络学习算法中存在的收敛速度慢、容易陷入局部最优等缺点，于是设计了基于标准粒子群算法的神经网络非线性函数拟合系统。

二、传统的BP神经网络BP 神经网络即采用误差反向传播算法的网络，是一种至今仍然最为流行的前馈型神经网络模型。

BP 神经网络有很强的非线性映射能力，它能学习和存贮大量输入-输出模式映射关系，而无需事先了解描述这种映射关系的数学方程。

只要能提供足够多的样本模式对供给网络进行学习训练，它便能完成由n 维输入空间到m 维输出空间的非线性映射。

BP 学习算法属于误差修正型学习，其关键在于根据误差修正输出层和隐含层的连接权值。

其学习的基本实现方法是基于最小平方误差准则和梯度下降优化方法来确定权值调整法则。

BP网络建模特点：非线性映照能力：神经网络能以任意精度逼近任何非线性连续函数。

在建模过程中的许多问题正是具有高度的非线性。

并行分布处理方式：在神经网络中信息是分布储存和并行处理的，这使它具有很强的容错性和很快的处理速度。

自学习和自适应能力：神经网络在训练时，能从输入、输出的数据中提取出规律性的知识，记忆于网络的权值中，并具有泛化能力，即将这组权值应用于一般情形的能力。

神经网络的学习也可以在线进行。

数据融合的能力：神经网络可以同时处理定量信息和定性信息，因此它可以利用传统的工程技术（数值运算）和人工智能技术（符号处理）。

粒子群算法原理及其在函数优化中的应用1 粒子群优化（PSO ）算法基本原理1.1 标准粒子群算法假设在一个D 维的目标搜索空间中，有m 个代表问题潜在解的粒子组成一个种群12[,,...,]m =x x x x ，第i 个粒子的信息可用D 维向量表示为12[,,...,]T i i i iD x x x =x ，其速度为12[,,...,]T i i i iD v v v =v 。

算法首先初始化m 个随机粒子，然后通过迭代找到最优解。

每一次迭代中，粒子通过跟踪2个极值进行信息交流，一个是第i 个粒子本身找到的最优解，称之为个体极值，即12[,,...,]T i i i iD p p p =p ；另一个是所有粒子目前找到的最优解，称之为群体极值，即12[,,...,]T g g g gD p p p =p 。

粒子在更新上述2个极值后，根据式(1)和式(2)更新自己的速度和位置。

11122()()t t t t t t i i i i g i w c r c r +=+-+-v v p x p x(1)11t t t i i i ++=+x x v (2)式中，t 代表当前迭代次数，12,r r 是在[0,1]之间服从均匀分布的随机数，12,c c 称为学习因子，分别调节粒子向个体极值和群体极值方向飞行的步长，w 为惯性权重，一般在0.1~0.9之间取值。

在标准的PSO 算法中，惯性权重w 被设为常数，通常取0.5w =。

在实际应用中，x 需保证在一定的范围内，即x 的每一维的变化范围均为min max [,]X X ，这在函数优化问题中相当于自变量的定义域。

1.2 算法实现步骤步骤1：表示出PSO 算法中的适应度函数()fitness x ；（编程时最好以函数的形式保存，便于多次调用。

）步骤2：初始化PSO 算法中各个参数(如粒子个数，惯性权重，学习因子，最大迭代次数等)，在自变量x 定义域内随机初始化x ，代入()fitness x 求得适应度值，通过比较确定起始个体极值i p 和全局极值g p 。

曲线拟合算法在数据分析中的优化与应用在数据分析领域中，曲线拟合算法扮演着至关重要的角色。

曲线拟合算法能够通过将实验数据与理论模型进行拟合，从而揭示数据之间的潜在关系，帮助我们更好地了解数据背后的规律和趋势。

本文将探讨曲线拟合算法在数据分析中的优化与应用。

首先，我们需要了解曲线拟合算法常用的方法。

常见的曲线拟合算法包括最小二乘法、非线性最小二乘法和高斯过程回归等。

最小二乘法是最常用的曲线拟合算法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的残差平方和，来寻找最佳拟合曲线。

非线性最小二乘法则是对非线性函数进行拟合，通常需要通过非线性优化算法求解。

高斯过程回归是一种非参数的贝叶斯回归方法，通过高斯过程对未知函数进行建模，并通过贝叶斯推断来估计未知函数的后验分布。

在数据分析中，曲线拟合算法的优化非常重要。

优化算法能够提高曲线拟合的准确性和效率。

例如，针对最小二乘法，可以使用一些基于梯度下降的优化算法，如Levenberg-Marquardt算法和共轭梯度算法，来加速参数估计的收敛速度。

对于非线性最小二乘法，可以选择适当的优化算法来处理非线性问题，如拟牛顿方法和遗传算法等。

此外，还可以考虑使用启发式算法来优化曲线拟合的结果，如粒子群优化算法和模拟退火算法等。

除了优化算法，还有一些技术可以辅助曲线拟合算法的应用。

例如，数据预处理和特征工程可以帮助我们提取有效信息并减少噪声对曲线拟合的影响。

另外，交叉验证技术可以帮助我们评估曲线拟合模型的性能，并选择合适的模型复杂度来避免过拟合。

曲线拟合算法在数据分析中有着广泛的应用。

首先，曲线拟合算法可以用于数据的插值和外推。

当数据缺失或需要预测未来趋势时，我们可以通过曲线拟合算法来填充缺失数据或预测未来数据。

其次，曲线拟合算法可以用于噪声数据的平滑和滤波。

通过拟合平滑曲线，可以去除数据中的噪声，并减少误差对分析结果的影响。

此外，曲线拟合算法还可以用于模式识别和图像处理。

通过将实验数据与理论模型进行拟合，我们可以寻找数据中的规律和趋势，进而用于模式识别和图像处理任务。

粒子群优化算法在工程优化中的应用及使用教程1. 简介粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种群体智能算法，通过模拟鸟群或鱼群等生物群体的行为来解决优化问题。

PSO算法具有全局优化能力、快速收敛速度和较少的参数设置等优点，因此在工程优化中得到广泛应用。

2. 粒子群优化算法原理粒子群优化算法的基本原理是模拟鸟群等自然界群体行为。

它通过定义一群“粒子”来表示候选解，每个粒子都有一个位置和速度向量。

个体最优（局部最优）是每个粒子所 far引的最优解，而全局最优是整个粒子群中最好的解。

每个粒子通过学习自身的个体最优以及整个群体中的全局最优来更新自己的速度和位置。

3. 工程优化中的应用案例粒子群优化算法在工程优化中有广泛的应用，以下是一些典型案例：3.1 参数优化在工程领域，有许多问题需要调整一组参数以达到最佳效果，如机器学习模型的超参数选择、神经网络参数调优等。

粒子群优化算法可以在大量候选解空间中搜索最佳的参数组合，从而找到最优解。

3.2 电力系统调度电力系统调度是指确定电力系统的发电机组出力和输电系统各回路功率，以实现经济运行和保证电力供应的安全。

粒子群优化算法可以应用于电力系统调度中，通过调整发电机组的出力来降低电力系统的运行成本，提高电力供应的可靠性。

3.3 物流路径规划物流路径规划是指在给定的起点和终点之间找到最短路径，使货物运输距离和时间最小化。

粒子群优化算法可以根据货物种类、路况、运输方式等因素，在复杂的网络地图上寻找最佳的物流路径，提高物流效率和降低运输成本。

3.4 机器人路径规划机器人路径规划是指在给定的环境中，寻找机器人从起点到达目标点的最优路径。

粒子群优化算法可以应用于机器人路径规划中，通过优化机器人的移动路径，使其在避开障碍物的同时能够快速到达目标点。

4. 使用教程4.1 初始化粒子群首先，需要随机生成一群粒子。

每个粒子的位置和速度向量由问题的特定要求决定。

曲线优化算法
曲线优化算法是一类用于找到给定曲线的最优参数或近似最优解的数值优化算法。

这些算法通常用于曲线拟合、曲线求解和曲线优化问题中。

常见的曲线优化算法包括：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种用于曲线拟合的经典算法，通过最小化观测数据和拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳曲线参数。

2. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，通过对潜在解的集合进行变异和选择，逐步优化得到最优解。

3. 神经网络：神经网络是一种基于人工神经元模型的数值优化算法，通过调整网络权重和拓扑结构，训练以拟合给定曲线或解决曲线优化问题。

4. 粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群或鱼群的集体行为，优化曲线拟合或曲线优化问题。

5. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法，通过接受不完全优解，并以一定概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。

这只是一小部分曲线优化算法的示例，实际应用中还有很多其
他的算法可供选择，根据具体问题的特点和要求选择适合的算法进行曲线优化。

粒子群算法拟合微分方程粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种启发式优化算法，用于寻找函数的最优解。

而微分方程是描述自然现象中变化规律的数学工具。

将粒子群算法应用于拟合微分方程，可以帮助我们找到微分方程中的参数，使得微分方程能够更好地描述实际现象。

首先，我们需要明确微分方程的类型，比如常微分方程或偏微分方程，以及微分方程的具体形式。

然后，我们可以将微分方程的参数视为优化问题中的变量，利用粒子群算法寻找最优的参数组合，使得微分方程的模拟结果与实际观测数据或者预期的行为相匹配。

在应用粒子群算法拟合微分方程时，需要考虑以下几个方面：1. 粒子群算法的参数设置，包括种群大小、惯性权重、加速系数等参数的选择，这些参数的设置会影响算法的收敛速度和最终结果。

2. 目标函数的定义，通常将微分方程模拟结果与观测数据的误差作为目标函数，粒子群算法的目标就是最小化这个误差。

3. 算法的收敛性和稳定性，需要确保粒子群算法能够在合理的时间内收敛到最优解，并且对初始参数的选择不敏感。

在实际应用中，粒子群算法拟合微分方程可以用于各种领域，比如物理学、生物学、工程学等。

通过这种方法，我们可以更好地理解复杂的自然现象，优化工程设计，甚至发现新的科学规律。

总之，粒子群算法拟合微分方程是一个复杂而有挑战性的问题，需要综合运用优化算法、微分方程建模、数值计算等多个领域的知识和技能。

通过合理的参数设置和目标函数定义，以及对算法收敛性和稳定性的考量，可以有效地利用粒子群算法来拟合微分方程，从而得到更准确的模拟结果和参数估计。

粒子裙数据拟合 MATLAB【概述】1. 粒子裙优化算法是一种模拟自然界中裙体行为的智能优化算法，其灵感来源于鸟裙、鱼裙等生物裙体的行为。

2. 该算法的特点是搜索过程简单直观，易于理解和实现，并且具有较快的收敛速度和全局优化能力。

3. 在数据拟合领域，粒子裙优化算法被广泛应用于拟合曲线、曲面以及其他数学模型的参数，对于非线性、高维度、复杂的拟合问题具有较好的效果。

【Matlab中的粒子裙算法】4. 在Matlab中，粒子裙算法的基本实现可以通过调用工具箱函数实现，也可以根据具体需求自行编写代码。

5. Matlab中提供了丰富的粒子裙算法工具箱，包括了基本的粒子裙优化算法、多粒子裙算法以及其他进化算法的实现。

6. 通过这些工具箱，用户可以方便地进行参数设置、目标函数的定义以及优化过程的监控。

【粒子裙数据拟合实例】7. 以一个简单的数据拟合实例来说明粒子裙算法在Matlab中的应用。

8. 假设我们有一组包含噪声数据的非线性函数y = ax^2 + bx + c，现在的目标是利用粒子裙算法拟合出最优的参数a、b、c。

9. 需要定义目标函数，即拟合误差的评价指标，通常可以选取均方误差或者最大似然函数作为优化的目标。

10. 在Matlab中，我们可以利用内置的优化函数或者自定义函数来实现目标函数的定义。

【粒子裙参数设置与优化过程】11. 选择合适的粒子裙算法工具箱，并根据实际问题设置算法的参数，如种裙大小、最大迭代次数、惯性权重等。

12. 在实际应用中，对于不同类型的数据和拟合模型，需要根据经验或者试验来调整参数以获取较好的拟合结果。

13. 随着优化迭代的进行，粒子裙算法会不断地更新粒子的位置和速度，直至达到最优拟合结果或者满足停止条件。

【结果分析与优化策略】14. 得到粒子裙算法优化后的参数后，需要对拟合结果进行分析和评价。

15. 可以通过绘制拟合曲线和实际数据的对比图来直观地评价拟合效果，同时也可以计算拟合误差指标进行定量评估。

专利名称：一种基于粒子群算法的B样条曲线拟合方法及系统专利类型：发明专利
发明人：赵秀阳,陈思聪
申请号：CN201910611956.8
申请日：20190708
公开号：CN110262250A
公开日：
20190920
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明提供一种基于粒子群算法的B样条曲线拟合方法及系统，二者均能够：采集目标物体的轮廓图像；依据所采集的轮廓图像，获取目标物体的轮廓数据点；基于所获取的轮廓数据点，计算并得到B样条曲线的初始控制点和节点矢量；构造初始控制点的坐标的初始种群，并利用粒子群算法对初始控制点进行优化，得到优化后的控制点；依据所得到的节点矢量和优化后的控制点，构建拟合的B样条曲线。

本发明用于提高B样条曲线拟合的准确性与可靠性。

申请人：济南大学
地址：250022 山东省济南市市中区南辛庄西路336号
国籍：CN
代理机构：济南舜源专利事务所有限公司
代理人：刘雪萍
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在MATLAB中，可以使用粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）进行曲线拟合。

以下是一个简单的示例：1. 首先，生成一些模拟数据作为待拟合的曲线：```matlabx = linspace(0, 2*pi, 100);y = sin(x) + 0.3 * randn(size(x));```2. 然后，定义一个适应度函数，用于评估粒子群优化算法的性能。

这里我们使用均方误差作为适应度函数：```matlabfunction fitness = pso_fitness(particle)x = linspace(0, 2*pi, 100);y_true = sin(x);y_pred = particle(:)' * x;fitness = mean((y - y_pred).^2);end```3. 接下来，设置粒子群优化算法的参数，并运行算法：```matlaboptions = optimoptions('particleswarm', 'Display', 'iter');[pso_result, best_particle] = particleswarm(@pso_fitness, [-1, 1], [], [], [], [], options);```4. 最后，输出最优解和对应的曲线：```matlabx_best = linspace(0, 2*pi, 100);y_best = best_particle(:)' * x_best;plot(x, y, 'b.', x_best, y_best, 'r-');legend('原始数据', '拟合曲线');xlabel('x');ylabel('y');title('粒子群优化算法曲线拟合');```这个示例展示了如何使用MATLAB中的粒子群优化算法进行曲线拟合。

应用粒子群算法快速拟合原煤可选性曲线
齐振鹏;匡亚莉;王章国
【期刊名称】《选煤技术》
【年(卷),期】2012(000)001
【摘要】阐述了原煤可选性曲线的重要性,介绍了几种目前常用的可选性曲线绘制方法,并且应用粒子群算法进行了可选性曲线的拟合,拟合实例表明,粒子群算法拟合的曲线非常光滑,拟合效果非常好.
【总页数】4页(P57-59,63)
【作者】齐振鹏;匡亚莉;王章国
【作者单位】中国矿业大学化工学院,江苏徐州221116;中国矿业大学化工学院,江苏徐州221116;中国矿业大学化工学院,江苏徐州221116
【正文语种】中文
【中图分类】TD94
【相关文献】
1.基于基数样条曲线算法快速绘制原煤可选性曲线 [J], 李跟银
2.原煤可选性曲线的应用与探讨 [J], 王国洋
3.利用Origin9.0绘制原煤可选性曲线的研究 [J], 王品杰;徐硕;谢明欣;徐岩;孟凡娜;李光岩
4.利用Origin9.0绘制原煤可选性曲线的研究 [J], 王品杰;徐硕;谢明欣;徐岩;孟凡娜;李光岩;
5.原煤的可选性曲线研究 [J], 高俊梅
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粒子群算法在曲线拟合中的应用摘要：分析了粒子群算法在曲线拟合中的应用，同时对个别不理想的实验数据进行了淘汰，能进行有效的数据处理。

通过具体实例表明该方法实现简单，易于理解，并且还具有很高的可靠性；分析了该算法与最小二乘法的优缺点，证实该算法是曲线拟合的一种有效方法。

关键词：粒子群算法；曲线拟合曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组函数关系的一种数据处理方法。

传统的曲线拟合方法是用解析表达式逼近离散数据。

随着近几年智能计算等一些非线性理论的发展，曲线拟合已不再局限于解析表达式的拟合理论之内，将非线性理论用于曲线拟合，使传统的方法得到了发展与改进。

在科学研究中，人们经常要进行数据处理，而在处理数据中，人们的兴趣往往不是单个数据，而是全部数据的变化趋势，也就是与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合。

例如，我们通过对静态吸附实验数据的简单换算得到如表1 所示一组数据的。

表1 静态吸附实验数据yi(lnk) 2.422.182.051.821.571.430.93xi(1T)0.002 00.002 20.002 40.002 60.002 80.003 00.003 2 在理论上，应得到斜率为m,截距为b的一条线性方程：Ink=m(1/T)+b (1)以往一般通过手工作图求斜率和截距，但这种方法即不准确也不科学，后来随着科学技术的发展人们逐渐采用最小二乘法和单纯行法来求解，则所求斜率和截距能避免手工作图造成的误差，可信度更高。

但是这两种方法也有其不足之处，例如在用最小二乘法在求解相应问题时，需要求解问题函数的导数。

而在实际问题中，有时候由于问题函数过于复杂，一般很难具体表达其导数，从而影响了最小二乘法在实际中的应用。

而单纯形法虽然没有最小二乘法的缺点但是由于其计算量大，导致在解决大规模问题时效果并不是非常显著。

本文应用粒子群算法来解决这类曲线拟合的一些问题。

1 粒子群算法粒子群算法就是对一个CAS(Complex Adaptive System ) 系统——鸟群社会系统的研究得出的，粒子群优化算法( Particle Swarm Optimization )最早是在1995 年由美国社会心理学家James Kennedy 和电气工程师Russell Eberhart共同提出的，其基本思想是受他们早期对许多鸟类的群体行为进行建模与仿真研究结果的启发。

基于粒子群优化算法的多元线性拟合方法研究及其应用韩家兴;吴施楷;田仁飞;李杰;杨宽【摘要】In the actual logging ,density curve is the most vulnerable to be influenced by hole enlargement .In order to elim‐inate the influence ,the particle swarm optimization is introduced to the multivariate linear fitting method .Particle swarm opti‐mization algorithm is used to optimizing the objective function ,which is the intelligent evolutionary algorithm with adaptive control .In this paper ,building the multivariate linear fitting model based the particle swarm optimization with some logging curves (such as gammar ray ,resistivity and acoustic) ,which is affected relatively small by the borehole environment in the ref ‐erence layer having a level borehole and the same lithology with the position in the bad bore environment .Then we use this model to reconstruct the density curve in the layer where the borehole is enlarging .Finally ,the reconstructed density curve compares with original density curve ,the density curve calculated by gardner formula .The research results show that the cor‐relation coefficient between the seismic traces near the well and the synthetic seismic record using the density reconstructed by the multivariate linear fitting methods reached 0 .84 .It indicated that the proposed multi variate linear fitting method can effec‐tively improve the quality of density logging curves .%实际测井中，密度曲线最易受扩径的影响。

粒子群优化算法在多参数拟合中的应用杨朝霞;方健文;李佳蓉;曾胜财【摘要】提出一种新的自适应粒子群优化算法,以解决梯度法为基础的算法在进行多参数拟合时因各参数之间相关性较高而带来的拟合上的问题.该粒子群优化算法采用自适应变异和动态自适应调整搜索范围、惯性权重相结合的改进策略,数值模拟了将该算法应用于测量薄膜热物性时的多参数拟合,结果表明该算法是可行和有效的.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(031)002【总页数】5页(P173-177)【关键词】粒子群;多参数拟合;相关性;惯性权重;自适应变异【作者】杨朝霞;方健文;李佳蓉;曾胜财【作者单位】浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004;浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004;浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004;浙江师范大学,数理与信息工程学院,浙江,金华,321004【正文语种】中文【中图分类】TP180 引言检测技术中经常遇到的一个问题就是实验数据的多参数拟合，解决参数拟合问题的难度主要取决于模型参数的空间维数和模型本身的非线性特征.一般来说，参数越多或非线性越强，则拟合时间越长，拟合精度越差，同时也越不能够保证拟合算法是否收敛到整体最优.参数拟合理论已经证明[1]，利用实验数据仅对一个未知参数进行拟合是比较容易实现的，但是如果要同时拟合多个参数，则必须考虑参数灵敏度和参数之间相关性的问题.当参数之间高度相关，相关系数超过0.9时，利用梯度法为基础的算法很难得到收敛和稳定的拟合值.粒子群优化 (Particle Swarm Optimization, PSO)算法具有并行处理和鲁棒性好等特性，可用于求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂优化问题，而且程序实现简洁，需要调整的参数少，因而近年来发展很快，已应用于众多领域[2].本文在测量技术的多参数拟合问题中引入了粒子群优化算法，并针对待拟合参数之间相关性较高的情况，将算法进行了改进.1 基本的粒子群算法PSO算法是基于群智能的并行全局搜索算法，采用简单的速度——位置搜索模型实现对整个空间的寻优操作，每个粒子代表解空间的一个候选解，粒子在搜索空间以一定的速度飞行，飞行速度根据飞行经验进行动态调整.假设在一个M维的目标搜索空间中，由n个粒子组成一个粒子群落，基本粒子群优化算法采用下述公式对粒子进行更新[3]：Vk+1im=w×Vkim+c1×rand( )×(Pim-Xkim)+c2×Rand( )×(Pgm-Xkim), (1)Xk+1im=Xkim+Vkim,i=1,2,…,n,m=1,2,…,M.(2)式中的Vkim表示第k代的第i个粒子第m维的飞行速度，Vkim∈[-Vmax，Vmax]，Vmax为常数，Xkim表示第k代的第i个粒子第m维的位置，w为惯性权重，c1和c2是加速常数，rand( )和Rand( )是2个介于[0，1]之间的随机数，Pi=( Pi1, Pi2,…,PiM)是第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置，Pg=( Pg1,Pg2,…,PgM)是整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置.2 改进的粒子群算法文献[4-6]分别提出了不同的自适应粒子群优化算法.文献[4]借鉴了遗传算法的“自适应”操作思想，当2个粒子间的距离小于额定阀值时，重新分配其在搜索空间的位置.文献[5]引入模糊技术建立了惯性权重自适应调整模型;文献[6]是对最佳的粒子执行变异操作.采用这些改进策略对粒子群算法模型中的参数进行自适应调整，平衡了算法的全局搜索能力与局部搜索能力，从而提高了算法的性能.本文针对待拟合参数之间相关性较高的情形提出了新的自适应粒子群优化算法.由于待拟合各参数之间相关性比较高，增强了算法搜索过程的复杂性.本文在迭代过程中根据全局最优粒子的适应度函数值信息对整个粒子群体重新进行初始化，以缩小搜索范围，提高搜索效率.另外，通过分析基本的粒子群算法可知，较大的惯性权重w有利于全局搜索，而较小的w有利于局部搜索.因此，采用动态自适应改变惯性权重的策略[7]：wk=e-ak/ak-1,k=1,2,3,…;(3)(4)f(Xkmin)=f(Xki).(5)式(3)～式(5)中,f(Xki)为第i个粒子在第k次迭代时对应的目标函数值，f(Xkmin)为最优粒子在第k次迭代时对应的目标函数值.计算ak指标是用来判断目标函数在第k次迭代的平整度，每次迭代时ak指标都根据所得的目标函数值进行变化，这样使惯性权重w变成随搜索位置改变而动态改变的wk.由于在权重wk中充分利用了目标函数值的信息，使得搜索方向的启发性增强，同时也更好地适应了非线性的优化过程.ak的减小幅度越快，说明趋向极值点的速度越快，此时wk较大，便于保持全局的搜索.当接近极值点时，ak每次的变化减小，此时wk较小，便于在极值点附近作局部搜索.粒子群算法与其他全局优化算法(如遗传算法)一样，同样存在早熟收敛现象，尤其在各参数之间高度相关时，早熟收敛现象更易出现.为此，本文提出如下的变异机制：首先，计算粒子群在第k次迭代时的群体适应度方差[6]sum，适应度函数为S(Xki)=C-f(Xki),(C为大于最大的f(Xki)的一正常数),(6)则(7)其中σ的取值规则为，当max{︱f(Xki)︱}>1时，σ= max{︱f(Xki)︱}；当max{︱ f(Xki)︱}≤1时，σ= 1.式(7)中,是在第k次迭代时所有粒子的平均目标函数值，sum越小则表明收敛程度越强.接着判断sum的值，当sum小于一较小的数ε时，全局最优的粒子按Pg=Pg×(1+(rand(1)-0.5)/30)进行变异.这样每次的变异范围比较小，不会因为较大的变异而进入新的局部极值点.而当全局最优值在连续10代内没得到进一步优化时，也进行上述变异.根据以上对基本粒子群算法的改进，完整的算法流程如下：(1)对粒子群体的位置向量、速度向量、全局最优值和个体最优值进行初始化，初始惯性权重w1=0.729，取c1= c2=2，q=0，并限制搜索的速度和范围[8]. (2)根据目标函数计算各个粒子的适应度.对每个微粒，将其适应度与经历过的最优位置Pi作比较，如果较好，则将其作为该微粒的当前最优位置Pi.然后，将每个微粒的适应度与全局所经历过的最优位置Pg作比较，如果较好，则将其作为新的全局最优位置.(3)若算法收敛准则满足或达到最大迭代次数，执行步骤(9)，否则执行步骤(4).(4)若全局最优粒子的适应度大于一正常数，则对整个粒子群重新进行初始化，然后执行步骤(5).粒子群初始化的位置和速度的范围根据全局最优粒子的位置和速度信息来确定.否则，若当前代数为第一代时执行步骤(6)，若当前代数不为第一代时，执行步骤(8).(5)k=k+1，根据公式(3)和(4)计算wk的值，再根据式(1)和式(2)对粒子群中的所有粒子相继执行更新粒子速度和位置的操作.然后，返回步骤(2).(6)如果sum<ε，执行步骤(7).否则返回步骤(5).(7)把全局最优值的信息赋给全局最差的那个粒子，并把全局最优值的信息另外保存下来.然后对全局最优粒子进行变异，并计算粒子变异后的适应度.如果变异后的粒子优于当前全局最优值，则其信息代替原来保存的全局最优值，否则已经保存的最优粒子的信息不变.再用变异后的粒子替换原来的最优粒子组成新的粒子群[9]，执行步骤(5).(8)如果当代最优值和上一代最优值相同，则q=q+1，否则q仍为0.当q等于9时，执行步骤(7)并令q为0，否则执行步骤(6).(9)根据保存的全局最优粒子的信息，输出全局最优值的位置和适应度函数值，算法结束.通过以上流程可以看出,改进后的算法有以下优点：(1)动态地自适应调整搜索范围，减少了陷入局部极值点的概率.(2)采用动态调整惯性权重策略增强了搜索过程的启发性.(3)采用自适应变异策略，一方面使粒子群的优化能从局部极值点中较快地跳出，另一方面剔除了群里最差粒子的信息，并把最优粒子的信息保存下来，粒子优化过程不会因为变异而丢失最优粒子的信息.3 数值仿真以激光光热调制反射径向扫描技术表征薄膜——衬底热物性为例，拟合低热扩散率薄膜的热学参数.取相位信号的测量值和拟合值之间的误差平方和函数为目标函数，即[10,11]f(Xki)=[φ*(dl)-φ(Xki1,Xki2,…,XkiM,dl)]2.(8)式(8)中，Xki1, Xki2,…,XkiM表示待拟合的参数，M是待拟合参数的个数，N是测量数据点的个数，φ*(dl)、φ(Xki1, Xki2,…,XkiM,dl)分别是泵浦——探测光间距为dl时相位信号的测量值和拟合值.选取4组数据(如表1所示)进行拟合，前两组是假设衬底的热扩散率Ds已知，仅拟合薄膜热扩散率Df和薄膜与衬底间的界面热阻Rth，后两组则是同时拟合上述3个参数.根据光热反射相位信号对各参数的无量纲灵敏度系数和参数间相关性的定义[12]进行计算，前两组参数间相关系数达0.9以上；而后两组的3个参数相互之间也都是相关的，最高相关系数达到0.8以上，并且第4组中Rth的灵敏度系数小于0.1，这些都会给多参数拟合带来困难.考虑到在粒子群算法中，较大的粒子群规模能增加粒子的多样性，减少陷入局部最优的概率，但所需计算时间较长；另外，迭代次数越多，则相应的优化效果就越好，但会增加计算量，也使计算时间变长.因此，本文设置粒子群规模为50，最大迭代次数为100.对每一组参数值，分别在不同的随机误差情况下运行5次，取相应的拟合参数值的平均值作为拟合结果，具体见表1.表1 粒子群算法对低热散率薄膜样品多参数拟合结果薄膜厚度/nm调制频率/kHz 热物性参数真实值拟合值误差/%最大灵敏度系数相关系数800100Df/(m2\5s-1)Rth/(m2K\5W-1)5．0×10-71．5×10-75．015×10-71．508×10-70．300．500．610．27R(Df，Rth)=0．92400200Df/(m2\5s-1)Rth/(m2K\5W-1)5．0×10-62．0×10-75．015×10-61．997×10-70．300．150．340．36R(Df，Rth)=0．97800100Df/(m2\5s-1)Ds/(m2\5s-1)Rth/(m2K\5W-1)5．0×10-79．0×10-51．0×10-74．909×10-79．177×10-59．990×10-81．801．900．100．500．270．16R(Df，Ds)=0．19R(Df，Rth)=0．83R(Ds，Rth)=0．45200300Df/(m2\5s-1)Ds/(m2\5s-1)Rth/(m2K\5W-1)1．0×10-51．0×10-45．0×10-80．990×10-51．005×10-64．930×10-81．000．501．400．120．450．09R(Df，Ds)=0．05R(Df，Rth)=0．54R(Ds，Rth)=0．82由表1可知：(1)本文改进的粒子群算法受各参数之间相关系数的影响较小，即使待拟合参数之间的相关系数大于0.9，该方法仍能进行多参数表征，而且某一参数的灵敏度大小对其他参数拟合精确度的影响也很小.这主要是由于粒子群算法是一种非梯度优化算法，迭代过程中并不会受到参数之间相关性的限制.(2)程序运行过程表明，在一般的粒子群优化算法中，当待拟合的参数之间相关性较弱时，收敛速度较快；当待拟合参数之间相关性较强时，收敛速度较慢.而且在参数间相关性较强时，迭代过程中往往会出现以下情况：在偏离最优位置的粒子中即使该粒子的位置比较偏离要拟合的最优位置，但它们的适应度却较高，干扰了向最优位置的移动，使得收敛速度变慢.在本文所提的算法中，由于采用了在运行过程中重新初始化粒子的策略，减小了搜索范围，提高了拟合速率，较好地解决了参数强相关性所引起的问题.(3)拟合结果精度比较高，真实值和拟合值之间的最大误差为1.90%，最小误差为0.15%.这主要是由于PSO算法是一种高效并行的优化方法，可用于求解大量非线性、不可微和多峰值的复杂优化问题.4 结论本文提出了一种新的粒子群优化算法，该算法不仅采用惯性权值随粒子的位置信息而变化以增强搜索过程的启发性，而且采用搜索范围动态调整和自适应变异策略以减少早熟收敛现象的不利影响.所提算法被应用于测量技术的多参数拟合，数值模拟了激光光热调制反射技术测量薄膜热物性的多参数拟合，获得了满意的结果.研究表明，在待拟合参数相关系数较高的情况下，该算法仍可有效地进行较高精度的拟合，为解决相关性较高的多参数拟合问题提供了一种新的方法和途径.参考文献：[1]Beck J V,Arnold K J.Parameter Estimation in Engineering andScience[M].New York:Wiley,1977.[2]Schutte1 J F,Reinbolt J A,Fregly B J,et al.Parallel global optimization with the particle swarm algorithm[J].Int J Nume Methods Eng,2004,61(B):2296-2315.[3]李爱国,谭征.粒子群优化算法[J].计算机工程与应用,2002,38(21):1-3.[4]郭健,汪勇,向平.基于自适应粒子群算法的桩动力参数反分析[J].山西建筑,2007,33(26):22-24.[5]郭文忠,陈国龙.求解TSP问题的模糊自适应粒子群算法[J].计算机科学,2006,33(6):161-163.[6]吕振肃,侯志荣.自适应变异的粒子群优化算法[J].电子学报,2004,32(3):416-420.[7]王启付,王战江,王书亭.一种动态改变惯性权重的粒子群优化算法[J].中国机械工程,2005,16(11): 945-948.[8]王岁花,冯乃勤,李爱国.一类新颖的粒子群优化算法[J].计算机工程与应用,2006,39(13):109-110.[9]刘淳安.基于实数编码的自适应粒子群优化算法[J].计算机工程与应用,2006,42(20):39-40.[10]陈赵江.MPR技术测量材料热物性的研究[D].金华:浙江师范大学数理与信息工程学院,2006.[11]陈赵江,方健文,王志海.激光光热反射技术对薄膜热物性的表征[J].中国激光,2006,33(3):385-390.[12]Orain S,Scudeller Y,Garciaetal S,et e of genetic algorithms for the simultaneous estimation of thin films thermal conductivity and contact resistances[J].Int J Heat Mass Trans,2001,44(20):3973-3984.。